Торсор (алгебраическая геометрия)

Алгебраическая геометрия аналог главного расслоения в алгебраической топологии

В алгебраической геометрии торсор или главное расслоение является аналогом главного расслоения в алгебраической топологии . Поскольку в топологии Зарисского мало открытых множеств , более распространено рассматривать торсоры в этальной топологии или некоторых других плоских топологиях. Это понятие также обобщает расширение Галуа в абстрактной алгебре. Хотя другие понятия торсоров известны в более общем контексте (например, над стеками ), в этой статье основное внимание будет уделено торсорам над схемами , изначальной обстановке, где были задуманы торсоры. Слово торсор происходит от французского torseur . Они действительно широко обсуждаются, например, в знаменитой книге Мишеля Демазюра и Пьера Габриэля Groupes algébriques, Tome I. [ ^1]

Определение

Пусть будет топологией Гротендика и схемой . Более того, пусть будет групповой схемой над , -торсор (или главное -расслоение) над для топологии ( или просто -торсор, когда топология ясна из контекста) - это данные схемы и морфизм с -инвариантным (правым) действием на , который локально тривиален в т.е. существует покрытие такое, что замена базы над изоморфна тривиальному торсору ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f:P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \{U_{i}\to X\}}$ ${\displaystyle U_{i}\times _{X}P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U_{i}\times G\to U_{i}}$

Обозначения

Когда топология этальная ( соответственно fpqc и т. д.) вместо торсора для этальной топологии мы также можем сказать эталь-торсор (соответственно fpqc-торсор и т. д.). ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Топологии Étale, fpqc и fppf

В отличие от топологии Зарисского во многих топологиях Гротендика торсор может сам быть покрытием. Это происходит в некоторых наиболее распространенных топологиях Гротендика, таких как fpqc -топология, fppf -топология , а также этальная топология (и многие менее известные). Так что пусть будет любой из этих топологий (этальная, fpqc, fppf). Пусть будет схемой и групповой схемой над . Тогда является -торсором тогда и только тогда, когда над изоморфен тривиальному торсору над . В этом случае мы часто говорим, что торсор тривиализирует себя (поскольку он становится тривиальным торсором, когда его снова натягивают на себя). ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\times _{X}P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\times G}$ ${\displaystyle P}$

Векторные пучки соответствия- Г Л н {\displaystyle {GL}_{n}} -торсоры

Над заданной схемой существует биекция, между векторными расслоениями над (т.е. локально свободными пучками) и -торсорами, где , ранг . Дано можно взять (представимый) пучок локальных изоморфизмов , который имеет структуру -торсора . Легко доказать, что . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {GL}_{n}}$ ${\displaystyle n=rk(V)\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Isom(V,{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n})}$ ${\displaystyle Isom({\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n},{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n})}$ ${\displaystyle Isom({\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n},{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n})\simeq GL_{n,X}}$

Тривиальные торсоры и сечения

-Торсор изоморфен тривиальному торсору тогда и только тогда, когда непусто, т.е. морфизм допускает по крайней мере секцию . Действительно , если существует секция , то является изоморфизмом. С другой стороны, если изоморфен тривиальному -торсору, то ; единичный элемент дает требуемую секцию . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:P\to X}$ ${\displaystyle P(X)=\operatorname {Mor} (X,P)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s:X\to P}$ ${\displaystyle s:X\to P}$ ${\displaystyle X\times G\to P,(x,g)\mapsto s(x)g}$ ${\displaystyle f:P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\simeq X\times G}$ ${\displaystyle 1_{G}\in G}$ ${\displaystyle s=id_{X}\times 1_{G}}$

Примеры и основные свойства

• Если — конечное расширение Галуа , то — -торсор (примерно потому, что группа Галуа действует просто транзитивно на корнях.) Злоупотребляя обозначениями, мы все еще обозначаем конечной постоянной групповой схемой над , ассоциированной с абстрактной группой . Этот факт является основой для спуска Галуа . См. интегральное расширение для обобщения. ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} L\to \operatorname {Spec} K}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$
• Если — абелево многообразие над полем, то умножение на , является торсором для fpqc-топологии под действием конечной групповой схемы . Это происходит, например, когда — эллиптическая кривая . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n_{X}:X\to X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ker(n_{X})}$ ${\displaystyle X}$
• Абелеван торсор, -торсор, где — абелево многообразие. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Торсоры и когомологии

Пусть будет -торсором для этальной топологии и пусть будет покрытием, тривиализующим , как в определении. Тривиальный торсор допускает сечение: таким образом, существуют элементы . Зафиксировав такие сечения , мы можем записать однозначно на с . Различные выборы сводятся к 1-кограницам в когомологиях; то есть определяют класс когомологий в группе когомологий пучков (точнее, когомологий Чеха с коэффициентом пучка) . ^[3] Тривиальный торсор соответствует единичному элементу. Наоборот, легко видеть, что любой класс в определяет -торсор над , единственный с точностью до единственного изоморфизма. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{U_{i}\to X\}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{i}\in P(U_{i})}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}g_{ij}=s_{j}}$ ${\displaystyle U_{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}\in G(U_{ij})}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle H^{1}(X,G)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Универсальный торсор схемы X {\displaystyle X} и фундаментальная групповая схема

В этом контексте торсоры должны быть взяты в топологии fpqc . Пусть будет схемой Дедекинда (например, спектром поля) и строго плоским морфизмом , локально конечного типа. Предположим, что имеет сечение . Мы говорим, что имеет фундаментальную групповую схему, если существует проконечный и плоский -торсор , называемый универсальным торсором , с сечением таким, что для любого конечного -торсора с сечением существует единственный морфизм торсоров, отправляющий в . Его существование, предположенное Александром Гротендиком , было доказано Мадхавом В. Нори ^{[4] [5] [6]} для спектра поля и Марко Антеем , Мишелем Эмсалемом и Карло Гасбарри , когда является схемой Дедекинда размерности 1. ^{[7] [8]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X(S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {x}}\in {\hat {X}}_{x}(S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle y\in Y_{x}(S)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Контрактный продукт

Сжатое произведение — это операция, позволяющая построить новый торсор из заданного, раздувая или сдувая его структуру с помощью некоторой конкретной процедуры, также известной как push forward. Хотя конструкция может быть представлена ​​в более широком обобщении, мы представляем здесь только следующую, более простую и очень распространенную ситуацию: нам дан правый -торсор и морфизм групповой схемы . Затем действует влево на посредством левого умножения: . Мы говорим, что два элемента и эквивалентны, если существует такое, что . Пространство орбит называется сжатым произведением через . Элементы обозначаются как . Сжатое произведение является схемой и имеет структуру правого -торсора при наличии действия . Конечно, все операции должны быть задуманы функториально, а не заданы теоретически. Название сжатое произведение происходит от французского produit contracté и в алгебраической геометрии оно предпочтительнее его топологического эквивалента push forward. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:P\to X}$ ${\displaystyle u:G\to M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g\star m:=u(g)m}$ ${\displaystyle (p,m)\in P\times M}$ ${\displaystyle (p',m')\in P\times M}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle (pg^{-1},g\star m)=(p',m')}$ ${\displaystyle P\times ^{G}M:={\frac {P\times M}{G}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle u:G\to M}$ ${\displaystyle p\wedge m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (p\wedge m)*m':=p\wedge (mm')}$

Морфизмы торсоров и редукция структурной групповой схемы

Пусть и будут соответственно (правым) -торсором и (правым) -торсором в некоторой топологии Гротендика, где и являются -групповыми схемами. Морфизм (торсоров) из в есть пара морфизмов , где есть -морфизм и есть морфизм групповой схемы такой, что где и есть соответственно действие на и на . ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle h:T\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a:Y\to T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b:G\to H}$ ${\displaystyle \sigma _{H}\circ (a\times b)=a\circ \sigma _{G}}$ ${\displaystyle \sigma _{G}}$ ${\displaystyle \sigma _{H}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$

Таким образом, можно доказать, что он изоморфен сокращенному произведению . Если морфизм является замкнутым погружением, то говорят, что он является подторсором . Мы также можем сказать, наследуя язык от топологии, что допускает редукцию схемы структурной группы от до . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y\times ^{G}H}$ ${\displaystyle b:G\to H}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Теорема о редукции структуры

Важный результат Владимира Дринфельда и Карлоса Симпсона звучит следующим образом: пусть будет гладкой проективной кривой над алгебраически замкнутым полем , полупростой, расщепляемой и односвязной алгебраической группой (тогда групповой схемой) и -торсором на , являющимся конечно порожденной -алгеброй. Тогда существует этальный морфизм такой, что допускает редукцию структурной групповой схемы к борелевской подгрупповой схеме . ^{[9] [10]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X_{R}=X\times _{\operatorname {Spec} k}\operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R\to R'}$ ${\displaystyle P\times _{X_{R}}X_{R'}}$ ${\displaystyle G}$

Дополнительные замечания

• Обычно торсор рассматривают не только для групповой схемы, но и в более общем смысле для группового пучка (например, группового пучка fppf).
• Категория торсоров над фиксированным основанием образует стек . И наоборот, престек может быть сложен, если взять категорию торсоров (над престеком).
• Если — связная алгебраическая группа над конечным полем , то любой -торсор над является тривиальным. ( Теорема Лэнга .) ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q}}$

Инварианты

Если P — параболическая подгруппа гладкой аффинной групповой схемы G со связными слоями, то ее степень неустойчивости, обозначаемая как , является степенью ее алгебры Ли как векторного расслоения на X . Степень неустойчивости G тогда равна . Если G — алгебраическая группа, а E — G -торсор, то степень неустойчивости E является степенью внутренней формы G , индуцированной E (которая является групповой схемой над X ); т. е . E называется полустабильной , если и стабильной , если . ${\displaystyle \deg _{i}(P)}$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (P)}$ ${\displaystyle \deg _{i}(G)=\max\{\deg _{i}(P)\mid P\subset G{\text{ parabolic subgroups}}\}}$ ${\displaystyle {}^{E}G=\operatorname {Aut} _{G}(E)}$ ${\displaystyle \deg _{i}(E)=\deg _{i}({}^{E}G)}$ ${\displaystyle \deg _{i}(E)\leq 0}$ ${\displaystyle \deg _{i}(E)<0}$

Примеры торсоров в прикладной математике

По словам Джона Баеза , энергия , напряжение , положение и фаза квантово-механической волновой функции являются примерами торсоров в повседневной физике; в каждом случае можно измерить только относительные сравнения, но точка отсчета должна быть выбрана произвольно, чтобы абсолютные значения имели смысл. Однако сравнительные значения относительной энергии, разности напряжений, смещений и разности фаз не являются торсорами, но могут быть представлены более простыми структурами, такими как действительные числа, векторы или углы. ^[11]

В базовом исчислении он приводит неопределенные интегралы в качестве примеров торсоров. ^[11]

Смотрите также

• Теорема Бовилля–Ласло
• Стек модулей основных пучков
• кольцо Кокса

Примечания

1. Демазюр, Мишель ; Габриэль, Пьер (2005). Группы алгебры, том I. Северная Голландия. ISBN 9780720420340.
2. Вистоли, Анджело (2005). Топологии Гротендика, в "Fundamental Algebraic Geometry" . AMS. ISBN 978-0821842454.
3. Милн 1980, Обсуждение, предшествующее предложению 4.6.
4. Нори, Мадхав В. (1976). «О представлениях фундаментальной группы» (PDF) . Compositio Mathematica . 33 (1): 29–42. MR  0417179. Zbl  0337.14016.
5. Нори, Мадхав В. (1982). «Фундаментальная групповая схема». Труды Математических Наук . 91 (2): 73–122. doi :10.1007/BF02967978. S2CID  121156750.
6. Самуэли, Тамаш (2009). Группы Галуа и фундаментальные группы . дои : 10.1017/CBO9780511627064. ISBN 9780521888509.
7. Антей, Марко; Эмсалем, Мишель; Гасбарри, Карло (2020). «Sur l'existence du Schéma en Groupes Fundamental». Эпижурнал алгебраической геометрии . arXiv : 1504.05082 . doi : 10.46298/epiga.2020.volume4.5436. S2CID  227029191.
8. Антей, Марко; Эмсалем, Мишель; Гасбарри, Карло (2020). «Исправление к статье «Высоты векторных расслоений и фундаментальная групповая схема кривой»". Математический журнал Дьюка . 169 (16). doi :10.1215/00127094-2020-0065. S2CID  225148904.
9. Gaitsgory, Dennis (27 октября 2009 г.). "Заметки семинара: расслоения Хиггса, сечение Костанта и локальная тривиальность G-расслоений" (PDF) . Гарвардский университет. Архивировано из оригинала (PDF) 2022-06-30.
10. Лурье, Якоб (5 марта 2014 г.). «Существование борелевских редукций I (Лекция 14)» (PDF) . Гарвардский университет.
11. Baez, John (27 декабря 2009 г.). "Torsors Made Easy". math.ucr.edu . Получено 22.11.2022 .

Ссылки

• Беренд, К. Формула следа Лефшеца для стека модулей главных расслоений. Кандидатская диссертация.
• Беренд, Кай; Конрад, Брайан; Эдидин, Дэн; Фултон, Уильям; Фантехи, Барбара; Гёттше, Лотар; Креш, Эндрю (2006). "Алгебраические стеки". Архивировано из оригинала 2008-05-05.
• Милн, Джеймс С. (1980). Этальные когомологии. Princeton Mathematical Series. Том 33. Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08238-7. МР  0559531.

Дальнейшее чтение

• Брайан Конрад, [http://math.stanford.edu/~conrad/papers/cosetfinite.pdf Теоремы конечности для алгебраических групп над функциональными полями]