Законы движения планет Кеплера

Законы, описывающие движение планет

Иллюстрация законов Кеплера с двумя орбитами планет.

1. Орбиты представляют собой эллипсы с фокусами F ₁ и F ₂ для Планеты 1 и F ₁ и F ₃ для Планеты 2. Солнце находится в точке F ₁ .
2. Заштрихованные области A ₁ и A ₂ равны и охватываются орбитой Планеты 1 в одинаковое время.
3. Отношение времени обращения Планеты 1 к времени обращения Планеты 2 составляет . ${\textstyle ({a_{1}}/{a_{2}})^{3/2}}$

В астрономии законы движения планет Кеплера , опубликованные Иоганном Кеплером между 1609 и 1619 годами, описывают орбиты планет вокруг Солнца . Законы изменили гелиоцентрическую теорию Николая Коперника , заменив ее круговые орбиты и эпициклы эллиптическими траекториями и объяснив, как изменяются скорости планет . Три закона гласят, что: ^{[1] [2]}

1. Орбита планеты представляет собой эллипс , в одном из двух фокусов которого находится Солнце .
2. Отрезок линии , соединяющий планету и Солнце, заметает равные площади за равные промежутки времени.
3. Квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу длины большой полуоси ее орбиты.

Эллиптические орбиты планет были указаны расчетами орбиты Марса . Из этого Кеплер сделал вывод, что другие тела Солнечной системы , в том числе находящиеся дальше от Солнца, также имеют эллиптические орбиты. Второй закон помогает установить, что когда планета находится ближе к Солнцу, она движется быстрее. Третий закон гласит, что чем дальше планета от Солнца, тем медленнее ее орбитальная скорость, и наоборот.

Исаак Ньютон показал в 1687 году, что соотношения, подобные тем, что были у Кеплера, будут применяться в Солнечной системе как следствие его собственных законов движения и закона всемирного тяготения .

Более точный исторический подход можно найти в Astronomia nova и Epitome Astronomiae Copernicanae .

Сравнение с Коперником

Законы Иоганна Кеплера усовершенствовали модель Коперника . По мнению Коперника: ^{[3] [4]}

1. Орбита планеты представляет собой круг с эпициклами.
2. Солнце находится примерно в центре орбиты.
3. Скорость планеты на главной орбите постоянна.

Несмотря на то, что Коперник был прав, утверждая, что планеты вращаются вокруг Солнца, он был неправ в определении их орбит. Предлагая физические объяснения движения в космосе, выходящие за рамки простой геометрии, Кеплер правильно определил орбиты планет следующим образом: ^{[1] [2] [5] : 53–54.}

1. Орбита планеты представляет собой не круг с эпициклами, а эллипс .
2. Солнце находится не в центре, а в фокусе эллиптической орбиты.
3. Ни линейная скорость, ни угловая скорость планеты на орбите не являются постоянными, но постоянна площадная скорость (тесно связанная исторически с понятием углового момента ).

Эксцентриситет орбиты Земли делает время от мартовского равноденствия до сентябрьского равноденствия , составляющее около 186 дней, не равным времени от сентябрьского равноденствия до мартовского равноденствия, составляющему около 179 дней . Диаметр разрезал бы орбиту на равные части, но плоскость, проходящая через Солнце, параллельная экватору Земли , делит орбиту на две части с площадями в соотношении 186 к 179, поэтому эксцентриситет орбиты Земли примерно равен

${\displaystyle e\approx {\frac {\pi }{4}}{\frac {186-179}{186+179}}\approx 0.015,}$

что близко к правильному значению (0,016710218). Точность этого расчета требует, чтобы две выбранные даты располагались вдоль малой оси эллиптической орбиты, а средние точки каждой половины - вдоль большой оси. Поскольку две выбранные здесь даты являются равноденствиями, это будет правильно, когда перигелий , дата, когда Земля находится ближе всего к Солнцу, приходится на солнцестояние . Текущий перигелий около 4 января довольно близок к солнцестоянию 21 или 22 декабря.

Номенклатура

Потребовалось почти два столетия, чтобы нынешняя формулировка работы Кеплера приняла устоявшуюся форму. Книга Вольтера « Элементы философии Ньютона » ( «Элементы философии Ньютона ») 1738 года была первой публикацией, в которой использовалась терминология «законов». ^{[6] [7]} Биографическая энциклопедия астрономов в своей статье о Кеплере (стр. 620) утверждает, что терминология научных законов для этих открытий была актуальной, по крайней мере, со времен Жозефа де Лаланда . ^[8] Именно изложение Роберта Смолла в «Отчёте об астрономических открытиях Кеплера» (1814 г.) составило набор трёх законов путём добавления третьего. ^[9] Смолл также утверждал, вопреки истории, что это были эмпирические законы , основанные на индуктивных рассуждениях . ^{[7] [10]}

Более того, нынешнее использование «Второго закона Кеплера» является своего рода неправильным употреблением. У Кеплера было две версии, родственные в качественном смысле: «закон расстояния» и «закон площади». «Закон территории» - это то, что стало Вторым законом в наборе из трех; но сам Кеплер не придавал этому особого значения. ^[11]

История

Кеплер опубликовал свои первые два закона о движении планет в 1609 году ^[12] , обнаружив их путем анализа астрономических наблюдений Тихо Браге . ^{[13] [14] [15] [5] : 53} Третий закон Кеплера был опубликован в 1619 году. ^{[16] [14]} Кеплер верил в коперниканскую модель Солнечной системы, которая призывала к круговым орбитам, но он не мог согласовать высокоточные наблюдения Браге с круговым соответствием орбите Марса - Марс по совпадению имеет самый высокий эксцентриситет среди всех планет, кроме Меркурия. ^[17] Его первый закон отразил это открытие.

В 1621 году Кеплер отметил, что его третий закон применим к четырем ярчайшим спутникам Юпитера . ^{[Nb 1]} Годфруа Венделен также сделал это наблюдение в 1643 году. ^{[Nb 2]} Второй закон в форме «закона площади» был оспорен Николаем Меркатором в книге 1664 года, но к 1670 году его «Философские труды» были в его пользу. . ^{[18] [19]} В течение столетия оно стало более широко принятым. ^[20] Восприятие в Германии заметно изменилось между 1688 годом, когда были опубликованы «Начала» Ньютона , которые были приняты в основном за коперниканские, и 1690 годом, когда была опубликована работа Готфрида Лейбница о Кеплере. ^[21]

Ньютону приписывали понимание того, что второй закон не является чем-то особенным по отношению к закону обратных квадратов гравитации, а является следствием только радиальной природы этого закона, тогда как другие законы действительно зависят от формы обратных квадратов притяжения. Карл Рунге и Вильгельм Ленц гораздо позже определили принцип симметрии в фазовом пространстве движения планет ( действующая ортогональная группа O(4)) который объясняет первый и третий законы в случае ньютоновской гравитации, как это делает сохранение углового момента через вращательная симметрия для второго закона. ^[22]

Формуляр

Математическая модель подчиняющейся законам кинематики планеты допускает большой диапазон дальнейших расчетов.

Первый закон

Орбита каждой планеты представляет собой эллипс, в одном из двух фокусов которого находится Солнце .

Первый закон Кеплера помещает Солнце в фокус эллиптической орбиты.

Гелиоцентрическая система координат ( r , θ ) для эллипса. Также показаны: большая полуось a , малая полуось b и полурасширенная прямая кишка p ; центр эллипса и два его фокуса отмечены крупными точками. Для θ ₌ 0° r = r _min и для θ = 180° r = r max . 

Математически эллипс можно представить формулой:

${\displaystyle r={\frac {p}{1+\varepsilon \,\cos \theta }},}$

где - полуширокая прямая кишка , ε - эксцентриситет эллипса, r - расстояние от Солнца до планеты, а θ - угол к текущему положению планеты при ее наибольшем сближении, если смотреть с Солнца. Итак, ( r ,  θ ) — полярные координаты . ${\displaystyle p}$

Для эллипса 0 <  ε  < 1; в предельном случае ε = 0 орбита представляет собой круг с Солнцем в центре (т. е. там, где эксцентриситет равен нулю).

При θ = 0°, перигелий , расстояние минимально.

${\displaystyle r_{\min }={\frac {p}{1+\varepsilon }}}$

При θ = 90° и при θ = 270° расстояние равно . ${\displaystyle p}$

При θ = 180°, афелии , расстояние максимально (по определению афелий — это неизменно перигелий плюс 180°).

${\displaystyle r_{\max }={\frac {p}{1-\varepsilon }}}$

Большая полуось a представляет собой среднее арифметическое между r _min и r _max :

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{\max }+r_{\min }}{2}}\\[3pt]a&={\frac {p}{1-\varepsilon ^{2}}}\end{aligned}}}$

Малая полуось b представляет собой среднее геометрическое между r _min и r _max :

${\displaystyle {\begin{aligned}b&={\sqrt {r_{\max }r_{\min }}}\\[3pt]b&={\frac {p}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}\end{aligned}}}$

Полурасширенная прямая кишка p — это среднее гармоническое значение между r _min и r _max :

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=\left({\frac {r_{\max }^{-1}+r_{\min }^{-1}}{2}}\right)^{-1}\\pa&=r_{\max }r_{\min }=b^{2}\,\end{aligned}}}$

Эксцентриситет ε — это коэффициент вариации между r _min и r _max :

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {r_{\max }-r_{\min }}{r_{\max }+r_{\min }}}.}$

Площадь эллипса равна

${\displaystyle A=\pi ab\,.}$

Особым случаем круга является ε = 0, в результате чего r = p = r _min = r _max = a = b и A = πr ² .

Второй закон

Линия , соединяющая планету и Солнце, за равные промежутки времени охватывает равные площади. ^[23]

Одна и та же (синяя) область заметается в течение фиксированного периода времени. Зеленая стрелка — скорость. Фиолетовая стрелка, направленная к Солнцу, — это ускорение. Две другие фиолетовые стрелки — это компоненты ускорения, параллельные и перпендикулярные скорости.

Радиус орбиты и угловая скорость планеты на эллиптической орбите будут меняться. Это показано в анимации: планета движется быстрее, когда ближе к Солнцу, и медленнее, когда дальше от Солнца. Второй закон Кеплера гласит, что синий сектор имеет постоянную площадь.

За короткое время планета образует небольшой треугольник, имеющий базовую линию , высоту и площадь , поэтому постоянная земная скорость равна ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\,d\theta }$ ${\textstyle dA={\frac {1}{2}}\cdot r\cdot r\,d\theta }$

$${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}.}$$

Площадь, ограниченная эллиптической орбитой, равна . Таким образом, период удовлетворяет ${\displaystyle \pi ab}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T\cdot {\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}=\pi ab}$

и среднее движение планеты вокруг Солнца

${\displaystyle n={\frac {2\pi }{T}}}$

удовлетворяет

${\displaystyle r^{2}\,d\theta =abn\,dt.}$

И так,

$${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {abn}{2}}={\frac {\pi ab}{T}}.}$$

Третий закон

Отношение квадрата периода обращения объекта к кубу большой полуоси его орбиты одинаково для всех объектов, вращающихся вокруг одной и той же главной звезды.

Это отражает взаимосвязь между расстоянием планет от Солнца и периодами их обращения.

Кеплер сформулировал в 1619 году ^[16] этот третий закон в кропотливой попытке определить то, что он считал « музыкой сфер », в соответствии с точными законами и выразить это в терминах нотной записи. ^[24] Поэтому он был известен как гармонический закон . ^[25]

Используя закон тяготения Ньютона (опубликованный в 1687 г.), это соотношение можно найти в случае круговой орбиты, установив центростремительную силу равной гравитационной силе:

${\displaystyle mr\omega ^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}}$

Затем, выразив угловую скорость ω через период обращения и последующую перестановку, получим Третий закон Кеплера: ${\displaystyle {T}}$

${\displaystyle mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}\rightarrow T^{2}=\left({\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\right)r^{3}\rightarrow T^{2}\propto r^{3}}$

Более подробный вывод можно сделать, используя общие эллиптические орбиты вместо кругов, а также вращение вокруг центра масс, а не только большой массы. Это приводит к замене кругового радиуса большой полуосью эллиптического относительного движения одной массы относительно другой, а также замене большой массы на . Однако, поскольку массы планет намного меньше Солнца, эту поправку часто игнорируют. Полная соответствующая формула: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M+m}$

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}}}\approx {\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\approx 7.496\times 10^{-6}{\frac {{\text{AU}}^{3}}{{\text{days}}^{2}}}{\text{ is constant}}}$

где - масса Солнца , - масса планеты, - гравитационная постоянная , - период обращения, - большая полуось эллипса, - астрономическая единица , - среднее расстояние от Земли до Солнца. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\text{AU}}}$

Стол

В следующей таблице показаны данные, которые Кеплер использовал для эмпирического вывода своего закона:

Обнаружив эту закономерность, Кеплер написал: ^[26]

Сначала я поверил, что сплю... Но абсолютно достоверно и точно то, что соотношение, существующее между периодами периодов любых двух планет, представляет собой в точности соотношение 3/2 степени среднего расстояния.

-  перевод из книги Кеплера «Гармонии мира » (1619 г.)

Логарифмический график зависимости периода T от большой полуоси a (среднее значение афелия и перигелия) некоторых орбит Солнечной системы (крестики, обозначающие значения Кеплера), показывающий, что a ³/ T ² является постоянным (зеленая линия)

Для сравнения вот современные оценки:

Планетарное ускорение

Исаак Ньютон в своей «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica» вычислил ускорение планеты, движущейся в соответствии с первым и вторым законами Кеплера .

1. Направление ускорения — к Солнцу .
2. Величина ускорения обратно пропорциональна квадрату расстояния планеты от Солнца ( закон обратных квадратов ).

Это означает, что Солнце может быть физической причиной ускорения планет. Однако Ньютон утверждает в своих «Началах» , что он рассматривает силы с математической точки зрения, а не с физической, тем самым придерживаясь инструменталистской точки зрения. ^[27] Более того, он не приписывает гравитации причину. ^[28]

Ньютон определил силу , действующую на планету, как произведение ее массы и ускорения (см. Законы движения Ньютона ). Так:

1. Каждая планета притягивается к Солнцу.
2. Сила, действующая на планету, прямо пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату ее расстояния от Солнца.

Солнце играет несимметричную роль, что неоправданно. Поэтому он предположил в законе всемирного тяготения Ньютона :

1. Все тела Солнечной системы притягивают друг друга.
2. Сила между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Поскольку планеты имеют малую массу по сравнению с массой Солнца, их орбиты примерно соответствуют законам Кеплера. Модель Ньютона является усовершенствованной моделью Кеплера и более точно соответствует реальным наблюдениям. (См. задачу двух тел .)

Ниже приводится подробный расчет ускорения планеты, движущейся по первому и второму законам Кеплера.

Вектор ускорения

С гелиоцентрической точки зрения рассмотрим вектор планеты , где — расстояние до планеты, а — единичный вектор , указывающий на планету. ${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$

$${\displaystyle {\frac {d{\hat {\mathbf {r} }}}{dt}}={\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\qquad {\frac {d{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{dt}}={\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }}}$$

где - единичный вектор, направление которого составляет 90 градусов против часовой стрелки от , и - полярный угол, и где точка над переменной означает дифференцирование по времени. ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \theta }$

Дважды продифференцируйте вектор положения, чтобы получить вектор скорости и вектор ускорения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}\right)+\left({\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\dot {\theta }}{\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}\right)=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.\end{aligned}}}$$

Так

$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=a_{r}{\hat {\boldsymbol {r}}}+a_{\theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$$

ускорение

$${\displaystyle a_{r}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}}$$

поперечное ускорение

$${\displaystyle a_{\theta }=r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}.}$$

Закон обратных квадратов

Второй закон Кеплера гласит, что

$${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=nab}$$

Поперечное ускорение равно нулю: ${\displaystyle a_{\theta }}$

$${\displaystyle {\frac {d\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)}{dt}}=r\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}\right)=ra_{\theta }=0.}$$

Итак, ускорение планеты, подчиняющейся второму закону Кеплера, направлено к Солнцу.

Радиальное ускорение ${\displaystyle a_{\text{r}}}$

$${\displaystyle a_{\text{r}}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}={\ddot {r}}-r\left({\frac {nab}{r^{2}}}\right)^{2}={\ddot {r}}-{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}.}$$

Первый закон Кеплера гласит, что орбита описывается уравнением:

$${\displaystyle {\frac {p}{r}}=1+\varepsilon \cos(\theta ).}$$

Дифференцирование по времени

$${\displaystyle -{\frac {p{\dot {r}}}{r^{2}}}=-\varepsilon \sin(\theta )\,{\dot {\theta }}}$$

$${\displaystyle p{\dot {r}}=nab\,\varepsilon \sin(\theta ).}$$

Дифференцируем еще раз

$${\displaystyle p{\ddot {r}}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\dot {\theta }}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\frac {nab}{r^{2}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta ).}$$

Радиальное ускорение удовлетворяет ${\displaystyle a_{\text{r}}}$

$${\displaystyle pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta )-p{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left(\varepsilon \cos(\theta )-{\frac {p}{r}}\right).}$$

Подстановка уравнения эллипса дает

$${\displaystyle pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left({\frac {p}{r}}-1-{\frac {p}{r}}\right)=-{\frac {n^{2}a^{2}}{r^{2}}}b^{2}.}$$

Отношение дает простой конечный результат ${\displaystyle b^{2}=pa}$

$${\displaystyle a_{\text{r}}=-{\frac {n^{2}a^{3}}{r^{2}}}.}$$

Это означает, что вектор ускорения любой планеты, подчиняющейся первому и второму законам Кеплера, удовлетворяет закону обратных квадратов. ${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} }$

$${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}}$$

$${\displaystyle \alpha =n^{2}a^{3}}$$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle r\,}$

Так как среднее движение где - период, согласно третьему закону Кеплера, имеет одинаковое значение для всех планет. Таким образом, закон обратных квадратов для планетарных ускорений применяется во всей Солнечной системе. ${\displaystyle n={\frac {2\pi }{T}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \alpha }$

Закон обратных квадратов представляет собой дифференциальное уравнение . Решения этого дифференциального уравнения включают, как показано, кеплеровы движения, но они также включают движения, орбита которых представляет собой гиперболу , параболу или прямую линию . (См. Орбиту Кеплера .)

Закон гравитации Ньютона

По второму закону Ньютона сила гравитации, действующая на планету, равна:

$${\displaystyle \mathbf {F} =m_{\text{planet}}\mathbf {\ddot {r}} =-m_{\text{planet}}\alpha r^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}}$$

где - масса планеты и имеет одинаковое значение для всех планет Солнечной системы. Согласно третьему закону Ньютона , Солнце притягивается к планете силой такой же величины. Поскольку сила пропорциональна массе планеты, при рассмотрении симметрии она также должна быть пропорциональна массе Солнца . Так ${\displaystyle m_{\text{planet}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle m_{\text{Sun}}}$

$${\displaystyle \alpha =Gm_{\text{Sun}}}$$

постоянная ${\displaystyle G}$

Ускорение тела номер i Солнечной системы согласно законам Ньютона составляет:

$${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{i}=G\sum _{j\neq i}m_{j}r_{ij}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{ij}}$$

jijiji ${\displaystyle m_{j}}$ ${\displaystyle r_{ij}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}}$

В частном случае, когда в Солнечной системе есть только два тела, Земля и Солнце, ускорение становится

$${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{\text{Earth}}=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}}$$

Если двумя телами в Солнечной системе являются Луна и Земля, ускорение Луны становится

$${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{\text{Moon}}=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}}$$

Итак, в этом приближении Луна движется вокруг Земли по законам Кеплера.

В случае трех тел ускорения равны

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\ddot {r}} _{\text{Sun}}&=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}}\\\mathbf {\ddot {r}} _{\text{Earth}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}}\\\mathbf {\ddot {r}} _{\text{Moon}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}\end{aligned}}}$$

Эти ускорения не соответствуют орбитам Кеплера, и проблема трех тел сложна. Но кеплерово приближение является основой для вычислений возмущений . (См. Теорию Луны .)

Позиция как функция времени

Кеплер использовал два своих первых закона для расчета положения планеты в зависимости от времени. Его метод предполагает решение трансцендентного уравнения , называемого уравнением Кеплера .

Процедура расчета гелиоцентрических полярных координат ( r , θ ) планеты как функции времени t с момента перигелия состоит из следующих пяти шагов:

1. Вычислите среднее движение n = (2 π рад)/ P , где P — период.
2. Вычислите среднюю аномалию M = nt , где t — время, прошедшее с момента перигелия.
3. Вычислите эксцентрическую аномалию E , решив уравнение Кеплера:
   $${\displaystyle M=E-\varepsilon \sin E,}$$
   где эксцентриситет. ${\displaystyle \varepsilon }$
4. Вычислите истинную аномалию θ , решив уравнение:
   $${\displaystyle (1-\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}=(1+\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {E}{2}}}$$
5. Вычислите гелиоцентрическое расстояние r :
   $${\displaystyle r=a(1-\varepsilon \cos E),}$$
   где – большая полуось. ${\displaystyle a}$

Позиционные полярные координаты ( r , θ ) теперь могут быть записаны как декартов вектор , а декартов вектор скорости может быть рассчитан как , где – стандартный гравитационный параметр . ^[29] ${\displaystyle \mathbf {p} =r\left\langle \cos {\theta },\sin {\theta }\right\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\sqrt {\mu a}}{r}}\left\langle -\sin {E},{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\cos {E}\right\rangle }$ ${\displaystyle \mu }$

Важный частный случай круговой орбиты, ε = 0  , дает θ = E = M. Поскольку равномерное круговое движение считалось нормальным , отклонение от этого движения считалось аномалией.

Доказательство этой процедуры показано ниже.

Средняя аномалия, М

Геометрическая конструкция для расчета Кеплером θ. Солнце (расположенное в фокусе) обозначено S , а планета P. Вспомогательный круг является вспомогательным средством расчета. Линия xd перпендикулярна основанию и проходит через планету P. Заштрихованные сектора имеют равные площади путем расположения точки y .

Задача Кеплера предполагает эллиптическую орбиту и четыре точки:

• s Солнце (в одном фокусе эллипса);
• z перигелий _
• в центр эллипса
• п планета

и

• ${\displaystyle a=|cz|,}$расстояние между центром и перигелием, большой полуосью,
• ${\displaystyle \varepsilon ={|cs| \over a},}$эксцентричность,
• ${\displaystyle b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}},}$малая полуось,
• ${\displaystyle r=|sp|,}$расстояние между Солнцем и планетой.
• ${\displaystyle \theta =\angle zsp,}$направление на планету, если смотреть со стороны Солнца, истинная аномалия .

Проблема состоит в том, чтобы вычислить полярные координаты ( r , θ ) планеты по времени, начиная с перигелия,  t .

Решается поэтапно. Кеплер считал круг с большой осью диаметром, а

• ${\displaystyle x,}$проекция планеты на вспомогательный круг
• ${\displaystyle y,}$точка на окружности такая, что площади секторов | zcy | и | зсх | равны,
• ${\displaystyle M=\angle zcy,}$средняя аномалия .

Области секторов связаны между собой ${\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|.}$

Площадь кругового сектора ${\displaystyle |zcy|={\frac {a^{2}M}{2}}.}$

Площадь, пройденная начиная с перигелия,

$${\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|={\frac {b}{a}}\cdot |zcy|={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {abM}{2}},}$$

Mt

$${\displaystyle M=nt,}$$

nсреднее движение

Эксцентрическая аномалия, E

Когда вычисляется средняя аномалия M , цель состоит в том, чтобы вычислить истинную аномалию θ . Однако функция θ  =  f ( M ) не является элементарной. ^[30] Решение Кеплера состоит в использовании

$${\displaystyle E=\angle zcx,}$$

xэксцентрическая аномалияEMθE.

$${\displaystyle {\begin{aligned}|zcy|&=|zsx|=|zcx|-|scx|\\with|scx|&={\frac {|cs|.|dx|}{2}}\\{\frac {a^{2}M}{2}}&={\frac {a^{2}E}{2}}-{\frac {a\varepsilon \cdot a\sin E}{2}}\end{aligned}}}$$

Деление на 2/2 дает уравнение Кеплера ^.

$${\displaystyle M=E-\varepsilon \sin E.}$$

Это уравнение дает M как функцию E. Определение E для данного M является обратной задачей. Обычно используются итерационные численные алгоритмы.

После вычисления эксцентрической аномалии E следующим шагом будет вычисление истинной аномалии  θ .

Но обратите внимание: декартовы координаты положения относительно центра эллипса: ( a  cos  E ,  b  sin  E )

По отношению к Солнцу (с координатами ( c ,0) = ( ae ,0)), r = ( a  cos  E – ae , b  sin  E )

Истинная аномалия будет arctan( r _{y / r} x ), величина r будет √ r  ·  r .

Истинная аномалия, θ

Обратите внимание на рисунок, что

$${\displaystyle |cd|=|cs|+|sd|}$$

$${\displaystyle a\cos E=a\varepsilon +r\cos \theta .}$$

Деление по первому закону Кеплера и вставка из него. ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle {\frac {r}{a}}={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}}$$

$${\displaystyle \cos E=\varepsilon +{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}\cos \theta ={\frac {\varepsilon (1+\varepsilon \cos \theta )+\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}={\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}.}$$

Результатом является полезная связь между эксцентрической аномалией E и истинной аномалией  θ .

Более удобная с вычислительной точки зрения форма получается путем подстановки в тригонометрическое тождество :

$${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}.}$$

Получать

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan ^{2}{\frac {E}{2}}&={\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1-{\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}{1+{\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}}\\[8pt]&={\frac {(1+\varepsilon \cos \theta )-(\varepsilon +\cos \theta )}{(1+\varepsilon \cos \theta )+(\varepsilon +\cos \theta )}}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\cdot {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}$$

Умножение на 1 +  ε дает результат

$${\displaystyle (1-\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}=(1+\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {E}{2}}}$$

Это третий шаг в связи времени и положения на орбите.

Расстояние, р

Четвертый шаг — вычислить гелиоцентрическое расстояние r на основе истинной аномалии θ по первому закону Кеплера:

$${\displaystyle r(1+\varepsilon \cos \theta )=a\left(1-\varepsilon ^{2}\right)}$$

Используя приведенное выше соотношение между θ и E, окончательное уравнение для расстояния r будет следующим:

$${\displaystyle r=a(1-\varepsilon \cos E).}$$

Смотрите также

• Круговое движение
• Время свободного падения
• Сила тяжести
• Кеплер орбита
• проблема Кеплера
• Уравнение Кеплера
• Вектор Лапласа–Рунге–Ленца
• Удельный относительный угловой момент , относительно простой вывод законов Кеплера, начиная с сохранения углового момента.

Заметки с пояснениями

1. В 1621 году Иоганн Кеплер отметил, что спутники Юпитера подчиняются (приблизительно) его третьему закону в его Epitome Astronomiae Copernicanae [Воплощение коперниканской астрономии] (Линц («Lentiis ad Danubium»), (Австрия): Иоганн Планк, 1622), книга 4 , часть 2, стр. 554–555. Со стр. 554–555: «... plane ut est cum sex Planet около Солема, ... prodit Marius in suo mundo Ioviali ista 3.5.8.13 (vel 14. Galilæo) ... Periodica vero tempora prodit idem Marius .. ... sunt maiora simplis, minora vero duplis». (... так же, как это явно [истинно] среди шести планет вокруг Солнца, так же и среди четырех [спутников] Юпитера, потому что вокруг тела Юпитера любой [спутник], который может пройти дальше от него, вращается медленнее, да и то [период орбиты] не в той же пропорции, а больше [расстояния от Юпитера], то есть 3/2 ( sesscula ) доли каждого из расстояний от Юпитера, что явно та самая [пропорция], которая используется для шести планет выше. В своей [книге] « Мир Юпитера» [ Mundus Jovialis , 1614] [Саймон Майр или] «Мариус» [1573–1624] представляет эти расстояния от Юпитера, из четырех [спутников] Юпитера: 3, 5, 8, 13 (или 14 [по данным] Галилея) [Примечание: расстояния спутников Юпитера от Юпитера выражаются как кратные диаметру Юпитера.] ... Майр представляет их периоды времени: 1 день 18 1/2 часа, 3 дня 13 1/3 часа, 7 дней 2 часа, 16 дней 18 часов: для всех [этих данных] доля больше чем в два раза, то есть больше, чем [доля] расстояний 3, 5, 8, 13 или 14, хотя и меньше, чем [доля] квадратов, которые удваивают пропорции расстояний, а именно 9, 25, 64, 169 или 196, точно так же, как [степень] 3/2 также больше 1, но меньше 2.)
2. Годфруа Венделин написал письмо Джованни Баттисте Риччоли о взаимосвязи между расстояниями спутников Юпитера от Юпитера и периодами их орбит, показав, что периоды и расстояния соответствуют третьему закону Кеплера. См.: Джоан Баптиста Риччоли, Almagestum novum ... (Болонья (Бонония), (Италия): Виктор Бенати, 1651), том 1, стр. 492 Схолия III. На полях рядом с соответствующим абзацем напечатано: Vendelini ingeniosa speculatio circa motus & Intervalla satellitum Jovis . (Умное предположение Венделина о движении и расстояниях спутников Юпитера.) Со с. 492: «III. Non minus Kepleriana ingeniosa est Vendelini ... и D. 7. 164/1000. pro penextimo и D. 16. 756/1000. pro extimo». (Не менее умно [чем] Кеплера исследование самого проницательного астронома Венделина относительно пропорций периодов и расстояний спутников Юпитера, которое он с большой щедростью сообщил мне [в] очень длинном и очень ученом письме. Итак, просто как и в случае с более крупными планетами, средние расстояния планет от Солнца находятся соответственно в соотношении 3/2 их периодов; поэтому расстояния этих малых планет Юпитера от Юпитера (которые составляют 3, 5, 8 , и 14) находятся соответственно в соотношении 3/2 [их] периодов (которые составляют 1,769 дня для самого внутреннего [Ио], 3,554 дня для ближайшего к самому внутреннему [Европы], 7,164 дня для ближайшего к самому внешнему [ Ганимед] и 16,756 дней для самого дальнего [Каллисто]).)

Цитаты

1. "Законы Кеплера". гиперфизика.phy-astr.gsu.edu . Проверено 13 декабря 2022 г.
2. «Орбиты и законы Кеплера». Исследование Солнечной системы НАСА . Проверено 13 декабря 2022 г.
3. «Движение планет: история идеи, положившей начало научной революции». Earthobservatory.nasa.gov . 07.07.2009 . Проверено 13 декабря 2022 г.
4. "Николай Коперник". ИСТОРИЯ . Проверено 13 декабря 2022 г.
5. Джинджерич, Оуэн (2011). «Великая марсианская катастрофа и как ее исправил Кеплер» (PDF) . Физика сегодня . 64 (9): 50–54. Бибкод : 2011PhT....64i..50G. дои :10.1063/PT.3.1259 . Проверено 27 июля 2023 г.
6. Вольтер, Элементы философии Ньютона [Элементы философии Ньютона] (Лондон, Англия: 1738). См., например:
   • Из стр. 162: «Par une des grandes loix de Kepler, toute Planete décrit des aires égales en temp égaux: par une autre loi non-moins sûre, chaque Planete fait sa revolution autour du Soleil en Telle sort, que si, sa moyenne distance au Soleil есть 10. prenez le Cub de ce nombre, ce qui sera 1000., и le tems de la revolution de cette Planete autour du Soleil sera пропорционально à la racine quarrée de ce nombre 1000». (По одному из великих законов Кеплера каждая планета описывает равные площади за равное время; по другому закону, не менее достоверному, каждая планета совершает свой оборот вокруг Солнца таким образом, что если ее среднее расстояние от Солнца равно 10, то куб этого числа, которое будет 1000, и время обращения этой планеты вокруг Солнца будет пропорционально квадратному корню из этого числа 1000.)
   • Из стр. 205: «Il est donc prouvé par la loi de Kepler & par celle de Neuton, que chaque Planete gravite vers le Soleil,...» (Таким образом, законом Кеплера и законом Ньютона доказано, что каждая планета вращается вокруг Солнца...)
7. Уилсон, Кертис (май 1994 г.). «Так называемые законы Кеплера» (PDF) . HAD News (31): 1–2 . Проверено 27 декабря 2016 г.
8. Де ла Ланде, Астрономия , том. 1 (Париж, Франция: Desaint & Saillant, 1764). См., например:
   • Со страницы 390: «... mais suivant la Famouse Loi de Kepler, qui sera Expliquée dans le Livre suivant (892), le rapport des temps periodiques est toujours plus grand que celui des Distances, une Planete cinq fois plus éloignée du Soleil, emploie à faire sa révolution douze fois plus de temps ou environ;..." (...но согласно знаменитому закону Кеплера, который будет объяснен в следующей книге [т. е. главе] (параграф 892), соотношение периодов всегда больше, чем расстояний [так что, например] планете, находящейся в пять раз дальше от Солнца, требуется примерно в двенадцать раз больше времени, чтобы совершить свой оборот [вокруг Солнца]...)
   • Со страницы 429: «Les Quarrés des Temps periodiques sont comme les Cubes des Distances. 892. La plus Famoususe loi du mouvement des Planetes decouverte par Kepler, est celle du report qu'il ya entre les grandeurs de leurs Orbites, & le temps qu' 'elles emploient à les parcourir;...» (Квадраты периодов подобны кубам расстояний. 892. Самый известный закон движения планет, открытый Кеплером, — это закон соотношения между размерами их планет. орбиты и время, необходимое [планетам] для их прохождения; ...)
   • Со страницы 430: «Les Aires sontпропорционеллы au Temps. 895. Cette loi générale du mouvement des Planetes Devenue si важный в астрономии, sçavior, que les aires sontпропорционеллы au temps, est encore une des découvertes de Kepler; ... ( Площади пропорциональны времени. 895. Этот общий закон движения планет, [который стал] столь важным в астрономии, а именно, что площади пропорциональны времени, есть одно из открытий Кеплера;...)
   • Со страницы 435: «On a appellé cette loi des airesпропорционеллы aux temps, Loi de Kepler, aussi bien que celle de l'article 892, du nome de ce célebre Inventeur; ...» (Один назвал этот закон площадей, пропорциональных раз (закон Кеплера), а также параграф 892, по имени этого знаменитого изобретателя; ...)
9. Роберт Смолл, Отчет об астрономических открытиях Кеплера (Лондон, Англия: Дж. Моуман, 1804), стр. 298–299.
10. Роберт Смолл, Отчет об астрономических открытиях Кеплера (Лондон, Англия: Дж. Моуман, 1804 г.).
11. Брюс Стивенсон (1994). Физическая астрономия Кеплера. Издательство Принстонского университета. п. 170. ИСБН 978-0-691-03652-6.
12. Astronomia nova Aitiologitis, seu Physica Coelestis tradita Commentariis de Motibus stellae Martis ex Observeibus GV Tychnonis. Прага, 1609 г.; англ. тр. WH Донахью, Кембридж, 1992.
13. В своей книге «Новая астрономия» Кеплер представил лишь доказательство того, что орбита Марса эллиптическая. Доказательства эллиптической формы орбит других известных планет были представлены только в 1621 г.
    См.: Иоганн Кеплер, Astronomia nova ... (1609), с. 285. Отвергнув круговую и овальную орбиты, Кеплер пришел к выводу, что орбита Марса должна быть эллиптической. В начале страницы 285: «Ergo ellipsis est Planetæ iter; ...» (Таким образом, эллипс — это путь планеты [т. е. Марса]; ...) Далее на той же странице: «... ut sequenti capite patescet: ubi simul etiam demostrabitur, nullam Planetæ relinqui figuram Orbitæ, præterquam perfecte ellipticam;...» (...как будет показано в следующей главе: где также будет доказано, что любая фигура орбиты планеты должна следует отказаться, за исключением идеального эллипса; ...) И затем: «Caput LIX. Demonstratio, quod Orbita Martis, ... , fiat Perfecta ellipsis: ...» (Глава 59. Доказательство того, что орбита Марса, ... представляет собой идеальный эллипс: ...) Геометрическое доказательство того, что орбита Марса представляет собой эллипс, содержится в Протеореме XI на страницах 289–290.
    Кеплер заявил, что каждая планета движется по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце, в: Иоганн Кеплер, Epitome Astronomiae Copernicanae [Краткий обзор коперниканской астрономии] (Линц («Lentiis ad Danubium»), (Австрия): Иоганн Планк, 1622), книга 5, часть 1, III. De Figura Orbitæ (III. О фигуре [то есть форме] орбит), страницы 658–665. Из стр. 658: «Ellipsin fieri Orbitam Planetæ…» (Из эллипса состоит орбита планеты…). Из стр. 659: "...Sole (Foco altero huius ellipsis)..." (...Солнце (другой фокус этого эллипса)...).
14. Холтон, Джеральд Джеймс; Браш, Стивен Г. (2001). Физика, человеческое приключение: от Коперника до Эйнштейна и далее (3-е изд. в мягкой обложке). Пискатауэй, Нью-Джерси: Издательство Университета Рутгерса. стр. 40–41. ISBN 978-0-8135-2908-0. Проверено 27 декабря 2009 г.
15. В своей «Новой астрономии …» (1609 г.) Кеплер не представил свой второй закон в его современной форме. Он сделал это только в своем «Изложении » 1621 года. Более того, в 1609 году он представил свой второй закон в двух разных формах, которые ученые называют «законом расстояния» и «законом площади».
    • Его «закон расстояния» представлен в: «Caput XXXII. Virtutem quam Planetam moven in circulum attenuari cum discessu a Fonte». (Глава 32. Сила, перемещающая планету по кругу, ослабевает по мере удаления от источника.) См.: Иоганн Кеплер, Astronomia nova ... (1609), стр. 165–167. На странице 167 Кеплер утверждает: «..., quanto longior est αδ quam αε, tanto diutius moratur Planeta in certo aliquo arcui excentrici apud δ, quam in æquali arcu excentrici apud ε». (..., так как αδ длиннее αε, то настолько дольше планета будет оставаться на определенной дуге эксцентрика вблизи δ, чем на равной дуге эксцентрика вблизи ε.) То есть, чем дальше планета находится от Солнце (в точке α) тем медленнее движется по своей орбите, поэтому радиус от Солнца до планеты проходит равные площади за равное время. Однако, как представил Кеплер, его аргумент верен только для кругов, а не для эллипсов.
    • Его «закон площади» представлен в: «Caput LIX. Demonstratio, quod Orbita Martis,..., fiat perfecta ellipsis:...» (Глава 59. Доказательство того, что орбита Марса,..., представляет собой идеальный эллипс: ...), Протеоремы XIV и XV, стр. 291–295. На верхнем стр. 294, там написано: «Arcum ellipseos, cujus moras metitur area AKN, debere terminari в LK, ut sit AM». (Дуга эллипса, длительность которой ограничена [т. е. измерена] площадью АКМ, должна оканчиваться в ЛК, чтобы она [т. е. дуга] была АМ.) Другими словами, время, в течение которого Марс необходимого для движения по дуге АМ своей эллиптической орбиты, измеряется площадью отрезка АМН эллипса (где N – положение Солнца), которая в свою очередь пропорциональна сечению АКН круга, описывающего эллипс и это имеет к этому отношение. Следовательно, площадь, охватываемая радиусом от Солнца до Марса при движении Марса по дуге своей эллиптической орбиты, пропорциональна времени, которое требуется Марсу для движения по этой дуге. Таким образом, радиус от Солнца до Марса за одинаковое время охватывает равные площади.
    В 1621 году Кеплер подтвердил свой второй закон для любой планеты: Иоганн Кеплер, Epitome Astronomiae Copernicanae [Краткий обзор коперниканской астрономии] (Линц («Lentiis ad Danubium»), (Австрия): Иоганн Планк, 1622), книга 5, стр. 668. Со страницы 668: «Dictum quidem est in Superioribus, divisa Orbita in particulas minutissimas æquales: accrescete iis moras Planetæ per eas, inпропорционально интерваллорум среди eas & Solem». (Выше было сказано, что если орбиту планеты разделить на наименьшие равные части, то время пребывания планеты в них увеличивается пропорционально расстоянию между ними и Солнцем.) Т. е. скорость планеты вдоль его орбита обратно пропорциональна расстоянию от Солнца. (Остальная часть абзаца ясно показывает, что Кеплер имел в виду то, что сейчас называется угловой скоростью.)
16. Иоганн Кеплер, Harmonices Mundi [Гармония мира] (Линц, (Австрия): Иоганн Планк, 1619), книга 5, глава 3, стр. 189. Снизу п. 189: «Sed res est certissima strictissimaque quod proportio qua est inter binorum quorumcunque Planetarum tempora perioda, sit præcial sesquialtera propis mediarum distanceiarum,...» (Но совершенно достоверно и точно то, что пропорция между периодами периодов любых двух планет равна именно полуторная чередующаяся пропорция [т.е. соотношение 3:2] их средних расстояний...")
    Английский перевод книги Кеплера « Harmonices Mundi» доступен под названием: Йоханнес Кеплер с Э.Дж. Эйтоном, А.М. Дунканом и Дж.В. Филдом , пер. , Гармония мира (Филадельфия, Пенсильвания: Американское философское общество, 1997), особенно см. стр. 411.
17. Национальная ассоциация учителей наук о Земле (9 октября 2008 г.). «Таблица данных для планет и карликовых планет». Окна во Вселенную . Проверено 2 августа 2018 г.
18. Меркатор, Николаус (1664). Николаи Меркатор Гипотеза astronomica nova, et консенсус eius cum Observeibus [ Новая астрономическая гипотеза Николая Меркатора и ее согласие с наблюдениями ] (на латыни). Лондон, Англия: Лейборн.
19. Меркатор, Ник. (25 марта 1670 г.). «Некоторые соображения г-на Ника Меркатора относительно геометрического и прямого метода старшего Кассини для определения апогеев, эксцентриситетов и аномалий планет; ...» . Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 5 (57): 1168–1175. дои : 10.1098/rstl.1670.0018. Меркатор раскритиковал метод Кассини, обнаруживший на основе трех наблюдений линию апсид орбиты. Кассини предполагал (ошибочно), что планеты движутся равномерно по своим эллиптическим орбитам. Из стр. 1174: "Sed cum id Observationibus nequaquam congruere animadverteret, mutavit cententiam, & lineam veri motus Planetæ æqualibus temporibus æquales area Ellipticas verrere professus est:..." ( Но когда он заметил, что это совершенно не согласуется с наблюдениями, он изменил свое мышление, и он заявил, что линия [от Солнца до планеты, обозначающая] истинное движение планеты, охватывает равные площади эллипса за равные периоды времени: ... [что является формой «площади» Кеплера второй закон])
20. Уилбур Эпплбаум (2000). Энциклопедия научной революции: от Коперника до Ньютона. Рутледж. п. 603. Бибкод : 2000esrc.book.....A. ISBN 978-1-135-58255-5.
21. Рой Портер (1992). Научная революция в национальном контексте . Издательство Кембриджского университета. п. 102. ИСБН 978-0-521-39699-8.
22. Виктор Гиймен; Шломо Штернберг (2006). Вариации на тему Кеплера. Американское математическое соц. п. 5. ISBN 978-0-8218-4184-6.
23. Брайант, Джефф; Павлик, Александр. «Второй закон Кеплера», Демонстрационный проект Вольфрама . Проверено 27 декабря 2009 г.
24. Бертт, Эдвин . Метафизические основы современной физической науки . п. 52.
25. Джеральд Джеймс Холтон, Стивен Г. Браш (2001). Физика, человеческое приключение. Издательство Университета Рутгерса. п. 45. ИСБН 978-0-8135-2908-0.
26. Каспар, Макс (1993). Кеплер . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 9780486676050.
27. И. Ньютон, Principia , с. 408 в переводе И.Б. Коэна и А. Уитмена
28. И. Ньютон, Principia , с. 943 в переводе И.Б. Коэна и А. Уитмена
29. Шварц, Рене. «Меморандум № 1: Элементы кеплеровской орбиты → Декартовы векторы состояния» (PDF) . Проверено 4 мая 2018 г.
30. Мюллер, М (1995). «Уравнение времени - проблема астрономии». Acta Physica Polonica А. Проверено 23 февраля 2013 г.

Общая библиография

• Жизнь Кеплера кратко изложена на страницах 523–627, а пятая книга его великого произведения Harmonice Mundi ( « Гармонии мира ») переиздана на страницах 635–732 книги « На плечах гигантов : великие произведения физики и астрономии» (работы Кеплера). Коперник, Кеплер , Галилей , Ньютон и Эйнштейн ). Стивен Хокинг , изд. ISBN 2002 г. 0-7624-1348-4 
• Вывод третьего закона движения планет Кеплера — стандартная тема на уроках инженерной механики. См., например, страницы 161–164 книги Мериам, Дж. Л. (1971) [1966]. Динамика, 2-е изд. Нью-Йорк: Джон Уайли. ISBN 978-0-471-59601-1..
• Мюррей и Дермотт, Динамика солнечной системы, издательство Кембриджского университета, 1999, ISBN 0-521-57597-4 
• В. И. Арнольд, Математические методы классической механики , Глава 2. Springer 1989, ISBN 0-387-96890-3. 

Внешние ссылки

• Б. Сурендранат Редди; анимация законов Кеплера: апплет. Архивировано 6 октября 2013 г. на Wayback Machine.
• «Вывод законов Кеплера» (из законов Ньютона) на Physics Stack Exchange .
• Кроуэлл, Бенджамин, Свет и Материя , онлайн-книга , дающая доказательство первого закона без использования исчисления (см. раздел 15.7).
• Дэвид Макнамара и Джанфранко Видали, «Второй закон Кеплера - интерактивное руководство по Java», интерактивный Java-апплет, который помогает понять второй закон Кеплера.
• Каин, Гей (10 мая 2010 г.), актерский состав астрономов , «Эпизод 189: Иоганн Кеплер и его законы движения планет»
• Факультет физики и астрономии Университета Теннесси: Астрономия 161, «Иоганнес Кеплер: Законы движения планет»
• Equant по сравнению с Kepler: интерактивная модель [1] Архивировано 26 декабря 2008 г. в Wayback Machine ^{[ мертвая ссылка ]}
• Третий закон Кеплера: интерактивная модель [2]. Архивировано 26 декабря 2008 г. в Wayback Machine ^{[ мертвая ссылка ]}
• Симулятор Солнечной системы (Интерактивный апплет) ^{[ мертвая ссылка ]}
• «Кеплер и его законы» в книге Дэвида П. Стерна « От звездочетов к звездолетам» (10 октября 2016 г.)
• «Три закона движения планет Кеплера» на YouTube , автор Йенс Пуле (27 декабря 2023 г.) - видео, объясняющее и визуализирующее три закона движения планет Кеплера.