stringtranslate.com

Факторная группа

Фактор -группа или фактор-группа — это математическая группа, полученная путем агрегирования подобных элементов большей группы с использованием отношения эквивалентности , которое сохраняет часть структуры группы (остальная часть структуры «выносится за скобки»). Например, циклическая группа сложения по модулю n может быть получена из группы целых чисел при сложении путем идентификации элементов, которые отличаются на кратное и определения структуры группы, которая работает с каждым таким классом (известным как класс конгруэнтности ) как с единой сущностью. Это часть математической области, известной как теория групп .

Для отношения конгруэнтности на группе класс эквивалентности элемента тождества всегда является нормальной подгруппой исходной группы, а другие классы эквивалентности являются в точности смежными классами этой нормальной подгруппы. Результирующее частное записывается как ⁠ ⁠ , где — исходная группа, а — нормальная подгруппа. Это читается как ' ', где — сокращение от modulo . (Обозначение следует интерпретировать с осторожностью, поскольку некоторые авторы (например, Винберг [1] ) используют его для представления левых смежных классов по в для любой подгруппы , даже если эти смежные классы не образуют группу, если не является нормальным в . Другие (например, Даммит и Фут [2] ) используют это обозначение только для обозначения фактор-группы, причем появление этого обозначения подразумевает нормальность в .)

Значительная часть важности фактор-групп вытекает из их связи с гомоморфизмами . Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ любой группы G при гомоморфизме всегда изоморфен фактору . В частности , образ при гомоморфизме изоморфен , где обозначает ядро ​​⁠ .

Двойственное понятие фактор-группы — это подгруппа , это два основных способа формирования меньшей группы из большей. Любая нормальная подгруппа имеет соответствующую фактор-группу, образованную из большей группы путем устранения различия между элементами подгруппы. В теории категорий фактор - группы являются примерами фактор-объектов , которые являются двойственными к подобъектам .

Определение и иллюстрация

Если заданы группа и подгруппа , а также фиксированный элемент , можно рассмотреть соответствующий левый смежный класс : . Смежные классы — это естественный класс подмножеств группы; например, рассмотрим абелеву группу G целых чисел , с операцией, определяемой обычным сложением, и подгруппу четных целых чисел. Тогда существует ровно два смежных класса: , которые являются четными целыми числами, и , которые являются нечетными целыми числами (здесь мы используем аддитивную запись для бинарной операции вместо мультипликативной записи).

Для общей подгруппы ⁠ ⁠ желательно определить совместимую групповую операцию на множестве всех возможных смежных классов, ⁠ ⁠ . Это возможно именно тогда, когда является нормальной подгруппой, см. ниже. Подгруппа группы является нормальной тогда и только тогда, когда равенство смежных классов выполняется для всех . Нормальная подгруппа группы обозначается .

Определение

Пусть — нормальная подгруппа группы . Определим множество как множество всех левых смежных классов в . То есть, .

Так как элемент тождества ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ . Определим бинарную операцию на множестве смежных классов, ⁠ ⁠ , следующим образом. Для каждого и в , произведение и , , равно . Это работает только потому, что не зависит от выбора представителей и , каждого левого смежного класса, и . Чтобы доказать это, предположим и для некоторого . Тогда

.

Это зависит от того, что ⁠ ⁠ является нормальной подгруппой. Остается еще показать, что это условие не только достаточно, но и необходимо для определения операции на ⁠ ⁠ .

Чтобы показать, что это необходимо, рассмотрим, что для подгруппы нам дано, что операция корректно определена. То есть для всех и для .

Пусть и . Так как , то имеем .

Теперь и .

Следовательно, является нормальной подгруппой .

Можно также проверить, что эта операция над всегда ассоциативна, имеет единичный элемент , а обратный элемент всегда может быть представлен как . Таким образом, множество вместе с операцией, определенной как , образует группу, фактор-группу по .

Ввиду нормальности ⁠ ⁠ , левые и правые смежные классы in одинаковы, и поэтому их можно было бы определить как набор правых смежных классов in .

Пример: Сложение по модулю 6

Например, рассмотрим группу со сложением по модулю 6: ⁠ ⁠ . Рассмотрим подгруппу ⁠ ⁠ , которая является нормальной, поскольку является абелевой . Тогда множество (левых) смежных классов имеет размер три:

.

Определенная выше бинарная операция превращает это множество в группу, известную как фактор-группа, которая в данном случае изоморфна циклической группе порядка 3.

Мотивация названия «частное»

Факторную группу можно сравнить с делением целых чисел . При делении 12 на 3 получается результат 4, поскольку можно перегруппировать 12 объектов в 4 подгруппы по 3 объекта. Факторная группа — это та же идея, хотя в итоге получается группа для окончательного ответа вместо числа, поскольку группы имеют больше структуры, чем произвольная коллекция объектов: в факторной группа используется для формирования естественной «перегруппировки». Это смежные классы в . Поскольку мы начали с группы и нормальной подгруппы, окончательное частное содержит больше информации, чем просто количество смежных классов (что дает обычное деление), но вместо этого имеет саму структуру группы.

Примеры

Чётные и нечётные целые числа

Рассмотрим группу целых чисел (по сложению) и подгруппу, состоящую из всех четных целых чисел. Это нормальная подгруппа, поскольку является абелевой . Существует только два смежных класса: множество четных целых чисел и множество нечетных целых чисел, и поэтому фактор-группа является циклической группой с двумя элементами. Эта фактор-группа изоморфна множеству со сложением по модулю 2; неформально иногда говорят, что равно множеству со сложением по модулю 2.

Пример с подробным объяснением...

Пусть будут остатками от деления на . Тогда, когда четное, а когда нечетное.
По определению ⁠ ⁠ , ядро ​​⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , представляет собой множество всех четных целых чисел.
Пусть ⁠ ⁠ . Тогда, является подгруппой, поскольку тождество в , то есть , находится в , сумма двух четных целых чисел четна и, следовательно, если и находятся в , находится в (замыкании), а если четно, также четно и, таким образом, содержит свои обратные.
Определим как для и — фактор-группа левых смежных классов; .
Обратите внимание, что мы определили ⁠ ⁠ , если является нечетным, и если является четным.
Таким образом, является изоморфизмом из в .

Остатки от целочисленного деления

Небольшое обобщение последнего примера. Еще раз рассмотрим группу целых чисел по сложению. Пусть — любое положительное целое число. Мы рассмотрим подгруппу группы , состоящую из всех кратных . Еще раз является нормальной в , поскольку является абелевой. Смежные классы представляют собой совокупность . Целое число принадлежит смежному классу , где — остаток при делении на . Частное можно рассматривать как группу «остатков» по ​​модулю . Это циклическая группа порядка .

Комплексные целые корни из 1

Смежные классы корней четвертой степени из единицы N по корням двенадцатой степени из единицы G.

Двенадцатые корни из единицы , которые являются точками на комплексной единичной окружности , образуют мультипликативную абелеву группу ⁠ ⁠ , показанную на рисунке справа в виде цветных шаров с числом в каждой точке, дающим ее комплексный аргумент. Рассмотрим ее подгруппу , состоящую из четвертых корней из единицы, показанных в виде красных шаров. Эта нормальная подгруппа разбивает группу на три смежных класса, показанных красным, зеленым и синим цветами. Можно проверить, что смежные классы образуют группу из трех элементов (произведение красного элемента с синим элементом — синий, обратный элемент синего элемента — зеленый и т. д.). Таким образом, фактор-группа — это группа из трех цветов, которая оказывается циклической группой с тремя элементами.

Действительные числа по модулю целых чисел

Рассмотрим группу действительных чисел при сложении и подгруппу целых чисел. Каждый смежный класс в является множеством вида , где — действительное число. Поскольку и являются идентичными множествами, когда нецелые части и равны , можно наложить ограничение без изменения смысла. Сложение таких смежных классов выполняется путем сложения соответствующих действительных чисел и вычитания 1, если результат больше или равен 1. Фактор-группа изоморфна группе окружности , группе комплексных чисел с абсолютным значением 1 при умножении или, соответственно, группе вращений в 2D вокруг начала координат, то есть специальной ортогональной группе . Изоморфизм задается формулой (см. тождество Эйлера ).

Матрицы действительных чисел

Если — группа обратимых действительных матриц , а — подгруппа действительных матриц с определителем 1, то является нормальной в (поскольку является ядром гомоморфизма определителя ) . Смежные классы по являются множествами матриц с заданным определителем, и, следовательно, изоморфны мультипликативной группе ненулевых действительных чисел. Группа известна как специальная линейная группа .

Целочисленная модульная арифметика

Рассмотрим абелеву группу (то есть множество со сложением по модулю 4) и ее подгруппу . Фактор-группа — это . Это группа с единичным элементом , и групповыми операциями, такими как . Как подгруппа , так и фактор-группа изоморфны .

Целочисленное умножение

Рассмотрим мультипликативную группу ⁠ ⁠ . Множество вычетов th является мультипликативной подгруппой, изоморфной . Тогда является нормальной в и фактор-группа имеет смежные классы . Криптосистема Пайе основана на гипотезе , что трудно определить смежный класс случайного элемента из , не зная факторизации .

Характеристики

Факторгруппа изоморфна тривиальной группе ( группе с одним элементом) и изоморфна .

Порядок ⁠ , по определению количество элементов, равен , индексу в . Если конечно, индекс также равен порядку , делённому на порядок . Множество может быть конечным, хотя оба и бесконечны ( например, ).

Существует «естественный» сюръективный групповой гомоморфизм ⁠ ⁠ , отправляющий каждый элемент в смежный класс , которому принадлежит, то есть: . Отображение иногда называют канонической проекцией на . Его ядром является .

Существует биективное соответствие между подгруппами , содержащими , и подгруппами ; если — подгруппа , содержащая , то соответствующая подгруппа — . Это соответствие справедливо для нормальных подгрупп и также и формализуется в решеточной теореме .

Несколько важных свойств факторгрупп зафиксированы в основной теореме о гомоморфизмах и теоремах об изоморфизме .

Если является абелевым , нильпотентным , разрешимым , циклическим или конечно порожденным , то также является .

Если — подгруппа в конечной группе , и порядок составляет половину порядка , то гарантированно является нормальной подгруппой, поэтому существует и изоморфна . Этот результат можно также сформулировать как «любая подгруппа индекса 2 является нормальной», и в этой форме он применим также к бесконечным группам. Более того, если — наименьшее простое число, делящее порядок конечной группы, , то если имеет порядок , должна быть нормальной подгруппой . [3]

Дано и нормальная подгруппа , тогда является расширением группы на . Можно спросить, является ли это расширение тривиальным или расщепляемым; другими словами, можно спросить, является ли прямым произведением или полупрямым произведением и ⁠ . Это частный случай проблемы расширения . Пример, когда расширение не расщепляется, следующий: Пусть , и , который изоморфен . Тогда также изоморфен . Но имеет только тривиальный автоморфизм , поэтому единственным полупрямым произведением и является прямое произведение. Поскольку отличается от , мы заключаем, что не является полупрямым произведением и .

Факторы групп Ли

Если — группа Ли и — нормальная и замкнутая (в топологическом, а не алгебраическом смысле слова) подгруппа Ли , фактор также является группой Ли. В этом случае исходная группа имеет структуру расслоения волокон (в частности, главного ⁠ ⁠ -расслоения ) с базовым пространством и волокном . Размерность равна . [4]

Обратите внимание, что условие замкнутости является необходимым. Действительно, если не замкнуто, то фактор-пространство не является T1-пространством (поскольку в факторе есть смежный класс, который не может быть отделен от единицы открытым множеством), и, таким образом, не является хаусдорфовым пространством .

Для ненормальной подгруппы Ли ⁠ ⁠ пространство левых смежных классов не является группой, а просто дифференцируемым многообразием , на котором действует. Результат известен как однородное пространство .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Винберг, Э. Б. (2003). Курс алгебры . Аспирантура по математике. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 157. ISBN 978-0-8218-3318-6.
  2. ^ Даммит и Фут (2003, стр. 95)
  3. ^ Даммит и Фут (2003, стр. 120)
  4. ^ Джон М. Ли, Введение в гладкие многообразия, второе издание, теорема 21.17

Ссылки