Расходящиеся ряды

Бесконечный ряд, который не сходится

Les séries divergentes sont en général quelque выбрали de bien Fatal et c'est une honte qu'on ose y fonder aucune démonstration. («Расходящиеся ряды — это вообще нечто фатальное, и позорно основывать на них какие-либо доказательства». Часто переводится как «Расходящиеся ряды — изобретение дьявола…»)

Письмо Н. Х. Абеля к Холмбоу, январь 1826 г., перепечатано во 2-м томе его собрания сочинений.

В математике расходящийся ряд — это бесконечный ряд , который не является сходящимся , то есть бесконечная последовательность частичных сумм ряда не имеет конечного предела .

Если ряд сходится, то отдельные члены ряда должны стремиться к нулю. Таким образом, любой ряд, в котором отдельные члены не стремятся к нулю, расходится. Однако сходимость является более сильным условием: не все ряды, члены которых стремятся к нулю, сходятся. Контрпримером является гармонический ряд

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.}$

Расходимость гармонического ряда была доказана средневековым математиком Николем Оремом .

В специализированных математических контекстах значения могут быть объективно назначены определенным рядам, последовательности частичных сумм которых расходятся, чтобы придать смысл расхождению ряда. Метод суммирования или метод суммирования — это частичная функция от множества рядов к значениям. Например, суммирование Чезаро назначает расходящийся ряд Гранди

${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$

значение ⁠1/2⁠ . Суммирование Чезаро является методом усреднения , поскольку оно опирается на среднее арифметическое последовательности частичных сумм. Другие методы включают аналитические продолжения связанных рядов. В физике существует большое разнообразие методов суммирования; они более подробно обсуждаются в статье о регуляризации .

История

... но в целом верно будет сказать, что математики до Коши спрашивали не «Как нам определить 1 − 1 + 1...?», а «Чему равно 1 − 1 + 1...?», и что этот образ мышления приводил их к ненужным недоумениям и спорам, которые часто были на самом деле словесными.

GH Hardy, серия «Дивергент», стр. 6

До 19 века расходящиеся ряды широко использовались Леонардом Эйлером и другими, но часто приводили к запутанным и противоречивым результатам. Основной проблемой была идея Эйлера о том, что любой расходящийся ряд должен иметь натуральную сумму, без предварительного определения того, что подразумевается под суммой расходящегося ряда. Огюстен-Луи Коши в конечном итоге дал строгое определение суммы (сходящегося) ряда, и некоторое время после этого расходящиеся ряды были в основном исключены из математики. Они вновь появились в 1886 году с работой Анри Пуанкаре об асимптотических рядах. В 1890 году Эрнесто Чезаро понял, что можно дать строгое определение суммы некоторых расходящихся рядов, и определил суммирование Чезаро . (Это было не первое использование суммирования Чезаро, которое неявно использовал Фердинанд Георг Фробениус в 1880 году; ключевым вкладом Чезаро было не открытие этого метода, а его идея о том, что следует дать явное определение суммы расходящегося ряда.) В последующие годы после статьи Чезаро несколько других математиков дали другие определения суммы расходящегося ряда, хотя они не всегда совместимы: разные определения могут давать разные ответы для суммы одного и того же расходящегося ряда; поэтому, говоря о сумме расходящегося ряда, необходимо указывать, какой метод суммирования используется.

Примеры

• 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}{\frac {1}{2}}}$
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}{\frac {1}{4}}}$
• 1 – 1 + 2 – 6 + 24 – 120 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}\!\!\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}\,dx\approx 0.596\,347\ldots }$
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}{\frac {1}{3}}}$
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}-1}$
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}-{\frac {1}{2}}}$
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}-{\frac {1}{12}}}$

Теоремы о методах суммирования расходящихся рядов

Метод суммирования M является регулярным , если он согласуется с фактическим пределом для всех сходящихся рядов . Такой результат называется абелевой теоремой для M , от прототипической теоремы Абеля . Более тонкими являются частично обратные результаты, называемые тауберовыми теоремами , от прототипа, доказанного Альфредом Таубером . Здесь частичное обращение означает, что если M суммирует ряд Σ , и выполняется некоторое побочное условие, то Σ изначально был сходящимся; без какого-либо побочного условия такой результат говорил бы, что M суммирует только сходящиеся ряды (что делает его бесполезным в качестве метода суммирования для расходящихся рядов).

Функция, дающая сумму сходящегося ряда, является линейной , и из теоремы Хана–Банаха следует , что она может быть расширена до метода суммирования, суммирующего любые ряды с ограниченными частичными суммами. Это называется пределом Банаха . Этот факт не очень полезен на практике, поскольку существует много таких расширений, несовместимых друг с другом, а также поскольку доказательство существования таких операторов требует использования аксиомы выбора или ее эквивалентов, таких как лемма Цорна . Поэтому они неконструктивны.

Предмет расходящихся рядов, как область математического анализа , в первую очередь касается явных и естественных методов, таких как суммирование Абеля , суммирование Чезаро и суммирование Бореля , а также их взаимосвязей. Появление тауберовой теоремы Винера ознаменовало эпоху в предмете, представив неожиданные связи с методами банаховой алгебры в анализе Фурье .

Суммирование расходящихся рядов также связано с методами экстраполяции и преобразованиями последовательностей как численными методами. Примерами таких методов являются аппроксимации Паде , преобразования последовательностей типа Левина и зависящие от порядка отображения, связанные с методами перенормировки для теории возмущений большого порядка в квантовой механике .

Свойства методов суммирования

Методы суммирования обычно концентрируются на последовательности частичных сумм ряда. Хотя эта последовательность не сходится, мы часто можем обнаружить, что когда мы берем среднее значение все большего и большего числа начальных членов последовательности, среднее значение сходится, и мы можем использовать это среднее значение вместо предела для оценки суммы ряда. Метод суммирования можно рассматривать как функцию от набора последовательностей частичных сумм к значениям. Если A — это любой метод суммирования, присваивающий значения набору последовательностей, мы можем механически перевести это в метод суммирования рядов A ^Σ , который присваивает те же значения соответствующим рядам. Существуют определенные свойства, которыми желательно обладать этим методам, если они должны приходить к значениям, соответствующим пределам и суммам соответственно.

• Регулярность . Метод суммирования является регулярным , если всякий раз, когда последовательность s сходится к x , A ( s ) = x . Эквивалентно, соответствующий метод суммирования рядов оценивает A ^Σ ( a ) = x .
• Линейность . A линеен , если он является линейным функционалом на последовательностях, где он определен, так что A ( k r + s ) = k A ( r ) + A ( s ) для последовательностей r , s и действительного или комплексного скаляра k . Поскольку члены a _{n +1} = s _{n +1} − s _n ряда a являются линейными функционалами на последовательности s и наоборот, это эквивалентно тому, что A ^Σ является линейным функционалом на членах ряда.
• Устойчивость (также называемая транслятивностью ). Если s — последовательность, начинающаяся с s ₀ , а s ′ — последовательность, полученная путем опускания первого значения и вычитания его из остальных, так что s ′ _n = s _{n +1} − s ₀ , то A ( s ) определено тогда и только тогда, когда определено A ( s ′), и A ( s ) = s ₀ + A ( s ′). Эквивалентно, всякий раз, когда a ′ _n = a _{n +1} для всех n , то A ^Σ ( a ) = a ₀ + A ^Σ ( a ′). ^{[1] [2]} Другой способ сформулировать это — то, что правило сдвига должно быть действительным для рядов, которые суммируются этим методом.

Третье условие менее важно, и некоторые значимые методы, такие как суммирование Бореля , им не обладают. ^[3]

Можно также дать более слабую альтернативу последнему условию.

• Конечная переиндексируемость . Если a и a ′ — два ряда, такие, что существует биекция, такая что a _i = a ′ _{f ( i )} для всех i , и если существует некоторая такая, что a _i = a ′ _i для всех i  >  N , то A ^Σ ( a ) = A ^Σ ( a ′ ). (Другими словами, a ′ — тот же ряд, что и a , только с конечным числом переиндексированных членов.) Это более слабое условие, чем устойчивость , потому что любой метод суммирования, который демонстрирует устойчивость, также демонстрирует конечную переиндексируемость , но обратное неверно.) ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

Желательным свойством для двух различных методов суммирования A и B является их согласованность : A и B согласованы , если для каждой последовательности s , которой оба присваивают значение, A ( s ) = B ( s ). (Используя этот язык, метод суммирования A является регулярным тогда и только тогда, когда он согласован со стандартной суммой Σ .) Если два метода согласованы, и один суммирует больше рядов, чем другой, тот, который суммирует больше рядов, является более сильным .

Существуют мощные методы численного суммирования, которые не являются ни регулярными, ни линейными, например, нелинейные преобразования последовательностей , такие как преобразования последовательностей типа Левина и аппроксимации Паде , а также зависящие от порядка отображения рядов возмущений, основанные на методах перенормировки .

Принимая регулярность, линейность и устойчивость в качестве аксиом, можно суммировать многие расходящиеся ряды с помощью элементарных алгебраических манипуляций. Это частично объясняет, почему многие различные методы суммирования дают одинаковый ответ для определенных рядов.

Например, если r ≠ 1, геометрическая прогрессия

${\displaystyle {\begin{aligned}G(r,c)&=\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&\\&=c+\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k+1}&&{\text{ (stability) }}\\&=c+r\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&{\text{ (linearity) }}\\&=c+r\,G(r,c),&&{\text{ hence }}\\G(r,c)&={\frac {c}{1-r}},{\text{ unless it is infinite}}&&\\\end{aligned}}}$

может быть оценено независимо от сходимости. Более строго, любой метод суммирования, который обладает этими свойствами и который присваивает конечное значение геометрической прогрессии, должен присваивать это значение. Однако, когда r является действительным числом больше 1, частичные суммы увеличиваются без ограничений, а методы усреднения присваивают предел бесконечности.

Классические методы суммирования

Два классических метода суммирования рядов, обычная сходимость и абсолютная сходимость, определяют сумму как предел определенных частичных сумм. Они включены только для полноты; строго говоря, они не являются истинными методами суммирования расходящихся рядов, поскольку по определению ряд является расходящимся только в том случае, если эти методы не работают. Большинство, но не все, методов суммирования расходящихся рядов распространяют эти методы на более широкий класс последовательностей.

Абсолютная сходимость

Абсолютная сходимость определяет сумму последовательности (или набора) чисел как предел сети всех частичных сумм a _{k 1} + ... + a _{k n} , если она существует. Она не зависит от порядка элементов последовательности, и классическая теорема гласит, что последовательность абсолютно сходится тогда и только тогда, когда последовательность абсолютных значений сходится в стандартном смысле.

Сумма ряда

Классическое определение Коши суммы ряда a ₀ + a ₁ + ... определяет сумму как предел последовательности частичных сумм a ₀ + ... + a _n . Это определение сходимости последовательности по умолчанию.

Норлунд означает

Предположим, что p _n — последовательность положительных членов, начиная с p _0. Предположим также, что

${\displaystyle {\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}\rightarrow 0.}$

Если теперь мы преобразуем последовательность s, используя p, чтобы получить взвешенные средние значения, установив

${\displaystyle t_{m}={\frac {p_{m}s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{0}s_{m}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}}}$

тогда предел t _n при n, стремящемся к бесконечности, представляет собой среднее значение, называемое средним значением Норлунда N _p ( s ).

Среднее Норлунда регулярно, линейно и стабильно. Более того, любые два средних Норлунда являются согласованными.

Подведение итогов по Чезаро

Наиболее значимыми из средних Норлунда являются суммы Чезаро. Здесь, если мы определим последовательность p ^k как

${\displaystyle p_{n}^{k}={n+k-1 \choose k-1}}$

тогда сумма Чезаро C _k определяется как C _k ( s ) = N _{( p ^k )} ( s ). Суммы Чезаро являются средними Нёрлунда, если k ≥ 0 , и, следовательно, являются регулярными, линейными, устойчивыми и непротиворечивыми. C ₀ — это обычное суммирование, а C ₁ — это обычное суммирование Чезаро . Суммы Чезаро обладают тем свойством, что если h > k , то C _h сильнее, чем C _k .

Абелево означает

Предположим, что λ = { λ ₀ , λ ₁ , λ ₂ ,... } — строго возрастающая последовательность, стремящаяся к бесконечности, и что λ ₀ ≥ 0. Предположим,

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}x}}$

сходится для всех действительных чисел x  > 0. Тогда абелево среднее A _λ определяется как

${\displaystyle A_{\lambda }(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x).}$

В более общем случае, если ряд для f сходится только при больших x, но может быть аналитически продолжен до всех положительных действительных x , то сумму расходящегося ряда все равно можно определить с помощью приведенного выше предела.

Ряд такого типа известен как обобщенный ряд Дирихле ; в приложениях к физике это известно как метод регуляризации теплового ядра .

Абелевы средние регулярны и линейны, но не стабильны и не всегда согласованы между различными вариантами λ . Однако некоторые особые случаи являются очень важными методами суммирования.

суммирование Абеля

Если λ _n = n , то получаем метод суммирования Абеля . Здесь

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-nx}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$

где z  = exp(− x ). Тогда предел f ( x ) при приближении x к 0 через положительные действительные числа является пределом степенного ряда для f ( z ) при приближении z к 1 снизу через положительные действительные числа, а сумма Абеля A ( s ) определяется как

${\displaystyle A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}$

Суммирование Абеля интересно отчасти потому, что оно согласуется с суммированием Чезаро , но является более мощным : A ( s ) = C _k ( s ) всякий раз, когда последнее определено. Таким образом, сумма Абеля является регулярной, линейной, стабильной и согласуется с суммированием Чезаро.

суммирование Линделёфа

Если λ _n = n log( n ) , то (индексируя с единицы) имеем

${\displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}2^{-2x}+a_{3}3^{-3x}+\cdots .}$

Тогда L ( s ), сумма Линделёфа , ^[4] является пределом f ( x ), когда x стремится к положительному нулю. Сумма Линделёфа является мощным методом, применяемым к степенным рядам среди других приложений, суммируя степенные ряды в звезде Миттаг-Леффлера .

Если g ( z ) аналитична в круге вокруг нуля и, следовательно, имеет ряд Маклорена G ( z ) с положительным радиусом сходимости, то L ( G ( z )) = g ( z ) в звезде Миттаг-Леффлера. Более того, сходимость к g ( z ) равномерна на компактных подмножествах звезды.

Аналитическое продолжение

Некоторые методы суммирования предполагают получение значения аналитического продолжения функции.

Аналитическое продолжение степенного ряда

Если Σ a _n x ⁿ сходится для малых комплексных x и может быть аналитически продолжена вдоль некоторого пути от x  = 0 до точки x  = 1, то сумма ряда может быть определена как значение при x  = 1. Это значение может зависеть от выбора пути. Один из первых примеров потенциально различных сумм для расходящегося ряда, использующего аналитическое продолжение, был дан Калле ^[5], который заметил, что если то ${\displaystyle 1\leq m<n}$

${\displaystyle {\frac {1-x^{m}}{1-x^{n}}}={\frac {1+x+\dots +x^{m-1}}{1+x+\dots x^{n-1}}}=1-x^{m}+x^{n}-x^{n+m}+x^{2n}-\dots }$

Оценивая в , получаем ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle 1-1+1-1+\dots ={\frac {m}{n}}.}$

Однако пробелы в ряду являются ключевыми. Например, мы фактически получили бы ${\displaystyle m=1,n=3}$

${\displaystyle 1-1+0+1-1+0+1-1+\dots ={\frac {1}{3}}}$, поэтому разные суммы соответствуют разным расположениям «». ${\displaystyle 0}$

Другим примером аналитического продолжения является расходящийся знакопеременный ряд , который является суммой по произведениям -функций и символов Похгаммера . Используя формулу удвоения -функции , он сводится к обобщенному гипергеометрическому ряду ${\displaystyle \sum _{k\geq 0}(-1)^{k+1}{\frac {1}{2k-1}}{\binom {2k}{k}}=1+2-2+4-10+28-84+264-858+2860-9724+\cdots }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \ldots =\sum _{k\geq 0}(-4)^{k}{\frac {(-1/2)_{k}}{k!}}={}_{1}F_{0}(-1/2;;-4)={\sqrt {5}}.}$

суммирование Эйлера

Суммирование Эйлера по сути является явной формой аналитического продолжения. Если степенной ряд сходится для малых комплексных z и может быть аналитически продолжен на открытый круг с диаметром от ⁠−1/д  + 1⁠ к 1 и непрерывна в 1, то ее значение в q называется суммой Эйлера или (E, q ) ряда Σ a _n . Эйлер использовал ее до того, как аналитическое продолжение было определено в общем виде, и дал явные формулы для степенного ряда аналитического продолжения.

Операция суммирования Эйлера может быть повторена несколько раз, и это по сути эквивалентно аналитическому продолжению степенного ряда до точки  z  = 1.

Аналитическое продолжение ряда Дирихле

Этот метод определяет сумму ряда как значение аналитического продолжения ряда Дирихле

${\displaystyle f(s)={\frac {a_{1}}{1^{s}}}+{\frac {a_{2}}{2^{s}}}+{\frac {a_{3}}{3^{s}}}+\cdots }$

при s  = 0, если это существует и является уникальным. Этот метод иногда путают с регуляризацией дзета-функции.

Если s  = 0 — изолированная особенность, то сумма определяется постоянным членом разложения ряда Лорана.

Регуляризация дзета-функции

Если серия

${\displaystyle f(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+{\frac {1}{a_{3}^{s}}}+\cdots }$

(для положительных значений a n ₎ сходится для больших действительных s и может быть аналитически продолжена вдоль действительной прямой до s  = −1, тогда ее значение при s  = −1 называется дзета-регуляризованной суммой ряда a ₁  +  a ₂  + ... Регуляризация дзета-функции нелинейна. В приложениях числа a _i иногда являются собственными значениями самосопряженного оператора A с компактной резольвентой, и f ( s ) тогда является следом A ^{− s} . Например, если A имеет собственные значения 1, 2, 3, ... то f ( s ) является дзета-функцией Римана , ζ ( s ), значение которой при s  = −1 равно − ⁠1/12⁠ , присваивая значение расходящемуся ряду 1 + 2 + 3 + 4 + ... . Другие значения s также могут быть использованы для присвоения значений расходящимся суммам ζ (0) = 1 + 1 + 1 + ... = − ⁠1/2⁠ , ζ (−2) = 1 + 4 + 9 + ... = 0 и вообще

${\displaystyle \zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\cdots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}\,,}$

где B _k — число Бернулли . ^[6]

Интегральная функция означает

Если J ( x ) = Σ p _n x ⁿ — целая функция, то сумма J ряда a ₀  + ... определяется как

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{n}p_{n}(a_{0}+\cdots +a_{n})x^{n}}{\sum _{n}p_{n}x^{n}}},}$

если этот предел существует.

Существует разновидность этого метода, где ряд для J имеет конечный радиус сходимости r и расходится при x  =  r . В этом случае сумма определяется так же, как и выше, за исключением того, что предел берется при стремлении x к r, а не к бесконечности.

суммирование Бореля

В частном случае, когда J ( x ) =  e ^x, это дает одну (слабую) форму суммирования Бореля .

Метод Валирона

Метод Валирона является обобщением суммирования Бореля на некоторые более общие интегральные функции J. Валирона показал, что при определенных условиях это эквивалентно определению суммы ряда как

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt {\frac {H(n)}{2\pi }}}\sum _{h\in Z}e^{-{\frac {1}{2}}h^{2}H(n)}(a_{0}+\cdots +a_{h})}$

где H — вторая производная G и c ( n ) =  e ^{− G ( n )} , а a ₀  + ... +  a _h следует интерпретировать как 0, когда  h  < 0.

Методы моментов

Предположим, что dμ — мера на действительной прямой, такая, что все моменты

${\displaystyle \mu _{n}=\int x^{n}\,d\mu }$

конечны. Если a ₀  +  a ₁  + ... — ряд такой, что

${\displaystyle a(x)={\frac {a_{0}x^{0}}{\mu _{0}}}+{\frac {a_{1}x^{1}}{\mu _{1}}}+\cdots }$

сходится для всех x в носителе μ , то сумма ( dμ ) ряда определяется как значение интеграла

${\displaystyle \int a(x)\,d\mu }$

если она определена. (Если числа μ _n увеличиваются слишком быстро, то они не определяют однозначно меру μ .)

суммирование Бореля

Например, если dμ  =  e ^{− x}  dx для положительных x и 0 для отрицательных x , то μ _n  =  n !, и это дает одну из версий суммирования Бореля , где значение суммы задается как

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n}}{n!}}\,dt.}$

Существует обобщение этого уравнения, зависящее от переменной α , называемое суммой (B′, α ), где сумма ряда a ₀  + ... определяется как

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n\alpha }}{\Gamma (n\alpha +1)}}\,dt}$

если этот интеграл существует. Дальнейшее обобщение состоит в замене суммы под интегралом ее аналитическим продолжением от малых  t .

Разные методы

BGN гиперреальное суммирование

Этот метод суммирования работает с использованием расширения действительных чисел, известного как гипердействительные числа . Поскольку гипердействительные числа включают в себя различные бесконечные значения, эти числа можно использовать для представления значений расходящихся рядов. Ключевой метод заключается в обозначении конкретного бесконечного значения, которое суммируется, обычно , которое используется в качестве единицы бесконечности. Вместо суммирования до произвольной бесконечности (как это обычно делается с ), метод BGN суммирует до определенного гипердействительного бесконечного значения, обозначенного . Таким образом, суммирование имеет вид ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \sum _{x=1}^{\omega }f(x)}$

Это позволяет использовать стандартные формулы для конечных рядов, таких как арифметические прогрессии в бесконечном контексте. Например, используя этот метод, сумма прогрессии равна , или, используя только самую значительную бесконечную гипердействительную часть, . ^[7] ${\displaystyle 1+2+3+\ldots }$ ${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{2}}+{\frac {\omega }{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{2}}}$

Преобразования Хаусдорфа

Харди (1949, глава 11).

суммирование по Гёльдеру

Метод Хаттона

В 1812 году Хаттон предложил метод суммирования расходящихся рядов, начав с последовательности частичных сумм и многократно применяя операцию замены последовательности  s ₀ ,  s ₁ , ... последовательностью средних значений ⁠с ₀  +  с ₁/2⁠ , ⁠с ₁  +  с ₂/2⁠ , ..., а затем взятие предела. ^[8]

Ингамская суммируемость

Ряд a ₁  + ... называется суммируемым по Ингаму к s , если

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}{\frac {n}{x}}\left[{\frac {x}{n}}\right]=s.}$

Альберт Ингам показал, что если δ — любое положительное число, то суммируемость по (C,− δ ) (Чезаро) влечет суммируемость по Ингаму, а суммируемость по Ингаму влечет суммируемость по (C, δ ). ^[9]

Суммируемость Ламберта

Ряд a ₁  + ... называется суммируемым по Ламберту к s , если

${\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0^{+}}\sum _{n\geq 1}a_{n}{\frac {nye^{-ny}}{1-e^{-ny}}}=s.}$

Если ряд суммируем по (C, k ) (Чезаро) для любого k , то он суммируем по Ламберту к тому же значению, а если ряд суммируем по Ламберту, то он суммируем по Абелю к тому же значению. ^[9]

Подведение итогов Ле Роя

Ряд a ₀  + ... называется суммируемым по Ле Руа к s, если ^[10]

${\displaystyle \lim _{\zeta \rightarrow 1^{-}}\sum _{n}{\frac {\Gamma (1+\zeta n)}{\Gamma (1+n)}}a_{n}=s.}$

Суммирование Миттаг-Леффлера

Ряд a ₀  + ... называется рядом Миттаг-Леффлера (M), суммируемым к s , если ^[10]

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{\Gamma (1+\delta n)}}=s.}$

Рамануджан суммирование

Суммирование Рамануджана — это метод присвоения значения расходящимся рядам, используемый Рамануджаном и основанный на формуле суммирования Эйлера–Маклорена . Сумма Рамануджана ряда f (0) + f (1) + ... зависит не только от значений f в целых числах, но и от значений функции f в нецелых точках, поэтому это не совсем метод суммирования в смысле данной статьи.

суммируемость Римана

Ряд a ₁  + ... называется (R, k ) (или Риманом) суммируемым к s, если ^[11]

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}\sum _{n}a_{n}\left({\frac {\sin nh}{nh}}\right)^{k}=s.}$

Ряд a ₁  + ... называется R ₂ суммируемым к s , если

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2}{\pi }}\sum _{n}{\frac {\sin ^{2}nh}{n^{2}h}}(a_{1}+\cdots +a_{n})=s.}$

Рисс означает

Если λ _n образуют возрастающую последовательность действительных чисел и

${\displaystyle A_{\lambda }(x)=a_{0}+\cdots +a_{n}{\text{ for }}\lambda _{n}<x\leq \lambda _{n+1}}$

тогда сумма Рисса (R, λ , κ ) ряда a ₀  + ... определяется как

${\displaystyle \lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {\kappa }{\omega ^{\kappa }}}\int _{0}^{\omega }A_{\lambda }(x)(\omega -x)^{\kappa -1}\,dx.}$

Суммируемость Валле-Пуссена

Ряд a ₁  + ... называется VP (или Валле-Пуссеном), суммируемым к s , если

${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{m}a_{k}{\frac {[\Gamma (m+1)]^{2}}{\Gamma (m+1-k)\,\Gamma (m+1+k)}}=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[a_{0}+a_{1}{\frac {m}{m+1}}+a_{2}{\frac {m(m-1)}{(m+1)(m+2)}}+\cdots \right]=s,}$

где - гамма-функция. ^[11] ${\displaystyle \Gamma (x)}$

Зельдович суммируемость

Ряд суммируем по Зельдовичу, если

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}\sum _{n}c_{n}e^{-\alpha n^{2}}=s.}$

Смотрите также

• Теорема Сильвермана–Теплица

Примечания

1. "Методы суммирования". Numericana Мишона .
2. "Транслятивность". Энциклопедия математики . Springer.
3. Мураев, ЭБ (1978), «Борелевское суммирование n -кратных рядов и целые функции, связанные с ними», Академия наук СССР , 19 (6): 1332–1340, 1438, MR  0515185. Мураев замечает, что суммирование Бореля транслятивно в одном из двух направлений: увеличение ряда нулем, помещенным в его начало, не меняет суммируемости или значения ряда. Однако он утверждает, что «обратное неверно».
4. Волков 2001.
5. Харди 1949, стр. 14.
6. Тао, Теренс (10 апреля 2010 г.). «Формула Эйлера-Маклорена, числа Бернулли, дзета-функция и аналитическое продолжение действительной переменной».
7. Бартлетт, Джонатан; Гаастра, Логан; Немати, Дэвид (январь 2020 г.). «Гиперреальные числа для бесконечных расходящихся рядов». Сообщения Института Блита . 2 (1): 7–15. arXiv : 1804.11342 . doi : 10.33014/issn.2640-5652.2.1.bartlett-et-al.1. S2CID  119665957.
8. Харди 1949, стр. 21.
9. Hardy 1949, Приложение II.
10. Hardy 1949, 4.11.
11. Hardy 1949, 4.17.

Ссылки

• Артека, GA; Фернандес, FM; Кастро, EA (1990), Теория возмущений больших порядков и методы суммирования в квантовой механике , Берлин: Springer-Verlag.
• Бейкер, младший, Джорджия; Грейвс-Моррис, П. (1996), Паде Аппроксиманты , Издательство Кембриджского университета.
• Brezinski, C.; Redivo Zaglia, M. (1991), Методы экстраполяции. Теория и практика , Северная Голландия.
• Харди, Г. Х. (1949), Дивергент, серия, Оксфорд: Clarendon Press.
• LeGuillou, J.-C.; Zinn-Justin, J. (1990), Поведение теории возмущений в больших порядках , Амстердам: Северная Голландия.
• Волков, ИИ (2001) [1994], "Метод суммирования Линделёфа", Энциклопедия математики , Издательство EMS.
• Захаров, А.А. (2001) [1994], "Метод суммирования Абеля", Энциклопедия математики , Издательство EMS.
• «Метод суммирования Рисса», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вернер Бальзер: «От расходящихся степенных рядов к аналитическим функциям», Springer-Verlag, LNM 1582, ISBN 0-387-58268-1 (1994).
• Уильям О. Брей и Часлав В. Станоевич (ред.): «Анализ расхождений», Springer, ISBN 978-1-4612-7467-4 (1999).
• Александр И. Саичев и Войбор Войчинский: «Распределения в физических и инженерных науках, Том 1», Глава 8 «Суммирование расходящихся рядов и интегралов», Springer (2018).