Вектор Лапласа–Рунге–Ленца

Вектор, используемый в астрономии

В классической механике вектор Лапласа -Рунге-Ленца (LRL) — это вектор , используемый в основном для описания формы и ориентации орбиты одного астрономического тела вокруг другого, например двойной звезды или планеты, вращающейся вокруг звезды. Для двух тел, взаимодействующих под действием ньютоновской гравитации , вектор LRL является константой движения , а это означает, что он одинаков, независимо от того, где он рассчитывается на орбите; ^{[1] [2]} эквивалентно, вектор LRL называется сохраняющимся . В более общем смысле, вектор LRL сохраняется во всех задачах, в которых два тела взаимодействуют под действием центральной силы , которая изменяется как обратный квадрат расстояния между ними; такие проблемы называются проблемами Кеплера . ^{[3] [4] [5] [6]}

Атом водорода является проблемой Кеплера, поскольку он состоит из двух заряженных частиц, взаимодействующих по закону электростатики Кулона , еще одной центральной силе, имеющей форму обратных квадратов. Вектор LRL был важен при первом квантовомеханическом выводе спектра атома водорода ^{[7] [8]} до разработки уравнения Шредингера . Однако сегодня этот подход используется редко.

В классической и квантовой механике сохраняющиеся величины обычно соответствуют симметрии системы . ^[9] Сохранение вектора LRL соответствует необычной симметрии; Задача Кеплера математически эквивалентна частице, свободно движущейся по поверхности четырехмерной (гипер)сферы ^[10] , так что вся проблема симметрична при определенных поворотах четырехмерного пространства. ^[11] Эта более высокая симметрия является результатом двух свойств задачи Кеплера: вектор скорости всегда движется по идеальному кругу , и для заданной полной энергии все такие круги скорости пересекаются друг с другом в одних и тех же двух точках. ^[12]

Вектор Лапласа-Рунге-Ленца назван в честь Пьера-Симона де Лапласа , Карла Рунге и Вильгельма Ленца . Он также известен как вектор Лапласа , ^{[13] [14],} вектор Рунге-Ленца ^[15] и вектор Ленца . ^[8] По иронии судьбы, ни один из этих ученых не обнаружил этого. ^[15] Вектор LRL был заново открыт и переформулирован несколько раз; Например, в ^[15] он эквивалентен безразмерному вектору эксцентриситета небесной механики . ^{[2] [14] [16]} Были определены различные обобщения вектора LRL, которые включают эффекты специальной теории относительности , электромагнитных полей и даже различных типов центральных сил. ^{[17] [18] [19]}

Контекст

Отдельная частица, движущаяся под действием любой консервативной центральной силы , имеет как минимум четыре константы движения: полную энергию E и три декартовых компонента вектора углового момента L относительно центра силы. ^{[20] [21]} Орбита частицы ограничена плоскостью, определяемой начальным импульсом частицы p (или, что то же самое, ее скоростью v ) и вектором r между частицей и центром силы ^{[20] [21]} (см. Рисунок 1). Эта плоскость движения перпендикулярна вектору постоянного углового момента L = r × p ; математически это может быть выражено уравнением векторного скалярного произведения r ⋅ L = 0 . Учитывая его математическое определение, приведенное ниже, вектор Лапласа-Рунге-Ленца (вектор LRL) A всегда перпендикулярен вектору постоянного углового момента L для всех центральных сил ( A ⋅ L = 0 ). Следовательно, А всегда лежит в плоскости движения. Как показано ниже, точка А указывает от центра силы к перицентру движения, точке наибольшего сближения, а ее длина пропорциональна эксцентриситету орбиты. ^[1]

Вектор LRL A ​​постоянен по длине и направлению, но только для центральной силы, обратно квадратичной. ^[1] Для других центральных сил вектор A не является постоянным, а изменяется как по длине, так и по направлению. Если центральная сила примерно подчиняется закону обратных квадратов, вектор A примерно постоянен по длине, но медленно меняет свое направление. ^[14] Обобщенный сохраняющийся вектор LRL может быть определен для всех центральных сил, но этот обобщенный вектор является сложной функцией положения и обычно не выражается в замкнутой форме . ^{[18] [19]} ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Вектор LRL отличается от других сохраняющихся величин следующим свойством. Если для типичных сохраняющихся величин в трехмерном лагранжиане системы имеется соответствующая циклическая координата , то для вектора LRL такой координаты не существует. Таким образом, сохранение вектора LRL должно быть получено напрямую, например, методом скобок Пуассона , как описано ниже. Сохраняющиеся величины такого рода называются «динамическими» в отличие от обычных «геометрических» законов сохранения, например закона сохранения момента импульса.

История повторного открытия

Вектор LRL A ​​является константой движения задачи Кеплера и полезен при описании астрономических орбит, таких как движение планет и двойных звезд. Тем не менее, оно никогда не было хорошо известно физикам, возможно, потому, что оно менее интуитивно понятно, чем импульс и угловой момент. Следовательно, за последние три столетия его независимо открывали заново несколько раз. ^[15]

Якоб Герман был первым, кто показал, что A сохраняется для частного случая центральной силы, обратного квадрату, ^[22] и выяснил ее связь с эксцентриситетом орбитального эллипса . Работа Германа была обобщена до современной формы Иоганном Бернулли в 1710 году . ^[23] В конце века Пьер-Симон де Лаплас заново открыл сохранение A , выведя его аналитически, а не геометрически. ^[24] В середине девятнадцатого века Уильям Роуэн Гамильтон вывел эквивалентный вектор эксцентриситета, определенный ниже, ^[16] используя его, чтобы показать, что вектор импульса p движется по окружности при движении под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату (рис. 3). ). ^[12]

В начале двадцатого века Джозайя Уиллард Гиббс вывел тот же вектор с помощью векторного анализа . ^[25] Вывод Гиббса был использован в качестве примера Карлом Рунге в популярном немецком учебнике по векторам, ^[26] на который ссылался Вильгельм Ленц в своей статье о (старой) квантово-механической обработке атома водорода. ^[27] В 1926 году Вольфганг Паули использовал вектор LRL для получения энергетических уровней атома водорода, используя матричную формулировку квантовой механики, ^[7] после чего он стал известен главным образом как вектор Рунге-Ленца . ^[15]

Математическое определение

Центральная сила обратного квадрата, действующая на одну частицу, описывается уравнением

$${\displaystyle \mathbf {F} (r)=-{\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ;}$$

потенциальная энергияkG ⋅ M ⋅ m− k e ⋅ Q ⋅ qk > 0k < 0 ${\displaystyle V(r)=-k/r}$

Рисунок 1: Вектор LRL A ​​(показан красным) в четырех точках (обозначенных 1, 2, 3 и 4) на эллиптической орбите связанной точечной частицы, движущейся под действием центральной силы, обратной квадрату. Центр притяжения показан в виде маленького черного круга, из которого исходят векторы положения (также черные). Вектор углового момента L перпендикулярен орбите. Компланарные векторы p × L и ( mk / r ) r показаны синим и зеленым цветом соответственно; эти переменные определены ниже. Вектор A постоянен по направлению и величине.

Вектор LRL A ​​определяется математически по формуле ^[1]

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} ,}$

где

• m — масса точечной частицы, движущейся под действием центральной силы,
• p - его вектор импульса,
• L = r × p — вектор его углового момента,
• r – вектор положения частицы (рис. 1),
• ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$– соответствующий единичный вектор , т. е. , и ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}}$
• r — величина r , расстояние массы от центра силы.

Единицами СИ вектора LRL являются джоуль-килограмм-метр (Дж⋅кг⋅м). Это следует из того, что единицами измерения p и L являются кг⋅м/с и Дж⋅с соответственно. Это согласуется с единицами измерения м (кг) и k (Н⋅м ² ).

Это определение вектора LRL A ​​относится к одной точечной частице массы m , движущейся под действием фиксированной силы. Однако то же определение можно распространить на задачи двух тел, такие как задача Кеплера, взяв m как приведенную массу двух тел, а r как вектор между двумя телами.

Поскольку предполагаемая сила консервативна, полная энергия E является константой движения:

$${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k}{r}}.}$$

Предполагаемая сила также является центральной силой. Следовательно, вектор углового момента L также сохраняется и определяет плоскость, в которой движется частица. Вектор LRL A ​​перпендикулярен вектору углового момента L, потому что и p × L , и r перпендикулярны L . Отсюда следует, что А лежит в плоскости движения.

Альтернативные формулировки для одной и той же константы движения могут быть определены , как правило, путем масштабирования вектора с помощью констант, таких как масса m , силовой параметр k или угловой момент L. ^[15] Наиболее распространенным вариантом является деление A на mk , что дает вектор эксцентриситета, ^{[2] [16]} безразмерный вектор вдоль большой полуоси, модуль которого равен эксцентриситету коники :

$${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {A} }{mk}}={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}} .}$$

^[14]a^[28]A ${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}={\frac {km}{L^{2}}}+{\frac {A}{L^{2}}}\cos \theta }$$

Ar ${\displaystyle \theta }$

Вывод кеплеровских орбит

Рисунок 2: Упрощенная версия рисунка 1, определяющая угол θ между A и r в одной точке орбиты.

Форму и ориентацию орбит можно определить по вектору LRL следующим образом. ^[1] Скалярное произведение A с вектором положения r дает уравнение

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =A\cdot r\cdot \cos \theta =\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-mkr,}$$

θrAскалярного тройного произведения

$${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=\left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\cdot \mathbf {L} =\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}}$$

Перестановка дает решение уравнения Кеплера

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}+{\frac {A}{L^{2}}}\cos \theta }$

Это соответствует формуле для конического сечения с эксцентриситетом e

$${\displaystyle {\frac {1}{r}}=C\cdot \left(1+e\cdot \cos \theta \right)}$$

C^[1] ${\displaystyle e={\frac {A}{\left|mk\right|}}\geq 0}$

Скалярное произведение A само на себя дает уравнение, включающее полную энергию E , ^[1]

$${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2},}$$

^[1]

$${\displaystyle e^{2}=1+{\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E.}$$

Таким образом, если энергия E отрицательна (связанные орбиты), эксцентриситет меньше единицы и орбита представляет собой эллипс. И наоборот, если энергия положительна (несвязанные орбиты, также называемые «рассеянными орбитами» ^[1] ), эксцентриситет больше единицы и орбита представляет собой гиперболу . ^[1] Наконец, если энергия равна нулю, эксцентриситет равен единице, а орбита представляет собой параболу . ^[1] Во всех случаях направление A лежит вдоль оси симметрии конического сечения и указывает от центра силы к перицентру, точке наибольшего сближения. ^[1]

Годографы кругового импульса

Рисунок 3: Вектор импульса p (показан синим цветом) движется по окружности, когда частица движется по эллипсу. Четыре отмеченные точки соответствуют точкам на рисунке 1. Круг расположен по оси Y в положении A / L (показано пурпурным цветом) с радиусом mk / L (показано зеленым цветом). Угол η определяет эксцентриситет e эллиптической орбиты ( cos η = e ). По теореме о вписанном угле для окружностей η также является углом между любой точкой окружности и двумя точками пересечения с осью p _x , p _x = ± p ₀ , которые зависят только от E , но не от L .

Сохранение вектора LRL A ​​и вектора углового момента L полезно для демонстрации того, что вектор импульса p движется по окружности под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату. ^{[12] [15]}

Взяв скалярное произведение

$${\displaystyle mk{\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {p} \times \mathbf {L} -\mathbf {A} }$$

$${\displaystyle (mk)^{2}=A^{2}+p^{2}L^{2}+2\mathbf {L} \cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {A} ).}$$

Дальнейший выбор L вдоль оси z и большой полуоси в качестве оси x дает уравнение пространственного положения для p :

${\displaystyle p_{x}^{2}+\left(p_{y}-{\frac {A}{L}}\right)^{2}=\left({\frac {mk}{L}}\right)^{2}.}$

Другими словами, вектор импульса p ограничен кругом радиуса mk / L = L / ℓ с центром в (0, A / L ) . ^[29] Для ограниченных орбит эксцентриситет e соответствует косинусу угла η, показанному на рисунке 3. Для неограниченных орбит мы имеем и поэтому круг не пересекает ось -. ${\displaystyle A>mk}$ ${\displaystyle p_{x}}$

В вырожденном пределе круговых орбит и, следовательно, обращающемся в нуль A , центр окружности находится в начале координат (0,0) . Для краткости полезно также ввести переменную . ${\textstyle p_{0}={\sqrt {2m|E|}}}$

Этот круговой годограф полезен для иллюстрации симметрии задачи Кеплера.

Константы движения и суперинтегрируемость

Семь скалярных величин E , A и L (являясь векторами, последние две вносят по три сохраняющихся величины каждая) связаны двумя уравнениями: A ⋅ L = 0 и A ² = m ² k ² + 2 mEL ² , что дает пять независимых констант . движения . (Поскольку величина A , а следовательно , и эксцентриситет e орбиты, может быть определена из полного углового момента L и энергии E , независимо сохраняется только направление A ; более того, поскольку A должно быть перпендикулярно L , это вносит вклад только одна дополнительная сохраняющаяся величина.)

Это согласуется с шестью начальными условиями (начальное положение частицы и векторы скорости, каждый из которых состоит из трех компонентов), которые определяют орбиту частицы, поскольку начальное время не определяется константой движения. Таким образом, полученная одномерная орбита в шестимерном фазовом пространстве полностью определена.

Механическая система с d степенями свободы может иметь не более 2 d − 1 констант движения, поскольку существует 2 d начальных условий и начальное время не может быть определено константой движения. Система с более чем d константами движения называется суперинтегрируемой , а система с 2 d −1 константами — максимально суперинтегрируемой . ^[30] Поскольку решение уравнения Гамильтона–Якоби в одной системе координат может дать только d констант движения, суперинтегрируемые системы должны быть разделимы более чем в одной системе координат. ^[31] Задача Кеплера максимально суперинтегрируема, поскольку она имеет три степени свободы ( d = 3 ) и пять независимых констант движения; его уравнение Гамильтона – Якоби разделимо как в сферических, так и в параболических координатах ^[17] , как описано ниже.

Максимально суперинтегрируемые системы следуют замкнутым одномерным орбитам в фазовом пространстве , поскольку орбита является пересечением изоповерхностей фазового пространства их констант движения. Следовательно, орбиты перпендикулярны всем градиентам всех этих независимых изоповерхностей, пяти в этой конкретной задаче, и, следовательно, определяются обобщенными векторными произведениями всех этих градиентов. В результате все суперинтегрируемые системы автоматически описываются механикой Намбу , ^[32] альтернативно и эквивалентно гамильтоновой механике .

Максимально суперинтегрируемые системы можно квантовать с помощью коммутационных соотношений , как показано ниже. ^[33] Тем не менее, эквивалентно, они также квантуются в рамках Намбу, как, например, классическая задача Кеплера, в квантовый атом водорода. ^[34]

Эволюция при возмущенных потенциалах

Рисунок 5: Постепенно прецессирующая эллиптическая орбита с эксцентриситетом e  = 0,667. Такая прецессия возникает в задаче Кеплера, если центральная сила притяжения незначительно отклоняется от закона обратных квадратов. Скорость прецессии можно рассчитать по формулам в тексте .

Вектор Лапласа–Рунге–Ленца A сохраняется только для идеальной центральной силы, имеющей форму обратного квадрата. Однако в большинстве практических задач, таких как движение планет, потенциальная энергия взаимодействия между двумя телами не является точно законом обратных квадратов, но может включать дополнительную центральную силу, так называемое возмущение , описываемое потенциальной энергией h ( r ) . В таких случаях вектор LRL медленно вращается в плоскости орбиты, что соответствует медленной апсидальной прецессии орбиты.

По предположению, возмущающий потенциал h ( r ) является консервативной центральной силой, из чего следует, что полная энергия E и вектор углового момента L сохраняются. Таким образом, движение по-прежнему лежит в плоскости, перпендикулярной L , и величина A сохраняется, как следует из уравнения A ² = m ² k ² + 2 mEL ² . Потенциал возмущения h ( r ) может быть любой функцией, но он должен быть значительно слабее, чем основная сила обратного квадрата между двумя телами.

Скорость вращения вектора LRL дает информацию о возмущающем потенциале h ( r ) . Используя каноническую теорию возмущений и координаты действие-угол , легко показать ^[1] , что A вращается со скоростью

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle &={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}h(r)\,dt\right\}\\[1em]&={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {m}{L^{2}}}\int _{0}^{2\pi }r^{2}h(r)\,d\theta \right\},\end{aligned}}}$$

TL dt = m r ² dθ⟨ h ( r )⟩усредненный

Этот подход использовался для проверки общей теории относительности Эйнштейна , которая добавляет небольшое эффективное обратно-кубическое возмущение к нормальному ньютоновскому гравитационному потенциалу ^[35]

$${\displaystyle h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right).}$$

Подставляя эту функцию в интеграл и используя уравнение

$${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)}$$

rθ^[35]

$${\displaystyle {\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}},}$$

Меркурия ^[36]пульсаров^{[37][38] [39]}

Скобки Пуассона

Немасштабируемые функции

Алгебраическая структура задачи, как объяснено в последующих разделах, такова: SO(4)/ Z ₂ ~ SO(3) × SO(3) . ^[11] Три компонента Li вектора углового момента L имеют скобки Пуассона _[ ^1]

$${\displaystyle \{L_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s},}$$

iεijsантисимметричный тензор_символ Леви-Чивитаs , чтобы избежать путаницы с параметром силы kAAL^[40]

$${\displaystyle \{A_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}A_{s}.}$$

A^[41]

$${\displaystyle \{A_{i},A_{j}\}=-2mH\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s},}$$

AL ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

Наконец, поскольку и L , и A являются константами движения, мы имеем

$${\displaystyle \{A_{i},H\}=\{L_{i},H\}=0.}$$

Скобки Пуассона будут расширены на квантовомеханические коммутационные соотношения в следующем разделе и на скобки Ли в следующем разделе.

Масштабируемые функции

Как отмечено ниже, масштабированный вектор Лапласа-Рунге-Ленца D можно определить в тех же единицах, что и угловой момент, путем деления A на . Поскольку D по-прежнему преобразуется как вектор, скобки Пуассона D с вектором момента количества движения L можно записать в аналогичном виде ^{[11] [8]} ${\textstyle p_{0}={\sqrt {2m|H|}}}$

$${\displaystyle \{D_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}D_{s}.}$$

Скобки Пуассона D с самим собой зависят от знака H , т. е. от того, является ли энергия отрицательной (создавая замкнутые эллиптические орбиты под действием центральной силы обратного квадрата) или положительной (создавая открытые гиперболические орбиты под действием центральной силы обратного квадрата). сила). Для отрицательных энергий, т. е. для связанных систем, скобки Пуассона имеют вид ^[42]

$${\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}.}$$

DLDso(4)SO(4)^[43]

Напротив, для положительной энергии скобки Пуассона имеют противоположный знак:

$${\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=-\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}.}$$

(3,1)

Различие между положительными и отрицательными энергиями возникает потому, что желаемое масштабирование - то, которое исключает гамильтониан из правой части скобочных соотношений Пуассона между компонентами масштабированного вектора LRL - включает квадратный корень из гамильтониана. Чтобы получить вещественнозначные функции, мы должны затем взять абсолютное значение гамильтониана, который различает положительные значения (где ) и отрицательные значения (где ). ${\displaystyle |H|=H}$ ${\displaystyle |H|=-H}$

Оператор Лапласа-Рунге-Ленца для атома водорода в импульсном пространстве

Масштабированный оператор Лапласа-Рунге-Ленца в импульсном пространстве был недавно найден в ^{[44] [45]} Формула для оператора проще, чем в позиционном пространстве:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {p} }=\imath ({\hat {l}}_{\mathbf {p} }+1)\mathbf {p} -{\frac {(p^{2}+1)}{2}}\imath \mathbf {\nabla } _{\mathbf {p} },}$

где "оператор степени"

${\displaystyle {\hat {l}}_{\mathbf {p} }=(\mathbf {p} \mathbf {\nabla } _{\mathbf {p} })}$

умножает однородный многочлен на его степень.

Инварианты Казимира и энергетические уровни

Инварианты Казимира для отрицательных энергий:

$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}&=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2|E|}},\\C_{2}&=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0,\end{aligned}}}$$

и имеют исчезающие скобки Пуассона со всеми компонентами D и L ,

$${\displaystyle \{C_{1},L_{i}\}=\{C_{1},D_{i}\}=\{C_{2},L_{i}\}=\{C_{2},D_{i}\}=0.}$$

C ₂

Однако другой инвариант C ₁ нетривиален и зависит только от m , k и E . При каноническом квантовании этот инвариант позволяет получать уровни энергии водородоподобных атомов , используя только квантовомеханические канонические коммутационные соотношения вместо традиционного решения уравнения Шредингера. ^{[8] [43]} Этот вывод подробно обсуждается в следующем разделе.

Квантовая механика атома водорода

Рисунок 6: Энергетические уровни атома водорода, предсказанные на основе коммутационных соотношений углового момента и векторных операторов Лапласа – Рунге – Ленца; эти уровни энергии были подтверждены экспериментально.

Скобки Пуассона служат простым руководством для квантования большинства классических систем: отношение коммутации двух квантово-механических операторов задается скобкой Пуассона соответствующих классических переменных, умноженной на iħ . ^[46]

Выполнив это квантование и вычислив собственные значения оператора Казимира C ₁ для задачи Кеплера, Вольфганг Паули смог получить энергетические уровни водородоподобных атомов (рис. 6) и, таким образом, их атомный спектр излучения. ^[7] Этот элегантный вывод был получен в 1926 году до разработки уравнения Шрёдингера . ^[47]

Тонкость квантовомеханического оператора для вектора LRL A ​​заключается в том, что операторы импульса и углового момента не коммутируют; следовательно, перекрестное произведение квантового оператора p и L должно быть определено тщательно. ^[8] Обычно операторы для декартовых компонент A _s определяются с использованием симметризованного (эрмитова) произведения:

$${\displaystyle A_{s}=-mk{\hat {r}}_{s}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{sij}(p_{i}\ell _{j}+\ell _{j}p_{i}),}$$

^{[48] ​​[49]} ${\displaystyle 1/(i\hbar )}$

Из этих операторов можно определить дополнительные лестничные операторы для L :

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{0}&=A_{3},\\J_{\pm 1}&=\mp {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(A_{1}\pm iA_{2}\right).\end{aligned}}}$$

разныеL ²

Аналогичным образом можно определить нормализованный первый инвариантный оператор Казимира, квантовый аналог вышеизложенного:

$${\displaystyle C_{1}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}}}H^{-1}-I,}$$

H ⁻¹операторуIтождественный оператор

Применение этих лестничных операторов к собственным состояниям | ℓ mn〉 полного углового момента, азимутального углового момента и операторов энергии, собственные значения первого оператора Казимира, C ₁ , как видно, квантованы, n ² − 1 . Важно отметить, что благодаря исчезновению C ₂ они не зависят от квантовых чисел ℓ и m , что приводит к вырождению энергетических уровней . ^[8]

Следовательно, уровни энергии определяются выражением

$${\displaystyle E_{n}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}},}$$

формулой РидбергаAC ₁n ²SO(3)SO(4) / Z ₂ ~ SO(3) × SO(3)^[50]

Сохранение и симметрия

Сохранение вектора LRL соответствует тонкой симметрии системы. В классической механике симметрии — это непрерывные операции, которые отображают одну орбиту на другую без изменения энергии системы; В квантовой механике симметрии — это непрерывные операции, «перемешивающие» электронные орбитали одинаковой энергии, т. е. вырожденные энергетические уровни. С такими симметриями обычно связана сохраняющаяся величина. ^[1] Например, каждая центральная сила симметрична относительно группы вращения SO(3) , что приводит к сохранению углового момента L. Классически общее вращение системы не влияет на энергию орбиты; квантово-механически вращения смешивают сферические гармоники одного и того же квантового числа ℓ без изменения энергии.

Рисунок 7: Семейство годографов кругового импульса для заданной энергии E . Все окружности проходят через одни и те же две точки на оси p _x (см. рисунок 3). Этому семейству годографов соответствует одно семейство аполлоновых окружностей и σ-изоповерхности биполярных координат . ${\textstyle \pm p_{0}=\pm {\sqrt {2m|E|}}}$

Симметрия центральной силы обратного квадрата выше и тоньше. Своеобразная симметрия задачи Кеплера приводит к сохранению как вектора углового момента L, так и вектора LRL A ​​(как определено выше) и с квантовой точки зрения гарантирует, что энергетические уровни водорода не зависят от квантовых чисел углового момента ℓ И м . Однако симметрия более тонкая, поскольку операция симметрии должна происходить в пространстве более высокой размерности ; такие симметрии часто называют «скрытыми симметриями». ^[51]

Классически, более высокая симметрия задачи Кеплера допускает непрерывные изменения орбит, которые сохраняют энергию, но не угловой момент; Другими словами, орбиты с одинаковой энергией, но с разным угловым моментом (эксцентриситетом) могут непрерывно превращаться друг в друга. Квантово-механически это соответствует смешивающим орбиталям, которые различаются квантовыми числами ℓ и m , например атомным орбиталям s ( ℓ = 0 ) и p ( ℓ = 1 ). Такое смешивание невозможно осуществить с помощью обычных трехмерных перемещений или вращений, но оно эквивалентно вращению в более высоком измерении.

Для отрицательных энергий, т. е. для связанных систем, более высокой группой симметрии является SO(4) , которая сохраняет длину четырехмерных векторов.

$${\displaystyle |\mathbf {e} |^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}.}$$

В 1935 году Владимир Фок показал, что квантовомеханическая связанная проблема Кеплера эквивалентна проблеме свободной частицы, заключенной в трехмерную единичную сферу в четырехмерном пространстве. ^{[10] В частности, Фок показал, что} волновая функция Шрёдингера в пространстве импульсов для задачи Кеплера представляет собой стереографическую проекцию сферических гармоник на сферу. Вращение сферы и перепроецирование приводит к непрерывному отображению эллиптических орбит без изменения энергии, симметрии SO (4), иногда известной как симметрия Фока ; ^[52] квантово-механически это соответствует смешиванию всех орбиталей с одинаковым энергетическим квантовым числом n . Валентин Баргманн впоследствии отметил, что скобки Пуассона для вектора углового момента L и масштабированного вектора LRL A ​​образуют алгебру Ли для SO (4) . ^{[11] [42]} Проще говоря, шесть величин A и L соответствуют шести сохраняющимся угловым моментам в четырех измерениях, связанным с шестью возможными простыми вращениями в этом пространстве (есть шесть способов выбора двух осей из четырех). Этот вывод не означает, что наша Вселенная представляет собой трехмерную сферу; это просто означает, что эта конкретная физическая задача (задача двух тел для центральных сил, обратных квадратам) математически эквивалентна свободной частице на трехмерной сфере.

Для положительных энергий – т.е. для несвязанных, «рассеянных» систем – более высокой группой симметрии является SO(3,1) , которая сохраняет длину Минковского 4 -векторов.

$${\displaystyle ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}.}$$

Случаи как с отрицательной, так и с положительной энергией были рассмотрены Фоком ^[10] и Баргманном ^[11] и получили энциклопедический обзор Бандера и Ицыксона. ^{[53] [54]}

Орбиты систем центральных сил – и в частности орбит задачи Кеплера – также симметричны при отражении . Следовательно, упомянутые выше группы SO(3) , SO(4) и SO(3,1) не являются полными группами симметрии своих орбит; полные группы — это O(3) , O(4) и O(3,1) соответственно. Тем не менее, только связные подгруппы SO(3) , SO (4) и SO ⁺ (3,1) необходимы для демонстрации сохранения углового момента и векторов LRL; симметрия отражения не имеет значения для сохранения, которое можно вывести из алгебры Ли группы.

Вращательная симметрия в четырех измерениях

Рисунок 8: Годографы импульса на рисунке 7 соответствуют стереографическим проекциям больших кругов на трехмерную единичную сферу η . Все большие круги пересекают ось η _x , перпендикулярную странице; проекция осуществляется от северного полюса ( единичный вектор w ) на плоскость η _x - η _y , как показано здесь для пурпурного годографа пунктирными черными линиями. Большой круг на широте α соответствует эксцентриситету e = sin α . Цвета больших кругов, показанных здесь, соответствуют соответствующим годографам на рисунке 7.

Связь между задачей Кеплера и четырехмерной вращательной симметрией SO(4) легко представить себе. ^{[53] [55] [56]} Обозначим четырехмерные декартовы координаты ( w , x , y , z ) , где ( x , y , z ) представляют собой декартовы координаты вектора нормального положения r . Трехмерному вектору импульса p сопоставлен четырехмерный вектор на трехмерной единичной сфере. ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\eta }}&={\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {p} \\[1em]&={\frac {mk-rp_{0}^{2}}{mk}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {rp_{0}}{mk}}\mathbf {p} ,\end{aligned}}}$$

где – единичный вектор вдоль новой оси w . Преобразование p в η можно однозначно инвертировать; например, x- компонента импульса равна ${\displaystyle \mathbf {\hat {w}} }$

$${\displaystyle p_{x}=p_{0}{\frac {\eta _{x}}{1-\eta _{w}}},}$$

_для pyp _zpp ₀ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$

Без ограничения общности мы можем исключить нормальную вращательную симметрию, выбрав декартовы координаты так, чтобы ось z была совмещена с вектором углового момента L , а годографы импульса были выровнены, как на рисунке 7, с центрами кругов на ось Y. _ Поскольку движение плоское, а p и L перпендикулярны, p _z = η _z = 0 и внимание можно ограничить трехмерным вектором . Семейство аполлоновых кругов годографов импульса (рис. 7) соответствует семейству больших кругов на трехмерной сфере, все из которых пересекают ось η _x в двух фокусах η _x = ±1 , соответствующих фокусам годографа импульса. в п _{Икс знак} равно ± п ₀ . Эти большие круги связаны простым вращением вокруг оси η _x (рис. 8). Эта вращательная симметрия преобразует все орбиты одной и той же энергии друг в друга; однако такое вращение ортогонально обычному трехмерному вращению, поскольку оно преобразует четвертое измерение η _w . Эта более высокая симметрия характерна для задачи Кеплера и соответствует сохранению вектора LRL. ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=(\eta _{w},\eta _{x},\eta _{y})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$

Элегантное решение переменных действие-угол для задачи Кеплера может быть получено путем исключения избыточных четырехмерных координат в пользу эллиптических цилиндрических координат ( χ , ψ , φ ) ^[57] ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{w}&=\operatorname {cn} \chi \operatorname {cn} \psi ,\\[1ex]\eta _{x}&=\operatorname {sn} \chi \operatorname {dn} \psi \cos \phi ,\\[1ex]\eta _{y}&=\operatorname {sn} \chi \operatorname {dn} \psi \sin \phi ,\\[1ex]\eta _{z}&=\operatorname {dn} \chi \operatorname {sn} \psi ,\end{aligned}}}$$

sncndnэллиптические функции Якоби

Обобщения на другие потенциалы и относительность

Вектор Лапласа-Рунге-Ленца также можно обобщить для определения сохраняющихся величин, применимых к другим ситуациям.

При наличии однородного электрического поля E обобщенный вектор Лапласа–Рунге–Ленца имеет вид ^{[17] [58]} ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {A} +{\frac {mq}{2}}\left[\left(\mathbf {r} \times \mathbf {E} \right)\times \mathbf {r} \right],}$$

qзаряд ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\cdot \mathbf {E} }$

При дальнейшем обобщении вектора Лапласа–Рунге–Ленца на другие потенциалы и специальную теорию относительности наиболее общую форму можно записать как ^[18]

$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left[\xi -u\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\right]L^{2}\mathbf {\hat {r}} ,}$$

где u = 1/ r и ξ = cos θ , с углом θ , определяемым формулой

$${\displaystyle \theta =L\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {m^{2}c^{2}(\gamma ^{2}-1)-L^{2}u^{2}}}},}$$

γ – фактор Лоренца . Как и раньше, мы можем получить сохраняющийся вектор бинормали B , взяв векторное произведение с сохраняющимся вектором углового момента

$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\mathbf {L} \times {\mathcal {A}}.}$$

Эти два вектора также можно объединить в сохраняющийся диадический тензор W ,

$${\displaystyle {\mathcal {W}}=\alpha {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}+\beta \,{\mathcal {B}}\otimes {\mathcal {B}}.}$$

На иллюстрации можно вычислить вектор LRL для нерелятивистского изотропного гармонического осциллятора. ^[18] Поскольку сила центральная,

$${\displaystyle \mathbf {F} (r)=-k\mathbf {r} ,}$$

Сохраняющийся диадический тензор можно записать в простой форме

$${\displaystyle {\mathcal {W}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {p} \otimes \mathbf {p} +{\frac {k}{2}}\,\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} ,}$$

pr

Соответствующий вектор Рунге–Ленца более сложен:

$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{\sqrt {mr^{2}\omega _{0}A-mr^{2}E+L^{2}}}}\left\{\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left(mr\omega _{0}A-mrE\right)\mathbf {\hat {r}} \right\},}$$

$${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$$

$${\displaystyle A=(E^{2}-\omega ^{2}L^{2})^{1/2}/\omega .}$$

Доказательства сохранения вектора Лапласа–Рунге–Ленца в задачах Кеплера.

Ниже приведены аргументы, показывающие, что вектор LRL сохраняется под действием центральных сил, подчиняющихся закону обратных квадратов.

Прямое доказательство сохранения

Центральная сила , действующая на частицу, равна ${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=f(r){\frac {\mathbf {r} }{r}}=f(r)\mathbf {\hat {r}} }$$

для некоторой функции радиуса . Поскольку угловой момент сохраняется под действием центральных сил и ${\displaystyle f(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ ${\textstyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {L} =0}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\times \mathbf {L} =f(r)\mathbf {\hat {r}} \times \left(\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=f(r){\frac {m}{r}}\left[\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right],}$$

где импульс и тройное векторное произведение упрощены с помощью формулы Лагранжа ${\textstyle \mathbf {p} =m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$

$${\displaystyle \mathbf {r} \times \left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}.}$$

Личность

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)=2\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {d}{dt}}(r^{2})=2r{\frac {dr}{dt}}}$$

дает уравнение

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=-mf(r)r^{2}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}-{\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}\right]=-mf(r)r^{2}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right).}$$

Для частного случая центральной силы, обратно квадратичной , это равно ${\textstyle f(r)={\frac {-k}{r^{2}}}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)={\frac {d}{dt}}(mk\mathbf {\hat {r}} ).}$$

Следовательно, A сохраняется для центральных сил, обратных квадратам ^[59]

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {A} ={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-{\frac {d}{dt}}\left(mk\mathbf {\hat {r}} \right)=\mathbf {0} .}$$

Более короткое доказательство получается с использованием связи углового момента с угловой скоростью , которая справедлива для частицы, движущейся в плоскости, перпендикулярной . Если учитывать центральные силы, обратные квадрату, то производная по времени равна ${\displaystyle \mathbf {L} =mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} \times \mathbf {L} }$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} \times \mathbf {L} =\left({\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} \right)\times \left(mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}\right)=mk\,{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {\hat {r}} =mk\,{\frac {d}{dt}}\mathbf {\hat {r}} ,}$$

A ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {\hat {r}} }$

Как описано в другом месте этой статьи, этот вектор LRL A ​​является частным случаем общего сохраняющегося вектора , который может быть определен для всех центральных сил. ^{[18] [19]} Однако, поскольку большинство центральных сил не создают замкнутых орбит (см. теорему Бертрана ), аналогичный вектор редко имеет простое определение и обычно является многозначной функцией угла θ между r и . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Уравнение Гамильтона–Якоби в параболических координатах

Постоянство вектора LRL также можно получить из уравнения Гамильтона–Якоби в параболических координатах ( ξ , η ) , которые определяются уравнениями

$${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=r+x,\\\eta &=r-x,\end{aligned}}}$$

r

$${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

Инверсия этих координат есть

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{2}}(\xi -\eta ),\\y&={\sqrt {\xi \eta }},\end{aligned}}}$$

Разделение уравнения Гамильтона–Якоби в этих координатах дает два эквивалентных уравнения ^{[17] [60]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi &=-\Gamma ,\\2\eta p_{\eta }^{2}-mk-mE\eta &=\Gamma ,\end{aligned}}}$$

Γp _xp _yΓ

$${\displaystyle \Gamma =p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{\frac {x}{r}}=A_{x}.}$$

Теорема Нётер

Связь между описанной выше вращательной симметрией и сохранением вектора LRL можно сделать количественной с помощью теоремы Нётер . Эта теорема, используемая для нахождения констант движения, утверждает, что любое бесконечно малое изменение обобщенных координат физической системы

$${\displaystyle \delta q_{i}=\varepsilon g_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$$

что приводит к изменению лагранжиана до первого порядка на полную производную по времени

$${\displaystyle \delta L=\varepsilon {\frac {d}{dt}}G(\mathbf {q} ,t)}$$

соответствует сохраняющейся величине Γ

$${\displaystyle \Gamma =-G+\sum _{i}g_{i}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right).}$$

В частности, сохраняющаяся компонента вектора ЛРЛ A _s соответствует изменению координат ^[61]

$${\displaystyle \delta _{s}x_{i}={\frac {\varepsilon }{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-\delta _{is}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right],}$$

где i равно 1, 2 и 3, где x _i и pi _{являются} i - ми компонентами векторов положения и импульса r и p соответственно; как обычно, δ _{представляет} собой дельту Кронекера . Результирующее изменение лагранжиана первого порядка равно

$${\displaystyle \delta L={\frac {1}{2}}\varepsilon mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).}$$

Подстановка в общую формулу для сохраняющейся величины Γ дает сохраняющуюся компоненту A _s вектора LRL:

$${\displaystyle A_{s}=\left[p^{2}x_{s}-p_{s}\ \left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right]-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right)=\left[\mathbf {p} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\right]_{s}-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).}$$

Трансформация лжи

Рисунок 9: Преобразование Ли, из которого получено сохранение вектора LRL A. При изменении масштабного параметра λ энергия и угловой момент изменяются, но эксцентриситет e , а также величина и направление A не изменяются.

Вывод теоремы Нётер о сохранении вектора LRL A ​​элегантен, но имеет один недостаток: изменение координаты δx _i включает не только положение r , но также импульс p или, что то же самое, скорость v . ^[62] Этот недостаток можно устранить, выведя вместо этого сохранение A , используя подход, впервые предложенный Софусом Ли . ^{[63] [64]} В частности, можно определить преобразование Ли ^[51] , в котором координаты r и время t масштабируются по разным степеням параметра λ (рис. 9),

$${\displaystyle t\rightarrow \lambda ^{3}t,\qquad \mathbf {r} \rightarrow \lambda ^{2}\mathbf {r} ,\qquad \mathbf {p} \rightarrow {\frac {1}{\lambda }}\mathbf {p} .}$$

Это преобразование изменяет полный угловой момент L и энергию E ,

$${\displaystyle L\rightarrow \lambda L,\qquad E\rightarrow {\frac {1}{\lambda ^{2}}}E,}$$

EL ²еА

$${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}.}$$

Направление A также сохраняется, поскольку полуоси не изменяются при глобальном масштабировании. Это преобразование также сохраняет третий закон Кеплера , а именно, что полуось a и период T образуют константу  T ² / a ³ .

Альтернативные масштабы, символы и формулировки

В отличие от векторов количества движения и момента p и L , не существует общепринятого определения вектора Лапласа – Рунге – Ленца; В научной литературе используется несколько различных коэффициентов масштабирования и символов. Наиболее распространенное определение дано выше, но другой распространенной альтернативой является деление на величину mk для получения безразмерного сохраняющегося вектора эксцентриситета.

$${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{mk}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-\mathbf {\hat {r}} ={\frac {m}{k}}\left(\mathbf {v} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\right)-\mathbf {\hat {r}} ,}$$

где v — вектор скорости. Этот масштабированный вектор e имеет то же направление, что и A , и его величина равна эксцентриситету орбиты и, таким образом, обращается в нуль для круговых орбит.

Возможны и другие масштабированные версии, например, путем деления A только на m .

$${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {v} \times \mathbf {L} -k\mathbf {\hat {r}} ,}$$

p ₀

$${\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{p_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {2m|E|}}}\left\{\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} \right\},}$$

L

В редких случаях знак вектора LRL может быть изменен на противоположный, т.е. масштабирован на -1 . Другие общие символы вектора LRL включают a , R , F , J и V. Однако выбор масштабирования и символа вектора LRL не влияет на его сохранение.

Рисунок 4: Вектор углового момента L , вектор LRL A ​​и вектор Гамильтона, бинормаль B , взаимно перпендикулярны; Точки A и B расположены вдоль большой и малой осей эллиптической орбиты задачи Кеплера соответственно.

Альтернативным сохраняющимся вектором является бинормальный вектор B , изученный Уильямом Роуэном Гамильтоном ^[16]

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {p} -\left({\frac {mk}{L^{2}r}}\right)\ \left(\mathbf {L} \times \mathbf {r} \right),}$

который сохраняется и указывает вдоль малой полуоси эллипса. (Он не определен для исчезающего эксцентриситета.)

Вектор LRL A ​​= B × L является векторным произведением B и L (рис. 4). На годографе импульса в соответствующем разделе выше легко увидеть, что B связывает начало импульсов с центром кругового годографа и обладает величиной A / L . В перигелии он указывает в направлении импульса.

Вектор B обозначается как «бинормальный», поскольку он перпендикулярен как A , так и L . Подобно самому вектору LRL, вектор бинормали можно определить с помощью различных масштабов и символов.

Два сохраняющихся вектора, A и B, можно объединить, чтобы сформировать сохраняющийся диадический тензор W , ^[18]

$${\displaystyle \mathbf {W} =\alpha \mathbf {A} \otimes \mathbf {A} +\beta \,\mathbf {B} \otimes \mathbf {B} ,}$$

αβтензорное произведениевекторным векторным произведением ${\displaystyle \otimes }$

$${\displaystyle W_{ij}=\alpha A_{i}A_{j}+\beta B_{i}B_{j}.}$$

Будучи перпендикулярными друг другу, векторы A и B можно рассматривать как главные оси сохраняющегося тензора W , т.е. его масштабированные собственные векторы . W перпендикулярна L ,

$${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {W} =\alpha \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {A} \right)\mathbf {A} +\beta \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {B} =0,}$$

ABLL ⋅ A = L ⋅ B = 0

Более конкретно, это уравнение в явных компонентах выглядит следующим образом:

$${\displaystyle \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {W} \right)_{j}=\alpha \left(\sum _{i=1}^{3}L_{i}A_{i}\right)A_{j}+\beta \left(\sum _{i=1}^{3}L_{i}B_{i}\right)B_{j}=0.}$$

Смотрите также

• Астродинамика
  • Орбита
  • Вектор эксцентриситета
  • Орбитальные элементы
• Теорема Бертрана
• Уравнение Бине
• Задача двух тел

Рекомендации

1. Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. стр. 102–105, 421–422.
2. Тафф, LG (1985). Небесная механика: Вычислительное руководство для практика . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 42–43.
3. Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. стр. 94–102.
4. Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 38. ISBN 0-387-96890-3.
5. Зоммерфельд, А. (1964). Механика . Лекции по теоретической физике. Том. 1. Перевод Мартина О. Стерна (4-е изд.). Нью-Йорк: Академическая пресса. стр. 38–45.
6. Ланчос, К. (1970). Вариационные принципы механики (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. С. 118, 129, 242, 248.
7. Паули, В. (1926). «Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik». Zeitschrift für Physik . 36 (5): 336–363. Бибкод : 1926ZPhy...36..336P. дои : 10.1007/BF01450175. S2CID  128132824.
8. Бом, А. (1993). Квантовая механика: основы и приложения (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 205–222.
9. Ханка, Дж.; Туледжаб, С.; Ханцова, М. (2004). «Симметрии и законы сохранения: следствия теоремы Нётер». Американский журнал физики . 72 (4): 428–35. Бибкод : 2004AmJPh..72..428H. дои : 10.1119/1.1591764.
10. Фок, В. (1935). «Zur Theorie des Wasserstoffatoms». Zeitschrift für Physik . 98 (3–4): 145–154. Бибкод : 1935ZPhy...98..145F. дои : 10.1007/BF01336904. S2CID  123112334.
11. Баргманн, В. (1936). «Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock». Zeitschrift für Physik . 99 (7–8): 576–582. Бибкод : 1936ZPhy...99..576B. дои : 10.1007/BF01338811. S2CID  117461194.
12. Гамильтон, WR (1847). «Годограф или новый метод выражения символическим языком ньютоновского закона притяжения». Труды Королевской ирландской академии . 3 : 344–353.
13. Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. п. 421.
14. Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 413–415. ISBN 0-387-96890-3.
15. Гольдштейн, Х. (1975). «Предыстория вектора Рунге – Ленца». Американский журнал физики . 43 (8): 737–738. Бибкод : 1975AmJPh..43..737G. дои : 10.1119/1.9745.
    Гольдштейн, Х. (1976). «Подробнее о предыстории вектора Рунге – Ленца». Американский журнал физики . 44 (11): 1123–1124. Бибкод : 1976AmJPh..44.1123G. дои : 10.1119/1.10202.
16. Гамильтон, WR (1847). «Применение кватернионов к некоторым динамическим вопросам». Труды Королевской ирландской академии . 3 : Приложение III.
17. Ландау, LD ; Лифшиц Э.М. (1976). Механика (3-е изд.). Пергамон Пресс. п. 154. ИСБН 0-08-021022-8.
18. Фрадкин, DM (1967). «Существование динамических симметрий O4 и SU3 для всех классических задач центрального потенциала». Успехи теоретической физики . 37 (5): 798–812. Бибкод : 1967PThPh..37..798F. дои : 10.1143/PTP.37.798 .
19. Йошида, Т. (1987). «Два метода обобщения вектора Лапласа – Рунге – Ленца». Европейский журнал физики . 8 (4): 258–259. Бибкод : 1987EJPh....8..258Y. дои : 10.1088/0143-0807/8/4/005. S2CID  250843588.
20. Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. стр. 1–11.
21. Саймон, КР (1971). Механика (3-е изд.). Эддисон Уэсли. стр. 103–109, 115–128.
22. Германн, Дж. (1710). «Метод исследования орбиты Пианети, не ипотека, которую центральная сила или чистая гравитация дельи Стесси Пианети соно в области взаимного обмена квадратами расстояния, че и медицинская тяга от Центра, и когда она направляется силой напряжения ". Джорнале де Леттерати д'Италия . 2 : 447–467.
    Германн, Дж. (1710). «Отрывок из письма М. Германа к М. Бернулли от Падуи 12 июля 1710 года». История Королевской академии наук . 1732 : 519–521.
23. Бернулли, Дж. (1710). «Отрывок из ответа М. Бернулли М. Герману от Базеля 7 октября 1710 г.». История Королевской академии наук . 1732 : 521–544.
24. Лаплас, PS (1799). Traité de mécanique celeste. Париж, Дюпра. Том I, Premiere Party, Livre II, стр. 165 и далее.
25. Гиббс, JW ; Уилсон Э.Б. (1901). Векторный анализ. Нью-Йорк: Скрибнерс. п. 135.
26. Рунге, К. (1919). Векторанализ . Том. И. Лейпциг: Хирцель.
27. Ленц, В. (1924). «Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung». Zeitschrift für Physik . 24 (1): 197–207. Бибкод : 1924ZPhy...24..197L. дои : 10.1007/BF01327245. S2CID  121552327.
28. Саймон, КР (1971). Механика (3-е изд.). Эддисон Уэсли. стр. 130–131.
29. Сохраняющийся бинормальный вектор Гамильтона на этой импульсной плоскости (розовый) имеет более простое геометрическое значение и может фактически заменить его, как см. Patera, RP (1981). «Вывод вектора Рунге-Ленца из импульсного пространства», Am. Дж. Физика 49 593–594. Он имеет длину A / L и обсуждается в разделе #Альтернативные масштабирования, символы и формулировки. ${\displaystyle \mathbf {B} \equiv \mathbf {L} \times \mathbf {A} /L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} \times \mathbf {L} }$
30. Эванс, Северо-Запад (1990). «Сверхинтегрируемость в классической механике». Физический обзор А. 41 (10): 5666–5676. Бибкод : 1990PhRvA..41.5666E. doi : 10.1103/PhysRevA.41.5666. ПМИД  9902953.
31. Зоммерфельд, А. (1923). Атомная структура и спектральные линии . Лондон: Метуэн. п. 118.
32. Куртрайт, Т.; Зачос К. (2003). «Классическая и квантовая механика Намбу». Физический обзор . D68 (8): 085001.arXiv : hep -th/0212267 . Бибкод : 2003PhRvD..68h5001C. doi : 10.1103/PhysRevD.68.085001. S2CID  17388447.
33. Эванс, Северо-Запад (1991). «Групповая теория системы Смородинского – Винтерница». Журнал математической физики . 32 (12): 3369–3375. Бибкод : 1991JMP....32.3369E. дои : 10.1063/1.529449.
34. Захос, К.; Куртрайт Т. (2004). «Браны, квантовые скобки Намбу и атом водорода». Чешский физический журнал . 54 (11): 1393–1398. arXiv : math-ph/0408012 . Бибкод : 2004CzJPh..54.1393Z. doi : 10.1007/s10582-004-9807-x. S2CID  14074249.
35. Эйнштейн, А. (1915). «Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie». Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften . 1915 : 831–839. Бибкод : 1915SPAW.......831E.
36. Леверье, UJJ (1859). «Письмо г-на Леверье к г-ну Фэю о теории Меркурия и о движении перихели этой планеты». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris . 49 : 379–383.
37. Уилл, CM (1979). Общая теория относительности, обзор века Эйнштейна (изд. SW Hawking и W Israel). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Глава 2.
38. Паис, А. (1982). Тонок Господь: наука и жизнь Альберта Эйнштейна . Издательство Оксфордского университета.
39. Роузвир, Северная Каролина (1982). Перигелий Меркурия от Леверье до Эйнштейна . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-858174-1.
40. Зал 2013 г. Предложение 17.25.
41. Зал 2013 г., Предложение 18.7; обратите внимание, что Холл использует другую нормализацию вектора LRL.
42. Hall 2013 Теорема 18.9.
43. Холл 2013
44. Ефимов, ИП (2022). «Модификация теории Фока в координатном пространстве. Гармонические тензоры в квантовой задаче Кулона». Успехи физики . 65 (9): 952–967. Бибкод : 2022PhyU...65..952E. дои :10.3367/УФНе.2021.04.038966. S2CID  234871720.
45. Ефимов, ИП (2023). «Оператор Рунге-Ленца в импульсном пространстве». Письма ЖЭТФ . 117 (9): 716–720. Бибкод : 2023JETPL.117..716E. дои : 10.1134/S0021364023600635 . S2CID  259225778.
46. Дирак, ПАМ (1958). Принципы квантовой механики (4-е исправленное изд.). Издательство Оксфордского университета.
47. Шредингер, Э. (1926). «Quantisierung als Eigenwertproblem». Аннален дер Физик . 384 (4): 361–376. Бибкод : 1926АнП...384..361С. дои : 10.1002/andp.19263840404 .
48. Зал 2013 г. Предложение 18.12.
49. Мерцбахер, Ойген (1998-01-07). Квантовая механика. Джон Уайли и сыновья. стр. 268–270. ISBN 978-0-471-88702-7.
50. Холл, 2013 г. Теорема 18.14.
51. Принс, GE; Элиэзер CJ (1981). «О лиевых симметриях классической задачи Кеплера». Журнал физики A: Математический и общий . 14 (3): 587–596. Бибкод : 1981JPhA...14..587P. дои : 10.1088/0305-4470/14/3/009.
52. Никитин, А.Г. (7 декабря 2012 г.). «Новые точно решаемые системы с симметрией Фока». Физический журнал A: Математический и теоретический . 45 (48): 485204. arXiv : 1205.3094 . Бибкод : 2012JPhA...45V5204N. дои : 10.1088/1751-8113/45/48/485204. S2CID  119138270.
53. Бандер, М.; Ицыксон К. (1966). «Теория групп и атом водорода (I)». Обзоры современной физики . 38 (2): 330–345. Бибкод : 1966РвМП...38..330Б. doi : 10.1103/RevModPhys.38.330.
54. Бандер, М.; Ицыксон К. (1966). «Теория групп и атом водорода (II)». Обзоры современной физики . 38 (2): 346–358. Бибкод : 1966РвМП...38..346Б. doi : 10.1103/RevModPhys.38.346.
55. Роджерс, HH (1973). «Преобразования симметрии классической задачи Кеплера». Журнал математической физики . 14 (8): 1125–1129. Бибкод : 1973JMP....14.1125R. дои : 10.1063/1.1666448.
56. Гиймен, В.; Штернберг С. (1990). Вариации на тему Кеплера . Том. 42. Публикации коллоквиума Американского математического общества. ISBN 0-8218-1042-1.
57. Лакшманан, М.; Хасэгава Х. (1984). «О канонической эквивалентности задачи Кеплера в координатном и импульсном пространствах». Журнал физики А. 17 (16): Л889–Л893. Бибкод : 1984JPhA...17L.889L. дои : 10.1088/0305-4470/17/16/006.
58. Редмонд, П.Дж. (1964). «Обобщение вектора Рунге – Ленца в присутствии электрического поля». Физический обзор . 133 (5Б): Б1352–Б1353. Бибкод : 1964PhRv..133.1352R. doi :10.1103/PhysRev.133.B1352.
59. Холл 2013 г. Предложение 2.34.
60. Дулок, Вирджиния; Макинтош HV (1966). «О вырождении проблемы Кеплера». Тихоокеанский математический журнал . 19 :39–55. дои : 10.2140/pjm.1966.19.39 .
61. Леви-Леблон, JM (1971). «Законы сохранения калибровочно-инвариантных лагранжианов в классической механике». Американский журнал физики . 39 (5): 502–506. Бибкод : 1971AmJPh..39..502L. дои : 10.1119/1.1986202.
62. Гонсалес-Гаскон, Ф. (1977). «Заметки о симметриях систем дифференциальных уравнений». Журнал математической физики . 18 (9): 1763–1767. Бибкод : 1977JMP....18.1763G. дои : 10.1063/1.523486.
63. Ли, С. (1891). Vorlesungen über Differentialgleichungen. Лейпциг: Тойбнер.
64. Инс, EL (1926). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Нью-Йорк: Дувр (переиздание 1956 г.). стр. 93–113.

дальнейшее чтение

• Баэз, Джон (2008). «Возвращение к проблеме Кеплера: вектор Лапласа – Рунге – Ленца» (PDF) . Проверено 31 мая 2021 г.
• Баэз, Джон (2003). «Тайны гравитационной задачи двух тел». Архивировано из оригинала 21 октября 2008 г. Проверено 11 декабря 2004 г.
• Баэз, Джон (2018). «Тайны гравитационной задачи двух тел» . Проверено 31 мая 2021 г.Обновленная версия предыдущего источника.
• Д'Элизео, ММ (2007). «Орбитальное уравнение первого порядка». Американский журнал физики . 75 (4): 352–355. Бибкод : 2007AmJPh..75..352D. дои : 10.1119/1.2432126.
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158.
• Лич, ПГЛ; ГП Флессас (2003). «Обобщения вектора Лапласа – Рунге – Ленца». Дж. Нелинейная математика. Физ . 10 (3): 340–423. arXiv : math-ph/0403028 . Бибкод : 2003JNMP...10..340L. дои : 10.2991/jnmp.2003.10.3.6. S2CID  73707398.