4D релятивистская энергия и импульс
В специальной теории относительности четырехмерный импульс (также называемый импульсом-энергией или моэнергией [1] ) является обобщением классического трехмерного импульса на четырехмерное пространство-время . Импульс — это трехмерный вектор ; аналогично четыре импульса — это четыре вектора в пространстве-времени . Контравариантный четырехимпульс частицы с релятивистской энергией E и трехимпульсом p = ( p x , p y , p z ) = γm v , где v — трехскорость частицы, а γ — фактор Лоренца , равен
![{\displaystyle p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {E}{c}},p_ {x},p_{y},p_{z}\вправо).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Величина m v , указанная выше, представляет собой обычный нерелятивистский импульс частицы, а m — ее массу покоя . Четырехимпульс полезен в релятивистских расчетах, поскольку это ковариантный вектор Лоренца . Это значит, что легко проследить, как она преобразуется при преобразованиях Лоренца .
Приведенное выше определение применяется в соответствии с соглашением о координатах, согласно которому x 0 = ct . Некоторые авторы используют соглашение x0 = t , которое дает модифицированное определение с p0 = E / c2 . Также возможно определить ковариантный четырехимпульс p µ , где знак энергии (или знак трехимпульса, в зависимости от выбранной метрической сигнатуры ) меняется на противоположный.
Норма Минковского
Вычисление квадрата нормы Минковского четырехимпульса дает лоренц-инвариантную величину, равную (с точностью до кратности скорости света c ) квадрату собственной массы частицы :
![{\displaystyle p\cdot p=\eta _ {\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \ над c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
метрический тензортеории относительностиметрической сигнатурой(–1, 1, 1, 1)времяподобныйНорма Минковского является лоренц-инвариантом, то есть ее значение не изменяется в результате преобразований/повышения Лоренца в разные системы отсчета. В более общем смысле, для любых двух четырехимпульсов p и q величина p ⋅ q инвариантна.
Отношение к четырехскоростному
Для массивной частицы четырехкратный импульс определяется инвариантной массой частицы m , умноженной на четырехскоростную скорость частицы :
![{\displaystyle p^{\mu }=mu^{\mu },}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
u![{\displaystyle u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\gamma _{v}\left(c,v_{x} ,v_{y},v_{z}\right),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gamma _{v}:={\frac {1}{\sqrt {1- {\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
cскорость света![{\displaystyle v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Вывод
Есть несколько способов прийти к правильному выражению для четырехимпульса. Один из способов - сначала определить четырехскоростной вектор u = dx / dτ и просто определить p = mu , довольствуясь тем, что это четырех-вектор с правильными единицами измерения и правильным поведением. Другой, более удовлетворительный подход — начать с принципа наименьшего действия и использовать лагранжеву структуру для получения четырехимпульса, включая выражение для энергии. [2] Можно сразу, используя наблюдения, подробно описанные ниже, определить четырехимпульс по действию S . Учитывая, что в общем случае для замкнутой системы с обобщенными координатами q i и каноническими импульсами p i , [3]
![{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}},\quad E=-{ \frac {\partial S}{\partial t}}=-c\cdot {\frac {\partial S}{\partial x_{0}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
x 0 = ctx 1 = xx 2 = yx 3 = zx 0 = − x 0x 1 = x 1x 2 = x 2x 3 = x 3![{\displaystyle p_{\mu }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}=\left({E \over c},-\mathbf {p} \right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Наблюдения
Рассмотрим сначала систему одной степени свободы q . При выводе уравнений движения из действия с использованием принципа Гамильтона на промежуточной стадии изменения действия (обычно) находят :
![{\displaystyle \delta S=\left.\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]\right|_{t_{1}}^ {t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt} }{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta qdt.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тогда предполагается, что различные пути удовлетворяют условию δq ( t 1 ) = δq ( t 2 ) = 0 , из которого сразу следуют уравнения Лагранжа . Когда уравнения движения известны (или просто предполагается, что они выполнены), можно отказаться от требования δq ( t 2 ) = 0 . В этом случае предполагается , что путь удовлетворяет уравнениям движения, а действие является функцией верхнего предела интегрирования δq ( t 2 ) , но t 2 все еще фиксировано. Приведенное выше уравнение принимает вид S = S ( q ) и определяет δq ( t 2 ) = δq и допускает больше степеней свободы:
![{\displaystyle \delta S=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta q_{i}=\sum _{i} p_{i}\delta q_{i}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Наблюдая за этим
![{\displaystyle \delta S=\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial {q}_{i}}}\delta q_{i},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
делается вывод
![{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Аналогично, оставьте конечные точки фиксированными, но пусть t 2 = t варьируется. На этот раз системе разрешено двигаться через конфигурационное пространство с «произвольной скоростью» или с «большей или меньшей энергией», уравнения поля по-прежнему предполагаются верными, и изменение может выполняться в интеграле, но вместо этого наблюдать
![{\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=L}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
по
основной теореме исчисления . Вычислите, используя приведенное выше выражение для канонических импульсов:
![{\displaystyle {\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial q_{i} }}{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i} =Л.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теперь использую
![{\displaystyle H=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где
H —
гамильтониан , приводит, поскольку в данном случае
E = H ,![{\displaystyle E=H=-{\frac {\partial S}{\partial t}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Кстати, используя H = H ( q , p , t ) с p =∂ С/∂ qв приведенном выше уравнении дает уравнения Гамильтона – Якоби . В этом контексте S называется главной функцией Гамильтона .
Действие S определяется выражением
![{\displaystyle S=-mc\int ds=\int Ldt,\quad L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}} },}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Lлагранжианзамалчивая эти детали,
Вариация действия есть
![{\displaystyle \delta S=-mc\int \delta ds.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Чтобы вычислить δds , сначала заметим, что δds 2 = 2 dsδds и что
![{\displaystyle \delta ds^{2}=\delta \eta _ {\mu \nu }dx^{\mu } dx^{\nu } = \eta _ {\mu \nu }\left(\delta \ left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }+dx^{\mu }\delta \left(dx^{\nu }\right)\right)=2\eta _{\mu \ nu }\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Так
![{\displaystyle \delta ds=\eta _ {\mu \nu }\delta dx^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}} =\eta _ {\mu \nu }d \delta x^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
или
![{\displaystyle \delta ds=\eta _ {\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{cd\ тау }}д\тау ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и поэтому
![{\displaystyle \delta S=-m\int \eta _ {\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu } }{d\tau }}d\tau = -m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}u^{\nu } d\tau = -m\int \eta _{\mu \nu }\left[{\frac {d}{d\tau }}\left(\delta x^{\mu }u^{\nu }\ вправо)-\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}u^{\nu }\right]d\tau }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
что просто
![{\displaystyle \delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1 }}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1 }}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds=-mu_{\mu }\delta x^{\mu }={\ frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}\delta x^{\mu }=-p_ {\mu }\delta x^{\mu },}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где на втором этапе используются уравнения поля du µ / ds = 0 , ( δx µ ) t 1 = 0 и ( δx µ ) t 2 ≡ δx µ , как в наблюдениях выше. Теперь сравните последние три выражения и найдите
![{\displaystyle p^{\mu }=-\partial ^{\mu }[S]=- {\frac {\partial S}{\partial x_{\mu }}}=mu^{\mu }=m \left({\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{x}}{\sqrt { 1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{ c^{2}}}}}},{\frac {v_{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right) ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
− m 2 c 2![{\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m_{r}c^{ 2},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где m r — вышедшая из моды релятивистская масса , следует. Сравнивая выражения для импульса и энергии напрямую, получаем
![{\displaystyle \mathbf {p} =E{\frac {\mathbf {v} {c^{2}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
это справедливо и для безмассовых частиц. Возведение в квадрат выражений для энергии и трёхимпульса и их связь дают соотношение энергия-импульс :
![{\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +m^{2}c^{2}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Замена
![{\displaystyle p_{\mu }\leftrightarrow - {\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
уравнение Гамильтона–Якоби[4]![{\displaystyle \eta ^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}} =-m^{2}c^{2}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Также возможно получить результаты непосредственно из лагранжиана. По определению [5]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=\left({\partial L \over \partial {\dot { x}}}, {\partial L \over \partial {\dot {y}}},{\partial L \over \partial {\dot {z}}}\right)=m(\gamma v_ {x} ,\gamma v_{y},\gamma v_{z})=m\gamma \mathbf {v} =m\mathbf {u} ,\\[3pt]E&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {v } -L={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1- {\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Энергия и трехимпульс являются отдельно сохраняющимися величинами для изолированных систем в лагранжевой системе. Следовательно, четырехимпульс также сохраняется. Подробнее об этом ниже.
Более скучные подходы включают ожидаемое поведение в электродинамике. [6] В этом подходе отправной точкой является применение закона сил Лоренца и второго закона Ньютона в системе покоя частицы. Свойства преобразования тензора электромагнитного поля, включая инвариантность электрического заряда , затем используются для преобразования в лабораторную систему координат, а полученное выражение (снова закон силы Лоренца) интерпретируется в духе второго закона Ньютона, что приводит к правильному выражению для релятивистского трехимпульса. Недостаток, конечно, в том, что не сразу ясно, применим ли результат ко всем частицам, независимо от того, заряжены они или нет, и что он не дает полного четырехвектора.
Также возможно избежать электромагнетизма и использовать хорошо спланированные мыслительные эксперименты с участием хорошо обученных физиков, бросающих бильярдные шары, используя знание формулы сложения скоростей и предполагая сохранение импульса. [7] [8] Это тоже дает только трехвекторную часть.
Сохранение четырехимпульса
Как было показано выше, существуют три закона сохранения (не независимые, из двух последних следует первый и наоборот):
- Четырехимпульс p (ковариантный или контравариантный ) сохраняется.
- Полная энергия E = p 0 c сохраняется.
- Импульс в трехмерном пространстве сохраняется (не путать с классическим нерелятивистским импульсом ).
![{\displaystyle \mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle m \ mathbf {v} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратите внимание, что инвариантная масса системы частиц может быть больше, чем сумма масс покоя частиц, поскольку кинетическая энергия в системе центра масс системы и потенциальная энергия сил между частицами вносят вклад в инвариантную массу. Например, две частицы с четырьмя импульсами (5 ГэВ/ с , 4 ГэВ/ с , 0, 0) и (5 ГэВ/ с , −4 ГэВ/ с , 0, 0) каждая имеют массу (покоя) 3 ГэВ. / c 2 по отдельности, но их общая масса (масса системы) равна 10 ГэВ/ c 2 . Если бы эти частицы столкнулись и слиплись, масса составного объекта составила бы 10 ГэВ/ с 2 .
Одно из практических применений сохранения инвариантной массы в физике элементарных частиц включает объединение четырехимпульсов p A и p B двух дочерних частиц, образующихся при распаде более тяжелой частицы, с четырехимпульсом p C , чтобы найти массу более тяжелой частицы. . Сохранение четырехимпульса дает p C µ = p A µ + p B µ , а масса M более тяжелой частицы определяется выражением − PC ⋅ PC = M 2 c 2 . Измеряя энергии и трехимпульсы дочерних частиц, можно восстановить инвариантную массу двухчастичной системы, которая должна быть равна M . Этот метод используется, например, при экспериментальном поиске Z'-бозонов на коллайдерах частиц высоких энергий , где Z'-бозон проявляется как выступ в инвариантном спектре масс пар электрон - позитрон или мюон -антимюон.
Если масса объекта не меняется, скалярное произведение Минковского его четырехимпульса и соответствующего четырехкратного ускорения A μ просто равно нулю. Четырехкратное ускорение пропорционально собственной производной по времени четырехимпульса, деленной на массу частицы, поэтому
![{\displaystyle p^{\mu }A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }A^{\nu }=\eta _{\mu \nu }p^{\ mu }{\frac {d}{d\tau }}{\frac {p^{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}p\cdot p={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}\left(-m^{2}c^{2}\right)=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Канонический импульс при наличии электромагнитного потенциала
Для заряженной частицы с зарядом q , движущейся в электромагнитном поле, заданном электромагнитным четырехпотенциалом :
![{\displaystyle A=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left({\phi \over c},A_{x} ,A_{y},A_{z}\вправо)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
φскалярный потенциалA = ( A x , A y , A z )потенциалкалибровочно-инвариантногоP![{\displaystyle P^{\mu }=p^{\mu }+qA^{\mu }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это, в свою очередь, позволяет компактно включить потенциальную энергию заряженной частицы в электростатический потенциал и силу Лоренца, действующую на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, в релятивистской квантовой механике .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Тейлор, Эдвин; Уилер, Джон (1992). Введение в физику пространства-времени в специальную теорию относительности . Нью-Йорк: WH Freeman and Company. п. 191. ИСБН 978-0-7167-2327-1.
- ^ Ландау и Лифшиц 2000, стр. 25–29.
- ^ Ландау и Лифшиц 1975, стр. 139.
- ^ Ландау и Лифшиц 1975, с. 30
- ^ Ландау и Лифшиц 1975, стр. 15–16.
- ^ Сард 1970, раздел 3.1.
- ^ Сард 1970, раздел 3.2.
- ↑ Льюис и Толман, 1909 г., версия Wikisource
- Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Паб Addison – Wesley. ISBN компании 978-0201029185.
- Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1975) [1939]. Механика . Перевод с русского Дж. Б. Сайкса и Дж. С. Белла . (3-е изд.). Амстердам: Эльзевир. ISBN 978-0-7506-28969.
- Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (2000). Классическая теория полей . 4-е изд. Английское издание, перепечатанное с исправлениями; перевод с русского Мортона Хамермеша. Оксфорд: Баттерворт Хайнеманн. ISBN 9780750627689.
- Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853952-0.
- Сард, Р.Д. (1970). Релятивистская механика - Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN 978-0805384918.
- Льюис, Дж.Н .; Толман, RC (1909). «Принцип относительности и неньютоновская механика». Фил. Маг . 6. 18 (106): 510–523. дои : 10.1080/14786441008636725.Версия вики-ресурса