определитель Фредгольма

В математике определитель Фредгольма — это комплекснозначная функция , обобщающая определитель конечномерного линейного оператора . Он определяется для ограниченных операторов в гильбертовом пространстве , которые отличаются от тождественного оператора на оператор следового класса . Функция названа в честь математика Эрика Ивара Фредгольма .

Определители Фредгольма нашли множество применений в математической физике , наиболее известным примером является предельная формула Габора Сегё , доказанная в ответ на вопрос, поднятый Ларсом Онсагером и К. Н. Янгом относительно спонтанной намагниченности модели Изинга .

Определение

Пусть — гильбертово пространство , а множество ограниченных обратимых операторов в вида , где — оператор следового класса . — группа , поскольку ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I+T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle (I+T)^{-1}-I=-T(I+T)^{-1},}$$

так же как и класс трассировки, если есть. Он имеет естественную метрику, заданную как , где — норма класса трассировки. ${\displaystyle (I+T)^{-1}-I}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle d(X,Y)=\|X-Y\|_{1}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$

Если - гильбертово пространство со внутренним произведением , то также является и -й внешней степенью со внутренним произведением. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}H}$ $${\displaystyle (v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge w_{2}\wedge \cdots \wedge w_{k})=\det(v_{i},w_{j}).}$$

В частности $${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\qquad (i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k})}$$

дает ортонормированный базис , если является ортонормированным базисом . Если является ограниченным оператором в , то функториально определяет ограниченный оператор в с помощью ${\displaystyle \Lambda ^{k}H}$ ${\displaystyle (e_{i})}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}H}$ $${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=Av_{1}\wedge Av_{2}\wedge \cdots \wedge Av_{k}.}$$

Если это трассовый класс, то это также трассовый класс с ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)}$ $${\displaystyle \|\Lambda ^{k}(A)\|_{1}\leq \|A\|_{1}^{k}/k!.}$$

Это показывает, что определение определителя Фредгольма, данное формулой $${\displaystyle \det(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }\operatorname {Tr} \Lambda ^{k}(A)}$$

имеет смысл.

Характеристики

• Если это оператор трассировочного класса ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \det(I+zA)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}\operatorname {Tr} \Lambda ^{k}(A)}$$ определяет целую функцию, такую ​​что $${\displaystyle \left|\det(I+zA)\right|\leq \exp(|z|\cdot \|A\|_{1}).}$$

• Функция непрерывна на операторах класса следов, при этом ${\displaystyle \det(I+A)}$

$${\displaystyle \left|\det(I+A)-\det(I+B)\right|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\|A\|_{1}+\|B\|_{1}+1).}$$ Это неравенство можно немного улучшить до следующего вида, как отмечено в главе 5 книги Саймона: $${\displaystyle \left|\det(I+A)-\det(I+B)\right|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\max(\|A\|_{1},\|B\|_{1})+1).}$$

• Если и являются трассовыми, то ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle \det(I+A)\cdot \det(I+B)=\det(I+A)(I+B).}$$

• Функция определяет гомоморфизм в мультипликативную группу ненулевых комплексных чисел (поскольку элементы обратимы). ${\displaystyle \det }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle G}$
• Если находится в и обратим, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \det XTX^{-1}=\det T.}$$

• Если это трассовый класс, то ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \det e^{A}=\exp \,\operatorname {Tr} (A).}$$ $${\displaystyle \log \det(I+zA)=\operatorname {Tr} (\log {(I+zA)})=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\operatorname {Tr} A^{k}}{k}}z^{k}}$$

Определители Фредгольма коммутаторов

Функция из в называется дифференцируемой, если она дифференцируема как отображение в операторы класса следов, т.е. если предел ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F(t)-I}$

$${\displaystyle {\dot {F}}(t)=\lim _{h\to 0}{F(t+h)-F(t) \over h}}$$

существует в норме следового класса.

Если — дифференцируемая функция со значениями в операторах трассового класса, то таковыми являются и ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle \exp g(t)}$

$${\displaystyle F^{-1}{\dot {F}}={\operatorname {id} -\exp -\operatorname {ad} g(t) \over \operatorname {ad} g(t)}\cdot {\dot {g}}(t),}$$

где $${\displaystyle \operatorname {ad} (X)\cdot Y=XY-YX.}$$

Израиль Гохберг и Марк Крейн доказали, что если — дифференцируемая функция в , то — дифференцируемое отображение в с ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f=\det F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ $${\displaystyle f^{-1}{\dot {f}}=\operatorname {Tr} F^{-1}{\dot {F}}.}$$

Этот результат был использован Джоэлом Пинкусом, Уильямом Хелтоном и Роджером Хоу для доказательства того, что если и являются ограниченными операторами с коммутатором следового класса , то ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB-BA}$

$${\displaystyle \det e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \operatorname {Tr} (AB-BA).}$$

Формула предела Сегё

Пусть и пусть — ортогональная проекция на пространство Харди . ${\displaystyle H=L^{2}(S^{1})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H^{2}(S^{1})}$

Если — гладкая функция на окружности, то обозначим соответствующий оператор умножения на . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m(f)}$ ${\displaystyle H}$

Коммутатор — трассовый. $${\displaystyle Pm(f)-m(f)P}$$

Пусть — оператор Теплица на , определяемый формулой ${\displaystyle T(f)}$ ${\displaystyle H^{2}(S^{1})}$ $${\displaystyle T(f)=Pm(f)P,}$$

тогда аддитивный коммутатор является следовым, если и являются гладкими. $${\displaystyle T(f)T(g)-T(g)T(f)}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Бергер и Шоу доказали, что $${\displaystyle \operatorname {tr} (T(f)T(g)-T(g)T(f))={1 \over 2\pi i}\int _{0}^{2\pi }f\,dg.}$$

Если и гладкие, то находится в . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle T(e^{f+g})T(e^{-f})T(e^{-g})}$$ ${\displaystyle G}$

Гарольд Видом использовал результат Пинкуса-Хелтона-Хау, чтобы доказать, что где $${\displaystyle \det T(e^{f})T(e^{-f})=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n},}$$ $${\displaystyle f(z)=\sum a_{n}z^{n}.}$$

Он использовал это, чтобы дать новое доказательство знаменитой предельной формулы Габора Сегё : где — проекция на подпространство , натянутое на и . $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\det P_{N}m(e^{f})P_{N}=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n},}$$ ${\displaystyle P_{N}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 1,z,\ldots ,z^{N}}$ ${\displaystyle a_{0}=0}$

Предельная формула Сегё была доказана в 1951 году в ответ на вопрос, поднятый работой Ларса Онсагера и К. Н. Янга по вычислению спонтанной намагниченности для модели Изинга . Формула Видома, которая довольно быстро приводит к предельной формуле Сегё, также эквивалентна дуальности между бозонами и фермионами в конформной теории поля . Сингулярная версия предельной формулы Сегё для функций, сосредоточенных на дуге окружности, была доказана Видомом; она была применена для установления вероятностных результатов по распределению собственных значений случайных унитарных матриц .

Неформальное представление для случая интегральных операторов

В разделе ниже дается неформальное определение для определителя Фредгольма, когда оператор класса следа является интегральным оператором, заданным ядром . Правильное определение требует представления, показывающего, что каждая из манипуляций хорошо определена, сходится и т. д. для данной ситуации, для которой рассматривается определитель Фредгольма. Поскольку ядро ​​может быть определено для большого разнообразия гильбертовых и банаховых пространств , это нетривиальное упражнение. ${\displaystyle I-T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K(x,y)}$ ${\displaystyle K}$

Определитель Фредгольма можно определить как $${\displaystyle \det(I-\lambda T)=\sum _{n=0}^{\infty }(-\lambda )^{n}\operatorname {Tr} \Lambda ^{n}(T)=\exp {\left(-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {Tr} (T^{n})}{n}}\lambda ^{n}\right)}}$$

где — интегральный оператор . След оператора и его знакопеременных степеней задается в терминах ядра как и и в общем случае ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} T=\int K(x,x)\,dx}$$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} \Lambda ^{2}(T)={\frac {1}{2!}}\iint \left(K(x,x)K(y,y)-K(x,y)K(y,x)\right)dx\,dy}$$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} \Lambda ^{n}(T)={\frac {1}{n!}}\int \cdots \int \det K(x_{i},x_{j})|_{1\leq i,j\leq n}\,dx_{1}\cdots dx_{n}.}$$

Трассировка для этих ядер четко определена, поскольку они являются операторами трассировочного класса или ядерными операторами .

Приложения

Определитель Фредгольма был использован физиком Джоном А. Уилером (1937, Phys. Rev. 52:1107) для математического описания волновой функции составного ядра, состоящего из антисимметризованной комбинации парциальных волновых функций методом структуры резонирующей группы. Этот метод соответствует различным возможным способам распределения энергии нейтронов и протонов в фундаментальные бозонные и фермионные нуклонные кластерные группы или строительные блоки, такие как альфа-частица, гелий-3, дейтерий, тритон, динейтрон и т. д. При применении к методу структуры резонирующей группы для бета- и альфа-стабильных изотопов использование определителя Фредгольма: (1) определяет значения энергии составной системы и (2) определяет сечения рассеяния и распада. Метод структуры резонирующих групп Уиллера обеспечивает теоретическую основу для всех последующих моделей нуклонных кластеров и связанной с ними динамики энергии кластеров для всех легких и тяжелых изотопов массы (см. обзор моделей кластеров в физике в ND Cook, 2006).

Ссылки

• Саймон, Барри (2005), Идеалы следа и их приложения , Математические обзоры и монографии, т. 120, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3581-5
• Уилер, Джон А. (1937-12-01). «О математическом описании легких ядер методом структуры резонирующих групп». Physical Review . 52 (11). Американское физическое общество (APS): 1107–1122. Bibcode : 1937PhRv...52.1107W. doi : 10.1103/physrev.52.1107. ISSN  0031-899X.
• Борнеманн, Фолкмар (2010), «О численной оценке определителей Фредгольма», Math. Comp. , 79 (270), Springer: 871–915, arXiv : 0804.2543 , doi : 10.1090/s0025-5718-09-02280-7