В геометрии чередование или частичное усечение — это операция над многоугольником , многогранником , мозаикой или многогранником большей размерности , которая удаляет чередующиеся вершины. [1]
Коксетер обозначает чередование префиксом h , обозначающим полумесяц или половину . Поскольку чередование уменьшает все грани многоугольника до половины сторон, его можно применять только к многогранникам со всеми четными сторонами. Чередующаяся квадратная грань становится двуугольником , и, будучи вырожденной, обычно сводится к одному ребру.
В более общем смысле любой вершинно-однородный многогранник или мозаика с вершинной конфигурацией, состоящей из всех четных элементов, могут быть чередованы . Например, чередование вершинной фигуры с 2a.2b.2c равно a.3.b.3.c.3 , где три — это количество элементов в этой вершинной фигуре. Особый случай — это квадратные грани, порядок которых делится пополам на вырожденные двуугольники . Так, например, куб 4.4.4 чередуется как 2.3.2.3.2.3 , который сводится к 3.3.3, будучи тетраэдром , и все 6 ребер тетраэдров также можно рассматривать как вырожденные грани исходного куба.
Плосконосый (в терминологии Коксетера ) можно рассматривать как чередование усеченного правильного или усеченного квазиправильного многогранника. В общем случае многогранник может быть усечен, если его усечение имеет только четные грани. Все усеченные выпрямленные многогранники могут быть усечены , а не только из правильных многогранников.
Плосконосая квадратная антипризма является примером общей плосконосой антипризмы и может быть представлена как ss{2,4}, с квадратной антипризмой s{2,4}.
Эта операция чередования применима также к многогранникам и сотам более высокой размерности, но в целом большинство результатов этой операции не будут однородными. Пустоты, созданные удаленными вершинами, в общем случае не будут создавать однородные грани, и обычно недостаточно степеней свободы, чтобы обеспечить соответствующее изменение масштаба новых ребер. Однако существуют исключения, такие как вывод курносого 24-ячейки из усеченного 24-ячейки .
Примеры:
→
→
Коксетер также использовал оператор a , который содержит обе половины, поэтому сохраняет исходную симметрию. Для четных правильных многогранников a{2p,q} представляет собой составной многогранник с двумя противоположными копиями h{2p,q}. Для нечетных правильных многогранников, больших 3, a{p,q} становится звездчатым многогранником .
Норман Джонсон расширил использование измененного оператора a {p,q}, b {p,q} для смешанного и c {p,q} для преобразованного , как
,, исоответственно.
Сложный многогранник, известный как звездчатый октаэдр, может быть представлен как {4,3} (измененный куб ), и
,
.
Звездчатый многогранник, известный как малый дитригональный икосододекаэдр, может быть представлен как {5,3} (измененный додекаэдр ), и
,
. Здесь все пятиугольники были переделаны в пентаграммы, а треугольники были вставлены, чтобы занять образовавшиеся свободные края.
Звездчатый многогранник, известный как большой дитригональный икосододекаэдр, может быть представлен как {5/2,3} (измененный большой звездчатый додекаэдр ), и
,
. Здесь все пентаграммы были переделаны обратно в пятиугольники, а треугольники были вставлены, чтобы занять образовавшиеся свободные края.
Аналогичная операция может усекать альтернативные вершины, а не просто удалять их. Ниже приведен набор многогранников, которые могут быть сгенерированы из каталонских тел . Они имеют два типа вершин, которые могут быть поочередно усечены. Усечение вершин "высшего порядка" и обоих типов вершин дает следующие формы: