Ранг группы

В математическом предмете теории групп ранг группы G , обозначаемый как rank( G ), может относиться к наименьшей мощности порождающего множества для G , то есть

${\displaystyle \operatorname {rank} (G)=\min\{|X|:X\subseteq G,\langle X\rangle =G\}.}$

Если G — конечно порождённая группа , то ранг G — неотрицательное целое число. Понятие ранга группы — это теоретико-групповой аналог понятия размерности векторного пространства . Действительно, для p -групп ранг группы P — это размерность векторного пространства P /Φ( P ), где Φ( P ) — подгруппа Фраттини .

Ранг группы также часто определяется таким образом, чтобы гарантировать, что подгруппы имеют ранг, меньший или равный всей группе, что автоматически имеет место для размерностей векторных пространств, но не для таких групп, как аффинные группы . Чтобы различать эти различные определения, этот ранг иногда называют рангом подгруппы . Явно, ранг подгруппы группы G — это максимальный из рангов ее подгрупп:

${\displaystyle \operatorname {sr} (G)=\max _{H\leq G}\min\{|X|:X\subseteq H,\langle X\rangle =H\}.}$

Иногда ранг подгруппы ограничивается абелевыми подгруппами.

Известные факты и примеры

• Для нетривиальной группы G ранг ( G ) = 1 тогда и только тогда, когда G — циклическая группа . Тривиальная группа T имеет ранг ( T ) = 0, поскольку минимальным порождающим множеством T является пустое множество .
• Для свободной абелевой группы имеем ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle {\rm {rank}}(\mathbb {Z} ^{n})=n.}$
• Если X — множество и G = F ( X ) — свободная группа со свободным базисом X , то rank( G ) = | X |.
• Если группа H является гомоморфным образом (или факторгруппой ) группы G, то rank( H ) ≤ rank( G ).
• Если G — конечная неабелева простая группа (например, G = An _, знакопеременная группа , для n  > 4), то rank( G ) = 2. Этот факт является следствием Классификации конечных простых групп .
• Если G — конечно порожденная группа и Φ( G ) ≤ G — подгруппа Фраттини группы G (которая всегда нормальна в G, так что фактор-группа G /Φ( G ) определена), то rank( G ) = rank( G /Φ( G )). ^[1]
• Если G — фундаментальная группа замкнутого (компактного и не имеющего границы) связного 3-многообразия M , то rank( G )≤ g ( M ) , где g ( M ) — род Хегора многообразия M. ^[2]
• Если H , K ≤ F ( X ) — конечно порожденные подгруппы свободной группы F ( X ) такие, что пересечение нетривиально, то L конечно порождена и ${\displaystyle L=H\cap K}$

ранг( L ) − 1 ≤ 2(ранг( K ) − 1)(ранг( H ) − 1).

Этот результат принадлежит Ханне Нейман . ^{[3] [4]} Гипотеза Ханны Нейман утверждает, что на самом деле всегда rank( L ) − 1 ≤ (rank( K ) − 1)(rank( H ) − 1). Гипотеза Ханны Нейман была недавно решена Игорем Минеевым ^[5] и независимо анонсирована Джоэлом Фридманом. ^[6]

• Согласно классической теореме Грушко , ранг ведет себя аддитивно по отношению к взятию свободных произведений , то есть для любых групп A и B мы имеем

ранг( А Б ) = ранг( А ) + ранг( Б ). ${\displaystyle \ast }$

• Если — группа с одним соотношением, такая, что r не является примитивным элементом в свободной группе F ( x ₁ ,..., x _n ), то есть r не принадлежит свободному базису F ( x ₁ ,..., x _n ), то rank( G ) =  n . ^{[7] [8]} ${\displaystyle G=\langle x_{1},\dots ,x_{n}|r=1\rangle }$
• Ранг группы симметрии тесно связан со сложностью объекта (молекулы, кристаллической структуры), находящегося под действием группы. Если G — кристаллографическая точечная группа , то ранг ( G ) не превышает 3. ^[9] Если G — группа обоев , то ранг ( G ) = от 2 до 4. Единственный тип группы обоев ранга 4 — это p 2 mm . ^[10] Если G — трехмерная пространственная группа , то ранг ( G ) = от 2 до 6. Единственный тип пространственной группы ранга 6 — это Pmmm . ^[11]

Проблема ранга

Существует алгоритмическая проблема, изучаемая в теории групп , известная как проблема ранга . Проблема спрашивает, существует ли для определенного класса конечно представленных групп алгоритм, который, учитывая конечное представление группы из класса, вычисляет ранг этой группы. Проблема ранга является одной из самых сложных алгоритмических проблем, изучаемых в теории групп, и о ней относительно мало известно. Известные результаты включают:

• Проблема ранга алгоритмически неразрешима для класса всех конечно представленных групп . Действительно, согласно классическому результату Адяна–Рабина , не существует алгоритма для определения, является ли конечно представленная группа тривиальной, поэтому даже вопрос о том, является ли rank( G )=0, неразрешим для конечно представленных групп. ^{[12] [13]}
• Проблема ранга разрешима для конечных групп и для конечно порождённых абелевых групп .
• Проблема ранга разрешима для конечно порождённых нильпотентных групп . Причина в том, что для такой группы G подгруппа Фраттини группы G содержит коммутант группы G и , следовательно, ранг группы G равен рангу абелианизации группы G. [ ^14]
• Проблема ранга неразрешима для гиперболических групп слов . ^[15]
• Проблема ранга разрешима для клейновых групп без кручения . ^[16]
• Проблема ранга открыта для конечно порождённых виртуально абелевых групп (содержащих абелеву подгруппу конечного индекса ), для виртуально свободных групп и для 3-многообразных групп.

Обобщения и связанные с ними понятия

Ранг конечно порождённой группы G может быть эквивалентно определён как наименьшая мощность множества X такая, что существует гомоморфизм онто F ( X ) → G , где F ( X ) — свободная группа со свободным базисом X . Существует двойственное понятие коранга конечно порождённой группы G , определяемое как наибольшая мощность X такая, что существует гомоморфизм онто G → F ( X ) . В отличие от ранга, коранг всегда алгоритмически вычислим для конечно определённых групп , ^[17] используя алгоритм Маканина и Разборова для решения систем уравнений в свободных группах. ^{[18] [19]} Понятие коранга связано с понятием числа разреза для 3-многообразий . ^[20]

Если p — простое число , то p - ранг группы G — это наибольший ранг элементарной абелевой p - подгруппы. ^[21] Секционный p - ранг — это наибольший ранг элементарной абелевой p -секции (частного подгруппы).

Смотрите также

• Ранг абелевой группы
• звание Prüfer
• Теорема Грушко
• Бесплатная группа
• Эквивалентность Нильсена

Примечания

1. DJS Robinson. Курс теории групп , 2-е изд., Graduate Texts in Mathematics 80 (Springer-Verlag, 1996). ISBN  0-387-94461-3
2. Фридхельм Вальдхаузен. Некоторые проблемы на 3-многообразиях. Алгебраическая и геометрическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Часть 2, стр. 313–322, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1978; ISBN 0-8218-1433-8 
3. Ханна Нойманн. О пересечении конечно порожденных свободных групп. Publicationes Mathematicae Debrecen , т. 4 (1956), 186–189.
4. Ханна Нойман. О пересечении конечно порожденных свободных групп. Приложение. Publicationes Mathematicae Debrecen, т. 5 (1957), стр. 128
5. Игорь Миневьев, «Субмультипликативность и гипотеза Ханны Нейман». Ann. of Math., 175 (2012), № 1, 393–414.
6. "Пучки на графах и доказательство гипотезы Ханны Нейман". Math.ubc.ca . Получено 2012-06-12 .
7. Вильгельм Магнус , Uber freeie Faktorgruppen und freeie Untergruppen Gegebener Gruppen , Monatshefte für Mathematik, vol. 47 (1939), стр. 307–313.
8. Роджер К. Линдон и Пол Э. Шупп . Комбинаторная теория групп. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2001. Серия «Классика математики», переиздание издания 1977 года. ISBN 978-3-540-41158-1 ; Предложение 5.11, с. 107 
9. Банару, AM (2018-12-01). «Минимальные генерирующие подмножества кристаллографических точечных групп». Crystallography Reports . 63 (7): 1077–1081. doi :10.1134/S1063774518070052. ISSN  1562-689X.
10. Банару, AM (2018-12-01). «Нечеткий генерирующий набор групп 2D-пространства». Crystallography Reports . 63 (7): 1071–1076. doi :10.1134/S1063774518070040. ISSN  1562-689X.
11. Лорд, EA; Банару, AM (2012-03-01). «Число образующих элементов в пространственной группе кристалла». Вестник Московского университета. Химия . 67 (2): 50–58. doi :10.3103/S0027131412020034. ISSN  1935-0260.
12. WW Boone. Проблемы принятия решений об алгебраических и логических системах в целом и рекурсивно перечислимые степени неразрешимости. 1968 Contributions to Math. Logic (Colloquium, Hannover, 1966) стр. 13–33 North-Holland, Amsterdam
13. Чарльз Ф. Миллер, III. Проблемы принятия решений для групп — обзор и размышления. Алгоритмы и классификация в комбинаторной теории групп (Беркли, Калифорния, 1989), стр. 1–59, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 23, Springer, Нью-Йорк, 1992; ISBN 0-387-97685-X 
14. Джон Леннокс и Дерек Дж. С. Робинсон. Теория бесконечных разрешимых групп. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press , Оксфорд, 2004. ISBN 0-19-850728-3 
15. G. Baumslag, CF Miller и H. Short. Неразрешимые проблемы о малых сокращениях и гиперболических группах слов. Бюллетень Лондонского математического общества, т. 26 (1994), стр. 97–101
16. Илья Капович и Ричард Вайдман. Группы клейновы и проблема ранга. Геометрия и топология , т. 9 (2005), стр. 375–402
17. Джон Р. Столлингс. Проблемы о свободных факторах групп. Геометрическая теория групп (Колумбус, Огайо, 1992), стр. 165–182, Ohio State Univ. Math. Res. Inst. Publ., 3, de Gruyter, Берлин, 1995. ISBN 3-11-014743-2 
18. А. А. Разборов. Системы уравнений в свободной группе. (на русском языке) Известия Академии наук СССР, Серия Математическая, вып. 48 (1984), вып. 4, стр. 779–832.
19. Г.С.Маканин Уравнения в свободной группе. (рус.), Известия Академии наук СССР, Серия Математическая, вып. 46 (1982), вып. 6, стр. 1199–1273.
20. Шелли Л. Харви . О числе разрезов 3-многообразия. Геометрия и топология , т. 6 (2002), стр. 409–424
21. Ашбахер, М. (2002), Теория конечных групп , Cambridge University Press, стр. 5, ISBN 978-0-521-78675-1