Модальная логика

Тип формальной логики

Модальная логика — это разновидность логики, используемая для представления утверждений о необходимости и возможности . Она играет важную роль в философии и смежных областях как инструмент для понимания таких понятий, как знание , обязательство и причинность . Например, в эпистемической модальной логике формула может использоваться для представления известного утверждения . В деонтической модальной логике та же самая формула может представлять моральное обязательство. Модальная логика рассматривает выводы, которые порождают модальные утверждения. Например, большинство эпистемических модальных логик рассматривают формулу как тавтологию , представляющую принцип, согласно которому только истинные утверждения могут считаться знанием. Однако эта формула не является тавтологией в деонтической модальной логике, поскольку то, что должно быть истинным, может быть ложным. ${\displaystyle \Box P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Box P\rightarrow P}$

Модальные логики — это формальные системы , которые включают унарные операторы, такие как и , представляющие возможность и необходимость соответственно. Например, модальная формула может быть прочитана как «возможно », в то время как может быть прочитана как «обязательно ». В стандартной реляционной семантике для модальной логики формулам присваиваются значения истинности относительно возможного мира . Значение истинности формулы в одном возможном мире может зависеть от значений истинности других формул в других доступных возможных мирах . В частности, является истинным в мире, если является истинным в некотором доступном возможном мире, в то время как является истинным в мире, если является истинным в каждом доступном возможном мире. Существует множество систем доказательств, которые являются обоснованными и полными относительно семантики, получаемой путем ограничения отношения доступности. Например, деонтическая модальная логика D является обоснованной и полной, если требуется, чтобы отношение доступности было последовательным . ${\displaystyle \Diamond }$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Diamond P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Box P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Diamond P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Box P}$ ${\displaystyle P}$

Хотя интуиция, лежащая в основе модальной логики, восходит к античности, первые модальные аксиоматические системы были разработаны CI Lewis в 1912 году. Ныне стандартная реляционная семантика появилась в середине двадцатого века из работ Arthur Prior , Jaakko Hintikka и Saul Kripke . Недавние разработки включают альтернативную топологическую семантику, такую ​​как семантика соседства , а также приложения реляционной семантики за пределами ее первоначальной философской мотивации. ^[1] Такие приложения включают теорию игр , ^[2] моральную и правовую теорию , ^[2] веб-дизайн , ^[2] теорию множеств, основанную на мультивселенной , ^[3] и социальную эпистемологию . ^[4]

Синтаксис модальных операторов

Модальная логика отличается от других видов логики тем, что она использует модальные операторы, такие как и . Первый обычно читается вслух как «обязательно» и может использоваться для представления таких понятий, как моральное или юридическое обязательство , знание , историческая неизбежность и т. д. Последний обычно читается как «возможно» и может использоваться для представления таких понятий, как разрешение , способность , совместимость с доказательствами . Хотя правильно сформированные формулы модальной логики включают немодальные формулы, такие как , она также содержит модальные, такие как , , , и так далее. ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Diamond }$ ${\displaystyle P\land Q}$ ${\displaystyle \Box (P\land Q)}$ ${\displaystyle P\land \Box Q}$ ${\displaystyle \Box (\Diamond P\land \Diamond Q)}$

Таким образом, язык базовой пропозициональной логики можно рекурсивно определить следующим образом. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

1. Если — атомарная формула, то — формула . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$
2. Если — формула , то — тоже . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \neg \phi }$
3. Если и являются формулами , то также является . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \phi \land \psi }$
4. Если — формула , то — тоже . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \Diamond \phi }$
5. Если — формула , то — тоже . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \Box \phi }$

Модальные операторы могут быть добавлены к другим видам логики путем введения правил, аналогичных #4 и #5 выше. Модальная предикатная логика является одним из широко используемых вариантов, который включает такие формулы, как . В системах модальной логики, где и являются дуальными , может быть взято как сокращение для , таким образом устраняя необходимость в отдельном синтаксическом правиле для его введения. Однако отдельные синтаксические правила необходимы в системах, где два оператора не являются взаимоопределяемыми. ${\displaystyle \forall x\Diamond P(x)}$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Diamond }$ ${\displaystyle \Box \phi }$ ${\displaystyle \neg \Diamond \neg \phi }$

Распространенные варианты обозначений включают символы, такие как и в системах модальной логики, используемых для представления знаний, и и в системах, используемых для представления убеждений. Эти обозначения особенно распространены в системах, которые используют несколько модальных операторов одновременно. Например, комбинированная эпистемически-деонтическая логика может использовать формулу, читаемую как «Я знаю, что P разрешено». Системы модальной логики могут включать бесконечно много модальных операторов, различающихся индексами, то есть , , , и так далее. ${\displaystyle [K]}$ ${\displaystyle \langle K\rangle }$ ${\displaystyle [B]}$ ${\displaystyle \langle B\rangle }$ ${\displaystyle [K]\langle D\rangle P}$ ${\displaystyle \Box _{1}}$ ${\displaystyle \Box _{2}}$ ${\displaystyle \Box _{3}}$

Семантика

Реляционная семантика

Основные понятия

Стандартная семантика для модальной логики называется реляционной семантикой . В этом подходе истинность формулы определяется относительно точки, которую часто называют возможным миром . Для формулы, содержащей модальный оператор, ее истинностное значение может зависеть от того, что истинно в других доступных мирах. Таким образом, реляционная семантика интерпретирует формулы модальной логики, используя модели, определенные следующим образом. ^[5]

• Реляционная модель представляет собой кортеж , в котором: ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle W,R,V\rangle }$

1. ${\displaystyle W}$это набор возможных миров
2. ${\displaystyle R}$является бинарным отношением на ${\displaystyle W}$
3. ${\displaystyle V}$является функцией оценки, которая присваивает истинностное значение каждой паре атомарной формулы и мира (т.е. где — множество атомарных формул) ${\displaystyle V:W\times F\to \{0,1\}}$ ${\displaystyle F}$

Множество часто называют вселенной . Бинарное отношение называется отношением доступности , и оно контролирует, какие миры могут «видеть» друг друга для определения того, что является истинным. Например, означает, что мир доступен из мира . То есть, положение дел, известное как является живой возможностью для . Наконец, функция известна как функция оценки. Она определяет, какие атомарные формулы истинны в каких мирах. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle wRu}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle V}$

Затем мы рекурсивно определяем истинность формулы в мире в модели : ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models P}$если да ${\displaystyle V(w,P)=1}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \neg P}$если да ${\displaystyle w\not \models P}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models (P\wedge Q)}$если и ${\displaystyle w\models P}$ ${\displaystyle w\models Q}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \Box P}$тогда и только тогда для каждого элемента , если тогда ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle wRu}$ ${\displaystyle u\models P}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \Diamond P}$тогда и только тогда для некоторого элемента , выполняется то и ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle wRu}$ ${\displaystyle u\models P}$

Согласно этой семантике, формула необходима относительно мира , если она выполняется в каждом мире, доступном из . Это возможно, если она выполняется в некотором мире, доступном из . Возможность, таким образом, зависит от отношения доступности , которое позволяет нам выразить относительную природу возможности. Например, мы могли бы сказать, что при наших законах физики люди не могут путешествовать быстрее скорости света, но при других обстоятельствах это могло бы быть возможно. Используя отношение доступности, мы можем перевести этот сценарий следующим образом: во всех мирах, доступных нашему собственному миру, люди не могут путешествовать быстрее скорости света, но в одном из этих доступных миров есть другой мир, доступный из тех миров, но недоступный из нашего собственного, в котором люди могут путешествовать быстрее скорости света. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle R}$

Рамы и полнота

Выбор отношения доступности сам по себе иногда может быть достаточным для гарантии истинности или ложности формулы. Например, рассмотрим модель, отношение доступности которой является рефлексивным . Поскольку отношение рефлексивно, мы будем иметь это для любого независимо от того, какая функция оценки используется. По этой причине модальные логики иногда говорят о фреймах , которые являются частью реляционной модели, исключающей функцию оценки. ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models P\rightarrow \Diamond P}$ ${\displaystyle w\in G}$

• Реляционный фрейм — это пара , где — набор возможных миров, — бинарное отношение на . ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle G,R\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$

Различные системы модальной логики определяются с помощью фреймовых условий . Фрейм называется:

• рефлексивный, если w R w , для каждого w в G
• симметрично , если w R u подразумевает u R w , для всех w и u в G
• транзитивным , если w R u и u R q вместе подразумевают w R q , для всех w , u , q в G .
• последовательным , если для каждого w из G существует некоторый u из G, такой что w R u .
• Евклидово , если для каждого u , t , и w , w R u и w R t влекут u R t (по симметрии это также влечет t R u , а также t R t и u R u )

Логика, вытекающая из этих рамочных условий, такова:

• К  := без условий
• D  := серийный
• Т  := рефлексивный
• B  := рефлексивный и симметричный
• S4  := возвратный и транзитивный
• S5  := рефлексивный и евклидов

Евклидово свойство вместе с рефлексивностью влечет симметрию и транзитивность. (Евклидово свойство может быть получено также из симметрии и транзитивности.) Следовательно, если отношение доступности R рефлексивно и евклидово, то R также доказуемо симметрично и транзитивно . Следовательно, для моделей S5 R является отношением эквивалентности , поскольку R рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Мы можем доказать, что эти фреймы производят тот же набор допустимых предложений, что и фреймы, где все миры могут видеть все другие миры W ( т. е. , где R — это «полное» отношение). Это дает соответствующий модальный граф , который является полностью полным ( т. е. , больше никаких ребер (отношений) не может быть добавлено). Например, в любой модальной логике, основанной на условиях фрейма:

${\displaystyle w\models \Diamond P}$тогда и только тогда, когда для некоторого элемента u из G выполняется, что и w R u . ${\displaystyle u\models P}$

Если мы рассмотрим фреймы на основе общего отношения, то мы можем просто сказать, что

${\displaystyle w\models \Diamond P}$тогда и только тогда, когда для некоторого элемента u из G выполняется следующее . ${\displaystyle u\models P}$

Мы можем убрать пункт о доступности из последнего условия, поскольку в таких полных фреймах тривиально верно для всех w и u , что w R u . Но это не обязательно должно быть так во всех фреймах S5, которые по-прежнему могут состоять из нескольких частей, которые полностью связаны между собой, но все еще отсоединены друг от друга.

Все эти логические системы также могут быть определены аксиоматически, как показано в следующем разделе. Например, в S5 аксиомы , и (соответствующие симметрии , транзитивности и рефлексивности , соответственно) выполняются, тогда как по крайней мере одна из этих аксиом не выполняется в каждой из других, более слабых логик. ${\displaystyle P\implies \Box \Diamond P}$ ${\displaystyle \Box P\implies \Box \Box P}$ ${\displaystyle \Box P\implies P}$

Топологическая семантика

Модальная логика также интерпретировалась с использованием топологических структур. Например, Внутренняя семантика интерпретирует формулы модальной логики следующим образом.

Топологическая модель — это кортеж , где — топологическое пространство , а — функция оценки, которая отображает каждую атомарную формулу в некоторое подмножество . Базовая внутренняя семантика интерпретирует формулы модальной логики следующим образом: ${\displaystyle \mathrm {X} =\langle X,\tau ,V\rangle }$ ${\displaystyle \langle X,\tau \rangle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models P}$если да ${\displaystyle x\in V(P)}$
• ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \neg \phi }$если да ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\not \models \phi }$
• ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \phi \land \chi }$если и ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \phi }$ ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \chi }$
• ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \Box \phi }$если для некоторых у нас есть и то, и другое, и то, что для всех ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle \mathrm {X} ,y\models \phi }$ ${\displaystyle y\in U}$

Топологические подходы включают в себя реляционные подходы, допуская ненормальные модальные логики . Дополнительная структура, которую они предоставляют, также позволяет прозрачный способ моделирования определенных концепций, таких как доказательства или обоснования, которые имеются для чьих-либо убеждений. Топологическая семантика широко используется в недавних работах по формальной эпистемологии и имеет предшественников в более ранних работах, таких как логика контрфактуальностей Дэвида Льюиса и Ангелики Кратцер .

Аксиоматические системы

Диаграмма общей модальной логики; K4W обозначает логику доказуемости , а B в верхнем углу обозначает систему KTB Брауэра .

Первые формализации модальной логики были аксиоматическими . Многочисленные вариации с очень разными свойствами были предложены с тех пор, как CI Lewis начал работать в этой области в 1912 году. Хьюз и Крессвелл (1996), например, описывают 42 нормальных и 25 ненормальных модальных логик. Земан (1973) описывает некоторые системы, которые Хьюз и Крессвелл опускают.

Современные трактовки модальной логики начинаются с дополнения исчисления высказываний двумя унарными операциями, одна из которых обозначает «необходимость», а другая — «возможность». Нотация CI Lewis , широко используемая с тех пор, обозначает «обязательно p » префиксным «квадратом» (□ p ), область действия которого устанавливается скобками. Аналогично, префиксный «ромб» (◇ p ) обозначает «возможно p ». Подобно квантификаторам в логике первого порядка , «обязательно p » (□ p ) не предполагает, что диапазон квантификации (множество возможных доступных миров в семантике Крипке ) непустой, тогда как «возможно p » (◇ p ) часто неявно предполагает (а именно, что множество возможных доступных миров непусто). Независимо от нотации, каждый из этих операторов определяется в терминах другого в классической модальной логике: ${\displaystyle \Diamond \top }$

• □ p (обязательно p ) эквивалентно ¬◇¬ p («невозможно, чтобы не- p »)
• ◇ p (возможно p ) эквивалентно ¬□¬ p («не обязательно не- p »)

Следовательно, □ и ◇ образуют двойственную пару операторов.

Во многих модальных логиках операторы необходимости и возможности удовлетворяют следующим аналогам законов де Моргана из булевой алгебры :

«Не обязательно, что X » логически эквивалентно «Возможно , что не X ».

«Невозможно , чтобы X » логически эквивалентно «Необходимо , чтобы не X ».

Какие именно аксиомы и правила должны быть добавлены к исчислению высказываний , чтобы создать пригодную для использования систему модальной логики, является вопросом философского мнения, часто обусловленного теоремами, которые хотят доказать; или, в компьютерной науке, это вопрос того, какой вид вычислительной или дедуктивной системы хотят смоделировать. Многие модальные логики, известные под общим названием нормальных модальных логик , включают следующее правило и аксиому:

• N , Правило необходимости : Если p является теоремой / тавтологией (любой системы/модели, ссылающейся на N ), то □ p также является теоремой (т.е. ). ${\displaystyle (\models p)\implies (\models \Box p)}$
• K , Аксиома распределения : □( p → q ) → (□ p → □ q ).

Самая слабая нормальная модальная логика , названная « K » в честь Сола Крипке , является просто исчислением высказываний, дополненным □, правилом N и аксиомой K. K слаба в том, что она не может определить, может ли высказывание быть необходимым, но только условно необходимым . То есть, это не теорема K , что если □ p истинно, то □□ p истинно, т. е. что необходимые истины «необходимо необходимы». Если такие затруднения считаются надуманными и искусственными, этот недостаток K не является большим. В любом случае, разные ответы на такие вопросы приводят к разным системам модальной логики.

Добавление аксиом к K приводит к другим известным модальным системам. В K нельзя доказать , что если " p необходимо", то p истинно. Аксиома T исправляет этот дефект:

• T , Аксиома рефлексивности : □ p → p (Если p необходимо, то p имеет место.)

T выполняется в большинстве, но не во всех модальных логиках. Земан (1973) описывает несколько исключений, таких как S1 ⁰ .

Другие известные элементарные аксиомы:

• 4 : ${\displaystyle \Box p\to \Box \Box p}$
• Б : ${\displaystyle p\to \Box \Diamond p}$
• Д : ${\displaystyle \Box p\to \Diamond p}$
• 5 : ${\displaystyle \Diamond p\to \Box \Diamond p}$

Они дают системы (аксиомы выделены жирным шрифтом, системы — курсивом):

• К  := К + Н
• Т  := К + Т
• S4  := Т + 4
• С5  := Т + 5
• Д  := К + Д .

K через S5 образуют вложенную иерархию систем, составляющих ядро ​​нормальной модальной логики . Но для определенных систем могут быть подходящими определенные правила или наборы правил. Например, в деонтической логике ( Если должно быть, что p , то разрешено, что p ) кажется подходящим, но мы, вероятно, не должны включать это . Фактически, делать так — значит совершать натуралистическую ошибку (т. е. утверждать, что то, что естественно, также хорошо, говоря, что если p имеет место, то p должно быть разрешено). ${\displaystyle \Box p\to \Diamond p}$ ${\displaystyle p\to \Box \Diamond p}$

Обычно используемая система S5 просто делает все модальные истины необходимыми. Например, если p возможно, то «необходимо», чтобы p возможно. Также, если p необходимо, то необходимо, чтобы p необходимо. Были сформулированы другие системы модальной логики, отчасти потому, что S5 не описывает все виды интересующей модальности.

Теория структурного доказательства

Последовательные исчисления и системы естественной дедукции были разработаны для нескольких модальных логик, но оказалось сложным объединить общность с другими характеристиками, ожидаемыми от хороших структурных теорий доказательств , такими как чистота (теория доказательств не вводит внелогические понятия, такие как метки) и аналитичность (логические правила поддерживают чистое понятие аналитического доказательства ). Более сложные исчисления были применены к модальной логике для достижения общности. ^{[ необходима цитата ]}

Методы принятия решения

Аналитические таблицы представляют собой наиболее популярный метод принятия решений для модальной логики. ^[6]

Модальные логики в философии

Алетическая логика

Модальности необходимости и возможности называются алетическими модальностями. Их также иногда называют специальными модальностями, от латинского species . Модальная логика была впервые разработана для работы с этими понятиями, и только потом была распространена на другие. По этой причине, или, возможно, из-за их известности и простоты, необходимость и возможность часто небрежно рассматриваются как предмет модальной логики. Более того, легче понять смысл релятивизации необходимости, например, к юридической, физической, номологической , эпистемической и т. д., чем понять смысл релятивизации других понятий.

В классической модальной логике предложение называется

• возможно , если оно не обязательно ложно (независимо от того, является ли оно на самом деле истинным или ложным);
• необходимо , если оно не является возможно ложным (т.е. истинным и обязательно истинным);
• условное , если оно не обязательно ложно и не обязательно истинно (т.е. возможно, но не обязательно истинно);
• невозможно , если оно не является возможно истинным (т.е. ложным и обязательно ложным).

В классической модальной логике, следовательно, понятие возможности или необходимости может быть принято за базовое, где эти другие понятия определяются в терминах этого понятия в манере дуальности Де Моргана . Интуиционистская модальная логика рассматривает возможность и необходимость как не идеально симметричные.

Например, предположим, что, идя в магазин, мы проходим мимо дома Фридриха и замечаем, что свет выключен. На обратном пути мы замечаем, что он включен.

• «Кто-то или что-то включило свет» — это необходимо .
• «Фридрих включил свет», «Сосед Фридриха по комнате Макс включил свет» и «Вор по имени Адольф проник в дом Фридриха и включил свет» являются условными .
• Все вышеперечисленные утверждения возможны .
• Невозможно, чтобы Сократ ( который умер более двух тысяч лет назад) включил свет.

(Разумеется, эта аналогия не применяет алетическую модальность по -настоящему строго; для этого ей пришлось бы аксиоматически сделать такие утверждения, как «люди не могут воскреснуть из мертвых», «Сократ был человеком, а не бессмертным вампиром» и «мы не принимали галлюциногенные препараты, которые заставляли нас ложно верить, что свет был включен», и так до бесконечности . Абсолютная уверенность в истинности или ложности существует только в смысле логически построенных абстрактных понятий, таких как «невозможно нарисовать треугольник с четырьмя сторонами» и «все холостяки не женаты».)

Для тех, у кого возникают трудности с концепцией чего-то возможного, но не истинного, значение этих терминов может стать более понятным, если подумать о множественных «возможных мирах» (в смысле Лейбница ) или «альтернативных вселенных»; что-то «необходимое» истинно во всех возможных мирах, что-то «возможное» истинно по крайней мере в одном возможном мире. Эти «семантики возможных миров» формализуются с помощью семантики Крипке .

Физическая возможность

Что-то физически или номически возможно, если это допускается законами физики . ^{[ требуется ссылка ]} Например, считается, что современная теория допускает существование атома с атомным номером 126, ^[7] даже если таких атомов не существует. Напротив, хотя логически возможно ускориться сверх скорости света , ^[8] современная наука утверждает, что это физически невозможно для материальных частиц или информации. ^[9]

Метафизическая возможность

Философы ^{[ кто? ]} спорят, имеют ли объекты свойства, независимые от тех, которые диктуются научными законами. Например, может быть метафизически необходимо, как считали некоторые сторонники физикализма , чтобы все мыслящие существа имели тела ^[10] и могли ощущать течение времени . Сол Крипке утверждал, что у каждого человека обязательно есть родители, которые у него есть: любой человек с разными родителями не был бы тем же человеком. ^[11]

Метафизическая возможность считалась более ограничивающей, чем голая логическая возможность ^[12] (т. е. метафизически возможно меньше вещей, чем логически). Однако ее точное отношение (если таковое имеется) к логической возможности или к физической возможности является предметом спора. Философы ^{[ кто? ]} также не согласны с тем, необходимы ли метафизические истины просто «по определению», или они отражают некоторые глубинные факты о мире или что-то совершенно иное.

Эпистемическая логика

Эпистемические модальности (от греческого episteme , знание) имеют дело с определенностью предложений. Оператор □ переводится как «x уверен, что…», а оператор ◇ переводится как «Насколько известно x, может быть верно, что…» В обычной речи метафизические и эпистемические модальности часто выражаются схожими словами; могут помочь следующие контрасты:

Человек, Джонс, мог бы обоснованно сказать оба: (1) «Нет, существование Бигфута невозможно ; я в этом совершенно уверен»; и (2) «Конечно, существование Бигфута возможно ». Под (1) Джонс подразумевает, что, учитывая всю доступную информацию, не остается никаких сомнений относительно существования Бигфута. Это эпистемическое утверждение. Под (2) он делает метафизическое утверждение о возможности существования Бигфута, даже если он этого не делает : нет никаких физических или биологических причин, по которым крупные, безперые, двуногие существа с густой шерстью не могли бы существовать в лесах Северной Америки (независимо от того, существуют они там или нет). Аналогично, «человек, читающий это предложение, может быть ростом четырнадцати футов и иметь имя Чад» является метафизически верным (такой человек не будет каким-то образом отстранен от этого из-за своего роста и имени), но не является алетически верным, если только вы не соответствуете этому описанию, и не является эпистемически верным, если известно, что люди ростом четырнадцать футов никогда не существовали.

С другой стороны, Джонс мог бы сказать: (3) «Возможно , что гипотеза Гольдбаха истинна; но также возможно , что она ложна», а также (4) «если она истинна , то она обязательно истинна, а не, возможно, ложна». Здесь Джонс имеет в виду, что эпистемически возможно , что она истинна или ложна, насколько ему известно (гипотеза Гольдбаха не была доказана ни как истинная, ни как ложная), но если есть доказательство (до сих пор не найденное), то оно показало бы, что логически невозможно, чтобы гипотеза Гольдбаха была ложной — не может быть набора чисел, который ее нарушает. Логическая возможность — это форма алетической возможности; (4) утверждает, возможно ли (т. е. логически говоря), что математическая истина была ложной, но (3) утверждает только, возможно ли, насколько известно Джонсу (т. е. говоря о достоверности), что математическое утверждение конкретно либо истинно, либо ложно, и поэтому Джонс снова не противоречит себе. Стоит отметить, что Джонс не обязательно прав: возможно (эпистемически), что гипотеза Гольдбаха одновременно верна и недоказуема.

Эпистемические возможности также влияют на реальный мир таким образом, каким метафизические возможности не влияют. Метафизические возможности влияют на то, каким мог бы быть мир, но эпистемические возможности влияют на то, каким может быть мир (насколько нам известно). Предположим, например, что я хочу знать, брать ли мне зонтик перед уходом. Если вы скажете мне «возможно , что на улице идет дождь» — в смысле эпистемической возможности — то это повлияет на то, возьму ли я зонтик. Но если вы просто скажете мне, что «возможно, что на улице идет дождь» — в смысле метафизической возможности — то я не стану лучше от этого модального просветления.

Некоторые особенности эпистемической модальной логики являются предметом споров. Например, если x знает, что p , знает ли x , что он знает, что p ? То есть, должно ли □ P → □□ P быть аксиомой в этих системах? Хотя ответ на этот вопрос неясен, ^[13] есть по крайней мере одна аксиома, которая обычно включается в эпистемическую модальную логику, потому что она минимально верна для всех нормальных модальных логик (см. раздел об аксиоматических системах):

• К , Аксиома распределения : . ${\displaystyle \Box (p\to q)\to (\Box p\to \Box q)}$

Был поставлен под сомнение вопрос о том, следует ли считать эпистемическую и алетическую модальности отдельными друг от друга. Критика утверждает, что нет никакой реальной разницы между «истиной в мире» (алетической) и «истиной в сознании индивидуума» (эпистемической). ^[14] Исследование не обнаружило ни одного языка, в котором алетическая и эпистемическая модальности формально различаются, например, посредством грамматического наклонения . ^[15]

Временная логика

Временная логика — это подход к семантике выражений с временем , то есть выражений с оговорками когда. Некоторые выражения, такие как «2 + 2 = 4», истинны всегда, в то время как временные выражения, такие как «Джон счастлив», истинны только иногда.

В темпоральной логике конструкции времени рассматриваются в терминах модальностей, где стандартный метод формализации разговора о времени заключается в использовании двух пар операторов, одной для прошлого и одной для будущего (P будет просто означать «в настоящее время имеет место, что P»). Например:

F P  : Иногда будет так, что P

G P  : Всегда будет так, что P

П П  : Иногда бывало так, что П

HP  : Всегда было так, что P

Тогда есть по крайней мере три модальные логики, которые мы можем развить. Например, мы можем установить, что,

${\displaystyle \Diamond P}$= P имеет место в некоторый момент времени t

${\displaystyle \Box P}$= P имеет место в каждый момент времени t

Или мы можем обменять эти операторы, чтобы иметь дело только с будущим (или прошлым). Например,

${\displaystyle \Diamond _{1}P}$= Ф П

${\displaystyle \Box _{1}P}$= Г П

или,

${\displaystyle \Diamond _{2}P}$= П и/или Ф П

${\displaystyle \Box _{2}P}$= П и Г П

Операторы F и G могут показаться изначально чуждыми, но они создают нормальные модальные системы . F P то же самое, что ¬ G ¬ P . Мы можем объединить вышеуказанные операторы для формирования сложных утверждений. Например, P P → □ P P говорит (фактически), Все, что является прошлым и истинным, необходимо .

Кажется разумным сказать, что, возможно, завтра пойдет дождь, а возможно, и нет; с другой стороны, поскольку мы не можем изменить прошлое, если верно, что вчера шел дождь, то не может быть верным, что вчера дождя могло не быть. Кажется, что прошлое «фиксировано» или необходимо, в том смысле, в котором будущее не является таковым. Иногда это называют случайной необходимостью . Но если прошлое «фиксировано», и все, что есть в будущем, в конечном итоге окажется в прошлом, то кажется правдоподобным сказать, что будущие события также необходимы.

Аналогично, проблема будущих контингентов рассматривает семантику утверждений о будущем: является ли сейчас истинным одно из утверждений «Завтра будет морское сражение» или «Завтра не будет морского сражений»? Рассмотрение этого тезиса привело Аристотеля к отказу от принципа двузначности утверждений о будущем.

Дополнительные бинарные операторы также имеют отношение к временной логике (см. Линейная временная логика ).

Версии темпоральной логики могут использоваться в информатике для моделирования компьютерных операций и доказательства теорем о них. В одной версии ◇ P означает «в будущем времени вычисления возможно, что состояние компьютера будет таким, что P будет истинным»; □ P означает «во всех будущих моментах вычисления P будет истинным». В другой версии ◇ P означает «в непосредственно следующем состоянии вычисления P может быть истинным»; □ P означает «в непосредственно следующем состоянии вычисления P будет истинным». Они отличаются выбором отношения доступности . (P всегда означает «P является истинным в текущем состоянии компьютера».) Эти два примера включают недетерминированные или не полностью понятые вычисления; существует много других модальных логик, специализированных для различных типов анализа программ. Каждая из них естественным образом приводит к немного отличающимся аксиомам.

Деонтическая логика

Аналогично разговор о морали или об обязательствах и нормах в целом, похоже, имеет модальную структуру. Разница между «Ты должен сделать это» и «Ты можешь сделать это» очень похожа на разницу между «Это необходимо» и «Это возможно». Такая логика называется деонтической , от греческого слова «долг».

В деонтических логиках обычно отсутствует аксиома T , семантически соответствующая рефлексивности отношения доступности в семантике Крипке : в символах, . Интерпретируя □ как «обязательно, что», T неформально говорит, что всякое обязательство истинно. Например, если обязательно не убивать других (т. е. убийство морально запрещено), то T подразумевает, что люди на самом деле не убивают других. Следствие, очевидно, ложно. ${\displaystyle \Box \phi \to \phi }$

Вместо этого, используя семантику Крипке , мы говорим, что хотя наш собственный мир не реализует все обязательства, доступные ему миры реализуют их (т.е. T выполняется в этих мирах). Эти миры называются идеализированными мирами. P является обязательным по отношению к нашему собственному миру, если во всех идеализированных мирах, доступных нашему миру, P выполняется. Хотя это была одна из первых интерпретаций формальной семантики, недавно она подверглась критике. ^[16]

Еще один принцип, который часто (по крайней мере традиционно) принимается как деонтический принцип, — это D , , который соответствует серийности (или расширяемости или неограниченности) отношения доступности. Это воплощение кантовской идеи о том, что «должен подразумевать может». (Очевидно, что «может» можно интерпретировать в различных смыслах, например, в моральном или алетическом смысле.) ${\displaystyle \Box \phi \to \Diamond \phi }$

Интуитивные проблемы с деонтической логикой

Когда мы пытаемся формализовать этику с помощью стандартной модальной логики, мы сталкиваемся с некоторыми проблемами. Предположим, что у нас есть предложение K : вы украли немного денег, и другое, Q : вы украли небольшую сумму денег. Теперь предположим, что мы хотим выразить мысль, что «если вы украли немного денег, это должна быть небольшая сумма денег». Есть два вероятных кандидата,

(1) ${\displaystyle (K\to \Box Q)}$

(2) ${\displaystyle \Box (K\to Q)}$

Но (1) и K вместе влекут за собой □ Q , что говорит о том, что должно быть так, что вы украли небольшую сумму денег. Это, конечно, неправильно, потому что вы вообще ничего не должны были украсть. И (2) тоже не работает: если правильное представление «если вы украли немного денег, то это должна быть небольшая сумма» — это (2), то правильное представление (3) «если вы украли немного денег, то это должна быть большая сумма» — это . Теперь предположим (что кажется разумным), что вы не должны ничего воровать, или . Но тогда мы можем вывести через и ( контрапозитив к ); так что предложение (3) следует из нашей гипотезы (конечно, та же логика показывает предложение (2)). Но это не может быть правильным, и это неправильно, когда мы используем естественный язык. Говорить кому-то, что он не должен воровать, определенно не означает, что он должен украсть большие суммы денег, если он действительно занимается воровством. ^[17] ${\displaystyle \Box (K\to (K\land \lnot Q))}$ ${\displaystyle \Box \lnot K}$ ${\displaystyle \Box (K\to (K\land \lnot Q))}$ ${\displaystyle \Box (\lnot K)\to \Box (K\to K\land \lnot K)}$ ${\displaystyle \Box (K\land \lnot K\to (K\land \lnot Q))}$ ${\displaystyle Q\to K}$

Доксастическая логика

Доксастическая логика касается логики убеждений (некоторого набора агентов). Термин доксастический происходит от древнегреческого doxa , что означает «убеждение». Обычно доксастическая логика использует □, часто записываемый как «B», для обозначения «Считается, что» или, применительно к конкретному агенту s, «Считается, что s».

Метафизические вопросы

В наиболее распространенной интерпретации модальной логики рассматриваются « логически возможные миры». Если утверждение истинно во всех возможных мирах , то это необходимая истина. Если утверждение оказывается истинным в нашем мире, но не является истинным во всех возможных мирах, то это условная истина. Утверждение, которое истинно в некотором возможном мире (не обязательно в нашем собственном), называется возможной истиной.

В рамках этой «идиомы возможных миров», чтобы утверждать, что существование Бигфута возможно, но не реально, говорят: «Существует некий возможный мир, в котором Бигфут существует; но в реальном мире Бигфут не существует». Однако неясно, к чему нас обязывает это утверждение. Действительно ли мы утверждаем существование возможных миров, столь же реальных, как и наш реальный мир, просто не реальных? Сол Крипке считает, что «возможный мир» — это не совсем правильное название, что термин «возможный мир» — это просто полезный способ визуализации концепции возможности. ^[18] Для него предложения «вы могли бы выбросить 4 вместо 6» и «существует возможный мир, в котором вы выбросили 4, но вы выбросили 6 в реальном мире» не являются существенно разными утверждениями и ни одно из них не обязывает нас к существованию возможного мира. ^[19] Дэвид Льюис , с другой стороны, прославился тем, что стиснул зубы, утверждая, что все возможные миры столь же реальны, как и наш собственный, и что то, что отличает наш мир как актуальный , это просто то, что он действительно наш мир – этот мир. ^[20] Эта позиция является основным принципом « модального реализма ». Некоторые философы отказываются поддерживать любую версию модального реализма, считая ее онтологически экстравагантной, и предпочитают искать различные способы перефразировать эти онтологические обязательства. Роберт Адамс считает, что «возможные миры» лучше рассматривать как «мировые истории» или последовательные наборы предложений. Таким образом, возможно, что вы выбросили 4, если такое положение дел можно описать связно. ^[21]

Специалисты по информатике обычно выбирают весьма специфическую интерпретацию модальных операторов, специализированную для конкретного вида анализируемых вычислений. Вместо «всех миров» у вас могут быть «все возможные следующие состояния компьютера» или «все возможные будущие состояния компьютера».

Дальнейшие приложения

Модальные логики начали использоваться в таких областях гуманитарных наук, как литература, поэзия, искусство и история. ^{[22] [23]} В философии религии модальные логики обычно используются в аргументах в пользу существования Бога . ^[24]

История

Основные идеи модальной логики восходят к античности. Аристотель разработал модальную силлогистику в книге I своей «Предыдущей аналитики» (гл. 8–22), которую Теофраст попытался улучшить. ^[25] В работе Аристотеля также есть отрывки, такие как знаменитый аргумент о морском сражении в De Interpretatione §9, которые теперь рассматриваются как предвосхищения связи модальной логики с потенциальностью и временем. В эллинистический период логики Диодор Крон , Филон Диалектик и стоик Хрисипп каждый разработал модальную систему, которая учитывала взаимоопределяемость возможности и необходимости, принимала аксиому T (см. ниже) и объединяла элементы модальной логики и темпоральной логики в попытках решить пресловутый Главный аргумент . ^[26] Самая ранняя формальная система модальной логики была разработана Авиценной , который в конечном итоге разработал теорию « временно- модальной» силлогистики. ^[27] Модальная логика как самосознающий субъект многим обязана трудам схоластов , в частности Уильяма Оккама и Джона Дунса Скота , которые рассуждали неформально в модальной манере, в основном для анализа утверждений о сущности и акциденции .

В 19 веке Хью Макколл внес новаторский вклад в модальную логику, но не получил особого признания. ^[28] CI Lewis основал современную модальную логику в серии научных статей, начиная с 1912 года с «Импликации и алгебры логики». ^{[29] [30]} Льюис был вынужден изобрести модальную логику, и в частности строгую импликацию , на том основании, что классическая логика допускает парадоксы материальной импликации, такие как принцип, согласно которому ложь подразумевает любое предложение . ^[31] Эта работа достигла кульминации в его книге 1932 года «Символическая логика» (совместно с CH Langford ), ^[32] в которой были представлены пять систем S1 – S5 .

После Льюиса модальная логика привлекала мало внимания в течение нескольких десятилетий. Николас Решер утверждал, что это произошло потому, что Бертран Рассел отверг ее. ^[33] Однако Ян Дейноцка выступил против этой точки зрения, заявив, что модальная система, которую Дейноцка называет «MDL», описана в работах Рассела, хотя Рассел действительно считал, что концепция модальности «возникла из смешения пропозиций с пропозициональными функциями », как он писал в «Анализе материи» . ^[34]

Рут К. Баркан (позже Рут Баркан Маркус ) разработала первые аксиоматические системы квантифицированной модальной логики — расширения первого и второго порядка S2 , S4 и S5 Льюиса . ^{[35] [36] [37]} Артур Норман Прайор предупредил ее о необходимости хорошо подготовиться к дебатам относительно квантифицированной модальной логики с Уиллардом Ван Орманом Куайном из-за предубеждений против модальной логики. ^[38]

Современная эра модальной семантики началась в 1959 году, когда Сол Крипке (тогда всего лишь 18-летний студент Гарвардского университета ) представил ныне стандартную семантику Крипке для модальной логики. Обычно ее называют семантикой «возможных миров». Крипке и А. Н. Прайор ранее довольно долго переписывались. Семантика Крипке в основе своей проста, но доказательства облегчаются с помощью семантических таблиц или аналитических таблиц , как объясняет Э. У. Бет .

AN Prior создал современную темпоральную логику , тесно связанную с модальной логикой, в 1957 году, добавив модальные операторы [F] и [P], означающие «в конечном итоге» и «ранее». Vaughan Pratt представил динамическую логику в 1976 году. В 1977 году Amir Pnueli предложил использовать темпоральную логику для формализации поведения непрерывно работающих параллельных программ . Разновидности темпоральной логики включают пропозициональную динамическую логику (PDL), (пропозициональную) линейную темпоральную логику (LTL), логику дерева вычислений (CTL), логику Хеннесси–Милнера и T. [ ^{необходимо разъяснение ]}

Математическая структура модальной логики, а именно булевы алгебры , дополненные унарными операциями (часто называемые модальными алгебрами ), начала появляться с доказательством Дж. К. К. Маккинси 1941 года, что S2 и S4 разрешимы, ^[39] и достигла полного расцвета в работе Альфреда Тарского и его ученика Бьярни Йонссона (Йонссон и Тарский 1951–52). Эта работа показала, что S4 и S5 являются моделями внутренней алгебры , надлежащим расширением булевой алгебры, изначально разработанным для захвата свойств внутренних и замыкающих операторов топологии . Тексты по модальной логике обычно делают немного больше, чем упоминают ее связи с изучением булевых алгебр и топологии . Для тщательного обзора истории формальной модальной логики и связанной с ней математики см. Роберт Голдблатт (2006). ^[40]

Смотрите также

• Философский портал
• Психологический портал

• Отношение доступности
• Концептуальная необходимость
• Теория контрпартнеров
• Дэвид Келлог Льюис
• De dicto и de re
• Описание логики
• Доксастическая логика
• Динамическая логика
• Энтимема
• Свободный выбор вывода
• Гибридная логика
• Внутренняя алгебра
• Логика интерпретируемости
• Семантика Крипке
• Метафизическая необходимость
• Модальный глагол
• Мультимодальная логика
• Многозначная логика
• Семантика соседства
• Логика доказуемости
• Регулярная модальная логика
• Логика релевантности
• Строгое условное
• Двумерность

Примечания

1. Блэкберн, Патрик; де Рийке, Мартен; Венема, Иде (2001). Модальная логика. Кембриджские трактаты по теоретической информатике. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521527149.
2. van Benthem, Johan (2010). Modal Logic for Open Minds (PDF) . CSLI. S2CID  62162288. Архивировано из оригинала (PDF) 19 февраля 2020 г.
3. Хамкинс, Джоэл (2012). «Теоретико-множественная мультивселенная». Обзор символической логики . 5 (3): 416–449. arXiv : 1108.4223 . doi : 10.1017/S1755020311000359. S2CID  33807508.
4. Балтаг, Александру; Кристофф, Зои; Рендсвиг, Расмус; Сметс, Соня (2019). «Динамическая эпистемическая логика диффузии и прогнозирования в социальных сетях». Studia Logica . 107 (3): 489–531. doi : 10.1007/s11225-018-9804-x . S2CID  13968166.
5. Фитинг и Мендельсон. Модальная логика первого порядка . Kluwer Academic Publishers, 1998. Раздел 1.6
6. Гирл 2014.
7. "Пресс-релиз: Подтверждено существование сверхтяжелого элемента 114: ступенька к острову стабильности". Национальная лаборатория Лоуренса в Беркли . 24 сентября 2009 г.
8. Файнберг, Г. (1967). «Возможность частиц, движущихся быстрее света». Physical Review . 159 (5): 1089–1105. Bibcode : 1967PhRv..159.1089F. doi : 10.1103/PhysRev.159.1089.См. также более позднюю статью Файнберга: Phys. Rev. D 17, 1651 (1978)
9. Эйнштейн, Альберт (30 июня 1905 г.). «Zur Elektrodynamic bewegter Körper». Аннален дер Физик . 17 (10): 891–921. Бибкод : 1905АнП...322..891Е. дои : 10.1002/andp.19053221004 .
10. Столяр, Дэниел. «Физикализм». Стэнфордская энциклопедия философии . Получено 16 декабря 2014 г.
11. Сол Крипке Именование и необходимость Издательство Гарвардского университета, 1980, стр. 113.
12. Томсон, Джудит и Алекс Бирн (2006). Содержание и модальность: темы из философии Роберта Сталнакера. Оксфорд: Oxford University Press. стр. 107. ISBN 9780191515736. Получено 16 декабря 2014 г.
13. см. Слепое зрение и подсознательное восприятие для отрицательных эмпирических доказательств
14. Эшенрёдер, Эрин; Сара Миллс; Тао Нгуен (30 сентября 2006 г.). Уильям Фроули (ред.). Выражение модальности. Выражение когнитивных категорий. Мутон де Грюйтер. стр. 8–9. ISBN 978-3-11-018436-5. Получено 3 января 2010 г.
15. Nuyts, Jan (ноябрь 2000). Эпистемическая модальность, язык и концептуализация: когнитивно-прагматическая перспектива . Человеческая когнитивная обработка. John Benjamins Publishing Co. стр. 28. ISBN 978-90-272-2357-9.
16. См., например, Ханссон, Свен (2006). «Идеальные миры — желаемое за действительное в деонтической логике». Studia Logica . 82 (3): 329–336. doi :10.1007/s11225-006-8100-3. S2CID  40132498.
17. Логика для философии Теда Сайдера , неизвестная страница. http://tedsider.org/books/lfp.html
18. Крипке, Сол. Именование и необходимость . (1980; Harvard UP), стр. 43–5.
19. Крипке, Сол. Именование и необходимость . (1980; Harvard UP), стр. 15–6.
20. Дэвид Льюис, О множественности миров (1986; Блэквелл).
21. Адамс, Роберт М. Теории действительности. Noûs, т. 8, № 3 (сентябрь 1974 г.), в частности, стр. 225–31.
22. См. [1] и [2]
23. Эндрю Х. Миллер, «Жизнь без руководства в реалистической литературе», Representations 98, весна 2007 г., The Regents of the University of California, ISSN  0734-6018, стр. 118–134.
24. Стейси, Грегори РП (август 2023 г.). «Модальные онтологические аргументы». Philosophy Compass . Том 18, № 8. doi :10.1111/phc3.12938.
25. Бобзиен, Сюзанна. «Древняя логика». В Zalta, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
26. Бобзиен, С. (1993). «Модальная логика Хрисиппа и ее связь с Филоном и Диодором», в К. Дёринг и Т. Эберт (редакторы), Диалектики и стоики , Штутгарт, 1993, стр. 63–84.
27. История логики: Арабская логика, Encyclopaedia Britannica .
28. Лукас М. Вербургт (2020). «Спор Венна-Макколла в природе». История и философия логики . 41 (3): 244–251. doi : 10.1080/01445340.2020.1758387 . S2CID  219928989.Здесь: стр.244.
29. Льюис, CI (1912). «Импликация и алгебра логики». Mind , 21 (84):522–531.
30. Балларин, Роберта. «Современные истоки модальной логики». Стэнфордская энциклопедия философии . Получено 30 августа 2020 г.
31. Льюис, CI (1917). «Вопросы, касающиеся материального следствия». Журнал философии, психологии и научных методов , 14 :350–356.
32. Кларенс Ирвинг Льюис и Купер Гарольд Лэнгфорд (1932). Символическая логика (1-е изд.). Dover Publications.
33. Решер, Николас (1979). «Рассел и модальная логика». В Джордже У. Робертсе (ред.). Мемориальный том Бертрана Рассела . Лондон: Джордж Аллен и Анвин. стр. 146.
34. Дейноцка, Ян (1990). «Онтологические основы теории модальности Рассела» (PDF) . Erkenntnis . 32 (3): 383–418. doi :10.1007/bf00216469. S2CID  121002878 . Получено 22 октября 2012 г. .; цитата взята из книги Рассела, Бертрана (1927). Анализ материи. С. 173.
35. Рут К. Баркан (март 1946 г.). «Функциональное исчисление первого порядка, основанное на строгой импликации». Журнал символической логики . 11 (1): 1–16. doi :10.2307/2269159. JSTOR  2269159. S2CID  250349611.
36. Рут К. Баркан (декабрь 1946 г.). «Теорема дедукции в функциональном исчислении первого порядка на основе строгой импликации». Журнал символической логики . 11 (4): 115–118. doi :10.2307/2268309. JSTOR  2268309. S2CID  31880455.
37. Рут К. Баркан (март 1947 г.). «Идентичность индивидов в строгом функциональном исчислении второго порядка». Журнал символической логики . 12 (1): 12–15. doi :10.2307/2267171. JSTOR  2267171. S2CID  43450340.
38. Рут Баркан Маркус , Модальности: Философские эссе , Oxford University Press, 1993, стр.
39. McKinsey, JCC (1941). «Решение проблемы принятия решений для систем Льюиса S2 и S4 с приложением к топологии». J. Symb. Log . 6 (4): 117–134. doi :10.2307/2267105. JSTOR  2267105. S2CID  3241516.
40. Роберт Голдбалтт, Математическая модальная логика: взгляд на ее эволюцию

Ссылки

• В статье использованы материалы из Free On-line Dictionary of Computing , которые используются с разрешения GFDL .
• Баркан-Маркус, Рут JSL 11 (1946) и JSL 112 (1947) и «Модальности», OUP, 1993, 1995.
• Бет, Эверт В., 1955. «Семантическое следствие и формальная выводимость», Mededlingen van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Afdeling Letterkunde, NR Vol 18, № 13, 1955, стр. 309–42. Перепечатано в журнале Яакко Интикка (редактор) «Философия математики», Oxford University Press, 1969 (методы доказательства семантических таблиц).
• Бет, Эверт В., «Формальные методы: введение в символическую логику и изучение эффективных операций в арифметике и логике», Д. Рейдель, 1962 (методы доказательства семантических таблиц).
• Блэкберн, П.; ван Бентем, Дж .; и Уолтер, Фрэнк; Ред. (2006) Справочник по модальной логике . Северная Голландия.
• Блэкберн, Патрик; де Рийке, Мартен; и Венема, Иде (2001) Модальная логика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-80200-8 
• Чагров, Александр; и Захарьящев, Михаил (1997) Модальная логика . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853779-4 
• Chellas, BF (1980) Модальная логика: Введение . Cambridge University Press. ISBN 0-521-22476-4 
• Крессвелл, М.Дж. (2001) «Модальная логика» в Goble, Lou; Ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic . Basil Blackwell: 136–58. ISBN 0-631-20693-0 
• Фитинг, Мелвин; и Мендельсон, Р.Л. (1998) Модальная логика первого порядка . Клювер. ISBN 0-7923-5335-8 
• Джеймс Гарсон (2006) Модальная логика для философов . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-68229-0 . Подробное введение в модальную логику с охватом различных систем вывода и особым подходом к использованию диаграмм для облегчения понимания. 
• Girle, Rod (2000) Modal Logics and Philosophy . Acumen (UK). ISBN 0-7735-2139-9 . Доказательство с помощью деревьев опровержения . Хорошее введение в различные интерпретации модальной логики. 
• Girle, Rod (2014). Модальная логика и философия (2-е изд.). Taylor & Francis. ISBN 978-1-317-49217-7.
• Голдблатт, Роберт (1992) «Логика времени и вычислений», 2-е изд., CSLI Lecture Notes No. 7. Издательство Чикагского университета.
• —— (1993) Математика модальности , Конспект лекций CSLI № 43. Издательство Чикагского университета.
• —— (2006) «Математическая модальная логика: взгляд на ее эволюцию», в книге Габбея, Д.М. и Вудса, Джона; Ред., Справочник по истории логики, т. 6. Elsevier BV.
• Горе, Раджив (1999) «Методы таблиц для модальных и временных логик» в D'Agostino, M.; Gabbay, D.; Haehnle, R.; и Posegga, J.; ред., Справочник методов таблиц . Kluwer: 297–396.
• Хьюз, GE, и Крессвелл, MJ (1996) Новое введение в модальную логику . Routledge. ISBN 0-415-12599-5 
• Йонссон, Б. и Тарский, А. , 1951–52, «Булева алгебра с операторами I и II», Американский журнал математики 73 : 891–939 и 74 : 129–62.
• Крахт, Маркус (1999) Инструменты и методы в модальной логике , Исследования по логике и основаниям математики № 142. Северная Голландия.
• Леммон, Э. Дж. (совместно со Скоттом, Д. ) (1977) Введение в модальную логику , Американская философская ежеквартальная серия монографий, № 11 (Кристер Сегерберг, редактор серии). Бэзил Блэквелл.
• Льюис, CI (совместно с Лэнгфордом, CH ) (1932). Символическая логика . Переиздание Дувра, 1959.
• Прайор, А. Н. (1957) Время и модальность . Oxford University Press.
• Снайдер, Д. Пол «Модальная логика и ее приложения», Van Nostrand Reinhold Company, 1971 (методы дерева доказательств).
• Земан, Дж. Дж. (1973) Модальная логика. Рейдель. Использует польскую нотацию .
• «История логики», Britannica Online .

Дальнейшее чтение

• Рут Баркан Маркус, Модальности , Oxford University Press, 1993.
• DM Gabbay, A. Kurucz, F. Wolter и M. Zakharyaschev, Many-Dimensional Modal Logics: Theory and Applications , Elsevier, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, том 148, 2003, ISBN 0-444-50826-0 . [Охватывает многие разновидности модальных логик, например, временную, эпистемическую, динамическую, описательную, пространственную с единой точки зрения с акцентом на аспекты компьютерной науки, например, разрешимость и сложность.] 
• Андреа Боргини, Критическое введение в метафизику модальности, Нью-Йорк: Bloomsbury, 2016.

Внешние ссылки

• Интернет-энциклопедия философии :
  • «Модальная логика: современный взгляд» – Йохан ван Бентем .
  • «Модальная логика Рудольфа Карнапа» – М. Дж. Крессвелл.
• Стэнфордская энциклопедия философии :
  • «Модальная логика» – Джеймс Гарсон .
  • «Современные истоки модальной логики» – Роберта Балларин.
  • «Логика доказуемости» — Ринеке Вербрюгге .
• Эдвард Н. Залта , 1995, «Основные понятия модальной логики».
• Джон Маккарти , 1996, «Модальная логика».
• Molle — Java-доказательство для экспериментов с модальной логикой
• Субер, Питер, 2002, «Библиография модальной логики».
• Список логических систем. Список многих модальных логик с источниками, составленный Джоном Халлеком.
• Достижения в области модальной логики. Международная конференция и серия книг по модальной логике, проводимая два раза в год.
• S4prover Табличное доказательство для логики S4
• «Некоторые замечания по логике и топологии» Ричарда Мута; излагает топологическую семантику для модальной логики S4.
• LoTREC Самый общий доказатель для модальной логики от IRIT/Тулузского университета