stringtranslate.com

16-ячеечный

В геометрии 16-ячейка — это правильный выпуклый 4-многогранник (четырехмерный аналог Платонового тела) с символом Шлефли {3,3,4}. Это один из шести правильных выпуклых 4-многогранников, впервые описанных швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века. [1] Его также называют C 16 , гексадекахороном [2] или гексдекаэдроидом [ sic ? ] . [3]

Это 4-мерный член бесконечного семейства многогранников, называемых кросс-политопами , ортоплексами или гипероктаэдрами , которые аналогичны октаэдру в трех измерениях. Это многогранник Коксетера. [4] Двойственный многогранник — это тессеракт (4- куб ), с которым его можно объединить, чтобы сформировать составную фигуру . Ячейки 16-ячейки двойственны 16 вершинам тессеракта.

Геометрия

16-ячейка является второй в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-мерных многогранников (в порядке размера и сложности). [a]

Каждый из его 4-х последующих выпуклых правильных 4-мерных многогранников может быть построен как выпуклая оболочка многогранника, состоящего из нескольких 16-ячеек: тессеракт с 16 вершинами как соединение двух 16-ячеек, 24-вершинный 24-ячеечный как соединение трех 16-ячеек, 120-вершинный 600-ячеечный как соединение пятнадцати 16-ячеек и 600-вершинный 120-ячеечный как соединение семидесяти пяти 16-ячеек. [b]

Координаты

16-ячейка представляет собой 4-мерный крестовый многогранник (4-ортоплекс) , что означает, что его вершины лежат в противоположных парах на 4 осях декартовой системы координат (w, x, y, z).

Восемь вершин: (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1). Все вершины соединены ребрами, за исключением противоположных пар. Длина ребра равна √ 2 .

Координаты вершин образуют 6 ортогональных центральных квадратов, лежащих в 6 координатных плоскостях. Квадраты в противоположных плоскостях, которые не имеют общей оси (например, в плоскостях xy и wz ), полностью не пересекаются (они не пересекаются ни в одной вершине). [c]

16-ячеечная система представляет собой ортонормальный базис для выбора 4-мерной системы отсчета, поскольку ее вершины точно определяют четыре ортогональные оси.

Структура

Символ Шлефли 16-ячейки — {3,3,4}, указывающий, что ее ячейки — правильные тетраэдры {3,3}, а ее вершинная фигура — правильный октаэдр {3,4}. В каждой вершине сходятся 8 тетраэдров, 12 треугольников и 6 ребер. Ее реберная фигура — квадрат. В каждом ребре сходятся 4 тетраэдра и 4 треугольника.

16-ячейка ограничена 16 ячейками , все из которых являются правильными тетраэдрами . [e] Она имеет 32 треугольные грани , 24 ребра и 8 вершин . 24 ребра ограничивают 6 ортогональных центральных квадратов, лежащих на больших окружностях в 6 координатных плоскостях (3 пары полностью ортогональных [f] больших квадратов). В каждой вершине перпендикулярно пересекаются 3 больших квадрата. 6 ребер встречаются в вершине так же, как 6 ребер встречаются в вершине канонической октаэдрической пирамиды . [d] 6 ортогональных центральных плоскостей 16-ячейки можно разделить на 4 ортогональные центральные гиперплоскости (3-пространства), каждое из которых образует октаэдр с 3 ортогональными большими квадратами.

Вращения

Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве можно рассматривать как композицию двух 2-мерных вращений в полностью ортогональных плоскостях. [6] 16-ячеечная система является простой системой, в которой можно наблюдать 4-мерные вращения, поскольку каждый из 6 больших квадратов 16-ячеечной системы имеет другой полностью ортогональный большой квадрат (существует 3 пары полностью ортогональных квадратов). [c] Многие вращения 16-ячеечной системы можно охарактеризовать углом поворота в одной из ее плоскостей большого квадрата (например, плоскость xy ) и другим углом поворота в полностью ортогональной плоскости большого квадрата ( плоскость wz ). [j] Полностью ортогональные большие квадраты имеют непересекающиеся вершины: 4 из 8 вершин 16-ячеечной системы вращаются в одной плоскости, а другие 4 вращаются независимо в полностью ортогональной плоскости. [g]

В 2 или 3 измерениях вращение характеризуется одной плоскостью вращения; этот вид вращения, происходящий в 4-мерном пространстве, называется простым вращением , в котором вращается только одна из двух полностью ортогональных плоскостей (угол вращения в другой плоскости равен 0). В 16-ячеечном пространстве простое вращение в одной из 6 ортогональных плоскостей перемещает только 4 из 8 вершин; остальные 4 остаются неподвижными. (В анимации простого вращения выше все 8 вершин перемещаются, поскольку плоскость вращения не является одной из 6 ортогональных базисных плоскостей.)

При двойном вращении оба набора из 4 вершин движутся, но независимо: углы вращения могут быть разными в 2 полностью ортогональных плоскостях. Если два угла окажутся одинаковыми, то произойдет максимально симметричное изоклиническое вращение . [q] В 16-ячейке изоклиническое вращение на 90 градусов любой пары полностью ортогональных квадратных плоскостей переводит каждую квадратную плоскость в ее полностью ортогональную квадратную плоскость. [r]

Конструкции

Октаэдрическая дипирамида

Простейшая конструкция 16-ячейки находится на 3-мерном крестовом многограннике, октаэдре . Октаэдр имеет 3 перпендикулярные оси и 6 вершин в 3 противоположных парах (его многоугольник Петри — шестиугольник ). Добавьте еще одну пару вершин на четвертой оси, перпендикулярной всем 3 другим осям. Соедините каждую новую вершину со всеми 6 исходными вершинами, добавив 12 новых ребер. Это поднимает две октаэдрические пирамиды на общем основании октаэдра, которое лежит в центральной гиперплоскости 16-ячейки. [10]

Стереографическая проекция 6 ортогональных центральных квадратов 16-клеточной ячейки на их большие круги. Каждый круг разделен на 4 дуги-ребра в пересечениях, где 3 круга пересекаются перпендикулярно. Обратите внимание, что каждый круг имеет один параллельный круг Клиффорда, который он не пересекает . Эти два круга проходят друг через друга, как соседние звенья в цепи.

Октаэдр, с которого начинается построение, имеет три перпендикулярных пересекающихся квадрата (которые выглядят как прямоугольники в гексагональных проекциях). Каждый квадрат пересекается с каждым из других квадратов в двух противоположных вершинах, с двумя из квадратов, пересекающихся в каждой вершине. Затем добавляются еще две точки в четвертом измерении (выше и ниже трехмерной гиперплоскости). Эти новые вершины соединяются со всеми вершинами октаэдра, создавая 12 новых ребер и еще три квадрата (которые выглядят как 3 диаметра шестиугольника в проекции) и еще три октаэдра. [h]

Также было создано нечто беспрецедентное. Обратите внимание, что каждый квадрат больше не пересекается со всеми другими квадратами: он пересекается с четырьмя из них ( теперь три квадрата пересекаются в каждой вершине), но у каждого квадрата есть один другой квадрат, с которым он не имеет общих вершин: он вообще не связан напрямую с этим квадратом. Эти два отдельных перпендикулярных квадрата (их три пары) подобны противоположным ребрам тетраэдра : перпендикулярны, но не пересекаются. Они лежат друг напротив друга (в некотором смысле параллельны), и они не касаются, но они также проходят друг через друга, как два перпендикулярных звена в цепи (но в отличие от звеньев в цепи у них общий центр). Они являются примером параллельных плоскостей Клиффорда , а 16-ячейный является простейшим правильным многогранником, в котором они встречаются. Параллелизм Клиффорда [l] объектов более чем одного измерения (более чем просто кривые линии ) возникает здесь и встречается во всех последующих 4-мерных правильных многогранниках, где его можно рассматривать как определяющее отношение между непересекающимися концентрическими правильными 4-мерными многогранниками и их соответствующими частями. Он может встречаться между конгруэнтными (подобными) многогранниками 2 или более измерений. [11] Например, как отмечено выше, все последующие выпуклые правильные 4-мерные многогранники являются соединениями нескольких 16-ячеек; эти 16-ячеек являются параллельными многогранниками Клиффорда .

Тетраэдрические конструкции

16-ячейка имеет две конструкции Витхоффа из правильных тетраэдров, правильную форму и чередующуюся форму, показанную здесь как развёртки , вторая представлена ​​тетраэдрическими ячейками двух чередующихся цветов. Чередующаяся форма является конструкцией с более низкой симметрией 16-ячейки, называемой демитессерактом .

Конструкция Витхоффа воспроизводит характерную 5-ячейку 16-ячейки в калейдоскопе зеркал. Каждый правильный 4-политоп имеет свою характерную 4-ортосхему, неправильную 5-ячейку . [s] Существует три правильных 4-политопа с тетраэдрическими ячейками: 5-ячейка , 16-ячейка и 600-ячейка . Хотя все они ограничены правильными тетраэдрическими ячейками, их характерные 5-ячейки (4-ортосхемы) являются различными тетраэдрическими пирамидами , все основаны на одном и том же характерном неправильном тетраэдре. Они разделяют один и тот же характерный тетраэдр (3-ортосхема) и характерный прямоугольный треугольник (2-ортосхема), потому что у них один и тот же тип ячейки. [t]

Характерная 5-ячейка обычной 16-ячейки представлена ​​диаграммой Коксетера-Дынкина , который можно прочитать как список двугранных углов между его зеркальными гранями. Это неправильная тетраэдрическая пирамида , основанная на характерном тетраэдре правильного тетраэдра . Правильный 16-ячейник подразделяется своими гиперплоскостями симметрии на 384 экземпляра его характерного 5-ячейника, которые все встречаются в его центре.

Характеристическая 5-ячейка (4-ортосхема) имеет на четыре ребра больше, чем ее базовый характеристический тетраэдр (3-ортосхема), соединяя четыре вершины основания с его вершиной (пятая вершина 4-ортосхемы, в центре правильной 16-ячейки). [v] Если правильная 16-ячейка имеет ребро единичного радиуса и длину ребра 𝒍 = , десять ребер ее характеристической 5-ячейки имеют длины , , вокруг ее внешней прямоугольной треугольной грани (ребра, противоположные характеристическим углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), [u] плюс , , (остальные три ребра внешней 3-ортосхемы грани характеристического тетраэдра, которые являются характеристическими радиусами правильного тетраэдра), плюс , , , (ребра, которые являются характеристическими радиусами правильной 16-ячейки). Путь из 4 ребер вдоль ортогональных ребер ортосхемы выглядит следующим образом : сначала от вершины из 16 ячеек к центру ребра из 16 ячеек, затем поворот на 90° к центру грани из 16 ячеек, затем поворот на 90° к центру тетраэдрической ячейки из 16 ячеек, затем поворот на 90° к центру 16 ячеек.

Спиральная конструкция

Четырехмерное кольцо из 8 тетраэдров, соединенных гранями, видимое в спирали Бурдейка–Коксетера , ограниченное тремя восьмигранными круговыми путями разных цветов, вырезанными и выложенными плоскостью в трехмерном пространстве. Оно содержит ось изоклины (не показана), винтовую окружность с длиной окружности 4𝝅, которая закручивается через все четыре измерения и посещает все 8 вершин. [o] Два сине-сине-желтых треугольника на обоих концах разрезанного кольца являются одним и тем же объектом.
Сетка и ортогональная проекция

16-ячейка может быть построена (тремя различными способами) из двух спиралей Бурдейка–Коксетера из восьми соединенных тетраэдров, каждая из которых изогнута в четвертом измерении в кольцо. [16] [17] Две круговые спирали закручиваются вокруг друг друга, вкладывают друг в друга и проходят друг через друга, образуя связь Хопфа . 16 треугольных граней можно увидеть в 2D-сети внутри треугольной мозаики с 6 треугольниками вокруг каждой вершины. Фиолетовые ребра представляют собой многоугольник Петри 16-ячейки. Восьмиячейковое кольцо тетраэдров содержит три октаграммы разных цветов, восьмиреберные круговые пути, которые дважды обвивают 16-ячейку на каждой третьей вершине октаграммы. Оранжевые и желтые ребра представляют собой две четырехреберные половины одной октаграммы, которые соединяют свои концы, образуя ленту Мёбиуса .

Таким образом, 16-ячейка может быть разложена на две непересекающиеся ячейки круговые цепи по восемь тетраэдров каждая, длиной четыре ребра, одно спирально закрученное вправо (по часовой стрелке), а другое спирально закрученное влево (против часовой стрелки). Левые и правые кольца ячеек подходят друг другу, вкладывают друг в друга и полностью заполняют 16-ячейку, хотя они имеют противоположную хиральность. Это разложение можно увидеть в конструкции дуоантипризмы 4-4 16-ячейки:или, символ Шлефли {2}⨂{2} или s{2}s{2}, симметрия [4,2 + ,4], порядок 64.

Три восьмиреберных пути (разных цветов) спиралевидно проходят вдоль каждого восьмиклеточного кольца, образуя углы в 90° в каждой вершине. (В спирали Бурдейка–Коксетера до того, как она сгибается в кольцо, углы в разных путях различаются, но не равны 90°.) Три пути (с тремя разными цветами и видимыми углами) проходят через каждую вершину. Когда спираль сгибается в кольцо, сегменты каждого восьмиреберного пути (разной длины) соединяются своими концами, образуя ленту Мёбиуса длиной восемь ребер вдоль ее односторонней окружности 4𝝅 и шириной одно ребро. [p] Шесть четырехреберных половин трех восьмиреберных путей образуют четыре угла в 90°, но они не являются шестью ортогональными большими квадратами: это открытые квадраты, четырехреберные 360° спирали, открытые концы которых являются антиподальными вершинами. Четыре ребра исходят из четырех разных больших квадратов и взаимно ортогональны. Объединенные конец к концу в пары одинаковой хиральности , шесть четырехреберных путей образуют три восьмиреберные петли Мёбиуса, винтовые октаграммы. Каждая октаграмма является как многоугольником Петри 16-ячейки, так и винтовой дорожкой, вдоль которой все восемь вершин вращаются вместе, в одном из отдельных изоклинических вращений 16-ячейки. [w]

Каждая восьмиреберная спираль представляет собой косую октаграмму {8/3} , которая трижды обвивается вокруг 16-ячейки и посещает каждую вершину, прежде чем замкнуться в петлю. Ее восемь √ 2 ребер являются хордами изоклины , винтовой дуги, по которой 8 вершин описывают окружность во время изоклинического вращения. [p] Все восемь 16-ячейных вершин находятся на расстоянии √ 2 друг от друга, за исключением противоположных (антиподальных) вершин, которые находятся на расстоянии √ 4 друг от друга. Вершина, движущаяся по изоклине, посещает три другие вершины, которые находятся на расстоянии √ 2 друг от друга, прежде чем достичь четвертой вершины, которая находится на расстоянии √ 4. [o]

Восьмиячеечное кольцо хирально : есть правосторонняя форма, которая закручивается по часовой стрелке, и левосторонняя форма, которая закручивается против часовой стрелки. 16-ячеечное кольцо содержит по одному из них, поэтому оно также содержит левую и правую изоклину; изоклина является круговой осью, вокруг которой закручивается восьмиячеечное кольцо. Каждая изоклина посещает все восемь вершин 16-ячеечного кольца. [ab] Каждое восьмиячеечное кольцо содержит половину из 16 ячеек, но все 8 вершин; два кольца разделяют вершины, поскольку они вложены друг в друга и подходят друг другу. Они также разделяют 24 ребра, хотя левые и правые спирали октаграммы являются различными путями восьми ребер. [ac]

Поскольку существует три пары полностью ортогональных больших квадратов, [c] существует три конгруэнтных способа составить 16-ячеечный из двух восьмиячеечных колец. 16-ячеечный содержит три лево-правые пары восьмиячеечных колец в разных ориентациях, причем каждое ячеечное кольцо содержит свою осевую изоклину. [w] Каждая лево-правая пара изоклин является следом лево-правой пары различных изоклинных вращений: вращений в одной паре полностью ортогональных инвариантных плоскостей вращения. [g] В каждой вершине есть три больших квадрата и шесть октаграммных изоклин, которые пересекаются в вершине и разделяют 16-ячеечную осевую хорду. [ad]

Как конфигурация

Эта матрица конфигурации представляет собой 16-ячейку. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всей 16-ячейке. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

Тесселяции

Можно разбить 4-мерное евклидово пространство на правильные 16-ячейки. Это называется 16-ячеечными сотами и имеет символ Шлефли {3,3,4,3}. Следовательно, 16-ячейка имеет двугранный угол 120°. [21] Каждая 16-ячейка имеет 16 соседей, с которыми она делит тетраэдр, 24 соседа, с которыми она делит только ребро, и 72 соседа, с которыми она делит только одну точку. Двадцать четыре 16-ячейки встречаются в любой заданной вершине в этой разбивке.

Двойственная мозаика, 24-ячеистая сота , {3,4,3,3}, состоит из правильных 24 -ячеек . Вместе с тессерактическими сотами {4,3,3,4} это единственные три правильные мозаики R 4 .

Прогнозы

Проекционные оболочки 16-ти ячеек. (Каждая ячейка прорисована с разными цветными гранями, инвертированные ячейки не прорисованы)

Параллельная проекция ячейки-первая 16-ячейки в 3-пространство имеет кубическую оболочку. Ближайшая и самая дальняя ячейки проецируются на вписанные тетраэдры внутри куба, что соответствует двум возможным способам вписать правильный тетраэдр в куб. Вокруг каждого из этих тетраэдров находятся 4 других (неправильных) тетраэдрических объема, которые являются изображениями 4 окружающих тетраэдрических ячеек, заполняя пространство между вписанным тетраэдром и кубом. Оставшиеся 6 ячеек проецируются на квадратные грани куба. В этой проекции 16-ячейки все ее ребра лежат на гранях кубической оболочки.

Перспективная проекция ячейки-первой 16-ячейки в 3-пространство имеет оболочку из триакистетраэдра . Расположение ячеек внутри этой оболочки аналогично параллельной проекции ячейки-первой.

Вершинно-первая параллельная проекция 16-ячейки в 3-пространство имеет октаэдрическую оболочку . Этот октаэдр можно разделить на 8 тетраэдрических объемов, разрезав по координатным плоскостям. Каждый из этих объемов является изображением пары ячеек в 16-ячейке. Ближайшая к наблюдателю вершина 16-ячейки проецируется на центр октаэдра.

Наконец, параллельная проекция, ориентированная ребром, имеет укороченную октаэдрическую оболочку, а параллельная проекция, ориентированная гранью, имеет гексагональную бипирамидальную оболочку.

Диаграмма Венна из 4 сфер

Трехмерная проекция 16-ячейки и 4 пересекающиеся сферы ( диаграмма Венна из 4 множеств) топологически эквивалентны.

Симметричные конструкции

Группа симметрии 16-клеточного кристалла обозначается B 4 .

Существует более низкосимметричная форма 16-ячеечного куба , называемая полутессерактом или 4-демикубом , членом семейства полугиперкубов , представленная диаграммами h{4,3,3} и Коксетера. или. Его можно нарисовать двухцветным с чередующимися тетраэдрическими ячейками.

Его также можно увидеть в форме с более низкой симметрией как тетраэдрическую антипризму , построенную двумя параллельными тетраэдрами в дуальных конфигурациях, соединенными восемью (возможно, удлиненными) тетраэдрами. Он представлен s{2,4,3} и диаграммой Коксетера:.

Его также можно рассматривать как плосконосый 4- ортотоп , представленный как s{2 1,1,1 }, и диаграмму Коксетера:или.

Поскольку тессеракт построен как дуопризма 4-4 , 16-ячейку можно рассматривать как ее двойственную — дуопирамиду 4-4 .

Связанные сложные многоугольники

Многоугольник Мёбиуса –Кантора — это правильный комплексный многоугольник 3 {3} 3 ,, в разделяет те же вершины, что и 16-ячейка. Имеет 8 вершин и 8 3-ребер. [22] [23]

Правильный комплексный многоугольник, 2 {4} 4 ,, в имеет действительное представление как 16-ячейка в 4-мерном пространстве с 8 вершинами, 16 2-ребрами, только половина ребер 16-ячейки. Его симметрия 4 [4] 2 , порядок 32. [24]

Связанные однородные многогранники и соты

Правильный 16-ячейник и тессеракт являются правильными членами набора из 15 однородных 4-многогранников с одинаковой симметрией B 4 . 16-ячейник также является одним из однородных многогранников симметрии D 4 .

16-ячеечная мозаика также связана с кубическими сотами , додекаэдрическими сотами порядка 4 и гексагональными мозаичными сотами порядка 4 , все из которых имеют октаэдрические вершинные фигуры .

Он принадлежит к последовательности {3,3,p} 4-политопов , имеющих тетраэдрические ячейки. Последовательность включает три правильных 4-политопа евклидова 4-пространства, 5-клеточный {3,3,3}, 16-клеточный {3,3,4} и 600-клеточный {3,3,5}), а также тетраэдрические соты порядка 6 {3,3,6} гиперболического пространства.

Он является первым в последовательности квазирегулярных многогранников и сот h{4,p,q} и последовательности полусимметрии для регулярных форм {p,3,4}.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Выпуклые правильные 4-многогранники можно упорядочить по размеру как меру 4-мерного содержимого (гиперобъема) для того же радиуса. Каждый больший многогранник в последовательности круглее своего предшественника, заключая больше содержимого [5] в пределах того же радиуса. 4-симплекс (5-ячейка) является предельным наименьшим случаем, а 120-ячейка — наибольшим. Сложность (измеренная путем сравнения матриц конфигурации или просто числа вершин) следует тому же порядку. Это обеспечивает альтернативную числовую схему именования для правильных многогранников, в которой 16-ячейка является 8-точечным 4-многогранником: вторым в восходящей последовательности, которая идет от 5-точечного 4-многогранника до 600-точечного 4-многогранника.
  2. ^ В 8-ячейковый тессеракт вписано 2 и только 2 16-ячейки, в 24-ячейку вписано 3 и только 3 16-ячейки, в 600-ячейку вписано 75 отдельных 16-ячеек (но только 15 непересекающихся 16-ячеек), а в 120-ячейку вписано 675 отдельных 16-ячеек (но только 75 непересекающихся 16-ячеек).
  3. ^ abcdefg В 4-мерном пространстве мы можем построить 4 перпендикулярные оси и 6 перпендикулярных плоскостей, проходящих через точку. Без потери общности мы можем считать их осями и ортогональными центральными плоскостями декартовой системы координат (w, x, y, z). В 4 измерениях мы имеем те же 3 ортогональные плоскости (xy, xz, yz), что и в 3 измерениях, а также 3 другие (wx, wy, wz). Каждая из 6 ортогональных плоскостей имеет общую ось с 4 другими и противоположна или полностью ортогональна только одной из других: единственной, с которой она не имеет общей оси. Таким образом, существует 3 пары полностью ортогональных плоскостей: xy и wz пересекаются только в начале координат; xz и wy пересекаются только в начале координат; yz и wx пересекаются только в начале координат.
  4. ^ abc Каждая вершина в 16-ячейке является вершиной октаэдрической пирамиды , основанием которой является октаэдр, образованный 6 другими вершинами, с которыми вершина соединена ребрами. 16-ячейка может быть разобрана (четырьмя различными способами) на две октаэдрические пирамиды, разрезав ее пополам через одну из ее четырех октаэдрических центральных гиперплоскостей. Если смотреть изнутри изогнутого 3-мерного объема ее граничной поверхности из 16 гране-связанных тетраэдров, вершинная фигура 16-ячейки является октаэдром. В 4 измерениях вершинный октаэдр на самом деле является октаэдрической пирамидой. Вершина октаэдрической пирамиды (вершина, где сходятся 6 ребер) на самом деле не находится в центре октаэдра: она смещена радиально наружу в четвертом измерении из гиперплоскости, определяемой 6 вершинами октаэдра. Шесть ребер вокруг вершины образуют ортогональный 3-осевой крест в 3-х измерениях (и в 3-мерной проекции 4-пирамиды ), но 3 линии на самом деле изогнуты на 90 градусов в четвертом измерении, где они встречаются в вершине.
  5. ^ Граничная поверхность 16-ячейки представляет собой конечное 3-мерное пространство, состоящее из 16 тетраэдров, расположенных лицом к лицу (четыре вокруг одного). Это замкнутое, сильно искривленное (неевклидово) 3-пространство, в котором мы можем двигаться прямо через 4 тетраэдра в любом направлении и возвращаться в тетраэдр, с которого мы начали. Мы можем визуализировать перемещение внутри этого тетраэдрического джунглей , перелезая из одного тетраэдра в другой по его 24 стойкам (его ребрам), и никогда не имея возможности выбраться (или увидеть) из 16 тетраэдров, независимо от того, в каком направлении мы идем (или смотрим). Мы всегда находимся на (или внутри) поверхности 16 -ячейки, никогда внутри самой 16-ячейки (или снаружи ее). Мы видим, что 6 ребер вокруг каждой вершины расходятся симметрично в 3 измерениях и образуют ортогональный 3-осевой крест, так же как радиусы октаэдра (поэтому мы говорим, что вершинная фигура 16-ячейки — это октаэдр). [d]
  6. ^ abc Две плоские плоскости A и B евклидова пространства четырех измерений называются полностью ортогональными тогда и только тогда, когда каждая прямая в A ортогональна каждой прямой в B. В этом случае плоскости A и B пересекаются в одной точке O, так что если прямая в A пересекается с прямой в B, они пересекаются в точке O. A и B перпендикулярны и параллельны по Клиффорду. [c]
  7. ^ abcd Полностью ортогональные большие квадраты не пересекаются и вращаются независимо, поскольку большие окружности, на которых лежат их вершины, параллельны Клиффорду . [l] Они находятся на расстоянии √ 2 друг от друга в каждой паре ближайших вершин (а в 16-ячейке все пары, за исключением антиподальных пар, являются ближайшими). ​​Два квадрата вообще не могут пересекаться, поскольку они лежат в плоскостях, пересекающихся только в одной точке: центре 16-ячейки. [c] Поскольку они перпендикулярны и имеют общий центр, два квадрата, очевидно, не параллельны и не разделены обычным способом параллельных квадратов в 3 измерениях; скорее они соединены как смежные квадратные звенья в цепи, каждое из которых проходит через другое, не пересекаясь ни в одной точке, образуя звено Хопфа .
  8. ^ ab Три больших квадрата встречаются в каждой вершине (и в противоположной ей вершине) в 16-ячейке. Каждый из них имеет свой полностью ортогональный квадрат. [f] Таким образом, есть три больших квадрата, полностью ортогональных каждой вершине и ее противоположной вершине (каждой оси). Они образуют октаэдр (центральную гиперплоскость). Каждая осевая линия в 16-ячейке полностью ортогональна центральной гиперплоскости октаэдра, так как каждая плоскость большого квадрата полностью ортогональна другой плоскости большого квадрата. [c] Ось и октаэдр пересекаются только в одной точке (центр 16-ячейки), так как каждая пара полностью ортогональных больших квадратов пересекается только в одной точке (центр 16-ячейки). Каждый центральный октаэдр также является октаэдрической вершинной фигурой двух из восьми вершин: двух на его полностью ортогональной оси.
  9. ^ Три не полностью ортогональных больших квадрата, пересекающиеся в каждой вершине 16-ячейки, образуют октаэдрическую вершинную фигуру вершины . [d] Любые два из них вместе с полностью ортогональным квадратом третьего также образуют октаэдр: центральную октаэдрическую гиперплоскость. [h] В 16-ячейке каждая октаэдрическая вершинная фигура также является центральной октаэдрической гиперплоскостью.
  10. ^ Каждая вершина большого квадрата находится на расстоянии √ 2 от двух других вершин квадрата и на расстоянии √ 4 от своей противоположной вершины. Остальные четыре вершины 16-клеточного квадрата (также находящиеся на расстоянии √ 2 ) являются вершинами полностью ортогонального квадрата квадрата. [g] Каждая 16-клеточная вершина является вершиной трех ортогональных больших квадратов, которые пересекаются там. Каждый из них имеет свой полностью ортогональный квадрат. Таким образом, существует три больших квадрата, полностью ортогональных каждой вершине: квадраты, частью которых вершина не является. [i]
  11. ^ abcd Каждая большая квадратная плоскость изоклинна (параллельна Клиффорду) пяти другим квадратным плоскостям, но полностью ортогональна [f] только одной из них. Каждая пара полностью ортогональных плоскостей имеет большие окружности, параллельные Клиффорду, но не все большие окружности, параллельные Клиффорду, ортогональны. Существует также другой способ, которым полностью ортогональные плоскости находятся в выделенной категории параллельных Клиффорду плоскостей: они не являются хиральными . Пара изоклинных (параллельных Клиффорду) плоскостей является либо левой парой , либо правой парой , если они не разделены двумя углами в 90° (полностью ортогональные плоскости) или 0° (совпадающие плоскости). [20] Большинство изоклинных плоскостей сводятся вместе только левым изоклинным вращением или правым изоклинным вращением соответственно. Полностью ортогональные плоскости являются особыми: пара плоскостей является как левой, так и правой парой, поэтому либо левое, либо правое изоклинное вращение сведет их вместе. Поскольку плоскости, разделенные изоклинным вращением на 90°, находятся на расстоянии 180° друг от друга, плоскость слева и плоскость справа являются одной и той же плоскостью. [r]
  12. ^ abc Параллели Клиффорда — это непересекающиеся кривые линии, которые параллельны в том смысле, что перпендикулярное (кратчайшее) расстояние между ними одинаково в каждой точке. [7] Двойная спираль — пример параллельности Клиффорда в обычном трехмерном евклидовом пространстве. В четырехмерном пространстве параллели Клиффорда возникают как геодезические большие окружности на трехмерной сфере . [8] В 16-клеточном пространстве соответствующие вершины полностью ортогональных квадратов больших окружностей находятся на расстоянии √ 2 друг от друга, поэтому эти квадраты являются параллельными многоугольниками Клиффорда. [k] Обратите внимание, что только вершины больших квадратов (точки на большом круге) находятся на расстоянии √ 2 друг от друга; точки на ребрах квадратов (на хордах круга) находятся ближе друг к другу.
  13. ^ Противоположные вершины в 4-мерном многограннике с единичным радиусом соответствуют противоположным вершинам 8-ячеечного гиперкуба (тессеракта). Длинная диагональ этого радиально равностороннего 4-мерного куба равна √ 4 . При изоклинном вращении на 90° каждая вершина 16-мерного куба смещается к своей антиподальной вершине, перемещаясь по винтовой геодезической дуге длиной 𝝅 (180°), к вершине, находящейся на расстоянии √ 4 вдоль длинного диаметра 4-мерного многогранника с единичным радиусом (16-мерного многогранника или тессеракта), на то же самое полное смещение, как если бы она была смещена на √ 1 четыре раза, перемещаясь по пути из четырех последовательных ортогональных ребер тессеракта.
  14. ^ Существует шесть различных двухреберных путей, соединяющих пару антиподальных вершин вдоль ребер большого квадрата. Левый изоклинный поворот проходит по диагонали между тремя из них, а правый изоклинный поворот проходит по диагонали между тремя другими. Эти диагонали являются прямыми линиями (геодезическими), соединяющими противоположные вершины тетраэдрических ячеек, связанных гранями, в левом восьмиячеечном кольце и правом восьмиячеечном кольце соответственно.
  15. ^ abc В 16-ячейке две антиподальные вершины являются противоположными вершинами двух тетраэдрических ячеек, связанных гранями. Две антиподальные вершины соединены (тремя различными) двухреберными путями большого круга вдоль ребер тетраэдрических ячеек, различными трехреберными путями и четырехреберными путями на изоклинах и многоугольниках Петри. [p]
  16. ^ abcd Изоклина — это окружность особого вида, соответствующая паре окружностей Вилларсо, связанных в петлю Мёбиуса . Она изгибается в четырех измерениях, а не только в двух. Все обычные окружности имеют окружность 2𝝅, но изоклина 16-ячеечной модели — это окружность с окружностью 4𝝅 (более восьми хорд по 90°). Изоклина — это окружность, которая не лежит на плоскости, но во избежание путаницы мы всегда называем ее изоклиной и оставляем термин окружность для обычной окружности на плоскости.
  17. ^ ab При изоклиническом вращении все 6 ортогональных плоскостей смещаются в двух ортогональных направлениях одновременно: они поворачиваются на один и тот же угол, и в то же время они наклоняются вбок на тот же угол. Изоклиническое смещение (также известное как смещение Клиффорда ) является 4-мерным диагональным. Точки смещаются на одинаковое расстояние в четырех ортогональных направлениях одновременно и смещаются на общее пифагорово расстояние, равное квадратному корню из четырех, умноженных на квадрат этого расстояния. Все вершины правильного 4-мерного многогранника смещаются в вершину, находящуюся на расстоянии не менее двух длин ребра. Например, когда 16-ячейка единичного радиуса изоклинно поворачивается на 90° в большой квадратной инвариантной плоскости, она также поворачивается на 90° в полностью ортогональной большой квадратной инвариантной плоскости. [c] Большая квадратная плоскость также наклоняется вбок на 90°, чтобы занять свою полностью ортогональную плоскость. (По изоклинной симметрии каждый большой квадрат поворачивается на 90° и наклоняется вбок на 90° в свою полностью ортогональную плоскость.) Каждая вершина (в каждом большом квадрате) смещена к своей антиподной вершине на расстояние √ 1 в каждом из четырех ортогональных направлений, общее расстояние составляет √ 4 . [м] Исходная и смещенная вершины находятся на расстоянии двух длин ребер друг от друга тремя [n] различными путями вдоль двух ребер большого квадрата. Но изоклина (винтовая дуга, по которой вершина следует во время изоклинного вращения) не проходит по ребрам: она проходит между этими различными ребрами-путями по диагонали, на геодезической (кратчайшей дуге) между исходной и смещенной вершинами. [o] Эта изоклинная геодезическая дуга не является сегментом обычного большого круга; она не лежит в плоскости какого-либо большого квадрата. Это винтовая дуга на 180°, которая изгибается по окружности в двух полностью ортогональных плоскостях одновременно. Этот круг Мёбиуса не лежит ни в какой плоскости и не пересекает ни одной вершины между исходной и смещенной вершиной. [p]
  18. ^ abc Изоклинный поворот на 90 градусов двух полностью ортогональных плоскостей приводит их друг к другу. При таком повороте жесткого 16-ячеистого многогранника все 6 ортогональных плоскостей поворачиваются на 90 градусов, а также наклоняются вбок на 90 градусов к своей полностью ортогональной (параллельной Клиффорду) [l] плоскости. [9] Соответствующие вершины двух полностью ортогональных больших квадратов находятся на расстоянии √ 4 (180°) друг от друга; большие квадраты (параллельные Клиффорду многогранники) находятся на расстоянии √ 4 (180°) друг от друга; но две полностью ортогональные плоскости находятся на расстоянии 90° друг от друга в двух ортогональных углах, которые их разделяют. Если изоклиническое вращение продолжается еще на 90°, каждая вершина завершает вращение на 360°, и каждый большой квадрат возвращается в свою исходную плоскость, но в другой ориентации (оси поменялись местами): он был перевернут «вверх ногами» на поверхности 16-ячейки (которая теперь «наизнанку»). Продолжение через второе изоклиническое вращение на 360° (через четыре изоклинических шага 90° на 90°, вращение на 720°) возвращает все на исходное место и ориентацию.
  19. ^ Ортосхема — это хиральный неправильный симплекс с прямоугольными треугольными гранями, характерный для некоторого многогранника, если он точно заполнит этот многогранник своими отражениями в его собственных гранях ( зеркальными стенками ). Каждый правильный многогранник можно разбить радиально на экземпляры его характеристической ортосхемы, окружающей его центр. Характеристическая ортосхема имеет форму, описываемую той же диаграммой Коксетера-Дынкина, что и правильный многогранник без кольца образующих точек .
  20. ^ Правильный многогранник размерности k имеет характерную k -ортосхему, а также характерную ( k -1)-ортосхему. Правильный 4-многогранник имеет характерную 5-ячейку (4-ортосхему), на которую он подразделяется своими (3-мерными) гиперплоскостями симметрии, а также характерный тетраэдр (3-ортосхему), на который его поверхность подразделяется (2-мерными) плоскостями симметрии его ячеек. После подразделения его (3-мерной) поверхности на характерные тетраэдры, окружающие каждый центр ячейки, его (4-мерная) внутренняя часть может быть подразделена на характерные 5-ячейки путем добавления радиусов, соединяющих вершины поверхностных характерных тетраэдров с центром 4-многогранника. [12] Внутренние тетраэдры и треугольники, образованные таким образом, также будут ортосхемами.
  21. ^ ab (Коксетер 1973) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы меняем соглашения Коксетера на противоположные и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.
  22. ^ Четыре ребра каждой 4-ортосхемы, которые встречаются в центре правильного 4-политопа, имеют неравную длину, поскольку они являются четырьмя характеристическими радиусами правильного 4-политопа: радиусом вершины, радиусом центра ребра, радиусом центра грани и радиусом центра ячейки. Пять вершин 4-ортосхемы всегда включают одну правильную вершину 4-политопа, один центр ребра правильного 4-политопа, один центр грани правильного 4-политопа, один центр ячейки правильного 4-политопа и центр правильного 4-политопа. Эти пять вершин (в этом порядке) составляют путь вдоль четырех взаимно перпендикулярных ребер (который делает три поворота под прямым углом), характерную особенность 4-ортосхемы. 4-ортосхема имеет пять разнородных граней 3-ортосхемы.
  23. ^ ab 16-ячеечное кольцо может быть построено из двух непересекающихся по ячейкам восьмиячеечных колец тремя различными способами; оно имеет три ориентации своей пары колец. Каждая ориентация «содержит» отдельную пару лево-правых изоклинных вращений, а также пару полностью ортогональных больших квадратов (параллельных волокон Клиффорда), поэтому каждая ориентация является дискретным расслоением 16-ячеечного кольца. Каждое восьмиячеечное кольцо содержит три аксиальные октаграммы, которые имеют разные ориентации (они меняются ролями) в трех дискретных расслоениях и шесть различных изоклинных вращений (три левых и три правых) через кольца ячеек. Три октаграммы (разных цветов) можно увидеть на иллюстрации одноячеечного кольца, одну в роли многоугольника Петри, одну как правую изоклину и одну как левую изоклину. Поскольку каждая октаграмма играет три роли, в 16-ячеечном кольце ровно шесть различных изоклин, а не 18.
  24. ^ Все пять видов являются одной и той же ортогональной проекцией 16-ячеечного в одну и ту же плоскость (круглое поперечное сечение восьмиячеечного кольцевого цилиндра), глядя вдоль центральной оси разрезанного кольцевого цилиндра, изображенного выше, с одного конца цилиндра. Единственное отличие заключается в том, какие √ 2 ребра и √ 4 хорды опущены для фокусировки. Различные цвета √ 2 ребер кажутся имеющими разную длину, поскольку они наклонены к наблюдателю под разными углами. Вершины пронумерованы от 1 (сверху) до 8 в порядке против часовой стрелки.
  25. ^ ab Каждая изоклина имеет восемь √ 2 хорд своего реберного пути, а также четыре √ 4 хорды диаметра, которые соединяют каждую четвертую вершину на гексаграмме {8/3} . Антиподальные вершины также имеют скрученный путь из четырех взаимно ортогональных √ 2 ребер, соединяющих их. Между антиподальными вершинами изоклина плавно изгибается по спирали над √ 2 хордами своего реберного пути, затрагивая три промежуточные вершины. Каждое √ 2 ребро является ребром большого квадрата, который полностью ортогонален другому большому квадрату, в котором √ 4 хорда является диагональю.
  26. ^ ab Для другого примера левой и правой изоклин вращения, посещающих один и тот же набор вершин, см. характерное изоклинное вращение 5-клеточного . Хотя в этих двух особых случаях левая и правая изоклины одного и того же вращения посещают один и тот же набор вершин, они все равно выбирают совершенно разные траектории вращения, поскольку посещают одни и те же вершины в разной последовательности.
  27. ^ ab За исключением 5-ячеечной и 16-ячеечной структур, [z] пара левых и правых изоклинных окружностей имеет непересекающиеся вершины: левая и правая изоклинные спирали являются непересекающимися параллелями, но вращаются в противоположных направлениях, образуя особый вид двойной спирали, которая не может существовать в трех измерениях (где вращающиеся в противоположных направлениях спирали одинакового радиуса должны пересекаться).
  28. ^ ab В 16-ячеистом многограннике каждая изоклина проходит через все 8 вершин: целое расслоение двух полностью ортогональных больших квадратов. [k] 5-ячеистый и 16-ячеистый многогранники являются единственными правильными 4-ячеистыми многогранниками, где каждое дискретное расслоение имеет только одно волокно-изоклину. [aa]
  29. ^ Левая и правая изоклины пересекаются в каждой вершине. Они являются различными последовательностями одного и того же набора из 8 вершин. Только по отношению к набору из 4 пар вершин, которые находятся на расстоянии √ 2 друг от друга, их можно считать параллельными Клиффорду. Только по отношению к набору из 4 пар вершин, которые находятся на расстоянии √ 4 друг от друга, их можно считать полностью ортогональными. [k]
  30. ^ Это нетипично для изоклинных вращений в целом; обычно и левая, и правая изоклина не встречаются в одной и той же вершине: есть два непересекающихся набора вершин, достижимых только левым или правым вращением соответственно. [aa] Левая и правая изоклина 16-ячеечной структуры образуют очень особую двойную спираль: необычную не только потому, что она круглая, но и потому, что ее различные левая и правая спирали закручиваются друг вокруг друга через один и тот же набор антиподных вершин, [ab] а не через два непересекающихся подмножества антиподных вершин, как это делают пары изоклин в большинстве изоклинных вращений, встречающихся в природе. [z] Изоклинные вращения в полностью ортогональных инвариантных плоскостях являются особыми. [k] Чтобы увидеть, как и почему они являются особыми, представьте себе две полностью ортогональные инвариантные плоскости вращения, каждая из которых вращается на некоторый угол вращения и наклоняется вбок на тот же угол вращения в совершенно другую плоскость. [q] Только когда угол поворота равен 90°, другая плоскость, в которой приземлится наклонная инвариантная плоскость, будет сама полностью ортогональной инвариантной плоскостью. Плоскость назначения поворота — полностью ортогональная инвариантная плоскость. Изоклинный поворот на 90° — единственный поворот, который сближает полностью ортогональные инвариантные плоскости. [r] Эта взаимность является причиной того, что и левое, и правое вращение идут в одно и то же место.

Цитаты

  1. ^ Coxeter 1973, стр. 141, § 7-x. Исторические замечания.
  2. ^ NW Johnson : Геометрии и преобразования , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Коксетера , стр.249
  3. ^ Матила Гика, Геометрия искусства и жизни (1977), стр.68
  4. ^ Coxeter 1973, стр. 120=121, § 7.2. См. иллюстрацию Рис. 7.2 B.
  5. ^ Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I(ii): Шестнадцать правильных многогранников { p,q,r } в четырех измерениях; Бесценная таблица, предоставляющая все 20 метрик каждого 4-многогранника в единицах длины ребра. Их необходимо алгебраически преобразовать для сравнения многогранников единичного радиуса.
  6. ^ Ким и Роте 2016, стр. 6, § 5. Четырехмерные вращения.
  7. ↑ Tyrrell & Semple 1971, стр. 5–6, § 3. Первоначальное определение параллелизма Клиффорда.
  8. ^ Ким и Роте 2016, стр. 7–10, § 6. Углы между двумя плоскостями в 4-пространстве.
  9. ^ Ким и Роте 2016, стр. 8–10, Связь с параллелизмом Клиффорда.
  10. ^ Coxeter 1973, стр. 121, § 7.21. См. иллюстрацию Рис. 7.2 B : « является четырехмерной дипирамидой, основанной на (с двумя ее вершинами в противоположных направлениях вдоль четвертого измерения)».
  11. ^ Тиррелл и Семпл 1971.
  12. ↑ Coxeter 1973, стр. 130, § 7.6; «симплициальное подразделение».
  13. ^ Коксетер 1973, стр. 292–293, Таблица I(ii); «16-клеточная, 𝛽 4 ».
  14. ^ Коксетер 1973, стр. 139, § 7.9 Характерный симплекс.
  15. ^ Коксетер 1973, стр. 290, Таблица I(ii); «двугранные углы».
  16. ^ Коксетер 1970, стр. 45, Таблица 2: Рефлексивные соты и их группы; Соты [3,3,4] 4 представляют собой мозаику 3-сферы двумя кольцами из 8 тетраэдрических ячеек.
  17. ^ Банчофф 2013.
  18. ^ Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I(ii); 24-ячеечный h 1 .
  19. ^ Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I(ii); 24-клеточный h 2 .
  20. ^ Ким и Роте 2016, стр. 7–8, § 6 Углы между двумя плоскостями в 4-мерном пространстве; левая и правая пары изоклинных плоскостей.
  21. ↑ Коксетер 1973, стр. 293.
  22. ↑ Коксетер 1991, стр. 30, 47.
  23. ^ Коксетер и Шепард 1992.
  24. ^ Коксетер 1991, стр. 108.
  25. ^ Коксетер 1991, стр. 114.

Ссылки

Внешние ссылки