Архимедовы свойства

Математические свойства алгебраических структур

Иллюстрация архимедова свойства.

В абстрактной алгебре и анализе , свойство Архимеда , названное в честь древнегреческого математика Архимеда из Сиракуз , является свойством , содержащимся в некоторых алгебраических структурах , таких как упорядоченные или нормированные группы и поля . Свойство, как оно обычно толкуется, утверждает, что для двух положительных чисел и существует целое число такое, что . Это также означает, что множество натуральных чисел не ограничено сверху. ^[1] Грубо говоря, это свойство не иметь бесконечно больших или бесконечно малых элементов. Именно Отто Штольц дал аксиоме Архимеда ее название, потому что она появляется как Аксиома V в трактате Архимеда « О сфере и цилиндре » . ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle nx>y}$

Это понятие возникло из теории величин Древней Греции; оно по-прежнему играет важную роль в современной математике, например, в аксиомах Давида Гильберта для геометрии , а также в теориях упорядоченных групп , упорядоченных полей и локальных полей .

Алгебраическая структура, в которой любые два ненулевых элемента сравнимы , в том смысле, что ни один из них не является бесконечно малым относительно другого, называется архимедовой . Структура, которая имеет пару ненулевых элементов, один из которых является бесконечно малым относительно другого, называется неархимедовой . Например, линейно упорядоченная группа , которая является архимедовой, является архимедовой группой .

Это можно сделать точным в различных контекстах с немного разными формулировками. Например, в контексте упорядоченных полей есть аксиома Архимеда , которая формулирует это свойство, где поле действительных чисел является архимедовым, но поле рациональных функций в действительных коэффициентах — нет.

История и происхождение названия Архимедовой усадьбы

Понятие было названо Отто Штольцем (в 1880-х годах) в честь древнегреческого геометра и физика Архимеда из Сиракуз .

Свойство Архимеда появляется в книге V «Начал » Евклида как Определение 4:

Говорят, что величины имеют такое отношение друг к другу, что при умножении они могут превосходить друг друга.

Поскольку Архимед приписал ее Евдоксу Книдскому, она также известна как «Теорема Евдокса» или аксиома Евдокса . ^[3]

Архимед использовал бесконечно малые величины в эвристических рассуждениях, хотя он отрицал, что это были законченные математические доказательства .

Определение для линейно упорядоченных групп

Пусть x и y — положительные элементы линейно упорядоченной группы G. Тогда является бесконечно малым относительно (или, что эквивалентно, бесконечным относительно ), если для любого натурального числа кратное меньше , то есть выполняется следующее неравенство: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle nx}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{ terms}}}<y.\,}$$

Это определение можно распространить на всю группу, взяв абсолютные значения.

Группа является архимедовой, если не существует пары , которая является бесконечно малой относительно . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Кроме того, если — алгебраическая структура с единицей (1) — например, кольцо — аналогичное определение применимо к . Если — бесконечно малое относительно , ​​то — бесконечно малый элемент . Аналогично, если — бесконечное относительно , ​​то — бесконечный элемент . Алгебраическая структура является архимедовой, если она не имеет ни бесконечных элементов, ни бесконечно малых элементов. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle K}$

Упорядоченные поля

Упорядоченные поля имеют некоторые дополнительные свойства:

• Рациональные числа вложены в любое упорядоченное поле. То есть любое упорядоченное поле имеет характеристику ноль.
• Если бесконечно мало, то бесконечно, и наоборот. Поэтому для проверки архимедовости поля достаточно проверить только то, что в нем нет бесконечно малых элементов, или то, что в нем нет бесконечных элементов. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/x}$
• Если бесконечно мало и является рациональным числом, то также бесконечно мало. В результате, учитывая общий элемент , три числа , , и являются либо все бесконечно малыми, либо все не бесконечно малыми. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle rx}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c/2}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 2c}$

В этой ситуации упорядоченное поле K является архимедовым именно тогда, когда выполняется следующее утверждение, называемое аксиомой Архимеда :

«Пусть будет любым элементом . Тогда существует натуральное число такое, что ». ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>x}$

В качестве альтернативы можно использовать следующую характеристику: $${\displaystyle \forall \,\varepsilon \in K{\big (}\varepsilon >0\implies \exists \ n\in N:1/n<\varepsilon {\big )}.}$$

Определение для нормированных полей

Квалификатор «архимедов» также формулируется в теории полей ранга один и нормированных пространств над полями ранга один следующим образом. Пусть — поле, снабженное функцией абсолютного значения, т. е. функцией, которая сопоставляет действительное число элементу поля 0 и сопоставляет положительное действительное число каждому ненулевому элементу и удовлетворяет и . Тогда, называется архимедовым, если для любого ненулевого элемента существует натуральное число такое, что ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle |xy|=|x||y|}$ ${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle |\underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{ terms}}}|>1.}$$

Аналогично, нормированное пространство является архимедовым, если сумма членов, каждый из которых равен ненулевому вектору , имеет норму больше единицы для достаточно большого . Поле с абсолютным значением или нормированное пространство является либо архимедовым, либо удовлетворяет более сильному условию, называемому ультраметрическим неравенством треугольника , соответственно. Поле или нормированное пространство, удовлетворяющее ультраметрическому неравенству треугольника, называется неархимедовым . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle |x+y|\leq \max(|x|,|y|),}$$

Понятие неархимедова нормированного линейного пространства было введено А. Ф. Монной. ^[4]

Примеры и не примеры

Архимедовость действительных чисел

Поле рациональных чисел может быть назначено одной из ряда функций абсолютного значения, включая тривиальную функцию , когда , более обычное , и -адические функции абсолютного значения . По теореме Островского каждое нетривиальное абсолютное значение на рациональных числах эквивалентно либо обычному абсолютному значению, либо некоторому -адическому абсолютному значению. Рациональное поле не является полным относительно нетривиальных абсолютных значений; относительно тривиального абсолютного значения рациональное поле является дискретным топологическим пространством, поэтому полным. Пополнение относительно обычного абсолютного значения (от порядка) является полем действительных чисел. По этой конструкции поле действительных чисел является архимедовым и как упорядоченное поле, и как нормированное поле. ^[5] С другой стороны, пополнения относительно других нетривиальных абсолютных значений дают поля p-адических чисел , где - простое целое число (см. ниже); Поскольку -адические абсолютные значения удовлетворяют ультраметрическому свойству, то -адические числовые поля являются неархимедовыми как нормированные поля (их нельзя превратить в упорядоченные поля). ${\displaystyle |x|=1}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

В аксиоматической теории действительных чисел несуществование ненулевых бесконечно малых действительных чисел подразумевается свойством наименьшей верхней границы следующим образом. Обозначим через множество, состоящее из всех положительных бесконечно малых. Это множество ограничено сверху значением . Теперь предположим для противоречия , что непусто. Тогда оно имеет наименьшую верхнюю границу , которая также положительна, поэтому . Поскольку c является верхней границей и строго больше , не является положительной бесконечно малой. То есть существует некоторое натуральное число, для которого . С другой стороны, является положительной бесконечно малой, так как по определению наименьшей верхней границы между и должно быть бесконечно малое , и если то не является бесконечно малым. Но , поэтому не является бесконечно малым, и это противоречие. Это означает, что в конце концов пусто: нет положительных бесконечно малых действительных чисел. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c/2<c<2c}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 2c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 2c}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n<2c}$ ${\displaystyle c/2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c/2}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1/k<c/2\leq x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/(4n)<c/2}$ ${\displaystyle c/2}$ ${\displaystyle Z}$

Свойство Архимеда действительных чисел справедливо также в конструктивном анализе , хотя свойство точной верхней границы в этом контексте может не выполняться.

Неархимедово упорядоченное поле

В качестве примера упорядоченного поля , не являющегося архимедовым, возьмем поле рациональных функций с действительными коэффициентами. (Рациональная функция — это любая функция, которая может быть выражена как один многочлен, деленный на другой многочлен; в дальнейшем мы будем предполагать, что это было сделано таким образом, что старший коэффициент знаменателя положителен.) Чтобы сделать это поле упорядоченным, нужно назначить порядок, совместимый с операциями сложения и умножения. Теперь, если и только если , поэтому нам нужно только сказать, какие рациональные функции считаются положительными. Назовем функцию положительной, если старший коэффициент числителя положителен. (Необходимо проверить, что этот порядок хорошо определен и совместим со сложением и умножением.) По этому определению рациональная функция положительна, но меньше рациональной функции . Фактически, если — любое натуральное число, то — положительно, но все равно меньше , независимо от того, насколько оно велико. Следовательно, — бесконечно малая величина в этом поле. ${\displaystyle f>g}$ ${\displaystyle f-g>0}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n(1/x)=n/x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/x}$

Этот пример обобщается на другие коэффициенты. Взятие рациональных функций с рациональными вместо действительных коэффициентов дает счетное неархимедово упорядоченное поле. Взятие коэффициентов в качестве рациональных функций в другой переменной, скажем , дает пример с другим типом порядка . ${\displaystyle y}$

Неархимедовы поля значений

Поле рациональных чисел, наделенное p-адической метрикой, и поля p-адических чисел , являющиеся пополнениями, не обладают архимедовым свойством как поля с абсолютными значениями. Все архимедовозначные поля изометрически изоморфны подполю комплексных чисел со степенью обычного абсолютного значения. ^[6]

Эквивалентные определения архимедова упорядоченного поля

Каждое линейно упорядоченное поле содержит (изоморфную копию) рациональных чисел как упорядоченное подполе, а именно подполе, порожденное мультипликативной единицей , которое в свою очередь содержит целые числа как упорядоченную подгруппу, которая содержит натуральные числа как упорядоченный моноид . Вложение рациональных чисел затем дает способ говорить о рациональных, целых и натуральных числах в . Ниже приведены эквивалентные характеристики архимедовых полей в терминах этих подструктур. ^[7] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

1. Натуральные числа конфинальны в . То есть, каждый элемент из меньше некоторого натурального числа. (Это не тот случай, когда существуют бесконечные элементы.) Таким образом, архимедово поле — это поле, натуральные числа которого растут неограниченно. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$
2. Ноль — это инфимум множества . (Если бы он содержал положительную бесконечно малую величину , то он был бы нижней границей множества, откуда ноль не был бы точной нижней границей.) ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{1/2,1/3,1/4,\dots \}}$ ${\displaystyle K}$
3. Множество элементов между положительными и отрицательными рациональными числами не является открытым. Это происходит потому, что множество состоит из всех бесконечно малых, что является просто множеством, когда нет ненулевых бесконечно малых, и в противном случае является открытым, не существует ни наименьшего, ни наибольшего ненулевого бесконечно малого. Заметьте, что в обоих случаях множество бесконечно малых замкнуто. В последнем случае (i) каждое бесконечно малое меньше каждого положительного рационального числа, (ii) нет ни наибольшего бесконечно малого, ни наименьшего положительного рационального числа, и (iii) нет ничего другого между ними. Следовательно, любое неархимедово упорядоченное поле является как неполным, так и несвязным. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{0\}}$
4. Для любого множества целых чисел, больших, чем имеет наименьший элемент. (Если бы это была отрицательная бесконечная величина, каждое целое число было бы больше нее.) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
5. Каждый непустой открытый интервал содержит рациональное число. (Если — положительная бесконечно малая величина, открытый интервал содержит бесконечно много бесконечно малых чисел, но не содержит ни одной рациональной величины.) ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x,2x)}$
6. Рациональные числа плотны в по отношению как к sup, так и к inf. (То есть, каждый элемент является sup некоторого множества рациональных чисел и inf некоторого другого множества рациональных чисел.) Таким образом, архимедово поле — это любое плотное упорядоченное расширение рациональных чисел, в смысле любого упорядоченного поля, которое плотно вкладывает свои рациональные элементы. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Смотрите также

• 0,999...  – Альтернативное десятичное представление числа 1
• Архимедовское упорядоченное векторное пространство  – бинарное отношение в векторном пространстве
• Построение действительных чисел

Примечания

1. "Math 2050C Lecture" (PDF) . cuhk.edu.hk . Получено 3 сентября 2023 г. .
2. G. Fisher (1994) в P. Ehrlich(ed.), Real Numbers, Generalizations of the Reals, and Theories of continua, 107–145, Kluwer Academic
3. Кнопп, Конрад (1951). Теория и применение бесконечных рядов (англ. 2-е изд.). Лондон и Глазго: Blackie & Son, Ltd. стр. 7. ISBN 0-486-66165-2.
4. Монна, AF (1943). «За een lineaire P -adische ruimte». Недерл. Акад. Ветенш. Верслаг Афд. Натуурк. (52): 74–84. МР  0015678.
5. Нил Коблиц , «p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции», Springer-Verlag, 1977.
6. Шелл, Нил, Топологические поля и близкие оценки, Деккер, Нью-Йорк, 1990. ISBN 0-8247-8412-X 
7. Шехтер 1997, §10.3

Ссылки

• Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам. Academic Press. ISBN 0-12-622760-8. Архивировано из оригинала 7 марта 2015 . Получено 30 января 2009 .