Уравнения Френеля

При падении, близком к скользящему , интерфейсы носителей кажутся зеркальными, особенно из-за отражения s -поляризации, несмотря на то, что они являются плохими отражателями при нормальном падении. Поляризованные солнцезащитные очки блокируют s- поляризацию, значительно уменьшая блики от горизонтальных поверхностей.

Уравнения Френеля (или коэффициенты Френеля ) описывают отражение и передачу света (или электромагнитного излучения в целом) при падении на границу раздела между различными оптическими средами . Они были выведены французским инженером и физиком Огюстеном-Жаном Френелем ( / f r eɪ ˈ n ɛ l / ), который первым понял, что свет — это поперечная волна , когда никто не понимал, что волны — это электрические и магнитные поля. Впервые поляризацию удалось понять количественно, поскольку уравнения Френеля правильно предсказали различное поведение волн s- и p -поляризаций, падающих на материальный интерфейс.

Обзор

Когда свет падает на границу раздела между средой с показателем преломления $n 1$ и второй средой с показателем преломления $n 2$ , может произойти как отражение , так и преломление света. Уравнения Френеля дают отношение электрического поля отраженной волны к электрическому полю падающей волны и отношение электрического поля прошедшей волны к электрическому полю падающей волны для каждого из двух компонентов поляризации. ( Магнитные поля также могут быть связаны с использованием подобных коэффициентов.) Эти отношения, как правило, являются комплексными, описывающими не только относительные амплитуды, но и фазовые сдвиги на границе раздела.

Уравнения предполагают, что граница раздела между средами плоская, а среды однородны и изотропны . ^[1] Предполагается, что падающий свет представляет собой плоскую волну , что достаточно для решения любой задачи, поскольку любое падающее световое поле можно разложить на плоские волны и поляризации.

S и P поляризации

Существуют два набора коэффициентов Френеля для двух различных линейных поляризационных компонентов падающей волны. Поскольку любое состояние поляризации может быть разрешено в виде комбинации двух ортогональных линейных поляризаций, этого достаточно для любой проблемы. Аналогично, неполяризованный (или «случайно поляризованный») свет имеет одинаковое количество мощности в каждой из двух линейных поляризаций.

Поляризация s относится к поляризации электрического поля волны, перпендикулярной плоскости падения ( направление $z$ в выводе ниже); тогда магнитное поле находится в плоскости падения. Поляризация p относится к поляризации электрического поля в плоскости падения ( плоскость $xy$ в выводе ниже); тогда магнитное поле нормально к плоскости падения. Названия «s» и «p» для компонентов поляризации относятся к немецким «senkrecht» (перпендикулярно или нормально) и «параллельно» (параллельно плоскости падения).

Хотя отражение и пропускание зависят от поляризации, при нормальном падении ( $θ = 0$ ) между ними нет различия, поэтому все состояния поляризации регулируются одним набором коэффициентов Френеля (и ниже упомянут еще один особый случай, в котором это верно).

Конфигурация

Переменные, используемые в уравнениях Френеля

На диаграмме справа падающая плоская волна в направлении луча $IO$ падает на границу раздела двух сред с показателями преломления $n 1$ и $n 2$ в точке $O$ . Часть волны отражается в направлении $OR$ , а часть преломляется в направлении $OT$ . Углы, которые падающий, отраженный и преломленный лучи образуют с нормалью к границе раздела, обозначены как $θ i$ , $θ r$ и $θ t$ соответственно. Соотношение между этими углами определяется законом отражения : и законом Снеллиуса : ${\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {i} } = \ theta _ {\ mathrm {r} },}$ $n_{1}\sin \theta _{\mathrm {i} }=n_{2}\sin \theta _{\mathrm {t} }.$

Поведение света, падающего на границу раздела, объясняется с учетом электрических и магнитных полей, которые составляют электромагнитную волну , и законов электромагнетизма , как показано ниже. Получены соотношения амплитуд электрического поля волн (или магнитного поля), но на практике чаще интересуются формулами, определяющими коэффициенты мощности , поскольку мощность (или облученность ) — это то, что можно непосредственно измерить на оптических частотах. Мощность волны, как правило, пропорциональна квадрату амплитуды электрического (или магнитного) поля.

Коэффициенты отражения и пропускания мощности (интенсивности)

Мы называем часть падающей мощности , которая отражается от интерфейса, отражательной способностью (или отражательной способностью , или коэффициентом отражения мощности ) $R$ , а часть, которая преломляется во вторую среду, называется пропусканием (или пропускаемостью , или коэффициентом передачи мощности ) $T.$ Обратите внимание, что это то, что будет измеряться прямо по обе стороны интерфейса, и не учитывает затухание волны в поглощающей среде после передачи или отражения. ^[2]

Коэффициент отражения для s-поляризованного света равен, а коэффициент отражения для p-поляризованного света равен , где $Z$ $1$ и $Z$ $2$ — волновые сопротивления сред 1 и 2 соответственно. $R_{\mathrm {s} }=\left|{\frac {Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2},$ $R_{\mathrm {p} }=\left|{\frac {Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2},$

Мы предполагаем, что среды немагнитны (т. е. $μ 1 = μ 2 = μ 0$ ), что обычно является хорошим приближением на оптических частотах (и для прозрачных сред на других частотах). ^[3] Тогда волновые сопротивления определяются исключительно показателями преломления $n 1$ и $n 2$ : где $Z$ $0$ — сопротивление свободного пространства , а $i$ $= 1, 2$ . Сделав эту замену, мы получаем уравнения с использованием показателей преломления: $Z_{i}={\frac {Z_{0}}{n_{i}}}\,,$ $R_{\mathrm {s} }=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2}=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }-n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }+n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}}}\right|^{2}\!,$ $R_{\mathrm {p} }=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}=\left|{\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}\!.$

Вторая форма каждого уравнения выводится из первой путем исключения $θ t$ с использованием закона Снеллиуса и тригонометрических тождеств .

Вследствие сохранения энергии можно найти передаваемую мощность (или, точнее, облученность : мощность на единицу площади) просто как часть падающей мощности, которая не отражается: ^[4] и $T_{\mathrm {s} }=1-R_{\mathrm {s} }$ $T_{\mathrm {p} }=1-R_{\mathrm {p} }$

Обратите внимание, что все такие интенсивности измеряются в терминах облученности волны в направлении, нормальном к интерфейсу; это также то, что измеряется в типичных экспериментах. Это число можно получить из облученности в направлении падающей или отраженной волны (заданной величиной вектора Пойнтинга волны ), умноженной на $cos θ$ для волны под углом $θ$ к нормали (или, что эквивалентно, взяв скалярное произведение вектора Пойнтинга с единичным вектором, нормальным к интерфейсу). Это усложнение можно проигнорировать в случае коэффициента отражения, поскольку $cos θ i = cos θ r$ , так что отношение отраженной к падающей облученности в направлении волны такое же, как и в направлении, нормальном к интерфейсу.

Хотя эти соотношения описывают базовую физику, во многих практических приложениях речь идет о «естественном свете», который можно описать как неполяризованный. Это означает, что в поляризациях s и p содержится одинаковое количество энергии , так что эффективная отражательная способность материала представляет собой просто среднее значение двух отражательных способностей: $R_{\mathrm {eff} }={\frac {1}{2}}\left(R_{\mathrm {s} }+R_{\mathrm {p} }\right).$

Для низкоточных приложений, использующих неполяризованный свет, таких как компьютерная графика , вместо строгого вычисления эффективного коэффициента отражения для каждого угла часто используют приближение Шлика .

Особые случаи

Нормальная заболеваемость

Для случая нормального падения θ $i = θ t = 0$ , и нет различия между s и p поляризацией. Таким образом, отражение упрощается до $R_{0}=\left|{\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right|^{2}\,.$

Для обычного стекла ( $n 2 \approx 1,5$ ), окруженного воздухом ( $n 1 = 1$ ), можно увидеть, что коэффициент отражения мощности при нормальном падении составляет около 4%, или 8%, если учитывать обе стороны стеклянной панели.

Угол Брюстера

На диэлектрическом интерфейсе от $n 1$ до $n 2$ существует определенный угол падения, при котором $R p$ стремится к нулю, а p-поляризованная падающая волна чисто преломляется, таким образом, весь отраженный свет является s-поляризованным. Этот угол известен как угол Брюстера и составляет около 56° для $n 1 = 1$ и $n 2 = 1,5$ (типичное стекло).

Полное внутреннее отражение

Когда свет, распространяющийся в более плотной среде, падает на поверхность менее плотной среды (т. е. $n 1 > n 2$ ), за пределами определенного угла падения, известного как критический угол , весь свет отражается и $R s = R p = 1$ . Это явление, известное как полное внутреннее отражение , происходит при углах падения, для которых закон Снеллиуса предсказывает, что синус угла преломления будет превышать единицу (тогда как на самом деле $sin θ \leq 1$ для всех действительных $θ$ ). Для стекла с $n = 1,5,$ окруженного воздухом, критический угол составляет приблизительно 42°.

Угол падения 45°

Отражение при падении 45° очень часто используется для выполнения поворотов на 90°. Для случая прохождения света из менее плотной среды в более плотную при падении 45° ( $θ = 45°$ ) алгебраически следует из приведенных выше уравнений, что $R p$ равен квадрату $R s$ : $R_{\text{p}}=R_{\text{s}}^{2}$

Это можно использовать для проверки согласованности измерений $R s$ и $R p$ , или для вывода одного из них, когда другой известен. Это соотношение справедливо только для простого случая одноплоскостного интерфейса между двумя однородными материалами, а не для пленок на подложках, где требуется более сложный анализ.

Измерения $R s$ и $R p$ при 45° можно использовать для оценки отражательной способности при нормальном падении. ^{[ необходима цитата ]} «Среднее из средних», полученное путем вычисления сначала арифметического, а также геометрического среднего $R s$ и $R p$ , а затем усреднения этих двух средних снова арифметически, дает значение для $R 0$ с погрешностью менее примерно 3% для большинства распространенных оптических материалов. ^{[ необходима цитата ]} Это полезно, поскольку измерения при нормальном падении могут быть труднодостижимы в экспериментальной установке, поскольку входящий луч и детектор будут мешать друг другу. Однако, поскольку зависимость $R s$ и $R p$ от угла падения для углов ниже 10° очень мала, измерение при примерно 5° обычно будет хорошим приближением для нормального падения, при этом позволяя разделить входящий и отраженный луч.

Комплексные амплитудные коэффициенты отражения и пропускания

Приведенные выше уравнения, связывающие мощности (которые можно измерить, например, с помощью фотометра ), выводятся из уравнений Френеля, которые решают физическую задачу в терминах комплексных амплитуд электромагнитного поля , т. е. рассматривая фазовые сдвиги в дополнение к их амплитудам . Эти основные уравнения обычно предоставляют комплексные отношения этих ЭМ полей и могут принимать несколько различных форм в зависимости от используемого формализма. Комплексные амплитудные коэффициенты для отражения и передачи обычно обозначаются строчными буквами $r$ и $t$ (тогда как коэффициенты мощности пишутся с заглавной буквы). Как и прежде, мы предполагаем, что магнитная проницаемость $µ$ обеих сред равна проницаемости свободного пространства $µ$ $0$ , что по сути верно для всех диэлектриков на оптических частотах.

В следующих уравнениях и графиках мы принимаем следующие соглашения. Для s -поляризации коэффициент отражения $r$ определяется как отношение комплексной амплитуды электрического поля отраженной волны к амплитуде падающей волны, тогда как для p -поляризации $r$ — это отношение комплексных амплитуд магнитного поля волн (или, что эквивалентно, отрицательное отношение амплитуд их электрических полей). Коэффициент пропускания $t$ — это отношение комплексной амплитуды электрического поля прошедшей волны к амплитуде падающей волны для любой из поляризаций. Коэффициенты $r$ и $t,$ как правило, различаются между s- и p -поляризациями, и даже при нормальном падении (где обозначения s и p даже не применяются!) знак $r$ меняется на противоположный в зависимости от того, считается ли волна s- или p- поляризованной, артефакт принятого соглашения о знаках (см. график для интерфейса воздух-стекло при падении 0°).

Уравнения рассматривают плоскую волну, падающую на плоский интерфейс под углом падения , волну, отраженную под углом , и волну, переданную под углом . В случае интерфейса в поглощающий материал (где $n$ является комплексным) или полного внутреннего отражения угол передачи, как правило, не оценивается как действительное число. В этом случае, однако, значимые результаты могут быть получены с использованием формулировок этих соотношений, в которых избегаются тригонометрические функции и геометрические углы; неоднородные волны, запущенные во вторую среду, не могут быть описаны с использованием одного угла распространения. $\theta _{\mathrm {i} }$ $\theta _{\mathrm {r} }=\theta _{\mathrm {i} }$ $\theta _{\mathrm {t} }$

Используя это соглашение, ^[5]^[6] ${\begin{aligned}r_{\text{s}}&={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{s}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]r_{\text{p}}&={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{p}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}.\end{aligned}}$

Видно, что $t s = r s + 1$ ^[7] и $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠н 2/н 1⁠ t p = r p + 1.$ Можно написать очень похожие уравнения, применимые к отношению магнитных полей волн, но сравнение электрических полей более условно.

Поскольку отраженные и падающие волны распространяются в одной и той же среде и образуют одинаковый угол с нормалью к поверхности, коэффициент отражения мощности $R$ представляет собой просто квадрат величины $r$ : ^[8] $R=|r|^{2}.$

С другой стороны, расчет коэффициента передачи мощности $T$ менее прост, поскольку свет распространяется в разных направлениях в двух средах. Более того, волновые сопротивления в двух средах различаются; мощность ( излучение ) определяется квадратом амплитуды электрического поля, деленным на характеристическое сопротивление среды (или квадратом магнитного поля, умноженным на характеристическое сопротивление). Это приводит к: ^[9] с использованием приведенного выше определения $t$ . Введенный фактор $⁠$ $T={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}}|t|^{2}$ $н 2 / н 1 ⁠$ — обратная величина отношения волновых сопротивлений среды. $Факторы cos(θ)$ корректируют мощности волн таким образом, чтобы они учитывались в направлении, нормальном к интерфейсу, как для падающей, так и для прошедшей волны, так что полная передача мощности соответствует $T = 1$ .

В случае полного внутреннего отражения , когда передача мощности $T$ равна нулю, $t$ тем не менее описывает электрическое поле (включая его фазу) сразу за границей раздела. Это затухающее поле , которое не распространяется как волна (таким образом, $T = 0$ ), но имеет ненулевые значения очень близко к границе раздела. Фазовый сдвиг отраженной волны при полном внутреннем отражении можно аналогичным образом получить из фазовых углов r $p$ и $r$ $s$ (чьи величины в этом случае равны единице). Эти фазовые сдвиги различны для волн s и p , что $является$ хорошо известным принципом, по которому полное внутреннее отражение используется для осуществления поляризационных преобразований .

Альтернативные формы

В приведенной выше формуле для $r s$ , если мы подставим (закон Снеллиуса) и умножим числитель и знаменатель на $⁠$ $n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}$ $1 / н 1 ⁠ sin θ t$ , получаем ^[10]^[11] $r_{\text{s}}=-{\frac {\sin(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\sin(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.$

Если мы сделаем то же самое с формулой для $r p$ , то легко покажем, что результат эквивалентен ^[12]^[13] $r_{\text{p}}={\frac {\tan(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\tan(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.$

Эти формулы ^[14]^[15]^[16] известны соответственно как закон синусов Френеля и закон касательных Френеля . ^[17] Хотя при нормальном падении эти выражения сводятся к 0/0, можно видеть, что они дают правильные результаты в пределе , когда $θ i \to 0$ .

Несколько поверхностей

Когда свет многократно отражается между двумя или более параллельными поверхностями, множественные лучи света обычно интерферируют друг с другом, что приводит к чистым амплитудам пропускания и отражения, которые зависят от длины волны света. Однако интерференция наблюдается только тогда, когда поверхности находятся на расстояниях, сопоставимых или меньших, чем длина когерентности света , которая для обычного белого света составляет несколько микрометров; она может быть намного больше для света от лазера .

Примером интерференции между отражениями являются радужные цвета, наблюдаемые в мыльном пузыре или в тонких масляных пленках на воде. Приложения включают интерферометры Фабри–Перо , антибликовые покрытия и оптические фильтры . Количественный анализ этих эффектов основан на уравнениях Френеля, но с дополнительными расчетами для учета интерференции.

Метод матрицы переноса или рекурсивный метод Руара ^[18] можно использовать для решения задач с несколькими поверхностями.

История

В 1808 году Этьен-Луи Малюс обнаружил, что когда луч света отражается от неметаллической поверхности под соответствующим углом, он ведет себя как один из двух лучей, выходящих из двупреломляющего кристалла кальцита. ^[19] Позже он ввел термин поляризация, чтобы описать это поведение. В 1815 году зависимость угла поляризации от показателя преломления была экспериментально определена Дэвидом Брюстером . ^[20] Но причина этой зависимости была настолько глубокой загадкой, что в конце 1817 года Томас Янг был вынужден написать:

[С]амая большая трудность из всех, которая заключается в том, чтобы указать достаточную причину для отражения или неотражения поляризованного луча, вероятно, еще долго будет существовать, чтобы умертвить тщеславие амбициозной философии, совершенно неразрешимой никакой теорией. ^[21]

Однако в 1821 году Огюстен-Жан Френель вывел результаты, эквивалентные его законам синуса и тангенса (выше), моделируя световые волны как поперечные упругие волны с колебаниями, перпендикулярными тому, что ранее называлось плоскостью поляризации . Френель быстро подтвердил экспериментально, что уравнения правильно предсказывают направление поляризации отраженного луча, когда падающий луч поляризован под углом 45° к плоскости падения, для света, падающего из воздуха на стекло или воду; в частности, уравнения давали правильную поляризацию под углом Брюстера. ^[22] Экспериментальное подтверждение было сообщено в «постскриптуме» к работе, в которой Френель впервые раскрыл свою теорию о том, что световые волны, включая «неполяризованные» волны, были чисто поперечными. ^[23]

Подробности вывода Френеля, включая современные формы закона синусов и закона тангенсов, были приведены позже, в мемуарах, прочитанных Французской академии наук в январе 1823 года. ^[24] Этот вывод объединил сохранение энергии с непрерывностью тангенциальной вибрации на границе раздела, но не учитывал никаких условий для нормальной составляющей вибрации. ^[25] Первый вывод из электромагнитных принципов был дан Хендриком Лоренцом в 1875 году. ^[26]

В том же мемуаре от января 1823 года ^[24] Френель обнаружил, что для углов падения, больших критического угла, его формулы для коэффициентов отражения ( $r s$ и $r p$ ) дают комплексные значения с единичными величинами. Отметив, что величина, как обычно, представляет собой отношение пиковых амплитуд, он предположил, что аргумент представляет собой фазовый сдвиг, и экспериментально проверил гипотезу. ^[27] Проверка включала

вычисление угла падения, который внес бы общую разность фаз 90° между компонентами s и p, для различного числа полных внутренних отражений под этим углом (обычно имелось два решения),
подвергая свет этому числу полных внутренних отражений под этим углом падения, с начальной линейной поляризацией под углом 45° к плоскости падения, и
проверка того, что конечная поляризация была круговой . ^[28]

Таким образом, он, наконец, получил количественную теорию для того, что мы сейчас называем ромбом Френеля — устройства, которое он использовал в экспериментах в той или иной форме с 1817 года (см. Ромб Френеля § История ).

Успех комплексного коэффициента отражения вдохновил Джеймса МакКуллага и Огюстена-Луи Коши , начиная с 1836 года, проанализировать отражение от металлов, используя уравнения Френеля с комплексным показателем преломления . ^[29]

За четыре недели до того, как он представил свою завершенную теорию полного внутреннего отражения и ромба, Френель представил мемуары ^[30], в которых он ввел необходимые термины линейная поляризация , круговая поляризация и эллиптическая поляризация^[31] и в которых он объяснил оптическое вращение как разновидность двойного лучепреломления : линейно-поляризованный свет можно разложить на два кругово-поляризованных компонента, вращающихся в противоположных направлениях, и если они распространяются с разной скоростью, то разность фаз между ними — а значит, и ориентация их линейно-поляризованной результирующей — будет непрерывно меняться с расстоянием. ^[32]

Таким образом, интерпретация Френелем комплексных значений его коэффициентов отражения ознаменовала слияние нескольких направлений его исследований и, возможно, существенное завершение его реконструкции физической оптики на основе гипотезы поперечных волн (см. Огюстен-Жан Френель ).

Вывод

Здесь мы систематически выводим вышеуказанные соотношения из электромагнитных предпосылок.

Параметры материала

Для вычисления осмысленных коэффициентов Френеля мы должны предположить, что среда (приблизительно) линейна и однородна . Если среда также изотропна , четыре вектора поля $E, B, D, H$ связаны соотношением где $ϵ$ и $μ$ — скаляры, известные как (электрическая) диэлектрическая проницаемость и (магнитная) проницаемость среды соответственно. Для вакуума они имеют значения $ϵ$ $0$ и $μ$ $0$ , соответственно. Следовательно , мы определяем относительную диэлектрическую проницаемость (или диэлектрическую постоянную ) $ϵ$ $rel$ $=$ $ϵ$ $/$ $ϵ$ $0$ , и относительную проницаемость $μ$ $rel$ $=$ $μ$ $/$ $μ$ $0$ . ${\begin{aligned}\mathbf {D} &=\epsilon \mathbf {E} \\\mathbf {B} &=\mu \mathbf {H} \,,\end{aligned}}$

В оптике принято считать, что среда немагнитна, так что $μ rel = 1.$ Для ферромагнитных материалов на радио-/микроволновых частотах необходимо учитывать большие значения $μ rel$ . Но для оптически прозрачных сред и для всех других материалов на оптических частотах (за исключением возможных метаматериалов ) $μ rel$ действительно очень близок к 1; то есть $μ \approx μ 0$ .

В оптике обычно известен показатель преломления $n$ среды, который является отношением скорости света в вакууме ( $c$ ) к скорости света в среде. При анализе частичного отражения и пропускания также интересен импеданс электромагнитной волны $Z$ , который является отношением амплитуды $E$ к амплитуде $H.$ Поэтому желательно выразить $n$ и $Z$ через $ϵ$ и $μ$ , а затем связать $Z$ с $n$ . Последнее соотношение, однако, позволит удобно выводить коэффициенты отражения в терминах волновой проводимости $Y$ , которая является обратной величиной волнового импеданса $Z.$

В случае однородных плоских синусоидальных волн волновое сопротивление или проводимость известно как собственное сопротивление или проводимость среды. Этот случай является тем, для которого должны быть выведены коэффициенты Френеля.

Электромагнитные плоские волны

В однородной плоской синусоидальной электромагнитной волне электрическое поле $E$ имеет вид

где $E k$ — (постоянный) комплексный амплитудный вектор, $i$ — мнимая единица , $k$ — волновой вектор (величина которого $k$ — угловое волновое число ), $r$ — радиус-вектор , $ω$ — угловая частота , $t$ — время, и подразумевается, что действительная часть выражения — это физическое поле. ^{[Примечание 1]} Значение выражения не меняется, если положение $r$ изменяется в направлении, перпендикулярном $k$ ; следовательно, $k$ перпендикулярно волновым фронтам .

Чтобы сдвинуть фазу на угол ϕ , мы заменяем $ωt$ на $ωt + ϕ$ (то есть, мы заменяем $- ωt$ на $- ωt - ϕ$ ), в результате чего (комплексное) поле умножается на $e -iϕ$ . Таким образом, сдвиг фазы эквивалентен умножению на комплексную константу с отрицательным аргументом . Это становится более очевидным, когда поле ( 1 ) разлагается как $E k e i k \cdot r e -iωt$ , где последний множитель содержит зависимость от времени. Этот множитель также подразумевает, что дифференцирование по времени соответствует умножению на $-iω$ . ^{[Примечание 2]}

Если ℓ является компонентом $r$ в направлении $k$ , поле ( 1 ) можно записать как $E k e i (kℓ - ωt)$ . Если аргумент $e i (\dots)$ должен быть постоянным, ℓ должен увеличиваться со скоростью, известной как фазовая скорость $($ $v$ $p$ $)$ . Это, в свою очередь, равно . Решение относительно $k$ дает $\omega /k\,,\,$ $c/n$

Как обычно, мы отбрасываем зависящий от времени фактор $e - iωt$ , который понимается как умножение каждой комплексной величины поля. Электрическое поле для однородной плоской синусоиды будет тогда представлено зависящим от местоположения вектором

Для полей такого вида закон Фарадея и закон Максвелла-Ампера соответственно сводятся к ^[33] ${\begin{aligned}\omega \mathbf {B} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \mathbf {D} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}$

Полагая $B = μ H$ и $D = ϵ E$ , как и выше, мы можем исключить $B$ и $D,$ чтобы получить уравнения только для $E$ и $H$ : Если материальные параметры $ϵ$ и $μ$ действительны (как в диэлектрике без потерь), эти уравнения показывают, что $k$ $,$ $E$ $,$ $H$ образуют правую ортогональную триаду , так что те же уравнения применяются к величинам соответствующих векторов. Взяв уравнения величин и подставив из ( 2 ), мы получаем , где $H$ и $E$ являются величинами $H$ и $E$ . Умножение последних двух уравнений дает ${\begin{aligned}\omega \mu \mathbf {H} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \epsilon \mathbf {E} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\mu cH&=nE\\\epsilon cE&=nH\,,\end{aligned}}$

Разделив (или перемножив) те же два уравнения, получим $H = YE$ , где

Это внутренняя проводимость .

Из ( 4 ) получаем фазовую скорость . Для вакуума это сводится к . Разделив второй результат на первый, получаем Для немагнитной среды (обычный случай) это становится ⁠ ⁠ . ( Взяв обратную величину ( 5 ), находим, что собственное сопротивление равно . В вакууме это принимает значение, известное как сопротивление свободного пространства . При делении . Для немагнитной среды это становится ) $c/n=1{\big /}\!{\sqrt {\mu \epsilon \,}}$ $c=1{\big /}\!{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}$ $n={\sqrt {\mu _{\text{rel}}\epsilon _{\text{rel}}}}\,.$ $n={\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}$ ${\textstyle Z={\sqrt {\mu /\epsilon }}}$ ${\textstyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}}\,\approx 377\,\Omega \,,}$ ${\textstyle Z/Z_{0}={\sqrt {\mu _{\text{rel}}/\epsilon _{\text{rel}}}}}$ $Z=Z_{0}{\big /}\!{\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}=Z_{0}/n.$

Волновые векторы

В декартовых координатах $(x, y, z)$ пусть область $y < 0$ имеет показатель преломления $n 1$ , собственную проводимость $Y 1$ и т. д., а область $y > 0$ имеет показатель преломления $n 2$ , собственную проводимость $Y 2$ и т. д. Тогда плоскость $xz$ является интерфейсом, а ось $y$ перпендикулярна интерфейсу (см. диаграмму). Пусть $i$ и $j$ (жирным римским шрифтом ) будут единичными векторами в направлениях $x$ и $y$ соответственно. Пусть плоскость падения будет плоскостью $xy$ (плоскостью страницы) с углом падения $θ i ,$ измеренным от $j$ к $i$ . Пусть угол преломления, измеренный в том же смысле, будет $θ t$ , где нижний индекс $t$ обозначает прошедшее (оставляя $r$ для отраженного ).

При отсутствии доплеровских сдвигов ω не изменяется при отражении или преломлении. Следовательно, по ( 2 ), величина волнового вектора пропорциональна показателю преломления .

Итак, для заданного $ω$ , если мы переопределим $k$ как величину волнового вектора в эталонной среде (для которой $n = 1$ ), то волновой вектор имеет величину $n 1 k$ в первой среде (область $y < 0$ на диаграмме) и величину $n 2 k$ во второй среде. Из величин и геометрии мы находим, что волновые векторы находятся там, где последний шаг использует закон Снеллиуса. Соответствующие скалярные произведения в форме векторов ( 3 ) равны ${\begin{aligned}\mathbf {k} _{\text{i}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{r}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}-\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{t}}&=n_{2}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}})\\&=k(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _{\text{t}})\,,\end{aligned}}$

Следовательно:

скомпоненты

Для поляризации s поле $E$ параллельно оси $z$ и, следовательно, может быть описано его компонентой в направлении $z$ . Пусть коэффициенты отражения и пропускания будут $r s$ и $t s$ соответственно. Тогда, если падающее поле $E$ считается имеющим единичную амплитуду, векторная форма ( 3 ) его $z$ -компоненты будет

и отраженные и переданные поля, в той же форме, являются

Согласно соглашению о знаках, используемому в этой статье, положительный коэффициент отражения или пропускания — это тот, который сохраняет направление поперечного поля, то есть (в данном контексте) поле, нормальное к плоскости падения. Для поляризации s это означает поле $E.$ Если падающее, отраженное и прошедшее поля $E$ (в приведенных выше уравнениях) находятся в направлении $z$ («вне страницы»), то соответствующие поля $H$ находятся в направлениях красных стрелок, поскольку $k, E, H$ образуют правую ортогональную триаду. Поэтому поля $H$ могут быть описаны их компонентами в направлениях этих стрелок, обозначенными как $H i, H r, H t$ . Тогда, поскольку $H = YE$ ,

На границе раздела, согласно обычным условиям интерфейса для электромагнитных полей , тангенциальные компоненты полей $E$ и $H$ должны быть непрерывными, то есть,

При замене уравнений ( 8 ) на ( 10 ), а затем на ( 7 ) экспоненциальные множители сокращаются, так что условия интерфейса сводятся к одновременным уравнениям

которые легко решаются относительно $r s$ и $t s$ , что дает

При нормальном падении $(θ i = θ t = 0)$ , обозначенном дополнительным нижним индексом 0, эти результаты становятся

При скользящем падении $(θ i \to 90°)$ имеем $cos θ i \to 0$ , следовательно, $r s \to -1$ и $t s \to 0$ .

пкомпоненты

Для поляризации p падающие, отраженные и прошедшие поля $E$ параллельны красным стрелкам и, следовательно, могут быть описаны их компонентами в направлениях этих стрелок. Пусть эти компоненты будут $E i, E r, E t$ (переопределяя символы для нового контекста). Пусть коэффициенты отражения и прохождения будут $r p$ и $t p$ . Тогда, если падающее поле $E$ считается имеющим единичную амплитуду, мы имеем

Если поля $E$ находятся в направлениях красных стрелок, то для того, чтобы $k, E, H$ образовали правую ортогональную триаду, соответствующие поля $H$ должны находиться в $- z$ -направлении («в страницу») и, следовательно, могут быть описаны их компонентами в этом направлении. Это согласуется с принятым соглашением о знаках, а именно, что положительный коэффициент отражения или пропускания — это тот, который сохраняет направление поперечного поля ( поля $H$ в случае поляризации p ) . Согласование другого поля с красными стрелками показывает альтернативное определение соглашения о знаках: что положительный коэффициент отражения или пропускания — это тот, для которого вектор поля в плоскости падения указывает на одну и ту же среду до и после отражения или пропускания. ^[34]

Итак, для падающего, отраженного и прошедшего полей $H$ , пусть соответствующие компоненты в направлении $- z$ будут $H i, H r, H t$ . Тогда, поскольку $H = YE$ ,

На границе раздела тангенциальные компоненты полей $E$ и $H$ должны быть непрерывными, то есть:

При замене из уравнений ( 17 ) и ( 18 ), а затем из ( 7 ), экспоненциальные множители снова сокращаются, так что условия интерфейса сводятся к

Решая относительно $r p$ и $t p$ , находим

При нормальном падении $(θ i = θ t = 0),$ обозначенном дополнительным нижним индексом 0, эти результаты становятся

При скользящем падении $(θ i \to 90°)$ мы снова имеем $cos θ i \to 0$ , следовательно, $r p \to -1$ и $t p \to 0$ .

Сравнивая ( 23 ) и ( 24 ) с ( 15 ) и ( 16 ), мы видим, что при нормальном падении, в соответствии с принятым соглашением о знаках, коэффициенты пропускания для двух поляризаций равны, тогда как коэффициенты отражения имеют равные величины, но противоположные знаки. Хотя это столкновение знаков является недостатком соглашения, сопутствующим преимуществом является то, что знаки совпадают при скользящем падении.

Коэффициенты мощности (отражательная способность и пропускаемость)

Вектор Пойнтинга для волны — это вектор, компонентом которого в любом направлении является облученность (мощность на единицу площади) этой волны на поверхности, перпендикулярной этому направлению. Для плоской синусоидальной волны вектор Пойнтинга равен $⁠$ $1 / 2 ⁠ ‍ Re {E \times H *}$ , где $E$ и $H$ обусловлены только рассматриваемой волной, а звездочка обозначает комплексное сопряжение. Внутри диэлектрика без потерь (обычный случай) $E$ и $H$ находятся в фазе и под прямым углом друг к другу и к волновому вектору $k$ ; таким образом, для s-поляризации, используя $z-$ и $xy-$ компоненты $E$ и $H$ соответственно (или для p-поляризации, используя $xy-$ и $- z$ -компоненты $E$ и $H$ ), облученность в направлении $k$ определяется просто как $EH /2$ , что равно $E 2 /2 Z$ в среде с собственным импедансом $Z = 1/ Y$ . Чтобы вычислить облученность в направлении, нормальном к интерфейсу, как нам потребуется при определении коэффициента передачи мощности, мы могли бы использовать только $компонент x$ (а не полный $компонент xy$ ) $H$ или $E$ или, что эквивалентно, просто умножить $EH /2$ на соответствующий геометрический коэффициент, получив $(E 2 /2 Z) cos θ$ .

Из уравнений ( 13 ) и ( 21 ), возведя величины в квадрат, находим, что отражательная способность (отношение отраженной мощности к падающей мощности) равна

для s-поляризации и

для поляризации p. Обратите внимание, что при сравнении мощностей двух таких волн в одной и той же среде и с одинаковым cos θ , импеданс и геометрические факторы, упомянутые выше, идентичны и взаимно уничтожаются. Но при расчете передачи мощности (ниже) эти факторы необходимо учитывать.

Самый простой способ получить коэффициент передачи мощности ( пропускаемость , отношение передаваемой мощности к падающей мощности в направлении, нормальном к интерфейсу , т.е. в направлении $y$ ) — использовать $R + T = 1$ (закон сохранения энергии). Таким образом, мы находим

для s-поляризации и

для p-поляризации.

В случае интерфейса между двумя средами без потерь (для которых ϵ и μ являются действительными и положительными), можно получить эти результаты напрямую, используя квадраты величин амплитудных коэффициентов передачи, которые мы нашли ранее в уравнениях ( 14 ) и ( 22 ). Но для заданной амплитуды (как отмечено выше) компонент вектора Пойнтинга в направлении $y$ пропорционален геометрическому фактору $cos θ$ и обратно пропорционален волновому сопротивлению $Z.$ Применяя эти поправки к каждой волне, мы получаем два отношения, умножающие квадрат амплитудного коэффициента передачи:

для s-поляризации и

для поляризации p. Последние два уравнения применимы только к диэлектрикам без потерь и только при углах падения, меньших критического угла (за пределами которого, конечно, $T = 0$ ).

Для неполяризованного света: где . $T={1 \over 2}(T_{s}+T_{p})$ $R={1 \over 2}(R_{s}+R_{p})$ $R+T=1$

Одинаковые показатели преломления

Из уравнений ( 4 ) и ( 5 ) мы видим, что две разнородные среды будут иметь одинаковый показатель преломления, но разные проводимости, если отношение их проницаемостей обратно отношению их диэлектрических проницаемостей. В этой необычной ситуации мы имеем $θt = θi$ $(то есть$ прошедший луч не отклоняется), так что косинусы в уравнениях ( 13 ), ( 14 ), ( 21 ), ( 22 ) и ( 25 ) $-$ ( 28 ) сокращаются, и все коэффициенты отражения и пропускания становятся независимыми от угла падения; другими словами, коэффициенты для нормального падения становятся применимыми ко всем углам падения. ^[35] При распространении на сферическое отражение или рассеяние это приводит к эффекту Керкера для рассеяния Ми .

Немагнитные носители

Поскольку уравнения Френеля были разработаны для оптики, они обычно приводятся для немагнитных материалов. Разделив ( 4 ) на ( 5 )) получаем Для немагнитных сред мы можем заменить проницаемость вакуума $μ$ $0$ на $μ$ , так что проводимости будут просто пропорциональны соответствующим показателям преломления. Когда мы делаем эти замены в уравнениях ( 13 ) - ( 16 ) и уравнениях ( 21 ) - ( 26 ), фактор cμ ₀ сокращается. Для амплитудных коэффициентов мы получаем: ^[5]^[6] $Y={\frac {n}{\,c\mu \,}}\,.$ $Y_{1}={\frac {n_{1}}{\,c\mu _{0}}}~~;~~~Y_{2}={\frac {n_{2}}{\,c\mu _{0}}}\,;$

В случае нормального падения они сводятся к:

Коэффициенты отражения мощности становятся:

Тогда передаваемую мощность можно найти из $T = 1 - R.$

Угол Брюстера

Для равных проницаемостей (например, немагнитные среды), если $θ i$ и $θ t$ являются дополнительными , мы можем заменить $cos θ i$ на $sin θ t$ и $cos θ t$ на $sin θ i$ , так что числитель в уравнении ( 31 ) становится $n 2 ‍ sin θ t - n 1 ‍ sin θ i$ , что равно нулю (по закону Снеллиуса). Следовательно, $r p = 0$ , и отражается только s-поляризованная компонента. Это то, что происходит под углом Брюстера . Подставляя $cos θ i$ вместо $sin θ t$ в закон Снеллиуса, мы легко получаем

для угла Брюстера.

Одинаковые диэлектрические проницаемости

Хотя это не встречается на практике, уравнения могут также применяться к случаю двух сред с общей диэлектрической проницаемостью, но разными показателями преломления из-за разных проницаемостей. Из уравнений ( 4 ) и ( 5 ), если вместо $μ зафиксировано$ $ϵ$ , то $Y$ становится обратно пропорциональным $n$ , в результате чего индексы 1 и 2 в уравнениях ( 29 ) - ( 38 ) меняются местами (из-за дополнительного шага умножения числителя и знаменателя на $n$ $1$ $n$ $2$ ). Следовательно, в ( 29 ) и ( 31 ) выражения для $r$ $s$ и $r$ $p$ в терминах показателей преломления будут меняться местами, так что угол Брюстера ( 39 ) даст $r$ $s$ $= 0$ вместо $r$ $p$ $= 0$ , и любой луч, отраженный под этим углом, будет p-поляризованным вместо s-поляризованного. ^[36] Аналогично, закон синусов Френеля будет применяться к p-поляризации вместо s-поляризации, а его закон касательных — к s-поляризации вместо p-поляризации.

Это переключение поляризаций имеет аналог в старой механической теории световых волн (см. § История , выше). Можно было бы предсказать коэффициенты отражения, которые согласуются с наблюдением, предположив (как Френель), что разные показатели преломления были обусловлены разной плотностью и что колебания были нормальны к тому, что тогда называлось плоскостью поляризации , или предположив (как МакКуллах и Нейман ), что разные показатели преломления были обусловлены разной упругостью и что колебания были параллельны этой плоскости. ^[37] Таким образом, условие равных диэлектрических проницаемостей и неравных проницаемостей, хотя и не реалистично, представляет некоторый исторический интерес.

Смотрите также

исчисление Джонса
Смешение поляризации
Материал для сопоставления индексов
Величины поля и мощности
Ромб Френеля , аппарат Френеля для получения циркулярно поляризованного света
Потери на отражение
Зеркальное отражение
Приближение Шлика
окно Снелла
Отражательная способность рентгеновских лучей
Плоскость падения
Отражения сигналов на проводящих линиях

Примечания

^ Вышеуказанная форма ( 1 ) обычно используется физиками. Инженеры-электрики обычно предпочитают форму $E k e j (ωt - k\cdotr);$ то есть они не только используют $j$ вместо $i$ для мнимой единицы, но и меняют знак показателя степени, в результате чего все выражение заменяется его комплексно сопряженным , оставляя действительную часть неизменной [Ср. (например) Коллин, 1966, стр. 41, уравнение (2.81)]. Форма инженеров-электриков и выведенные из нее формулы могут быть преобразованы в общепринятую форму физиков путем замены $-i$ на $j$ .
^ В электротехнической конвенции зависящий от времени фактор — это $e jωt$ , так что сдвиг фазы соответствует умножению на комплексную константу с положительным аргументом, а дифференциация по времени соответствует умножению на $+ jω$ . Однако в этой статье используется физическая конвенция, зависящий от времени фактор которой — это $e - iωt$ . Хотя мнимая единица явно не появляется в приведенных здесь результатах, зависящий от времени фактор влияет на интерпретацию любых результатов, которые оказываются комплексными.

Ссылки

↑ Борн и Вольф, 1970, стр. 38.
^ Хехт, 1987, стр. 100.
^ Дриггерс, Рональд Г.; Хоффман, Крейг; Дриггерс, Рональд (2011). Энциклопедия оптической инженерии . doi :10.1081/E-EOE. ISBN 978-0-8247-0940-2.
^ Хехт, 1987, стр. 102.
^ ab Конспект лекций Бо Сернелиуса, основной сайт Архивировано 22.02.2012 на Wayback Machine , см. особенно лекцию 12.
^ ab Born & Wolf, 1970, стр. 40, уравнения (20), (21).
^ Хехт, 2002, стр. 116, уравнения (4.49), (4.50).
^ Хехт, 2002, с. 120, экв. (4.56).
^ Хехт, 2002, с. 120, экв. (4,57).
↑ Френель, 1866, стр. 773.
^ Хехт, 2002, с. 115, экв. (4.42).
↑ Френель, 1866, стр. 757.
^ Хехт, 2002, с. 115, экв. (4.43).
^ Э. Верде, во Френеле, 1866, с. 789н.
^ Борн и Вольф, 1970, стр. 40, уравнения (21а).
^ Дженкинс и Уайт, 1976, стр. 524, уравнения (25а).
^ Уиттакер, 1910, с. 134; Дарригол, 2012, с. 213.
^ Heavens, OS (1955). Оптические свойства тонких пленок . Academic Press.глава 4.
^ Дарригол, 2012, стр. 191–2.
↑ Д. Брюстер, «О законах, регулирующих поляризацию света при отражении от прозрачных тел», Philosophical Transactions of the Royal Society , т. 105, стр. 125–59, дата прочтения 16 марта 1815 г.
↑ Т. Янг, «Хроматика» (написано в сентябре–октябре 1817 г.), Дополнение к четвертому, пятому и шестому изданиям Encyclopaedia Britannica , т. 3 (первая половина, выпущена в феврале 1818 г.), стр. 141–163, заключительное предложение.
^ Бухвальд, 1989, стр. 390–91; Френель, 1866, стр. 646–68.
^ А. Френель, «Примечание к расчётам teintes que la поляризации, развивающейся в кристаллических пластинках» и далее, Annales de Chimie et de Physique , vol. 17, стр. 102–11 (май 1821 г.), 167–96 (июнь 1821 г.), 312–15 («Постскриптум», июль 1821 г.); перепечатано Френелем, 1866 г., стр. 609–48; переведено как «О расчете оттенков, возникающих в кристаллических пластинках, и постскриптум», Zenodo : 4058004 / doi :10.5281/zenodo.4058004, 2021.
^ ab A. Fresnel, "Mémoire sur la loi des modifications que la réflexion imprime à la lumière polarisée" ("Mémoire on the law of the modifications that reflectation imprime on polarized light"), прочитано 7 января 1823 г.; перепечатано в Fresnel, 1866 г., стр. 767–99 (полный текст, опубликован в 1831 г.), стр. 753–62 (выдержка, опубликована в 1823 г.). См. особенно стр. 773 (закон синусов), 757 (закон тангенса), 760–61 и 792–6 (углы полного внутреннего отражения для заданных разностей фаз).
^ Бухвальд, 1989, стр. 391–393; Уиттекер, 1910, стр. 133–5.
^ Бухвальд, 1989, стр. 392.
^ Ллойд, 1834, стр. 369–70; Бухвальд, 1989, стр. 393–4, 453; Френель, 1866, стр. 781–96.
↑ Френель, 1866, стр. 760–61, 792–6; Уэвелл, 1857, стр. 359.
↑ Уиттекер, 1910, стр. 177–179.
^ А. Френель, «Mémoire sur la double refraction que les rayons lumineux éprouvent en traversant les aiguilles de cristal de roche suivant les Directions parallèles à l'axe» («Мемуары о двойном преломлении, которому подвергаются световые лучи при прохождении кварцевых игл в направлениях, параллельных оси»), прочитано 9 декабря 1822 г.; напечатано во Френеле, 1866 г., стр. 731–751 (полный текст), стр. 719–729 ( дополнение , впервые опубликовано в Bulletin de la Société philomathique за 1822 г., стр. 191–8).
^ Бухвальд, 1989, стр. 230–231; Френель, 1866, стр. 744.
^ Бухвальд, 1989, стр. 442; Френель, 1866, стр. 737–739, 749. См. Уэвелл, 1857, стр. 356–358; Дженкинс и Уайт, 1976, стр. 589–590.
↑ Сравните MV Berry и MR Jeffrey, «Коническая дифракция: дьявольская точка Гамильтона в самом сердце кристаллической оптики», в E. Wolf (ред.), Progress in Optics , т. 50, Амстердам: Elsevier, 2007, стр. 13–50, doi :10.1016/S0079-6638(07)50002-8, на стр. 18, уравнение (2.2).
^ Это согласуется с Борном и Вольфом, 1970, стр. 38, рис. 1.10.
^ Giles, CL; Wild, WJ (1982). «Френелевское отражение и передача на плоской границе из сред с равными показателями преломления». Applied Physics Letters . 40 (3): 210–212. Bibcode : 1982ApPhL..40..210G. doi : 10.1063/1.93043. S2CID 118838757.
^ Более общие углы Брюстера, для которых углы падения и преломления не обязательно являются дополнительными, обсуждаются в работе CL Giles и WJ Wild, «Углы Брюстера для магнитных носителей», International Journal of Infrared and Millimeter Waves , т. 6, № 3 (март 1985 г.), стр. 187–97.
^ Уиттакер, 1910, стр. 133, 148–149; Дарригол, 2012, стр. 212, 229–231.

Источники

М. Борн и Э. Вольф, 1970, Основы оптики , 4-е изд., Оксфорд: Pergamon Press.
JZ Buchwald, 1989, Возникновение волновой теории света: оптическая теория и эксперимент в начале девятнадцатого века , Издательство Чикагского университета, ISBN 0-226-07886-8 .
RE Collin, 1966, Основы микроволновой техники , Токио: McGraw-Hill.
О. Дарригол, 2012, История оптики: от греческой античности до девятнадцатого века , Оксфорд, ISBN 978-0-19-964437-7 .
А. Френель, 1866 (изд. Х. де Сенармон, Э. Верде и Л. Френель), Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel , Париж: Imprimerie Impériale (3 тома, 1866–70), том. 1 (1866 г.).
Э. Хехт, 1987, Оптика , 2-е изд., Эддисон Уэсли, ISBN 0-201-11609-X .
Э. Хехт, 2002, Оптика , 4-е изд., Эддисон Уэсли, ISBN 0-321-18878-0 .
FA Jenkins и HE White, 1976, Основы оптики , 4-е изд., Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 0-07-032330-5 .
H. Lloyd, 1834, «Отчет о прогрессе и современном состоянии физической оптики», Отчет Четвертого заседания Британской ассоциации содействия развитию науки (состоявшегося в Эдинбурге в 1834 году), Лондон: J. Murray, 1835, стр. 295–413.
У. Уэвелл, 1857, История индуктивных наук: от самых ранних до наших дней , 3-е изд., Лондон: JW Parker & Son, т. 2.
ET Whittaker , 1910, История теорий эфира и электричества: от эпохи Декарта до конца девятнадцатого века , Лондон: Longmans, Green, & Co.

Дальнейшее чтение

Воан, Г. (2010). Кембриджский справочник по физическим формулам . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57507-2.
Гриффитс, Дэвид Дж. (2017). "Глава 9.3: Электромагнитные волны в материи". Введение в электродинамику (4-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-42041-9.
Бэнд, Й. Б. (2010). Свет и материя: электромагнетизм, оптика, спектроскопия и лазеры . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-89931-0.
Кеньон, ИР (2008). Фантастический свет – Введение в классическую и квантовую оптику . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856646-5.
Энциклопедия физики (2-е издание) , Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
Энциклопедия физики Макгроу-Хилла (2-е издание) , CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3

Внешние ссылки

Уравнения Френеля – Вольфрам.
Калькулятор уравнений Френеля
FreeSnell – Бесплатное программное обеспечение для расчета оптических свойств многослойных материалов.
Thinfilm – веб-интерфейс для расчета оптических свойств тонких пленок и многослойных материалов (коэффициенты отражения и пропускания, эллипсометрические параметры Psi и Delta).
Простой веб-интерфейс для расчета углов и сил отражения и преломления с одним интерфейсом.
Отражение и пропускание двух диэлектриков ^{[ постоянная неработающая ссылка ]} – интерактивная веб-страница Mathematica, показывающая соотношения между показателем преломления и отражением.
Автономный вывод из первых принципов вероятностей пропускания и отражения от многослойной среды со сложными показателями преломления.