Группа кос

Группа, операция которой представляет собой композицию кос

Обычная коса из пяти прядей. Каждая стрелка составляет еще два элемента . ${\displaystyle B_{5}}$

В математике группа кос на n нитях ( обозначается _ ^_ _ _ _ _ _ _ _ _ косы (см. § Введение). Примеры применения групп кос включают теорию узлов , где любой узел может быть представлен как замыкание определенных кос (результат, известный как теорема Александера ); в математической физике , где каноническое представление Артина группы кос соответствует уравнению Янга – Бакстера (см. § Основные свойства); и в инвариантах монодромии алгебраической геометрии . ^[2] ${\displaystyle B_{n}}$

Введение

В этом введении пусть n = 4 ; обобщение на другие значения n будет простым. Рассмотрим два набора по четыре предмета, лежащие на столе, причем предметы в каждом наборе расположены по вертикальной линии и так, что один набор расположен рядом с другим. (На иллюстрациях ниже это черные точки.) С помощью четырех нитей каждый предмет первого набора соединяется с предметом второго набора так, что получается взаимно однозначное соответствие. Такое соединение называется косой . Часто одни пряди придется пропускать над другими или под другими, и это крайне важно: следующие два соединения представляют собой разные косички:

С другой стороны, два таких соединения, которым можно придать одинаковый вид, «вытягивая пряди», считаются одной и той же косой:

Все пряди необходимо двигаться слева направо; такие узлы не считаются косами:

Любые две косы можно составить , нарисовав первую рядом со второй, определив четыре элемента посередине и соединив соответствующие пряди:

Другой пример:

Композиция кос σ и τ записывается как στ .

Совокупность всех кос на четырех прядях обозначается . Приведенная выше композиция кос действительно является групповой операцией. Элементом идентичности является коса, состоящая из четырех параллельных горизонтальных прядей, а обратная сторона косы состоит из той косы, которая «отменяет» все, что делала первая коса, что получается путем переворачивания диаграммы, такой как приведенная выше, через вертикальную линию, идущую через его центр. (Первые два примера кос, приведенных выше, являются обратными друг другу.) ${\displaystyle B_{4}}$

Приложения

Теория кос недавно была применена к механике жидкости , особенно к области хаотического перемешивания в потоках жидкости. Переплетение (2 + 1)-мерных пространственно-временных траекторий, образованных движением физических стержней, периодических орбит или «призрачных стержней» и почти инвариантных множеств, использовалось для оценки топологической энтропии нескольких искусственных и встречающихся в природе жидких систем. , с использованием классификации Нильсена-Терстона . ^{[3] [4] [5]}

Другая область интенсивных исследований, связанных с группами кос и связанными с ними топологическими концепциями в контексте квантовой физики, - это теория и (предполагаемая) экспериментальная реализация так называемых анионов . Они вполне могут в конечном итоге стать основой для квантовых вычислений с коррекцией ошибок , и поэтому их абстрактное исследование в настоящее время имеет фундаментальное значение в квантовой информации .

Формальное обращение

Чтобы поставить вышеизложенное неформальное обсуждение групп кос на прочную почву, необходимо использовать гомотопическую концепцию алгебраической топологии , определяя группы кос как фундаментальные группы конфигурационного пространства . Альтернативно, можно определить группу кос чисто алгебраически через отношения кос, держа в уме изображения только для руководства интуицией.

Чтобы объяснить, как свести группу кос в смысле Артина к фундаментальной группе, мы рассматриваем связное многообразие размерности не менее 2. Симметричное произведение копий означает фактор , -кратное декартово произведение по действию перестановки симметрической группы на нитях, действующих на индексы координат. То есть упорядоченный кортеж находится на той же орбите , что и любой другой его переупорядоченный вариант. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Путь в -кратном симметричном произведении — это абстрактный способ обсуждения точек , рассматриваемый как неупорядоченный -кортеж, независимо отслеживающий строки. Поскольку мы должны требовать , чтобы строки никогда не проходили друг через друга, необходимо перейти в подпространство симметричного произведения орбит -кортежей различных точек. То есть мы удаляем все подпространства определенных условиями для всех . Это инвариант относительно симметричной группы и является фактором по симметричной группе неисключенных -кортежей. При условии измерения будет подключен. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y}$

Таким образом, используя это определение, мы можем назвать группу кос со струнами ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ фундаментальной группой (для любого выбора базовой точки – это четко определено с точностью до изоморфизма). Случай, когда есть евклидова плоскость, является оригинальным вариантом Артина. В некоторых случаях можно показать, что высшие гомотопические группы тривиальны . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Закрытые косы

Когда X — плоскость, коса может быть замкнутой , т. е. соответствующие концы могут быть соединены попарно, образуя звено , т. е. возможно переплетенный союз возможно завязанных петель в трех измерениях. Число компонентов связи может быть любым от 1 до n , в зависимости от перестановки нитей, определяемой ссылкой. Теорема Дж. В. Александера показывает, что каждое звено можно получить таким образом как «замыкание» косы. Сравните со строковыми ссылками .

Разные косы могут порождать одно и то же звено, так же как разные схемы пересечений могут порождать один и тот же узел . В 1935 году Андрей Марков-младший описал два хода на диаграммах кос, которые приводят к эквивалентности в соответствующих замкнутых косах. ^[6] Одноходовая версия теоремы Маркова была опубликована в 1997 году. ^[7]

Воан Джонс первоначально определил свой многочлен как инвариант косы, а затем показал, что он зависит только от класса замкнутой косы.

Теорема Маркова дает необходимые и достаточные условия, при которых замыкания двух кос являются эквивалентными связями. ^[8]

Индекс оплетки

«Индекс косы» — это наименьшее количество строк, необходимое для создания замкнутого представления ссылки в косе. Он равен наименьшему числу окружностей Зейферта в любой проекции узла. ^[9]

История

Группы кос были явно введены Эмилем Артином в 1925 году, хотя (как указал Вильгельм Магнус в 1974 году ^[10] ) они уже были неявными в работе Адольфа Гурвица по монодромии 1891 года.

Группы кос могут быть описаны явными представлениями , как было показано Эмилем Артином в 1947 году. ^[11] Группы кос также понимаются посредством более глубокой математической интерпретации: как фундаментальная группа определенных конфигурационных пространств . ^[11]

Как говорит Магнус, Гурвиц дал интерпретацию группы кос как фундаментальной группы конфигурационного пространства (ср. теорию кос ), интерпретацию, которая была потеряна из поля зрения, пока она не была заново открыта Ральфом Фоксом и Ли Нойвиртом в 1962 году. ^[12]

Основные свойства

Генераторы и отношения

Рассмотрим следующие три косы:

Любую косу можно записать как композицию нескольких таких кос и их обратных. Другими словами, эти три косы порождают группу . Чтобы убедиться в этом, произвольную косу сканируют слева направо на предмет пересечений; начиная сверху, всякий раз, когда встречается пересечение прядей и или записывается, в зависимости от того, движется ли прядь под или над прядью . Достигнув правого конца, коса записывается как произведение букв и их обратных сторон. ${\displaystyle B_{4}}$ ${\displaystyle B_{4}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{-1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle \sigma }$

Ясно, что

(я) , ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{3}=\sigma _{3}\sigma _{1}}$

в то время как следующие два соотношения не столь очевидны:

(ииа) , ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}}$

(ИИБ) ${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}}$

(лучше всего эти отношения можно оценить, нарисовав косу на листе бумаги). Можно показать, что все остальные отношения между косами и уже следуют из этих отношений и аксиом группы. ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$

Обобщая этот пример на пряди, группу можно абстрактно определить с помощью следующего представления : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle B_{n}=\left\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\right\rangle ,}$

где в первой группе отношений и во второй группе отношений . Это представление приводит к обобщению групп кос, называемых группами Артина . Кубические отношения, известные как отношения кос , играют важную роль в теории уравнений Янга–Бакстера . ${\displaystyle 1\leq i\leq n-2}$ ${\displaystyle i-j\geq 2}$

Дополнительные свойства

• Группа кос тривиальна , является бесконечной циклической группой и изоморфна группе узлов трилистника – в частности, это бесконечная неабелева группа . ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle B_{3}}$
• Группа n -прядных кос встраивается как подгруппа в группу -прядных кос путем добавления дополнительной нити, которая не пересекает ни одну из первых n нитей. Возрастающее объединение групп кос со всеми есть бесконечная группа кос . ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle B_{n+1}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle B_{\infty }}$
• Все неидентичные элементы имеют бесконечный порядок ; т. е. не имеет кручения . ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$
• Существует левоинвариантный линейный порядок , называемый порядком Дехорного . ${\displaystyle B_{n}}$
• При содержит подгруппу, изоморфную свободной группе с двумя образующими. ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle B_{n}}$
• Существует гомоморфизм , определенный равенством σ _i ↦ 1 . Так, например, коса σ ₂ σ ₃ σ ₁ ⁻¹ σ ₂ σ ₃ отображается в 1 + 1 − 1 + 1 + 1 = 3 . Это отображение соответствует абелианизации группы кос. Поскольку σ _i ^k ↦ k , то σ _i ^k тождественно тогда и только тогда, когда . Это доказывает, что генераторы имеют бесконечный порядок. ${\displaystyle B_{n}\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k=0}$

Взаимодействия

Связь с симметрической группой и группой чистых кос

Забывая, как пряди скручиваются и перекрещиваются, каждая коса из n прядей определяет перестановку из n элементов. Это присвоение совместимо с композицией и, следовательно, становится _{гомоморфизмом} сюръективной группы Bn → Sn из группы кос на симметрическую _группу . Образ косы σi _∈ Bn — это транспозиция si ₌ ( i , _i + 1 ) ∈ Sn _. Эти транспозиции порождают симметрическую группу, удовлетворяют отношениям группы кос и имеют порядок 2. Это преобразует представление Артина группы кос в представление Кокстера симметричной группы:

${\displaystyle S_{n}=\left\langle s_{1},\ldots ,s_{n-1}|s_{i}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1},s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}{\text{ for }}|i-j|\geq 2,s_{i}^{2}=1\right\rangle .}$

Ядро гомоморфизма Bn → Sn — это подгруппа Bn , _{называемая} группой _чистых кос на n нитях и _{обозначаемая} Pn _. Это можно рассматривать как фундаментальную группу пространства из n наборов различных точек евклидовой плоскости. В чистой косе начало и конец каждой пряди находятся в одинаковом положении. Чистые группы кос укладываются в короткую точную последовательность.

${\displaystyle 1\to F_{n-1}\to P_{n}\to P_{n-1}\to 1.}$

Эта последовательность расщепляется, и поэтому чистые группы кос реализуются как итерированные полупрямые произведения свободных групп.

Связь между B 3 и модульной группой

${\displaystyle B_{3}}$является универсальным центральным расширением модульной группы.

Группа кос является универсальным центральным расширением модульной группы , причем они располагаются в виде решеток внутри (топологической) универсальной накрывающей группы. ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}}\to \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$.

Кроме того, модулярная группа имеет тривиальный центр, и, таким образом, модулярная группа изоморфна фактор- группе по модулю ее центра и , что то же самое, группе внутренних автоморфизмов . ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle Z(B_{3}),}$ ${\displaystyle B_{3}}$

Вот конструкция этого изоморфизма . Определять

${\displaystyle a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}}$.

Из соотношений кос следует, что . Обозначая это последнее произведение как , из соотношений кос можно проверить, что ${\displaystyle a^{2}=b^{3}}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \sigma _{1}c\sigma _{1}^{-1}=\sigma _{2}c\sigma _{2}^{-1}=c}$

подразумевая, что это находится в центре . Обозначим подгруппу , порожденную c , поскольку C  ⊂  Z ( B3 ) _, это нормальная подгруппа и можно взять факторгруппу B3 _/ C . Мы утверждаем, что B ₃ / C ≅ PSL(2, Z ) ; этому изоморфизму можно придать явный вид. Классы σ 1 C и _{σ 2} C отображаются в ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B_{3}}$

${\displaystyle \sigma _{1}C\mapsto R={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\qquad \sigma _{2}C\mapsto L^{-1}={\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}}}$

где L и R — стандартные ходы влево и вправо на дереве Штерна–Броко ; хорошо известно, что эти ходы порождают модульную группу.

Альтернативно, одним из распространенных представлений модульной группы является

${\displaystyle \langle v,p\,|\,v^{2}=p^{3}=1\rangle }$

где

${\displaystyle v={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}},\qquad p={\begin{bmatrix}0&1\\-1&1\end{bmatrix}}.}$

Отображение a в v и b в p дает гомоморфизм сюръективной группы B ₃ → PSL(2, Z ) .

Центр B ₃ равен C , что является следствием того факта, что c находится в центре, модулярная группа имеет тривиальный центр и указанный выше сюръективный гомоморфизм имеет ядро ​​C .

Связь с группой классов отображения и классификацией кос.

Можно показать, что группа кос B _n изоморфна группе классов отображений проколотого диска с n проколами . Это легче всего визуализировать, представляя каждый прокол соединенным веревкой с границей диска; тогда каждый гомоморфизм отображения, который переставляет местами два прокола, можно рассматривать как гомотопию струн, то есть сплетение этих струн.

С помощью этой интерпретации косы группой классов отображения каждая коса может быть классифицирована как периодическая, приводимая или псевдоаносова .

Связь с теорией узлов

Если дана коса и соединить первый левый элемент с первым правым элементом с помощью новой нити, второй левый элемент со вторым правым элементом и т. д. (без создания кос в новых нитях ), получается звено , а иногда и узел . Теорема Александера в теории кос утверждает, что верно и обратное: каждый узел и каждое звено возникают таким образом по крайней мере из одной косы; такую ​​косу можно получить, разрезав звено. Поскольку косы могут быть конкретно заданы в виде слов в генераторах σi _, это часто является предпочтительным методом ввода узлов в компьютерные программы.

Вычислительные аспекты

Проблема слов для отношений кос эффективно разрешима и существует нормальная форма для элементов B _n в терминах образующих σ ₁ , ..., σ _{n −1} . (По сути, вычисление нормальной формы косы — это алгебраический аналог «выдергивания нитей», как показано на втором наборе изображений выше.) Система компьютерной алгебры Free GAP может выполнять вычисления в B _n , если элементы заданы с точки зрения этих генераторов. Существует также пакет CHEVIE для GAP3 со специальной поддержкой групп кос. Проблема слов также эффективно решается с помощью представления Лоуренса-Краммера .

Помимо проблемы слов, существует несколько известных сложных вычислительных задач, которые могут реализовать группы кос, и были предложены приложения в криптографии . ^[13]

Действия

По аналогии с действием симметричной группы перестановками, в различных математических постановках существует естественное действие группы кос на n -наборы объектов или на n -свернутое тензорное произведение , которое включает в себя некоторые «повороты». Рассмотрим произвольную группу G и пусть X — множество всех n -наборов элементов группы G , произведение которых является единичным элементом группы G. Тогда Bn _{действует} на X следующим образом :

${\displaystyle \sigma _{i}\left(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i},x_{i+1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1}x_{i}x_{i+1},x_{i+2},\ldots ,x_{n}\right).}$

Таким образом, элементы x _i и x _{i +1} меняются местами и, кроме того, x _i скручивается внутренним автоморфизмом , соответствующим x _{i +1} – это гарантирует, что произведение компонентов x остается единичным элементом. Можно проверить, что соотношения группы кос выполняются и эта формула действительно определяет _{групповое} действие Bn на X. Другой пример: моноидальная категория со сплетением — это моноидальная категория с действием группы кос. Такие структуры играют важную роль в современной математической физике и приводят к инвариантам квантовых узлов .

Представительства

Элементы группы кос Bn более конкретно могут быть представлены матрицами _. Одним из классических таких представлений является представление Бурау , где элементы матрицы представляют собой полиномы Лорана с одной переменной . Давно стоял вопрос о том, является ли представление Бурау точным , но ответ оказался отрицательным для n  ≥ 5 . В более общем смысле, это была серьезная открытая проблема, являются ли группы кос линейными . В 1990 году Рут Лоуренс описала семейство более общих «представлений Лоуренса», зависящих от нескольких параметров. В 1996 году Четан Наяк и Фрэнк Вильчек предположили, что по аналогии с проективными представлениями SO(3) проективные представления группы кос имеют физический смысл для некоторых квазичастиц в дробном квантовом эффекте Холла . ^[14] Примерно в 2001 году Стивен Бигелоу и Даан Краммер независимо друг от друга доказали, что все группы кос линейны. В их работе использовалось представление размерности Лоуренса-Краммера в зависимости от переменных q и t . Путем соответствующей специализации этих переменных группа кос может быть реализована как подгруппа общей линейной группы над комплексными числами . ${\displaystyle n(n-1)/2}$ ${\displaystyle B_{n}}$

Бесконечно генерируемые группы кос

Есть много способов обобщить это понятие на бесконечное число нитей. Самый простой способ — взять прямой предел групп кос, где карты присоединения отправляют генераторы к первым генераторам (т. е. путем присоединения тривиальной нити). Однако эта группа не допускает метризуемой топологии, оставаясь при этом непрерывной. ${\displaystyle f\colon B_{n}\to B_{n+1}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle B_{n+1}}$

Поль Фабель показал, что существует две топологии , которые можно наложить на результирующую группу, каждая из которых дает другую группу. ^[15] Первая — очень ручная группа, изоморфная группе классов отображений бесконечно проколотого диска — дискретному набору проколов, ограничивающему границу диска .

Вторую группу можно рассматривать так же, как и группы конечных кос. Поместите нить в каждую из точек, и набор всех кос (где коса определяется как совокупность путей от точек к точкам, так что функция дает перестановку на конечных точках) будет изоморфен этой более дикой группе. Интересен тот факт, что группа чистых кос в этой группе изоморфна как обратному пределу конечных групп чистых кос , так и фундаментальной группе гильбертова куба за вычетом множества ${\displaystyle (0,1/n)}$ ${\displaystyle (0,1/n,0)}$ ${\displaystyle (0,1/n,1)}$ ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle \{(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\mid x_{i}=x_{j}{\text{ for some }}i\neq j\}.}$

Когомологии

Когомологии группы определяются как когомологии соответствующего классифицирующего пространства Эйленберга–Маклейна , , которое представляет собой комплекс CW , однозначно определяемый с точностью до гомотопии. Классифицирующим пространством группы кос является n- ^е неупорядоченное конфигурационное пространство , то есть набор различных неупорядоченных точек на плоскости: ^[16] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})=\{\{u_{1},...,u_{n}\}:u_{i}\in \mathbb {R} ^{2},u_{i}\neq u_{j}{\text{ for }}i\neq j\}}$.

Итак, по определению

${\displaystyle H^{*}(B_{n})=H^{*}(K(B_{n},1))=H^{*}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})).}$

Расчеты коэффициентов можно найти у Фукса (1970). ^[17] ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Аналогично, классифицирующее пространство для группы чистых кос — это n - ^е упорядоченное конфигурационное пространство группы . В 1968 году Владимир Арнольд показал, что целые когомологии группы чистых кос являются факторами внешней алгебры , порожденной совокупностью классов первой степени , подчиненной соотношениям ^[18] ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle \omega _{ij}\;\;1\leq i<j\leq n}$

${\displaystyle \omega _{k,\ell }\omega _{\ell ,m}+\omega _{\ell ,m}\omega _{m,k}+\omega _{m,k}\omega _{k,\ell }=0.}$

Смотрите также

• Группа Артина-Титса
• Плетеная моноидальная категория
• Плетеное векторное пространство
• Плетеная алгебра Хопфа
• Теория узлов
• Некоммутативная криптография

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик. «Группа Брейд». Вольфрам Математический мир .
2. Коэн, Дэниел; Сучу, Александр (1997). «Мондромия кос плоских алгебраических кривых и расположение гиперплоскостей». Комментарии по математике Helvetici . 72 (2): 285–315. arXiv : alg-geom/9608001 . дои : 10.1007/s000140050017. S2CID  14502859.
3. Бойленд, Филип Л.; Ареф, Хасан; Стремлер, Марк А. (2000), «Топологическая механика перемешивания жидкости» (PDF) , Journal of Fluid Mechanics , 403 (1): 277–304, Бибкод : 2000JFM...403..277B, doi : 10.1017/S0022112099007107 , MR  1742169, S2CID  47710742, заархивировано из оригинала (PDF) 26 июля 2011 г.
4. Гуйяр, Эммануэль; Тиффо, Жан-Люк; Финн, Мэтью Д. (2006), «Топологическое смешивание с призрачными стержнями», Physical Review E , 73 (3): 036311, arXiv : nlin/0510075 , Bibcode : 2006PhRvE..73c6311G, doi : 10.1103/PhysRevE.73.036311, MR  2231368, PMID  16605655, S2CID  7142834
5. Стремлер, Марк А.; Росс, Шейн Д.; Гровер, Пиюш; Кумар, Панкадж (2011), «Топологический хаос и периодическое переплетение почти циклических множеств», Physical Review Letters , 106 (11): 114101, Бибкод : 2011PhRvL.106k4101S, doi : 10.1103/PhysRevLett.106.114101 , hdl : 10919/2451 3 , PMID  21469863
6. Марков, Андрей (1935), «Über die freeie Äquivalenz der geschlossenen Zöpfe», Recueil Mathématique de la Société Mathématique de Moscou (на немецком и русском языках), 1 : 73–78
7. Ламбропулу, София; Рурк, Колин П. (1997), «Теорема Маркова в 3-многообразиях», Топология и ее приложения , 78 (1–2): 95–122, arXiv : math/0405498 , doi : 10.1016/S0166-8641(96) 00151-4, МР  1465027, S2CID  14494095
8. Бирман, Джоан С. (1974), Косы, связи и отображение групп классов , Анналы математических исследований, том. 82, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета , ISBN 978-0-691-08149-6, МР  0375281
9. Вайсштейн, Эрик В. (август 2014 г.). «Индекс кос». MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 6 августа 2014 г.
10. Магнус, Вильгельм (1974). «Группы кос: опрос». Материалы второй международной конференции по теории групп . Конспект лекций по математике. Том. 372. Спрингер. стр. 463–487. дои : 10.1007/BFb0065203. ISBN 978-3-540-06845-7.
11. Артин, Эмиль (1947). «Теория кос». Анналы математики . 48 (1): 101–126. дои : 10.2307/1969218. JSTOR  1969218.
12. Фокс, Ральф ; Нойвирт, Ли (1962). «Группы кос». Математика Скандинавия . 10 : 119–126. doi : 10.7146/math.scand.a-10518 . МР  0150755.
13. Гарбер, Дэвид (2009). «Криптография группы кос». arXiv : 0711.3941v2 [cs.CR].
14. Наяк, Четан; Вильчек, Франк (1996), « 2 n квазидырочные состояния реализуют 2 ^{n -1} -мерную статистику спинорного переплетения в парных состояниях квантового зала», Nuclear Physics B , 479 (3): 529–553, arXiv : cond-mat/9605145 , Бибкод : 1996NuPhB.479..529N, номер документа : 10.1016/0550-3213(96)00430-0, S2CID  18726223 Некоторые из предложений Вильчека-Наяка тонко нарушают известную физику; см. обсуждение Рид, Н. (2003), «Статистика неабелевых кос против проективной статистики перестановок», Журнал математической физики , 44 (2): 558–563, arXiv : hep-th/0201240 , Bibcode : 2003JMP.... 44..558R, номер doi : 10.1063/1.1530369, S2CID  119388336
15. • Фабель, Пол (2005), «Завершение группы кос Артина на бесконечном количестве прядей», Journal of Knot Theory and Her Ramifications , 14 (8): 979–991, arXiv : math/0201303 , doi : 10.1142/S0218216505004196, MR  2196643, S2CID  16998867
    • Фабель, Пол (2006), «Группа классов отображения диска с бесконечным количеством отверстий», Journal of Knot Theory and Her Ramifications , 15 (1): 21–29, arXiv : math/0303042 , doi : 10.1142/S0218216506004324, МР  2204494, S2CID  13892069
16. Грист, Роберт (1 декабря 2009 г.). «Конфигурационные пространства, косы и робототехника». Косы . Серия конспектов лекций, Институт математических наук, Национальный университет Сингапура. Том. 19. Всемирный научный . стр. 263–304. дои : 10.1142/9789814291415_0004. ISBN 9789814291408.
17. Фукс, Дмитрий Б. (1970). «Когомологии группы кос mod 2». Функциональный анализ и его приложения . 4 (2): 143–151. дои : 10.1007/BF01094491. MR  0274463. S2CID  123442457.
18. Арнольд, Владимир (1969). «Кольцо когомологий группы цветных кос» (PDF) . Мат. Заметки . 5 : 227–231. МР  0242196.

дальнейшее чтение

• Бирман, Джоан ; Брендл, Тара Э. (26 февраля 2005 г.), Braids: A Survey , arXiv : math.GT/0409205. В Менаско и Тистлтуэйте, 2005 г.
• Карлуччи, Лоренцо; Дехорной, Патрик ; Вейерманн, Андреас (2011), «Результаты о недоказуемости с использованием кос», Труды Лондонского математического общества , 3, 102 (1): 159–192, arXiv : 0711.3785 , doi : 10.1112/plms/pdq016, MR  2747726, S2CID  16467487
• Чернавский, А.В. (2001) [1994], «Теория кос», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Делинь, Пьер (1972), «Les immeubles des groupes de tresses généralisés», Inventiones Mathematicae , 17 (4): 273–302, Bibcode : 1972InMat..17..273D, doi : 10.1007/BF01406236, ISSN  0020-9910, МР  0422673, S2CID  123680847
• Фокс, Ральф ; Нойвирт, Ли (1962), «Группы кос», Mathematica Scandinavica , 10 : 119–126, doi : 10.7146/math.scand.a-10518 , MR  0150755
• Кассель, Кристиан; Тураев, Владимир (2008), Braid Groups, Springer, ISBN 978-0-387-33841-5
• Менаско, Уильям ; Тистлтуэйт, Морвен , ред. (2005), Справочник по теории узлов , Elsevier, ISBN 978-0-444-51452-3

Внешние ссылки

• «Группа кос». ПланетаМатематика .
• CRAG: Библиотека вычислений CRyptography и Groups из Центра алгебраической криптографии Университета Стивенса.
• Маколи, М. Лекция 1.3: Группы по науке, искусству и математике. Теория визуальных групп . Клемсонский университет.
• Бигелоу, Стивен . «Исследование Java-апплета B5». Архивировано из оригинала 4 июня 2013 года . Проверено 1 ноября 2007 г.
• Страница Липмаа, Хельгера, Криптографии и групп кос, заархивировано из оригинала 3 августа 2009 г.
• Далвит, Эстер (2015). Косы – фильм.
• Шерих, Нэнси. Представления групп кос. Танцуй свою докторскую степень .более подробно раскрыто в книге «За математикой «Танцуй со своей докторской степенью», часть 1: группы кос».