Детский рисунок

Graph drawing used to study Riemann surfaces

В математике детский рисунок — это тип графического вложения, используемый для изучения римановых поверхностей и для обеспечения комбинаторных инвариантов для действия абсолютной группы Галуа рациональных чисел . Название этих вложений по- французски означает «детский рисунок»; во множественном числе это либо dessins d'enfant , «детские рисунки», либо dessins d'enfants , «детские рисунки».

Детский рисунок — это граф , вершины которого попеременно окрашены в черный и белый цвета, встроенный в ориентированную поверхность , которая во многих случаях является просто плоскостью . Чтобы раскраска существовала, граф должен быть двудольным . Грани вложения должны быть топологическими дисками. Поверхность и вложение могут быть описаны комбинаторно с использованием системы вращения , циклического порядка ребер, окружающих каждую вершину графа, который описывает порядок, в котором ребра будут пересекаться путем, идущим по часовой стрелке по поверхности в небольшом цикле. вокруг вершины.

Любой рисунок может обеспечить поверхность, в которую он встроен, структурой, напоминающей риманову поверхность. Естественно задать вопрос, какие римановы поверхности возникают таким образом? Ответ дает теорема Белого , которая утверждает, что римановы поверхности, которые можно описать рисунками, — это именно те, которые можно определить как алгебраические кривые над полем алгебраических чисел . Абсолютная группа Галуа преобразует эти конкретные кривые друг в друга и тем самым также преобразует лежащие в их основе рисунки.

Более подробное рассмотрение этого вопроса см. в Schneps (1994) или Lando & Zvonkin (2004).

История

19 век

Ранние протоформы детских рисунков появились еще в 1856 году в икосианском исчислении Уильяма Роуэна Гамильтона ; ^[1] говоря современным языком, это гамильтоновы пути на икосаэдральном графе.

Узнаваемые современные рисунки детей и функции Белого использовал Феликс Кляйн . ^[2] Кляйн назвал эти диаграммы Linienzüge (немецкий язык, множественное число от Linienzug «линия-дорожка», также используется как термин для обозначения многоугольника ); он использовал белый кружок для прообраза 0 и «+» для прообраза 1, а не черный кружок для 0 и белый кружок для 1, как в современных обозначениях. ^[3] Он использовал эти диаграммы для построения 11-кратного покрытия сферы Римана с группой монодромии , следуя более ранним конструкциям 7-кратного покрытия с монодромией, связанной с квартикой Клейна . ^[4] Все они были связаны с его исследованиями геометрии уравнения пятой степени и группы , собранными в его знаменитых «Лекциях по икосаэдру» 1884/88 года . Много позже было показано, что три поверхности, построенные таким образом из этих трех групп, тесно связаны посредством явления троицы . ${\displaystyle PSL(2,11)}$ ${\displaystyle PSL(2,7)}$ ${\displaystyle A_{5}=PSL(2,5)}$

20 век

Dessins d'enfant в их современной форме были заново открыты более века спустя и названы Александром Гротендиком в 1984 году в его программе Esquisse d'un . ^[5] Заппони (2003) цитирует Гротендика относительно его открытия действия Галуа на детские рисунки:

Это технически столь простое открытие произвело на меня очень сильное впечатление и представляет собой решающий поворот в ходе моих размышлений, сдвиг, в частности, моего центра интереса к математике, который вдруг оказался сильно сфокусированным. Я не верю, что какой-либо математический факт когда-либо поразил меня так сильно, как этот, и не оказал сопоставимого психологического воздействия. Это, несомненно, связано с очень знакомой, нетехнической природой рассматриваемых объектов, совершенно наглядным примером которых является любой рисунок ребенка, нацарапанный на листе бумаги (по крайней мере, если рисунок сделан, не поднимая карандаша). К такому рисунку мы находим связанные тонкие арифметические инварианты, которые полностью переворачиваются вверх дном, как только мы добавляем еще одну черту.

Часть теории уже была независимо разработана Джонсом и Сингерманом (1978) незадолго до Гротендика. Они очерчивают соответствие между отображениями на топологических поверхностях, отображениями на римановых поверхностях и группами с некоторыми выделенными образующими, но не рассматривают действие Галуа. Их представление о карте соответствует конкретному экземпляру детского рисунка. Более поздняя работа Брайанта и Сингермана (1985) распространила рассмотрение на поверхности с границей.

Римановы поверхности и пары Белого

Комплексные числа вместе со специальной точкой, обозначенной как , образуют топологическое пространство , известное как сфера Римана . Любой полином и, в более общем плане, любая рациональная функция , где и являются полиномами, преобразует сферу Римана, отображая ее в себя. Рассмотрим, например, ^[6] рациональную функцию ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle p(x)/q(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle f(x)=-{\frac {(x-1)^{3}(x-9)}{64x}}=1-{\frac {(x^{2}-6x-3)^{2}}{64x}}.}$$

Детский рисунок, вытекающий из рациональной функции . Не в масштабе. ${\displaystyle f=-(x-1)^{3}(x-9)/64x}$

В большинстве точек сферы Римана это преобразование является локальным гомеоморфизмом : оно взаимно однозначно отображает небольшой диск с центром в любой точке в другой диск. Однако в некоторых критических точках отображение более сложное, и диск с центром в этой точке однозначно отображается на его образ. Число известно как степень критической точки, а преобразованное изображение критической точки известно как критическое значение . Приведенный выше пример имеет следующие критические точки и критические значения. (Некоторые точки сферы Римана, которые сами по себе не являются критическими, но отображаются в одно из критических значений, также включены; они обозначены степенью один.) ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$

Детский рисунок можно сформировать из, помещая черные точки на прообразы 0 (то есть 1 и 9), белые точки на прообразы 1 (то есть на ) и дуги на прообразы линии сегмент [0, 1]. Этот сегмент линии имеет четыре прообраза: два вдоль отрезка линии от 1 до 9 и два, образующие простую замкнутую кривую , которая зацикливается от 1 до самой себя, окружая 0; Получившийся рисунок показан на рисунке. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 3\pm 2{\sqrt {3}}}$

Преобразование детского рисунка в рисунок склейки полупространств римановой поверхности путем включения точек на бесконечности.

В другом направлении из этого рисунка, описанного как комбинаторный объект без указания расположения критических точек, можно сформировать компактную риманову поверхность и отображение этой поверхности в риманову сферу, эквивалентное отображению, из которого рисунок был построен изначально. Для этого поместите точку, отмеченную внутри каждой области рисунка (показана красными точками на втором рисунке), и триангулируйте каждую область, соединив эту точку с черными и белыми точками, образующими границу области, соединив несколько раз к одной и той же черной или белой точке, если она встречается несколько раз на границе области. Каждый треугольник в триангуляции имеет три вершины, помеченные 0 (для черных точек), 1 (для белых точек) или . Для каждого треугольника замените полуплоскость : либо верхнюю полуплоскость для треугольника с числами 0, 1 и в порядке против часовой стрелки, либо нижнюю полуплоскость для треугольника, в котором они расположены в порядке по часовой стрелке, и для каждой соседней пары. треугольников склеивают соответствующие полуплоскости вместе вдоль части их границ, обозначенной метками вершин. Полученную риманову поверхность можно отобразить в сферу Римана, используя тождественное отображение внутри каждой полуплоскости. Таким образом, детский рисунок, образованный из, достаточен, чтобы описать себя с точностью до биголоморфизма . Однако эта конструкция идентифицирует риманову поверхность лишь как многообразие сложной структуры; он не строит вложения этого многообразия как алгебраической кривой в комплексную проективную плоскость , хотя такое вложение всегда существует. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Та же самая конструкция применима и в более общем случае, когда — любая риманова поверхность и — функция Белого ; то есть голоморфная функция из сферы Римана, имеющая только 0, 1 и критические значения. Пара этого типа известна как пара Белого . Из любой пары Белого можно составить детский рисунок, нарисованный на поверхности , черные точки которого расположены на прообразах 0, белые точки - на прообразах 1, а края - вдоль прообразов отрезка . И наоборот, любой детский рисунок на любой поверхности может использоваться для определения инструкций склейки для набора полупространств, которые вместе образуют риманову поверхность, гомеоморфную ; отображение каждого полупространства тождеством на сферу Римана дает функцию Белого на и, следовательно, приводит к паре Белого . Любые две пары Белого , которые приводят к комбинаторно эквивалентным рисункам для детей, биголоморфны, и из теоремы Белого следует, что для любой компактной римановой поверхности , определенной над алгебраическими числами , существуют функция Белого и детский рисунок, которые обеспечивают комбинаторное описание оба и . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)}$ ${\displaystyle f^{-1}([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Карты и гиперкарты

Триангуляция сферы с группой треугольников (2,3,5), созданная с использованием правильного додекаэдра для построения чистого рисунка.

Триангуляция гиперболической плоскости с группой треугольников (2,3,7), порожденной как универсальное накрытие квартики Клейна

Вершина рисунка имеет теоретико-графовую степень , количество инцидентных ребер, равную ее степени как критической точки функции Белого. В приведенном выше примере все белые точки имеют вторую степень; рисунки, обладающие тем свойством, что каждая белая точка имеет два ребра, называются чистыми , а соответствующие им функции Белого — чистыми . Когда это происходит, можно описать рисунок с помощью более простого встроенного графа, вершинами которого являются только черные точки и который имеет ребро для каждой белой точки с конечными точками в двух черных соседях белой точки. Например, рисунок, показанный на рисунке, можно было бы нарисовать проще, как пару черных точек с ребром между ними и самопетлей на одной из точек. На чистом рисунке обычно рисуют только черные точки, а белые точки оставляют немаркированными; можно восстановить полный рисунок, добавив белую точку в середине каждого края карты.

Thus, any embedding of a graph in a surface in which each face is a disk (that is, a topological map) gives rise to a dessin by treating the graph vertices as black points of a dessin, and placing white points at the midpoint of each embedded graph edge. If a map corresponds to a Belyi function ${\displaystyle f}$, its dual map (the dessin formed from the preimages of the line segment ${\displaystyle [1,\infty ]}$) corresponds to the multiplicative inverse ${\displaystyle 1/f}$.^[7]

A dessin that is not clean can be transformed into a clean dessin in the same surface, by recoloring all of its points as black and adding new white points on each of its edges. The corresponding transformation of Belyi pairs is to replace a Belyi function ${\displaystyle \beta }$ by the pure Belyi function ${\displaystyle \gamma =4\beta (1-\beta )}$. One may calculate the critical points of ${\displaystyle \gamma }$ directly from this formula: ${\displaystyle \gamma ^{-1}(0)=\beta ^{-1}(0)\cup \beta ^{-1}(1)}$, ${\displaystyle \gamma ^{-1}(\infty )=\beta ^{-1}(\infty )}$, and ${\displaystyle \gamma ^{-1}(1)=\beta ^{-1}({\tfrac {1}{2}})}$. Thus, ${\displaystyle \gamma ^{-1}(1)}$ is the preimage under ${\displaystyle \beta }$ of the midpoint of the line segment ${\displaystyle [0,1]}$, and the edges of the dessin formed from ${\displaystyle \gamma }$ subdivide the edges of the dessin formed from ${\displaystyle \beta }$.

Under the interpretation of a clean dessin as a map, an arbitrary dessin is a hypermap: that is, a drawing of a hypergraph in which the black points represent vertices and the white points represent hyperedges.

Regular maps and triangle groups

The five Platonic solids – the regular tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron, and icosahedron – viewed as two-dimensional surfaces, have the property that any flag (a triple of a vertex, edge, and face that all meet each other) can be taken to any other flag by a symmetry of the surface. More generally, a map embedded in a surface with the same property, that any flag can be transformed to any other flag by a symmetry, is called a regular map.

If a regular map is used to generate a clean dessin, and the resulting dessin is used to generate a triangulated Riemann surface, then the edges of the triangles lie along lines of symmetry of the surface, and the reflections across those lines generate a symmetry group called a triangle group, for which the triangles form the fundamental domains. For example, the figure shows the set of triangles generated in this way starting from a regular dodecahedron. When the regular map lies in a surface whose genus is greater than one, the universal cover of the surface is the hyperbolic plane, and the triangle group in the hyperbolic plane formed from the lifted triangulation is a (cocompact) Fuchsian group representing a discrete set of isometries of the hyperbolic plane. In this case, the starting surface is the quotient of the hyperbolic plane by a finite index subgroup Γ in this group.

Conversely, given a Riemann surface that is a quotient of a ${\displaystyle (2,3,n)}$ tiling (a tiling of the sphere, Euclidean plane, or hyperbolic plane by triangles with angles ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$, and ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{n}}}$, the associated dessin is the Cayley graph given by the order two and order three generators of the group, or equivalently, the tiling of the same surface by ${\displaystyle n}$-gons meeting three per vertex. Vertices of this tiling give black dots of the dessin, centers of edges give white dots, and centers of faces give the points over infinity.

Trees and Shabat polynomials

The dessin d'enfant corresponding to the sextic monomial ${\displaystyle p(x)=x^{6}}$.

The Chebyshev polynomials and the corresponding dessins d'enfants, alternately-colored path graphs.

The simplest bipartite graphs are the trees. Any embedding of a tree has a single region, and therefore by Euler's formula lies in a spherical surface. The corresponding Belyi pair forms a transformation of the Riemann sphere that, if one places the pole at ${\displaystyle \infty }$, can be represented as a polynomial. Conversely, any polynomial with 0 and 1 as its finite critical values forms a Belyi function from the Riemann sphere to itself, having a single infinite-valued critical point, and corresponding to a dessin d'enfant that is a tree. The degree of the polynomial equals the number of edges in the corresponding tree. Such a polynomial Belyi function is known as a Shabat polynomial,^[8] after George Shabat.

For example, take ${\displaystyle p}$ to be the monomial ${\displaystyle p(x)=x^{d}}$ having only one finite critical point and critical value, both zero. Although 1 is not a critical value for ${\displaystyle p}$, it is still possible to interpret ${\displaystyle p}$ as a Belyi function from the Riemann sphere to itself because its critical values all lie in the set ${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$. The corresponding dessin d'enfant is a star having one central black vertex connected to ${\displaystyle d}$ white leaves (a complete bipartite graph ${\displaystyle K_{1,d}}$).

More generally, a polynomial ${\displaystyle p(x)}$ having two critical values ${\displaystyle y_{1}}$ and ${\displaystyle y_{2}}$ may be termed a Shabat polynomial. Such a polynomial may be normalized into a Belyi function, with its critical values at 0 and 1, by the formula

$${\displaystyle q(x)={\frac {p(x)-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}},}$$

${\displaystyle p}$^[9]

An important family of examples of Shabat polynomials are given by the Chebyshev polynomials of the first kind, ${\displaystyle T_{n}(x)}$, which have −1 and 1 as critical values. The corresponding dessins take the form of path graphs, alternating between black and white vertices, with ${\displaystyle n}$ edges in the path. Due to the connection between Shabat polynomials and Chebyshev polynomials, Shabat polynomials themselves are sometimes called generalized Chebyshev polynomials.^[9][10]

Different trees will, in general, correspond to different Shabat polynomials, as will different embeddings or colorings of the same tree. Up to normalization and linear transformations of its argument, the Shabat polynomial is uniquely determined from a coloring of an embedded tree, but it is not always straightforward to find a Shabat polynomial that has a given embedded tree as its dessin d'enfant.

The absolute Galois group and its invariants

Two conjugate dessins d'enfants

The polynomial

$${\displaystyle p(x)=x^{3}(x^{2}-2x+a)^{2}\,}$$

^[11]

$${\displaystyle a={\frac {34\pm 6{\sqrt {21}}}{7}}.}$$

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$nonisomorphic

However, as these polynomials are defined over the algebraic number field ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {21}})}$, they may be transformed by the action of the absolute Galois group ${\displaystyle \Gamma }$ of the rational numbers. An element of ${\displaystyle \Gamma }$ that transforms ${\displaystyle {\sqrt {21}}}$ to ${\displaystyle -{\sqrt {21}}}$ will transform ${\displaystyle f_{1}}$ into ${\displaystyle f_{2}}$ and vice versa, and thus can also be said to transform each of the two trees shown in the figure into the other tree. More generally, due to the fact that the critical values of any Belyi function are the pure rationals 0, 1, and ${\displaystyle \infty }$, these critical values are unchanged by the Galois action, so this action takes Belyi pairs to other Belyi pairs. One may define an action of ${\displaystyle \Gamma }$ on any dessin d'enfant by the corresponding action on Belyi pairs; this action, for instance, permutes the two trees shown in the figure.

Due to Belyi's theorem, the action of ${\displaystyle \Gamma }$ on dessins is faithful (that is, every two elements of ${\displaystyle \Gamma }$ define different permutations on the set of dessins),^[12] so the study of dessins d'enfants can tell us much about ${\displaystyle \Gamma }$ itself. In this light, it is of great interest to understand which dessins may be transformed into each other by the action of ${\displaystyle \Gamma }$ and which may not. For instance, one may observe that the two trees shown have the same degree sequences for their black nodes and white nodes: both have a black node with degree three, two black nodes with degree two, two white nodes with degree two, and three white nodes with degree one. This equality is not a coincidence: whenever ${\displaystyle \Gamma }$ transforms one dessin into another, both will have the same degree sequence. The degree sequence is one known invariant of the Galois action, but not the only invariant.

The stabilizer of a dessin is the subgroup of ${\displaystyle \Gamma }$ consisting of group elements that leave the dessin unchanged. Due to the Galois correspondence between subgroups of ${\displaystyle \Gamma }$ and algebraic number fields, the stabilizer corresponds to a field, the field of moduli of the dessin. An orbit of a dessin is the set of all other dessins into which it may be transformed; due to the degree invariant, orbits are necessarily finite and stabilizers are of finite index. One may similarly define the stabilizer of an orbit (the subgroup that fixes all elements of the orbit) and the corresponding field of moduli of the orbit, another invariant of the dessin. The stabilizer of the orbit is the maximal normal subgroup of ${\displaystyle \Gamma }$ contained in the stabilizer of the dessin, and the field of moduli of the orbit corresponds to the smallest normal extension of ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ that contains the field of moduli of the dessin. For instance, for the two conjugate dessins considered in this section, the field of moduli of the orbit is ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {21}})}$. The two Belyi functions ${\displaystyle f_{1}}$ and ${\displaystyle f_{2}}$ of this example are defined over the field of moduli, but there exist dessins for which the field of definition of the Belyi function must be larger than the field of moduli.^[13]

Notes

1. Hamilton (1856). See also Jones (1995).
2. Klein (1879).
3. le Bruyn (2008).
4. Klein (1878–1879a); Klein (1878–1879b).
5. Grothendieck (1984)
6. This example was suggested by Lando & Zvonkin (2004), pp. 109–110.
7. Lando & Zvonkin (2004), pp. 120–121.
8. Girondo & González-Diez (2012) p. 252
9. Lando & Zvonkin (2004), p. 82.
10. Jones, G. and Streit, M. "Galois groups, monodromy groups and cartographic groups", p. 43 in Schneps & Lochak (2007) pp. 25–66. Zbl 0898.14012
11. Lando & Zvonkin (2004), pp. 90–91. For the purposes of this example, ignore the parasitic solution ${\displaystyle a={\tfrac {25}{21}}}$.
12. ${\displaystyle \Gamma }$ acts faithfully even when restricted to dessins that are trees; see Lando & Zvonkin (2004), Theorem 2.4.15, pp. 125–126.
13. Lando & Zvonkin (2004), pp. 122–123.

References

• le Bruyn, Lieven (2008), Klein's dessins d'enfant and the buckyball.
• Bryant, Robin P.; Singerman, David (1985), "Foundations of the theory of maps on surfaces with boundary", Quarterly Journal of Mathematics, Second Series, 36 (141): 17–41, doi:10.1093/qmath/36.1.17, MR 0780347.
• Girondo, Ernesto; González-Diez, Gabino (2012), Introduction to compact Riemann surfaces and dessins d'enfants, London Mathematical Society Student Texts, vol. 79, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-74022-7, Zbl 1253.30001.
• Grothendieck, A. (1984), Esquisse d'un programme
• Hamilton, W. R. (17 October 1856), Letter to John T. Graves "On the Icosian". Collected in Halberstam, H.; Ingram, R. E., eds. (1967), Mathematical papers, Vol. III, Algebra, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 612–625.
• Jones, Gareth (1995), "Dessins d'enfants: bipartite maps and Galois groups", Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B35d: 4, archived from the original on 8 April 2017, retrieved 2 June 2010.
• Jones, Gareth; Singerman, David (1978), "Theory of maps on orientable surfaces", Proceedings of the London Mathematical Society, 37 (2): 273–307, doi:10.1112/plms/s3-37.2.273.
• Klein, Felix (1878–79), "Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades (On the transformation of elliptic functions and ...)", Mathematische Annalen, 14: 13–75 (in Oeuvres, Tome 3), doi:10.1007/BF02297507, S2CID 121056952, archived from the original on 19 July 2011, retrieved 2 June 2010.
• Klein, Felix (1878–79), "Über die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen (On the seventh order transformation of elliptic functions)", Mathematische Annalen, 14: 90–135 (in Oeuvres, Tome 3), doi:10.1007/BF01677143, S2CID 121407539, archived from the original on 24 February 2012, retrieved 9 July 2010.
• Klein, Felix (1879), "Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (On the eleventh order transformation of elliptic functions)", Mathematische Annalen, 15 (3–4): 533–555, doi:10.1007/BF02086276, S2CID 120316938, collected as pp. 140–165 in Oeuvres, Tome 3 Archived 19 July 2011 at the Wayback Machine.
• Lando, Sergei K.; Zvonkin, Alexander K. (2004), Graphs on Surfaces and Their Applications, Encyclopaedia of Mathematical Sciences: Lower-Dimensional Topology II, vol. 141, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00203-1, Zbl 1040.05001. See especially chapter 2, "Dessins d'Enfants", pp. 79–153.
• Schneps, Leila, ed. (1994), The Grothendieck Theory of Dessins d'Enfants, London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-47821-2.
• Schneps, Leila; Lochak, Pierre, eds. (1997), Geometric Galois actions II. The inverse Galois problem, moduli spaces and mapping class groups. Proceedings of the conference on geometry and arithmetic of moduli spaces, Luminy, France, August 1995, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 243, Cambridge University Press, ISBN 0-521-59641-6, Zbl 0868.00040.
• Shabat, G.B.; Voedvodsky, V.A. (2007) [1990], "Drawing curves over number fields", in Cartier, P.; Illusie, L.; Katz, N.M.; Laumon, G.; Manin, Yu.I.; Ribet, K.A. (eds.), The Grothendieck Festschrift Volume III, Modern Birkhäuser Classics, Birkhäuser, pp. 199–227, ISBN 978-0-8176-4568-7, Zbl 0790.14026.
• Singerman, David; Syddall, Robert I. (2003), "The Riemann Surface of a Uniform Dessin", Beiträge zur Algebra und Geometrie, 44 (2): 413–430, MR 2017042, Zbl 1064.14030.
• Zapponi, Leonardo (August 2003), "What is a Dessin d'Enfant" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 50 (7): 788–789, Zbl 1211.14001.