Общая линейная группа

В математике общая линейная группа степени n — это множество обратимых матриц n × n вместе с операцией обычного умножения матриц . Это образует группу , поскольку произведение двух обратимых матриц снова обратимо, а обратная матрица обратима, с единичной матрицей в качестве единичного элемента группы. Группа так названа, потому что столбцы (а также строки) обратимой матрицы линейно независимы , следовательно, векторы/точки, которые они определяют, находятся в общем линейном положении , а матрицы в общей линейной группе переводят точки в общем линейном положении в точки в общем линейном положении.

Чтобы быть более точным, необходимо указать, какие объекты могут появляться в записях матрицы. Например, общая линейная группа над R (множество действительных чисел ) — это группа n × n обратимых матриц действительных чисел, и обозначается GL _n ( R ) или GL( n , R ) .

В более общем смысле, общая линейная группа степени n над любым полем F (например, комплексными числами ) или кольцом R (например, кольцом целых чисел ) — это множество обратимых матриц размера n × n с элементами из F (или R ), снова с матричным умножением в качестве групповой операции. ^[1] Типичное обозначение — GL _n ( F ) или GL( n , F ) , или просто GL( n ) , если поле понятно.

В более общем смысле, общая линейная группа векторного пространства GL( V ) — это группа автоморфизмов , не обязательно записанная в виде матриц.

Специальная линейная группа , обозначаемая SL( n , F ) или SL _n ( F ), является подгруппой GL ( n , F ) , состоящей из матриц с определителем 1.

Группа GL( n , F ) и ее подгруппы часто называются линейными группами или матричными группами (группа автоморфизмов GL( V ) является линейной группой, но не матричной группой). Эти группы важны в теории представлений групп , а также возникают при изучении пространственных симметрий и симметрий векторных пространств в целом, а также при изучении многочленов . Модулярная группа может быть реализована как фактор специальной линейной группы SL(2, Z ) .

Если n ≥ 2 , то группа GL( n , F ) не является абелевой .

Общая линейная группа векторного пространства

Если V — векторное пространство над полем F , то общая линейная группа V , обозначаемая GL( V ) или Aut( V ), — это группа всех автоморфизмов V , т. е. множество всех биективных линейных преобразований V → V , вместе с функциональной композицией как групповой операцией. Если V имеет конечную размерность n , то GL( V ) и GL( n , F ) изоморфны . Изоморфизм не является каноническим; он зависит от выбора базиса в V . Если задан базис ( e ₁ , ..., e _n ) V и автоморфизм T в GL( V ) , то для каждого базисного вектора e _i имеем

T(e_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}e_{j}

для некоторых констант a _ij в F ; матрица, соответствующая T , тогда является просто матрицей с элементами, заданными a _ji .

Аналогичным образом, для коммутативного кольца R группа GL( n , R ) может быть интерпретирована как группа автоморфизмов свободного R -модуля M ранга n . Можно также определить GL( M ) для любого R -модуля, но в общем случае это не изоморфно GL( n , R ) (для любого n ).

С точки зрения детерминант

Над полем F матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель ненулевой. Поэтому альтернативное определение GL( n , F ) — как группы матриц с ненулевым определителем.

Над коммутативным кольцом R требуется больше внимания: матрица над R обратима тогда и только тогда, когда ее определитель является единицей в R , то есть если ее определитель обратим в R. Следовательно, GL( n , R ) можно определить как группу матриц, определители которых являются единицами.

Над некоммутативным кольцом R детерминанты ведут себя не совсем хорошо. В этом случае GL( n , R ) можно определить как единичную группу матричного кольца M( n , R ) .

Как группа Ли

Реальный случай

Общая линейная группа GL( n , R ) над полем действительных чисел является действительной группой Ли размерности n ² . Чтобы увидеть это, заметим, что множество всех действительных матриц размера n × n , M _n ( R ), образует действительное векторное пространство размерности n ² . Подмножество GL( n , R ) состоит из тех матриц, определитель которых отличен от нуля. Определитель является полиномиальным отображением, и, следовательно, GL( n , R ) является открытым аффинным подмногообразием M _n ( R ) ( непустым открытым подмножеством M _n ( R ) в топологии Зарисского ), и, следовательно, ^[2]гладким многообразием той же размерности.

Алгебра Ли GL ( n , R ) , обозначаемая как , состоит из всех действительных матриц размера n × n с коммутатором , служащим скобкой Ли. ${\mathfrak {gl}}_{n},$

Как многообразие, GL( n , R ) не связно , а имеет две связные компоненты : матрицы с положительным определителем и матрицы с отрицательным определителем. Компонент тождества , обозначаемый GL ⁺ ( n , R ) , состоит из действительных матриц n × n с положительным определителем. Это также группа Ли размерности n ² ; она имеет ту же алгебру Ли, что и GL( n , R ) .

Полярное разложение , которое является уникальным для обратимых матриц, показывает, что существует гомеоморфизм между GL( n , R ) и декартовым произведением O( n ) с множеством положительно определенных симметричных матриц. Аналогично, оно показывает, что существует гомеоморфизм между GL ⁺ ( n , R ) и декартовым произведением SO( n ) с множеством положительно определенных симметричных матриц. Поскольку последнее является стягиваемым, фундаментальная группа GL + ⁽ n , R ) изоморфна группе SO( n ).

Гомеоморфизм также показывает, что группа GL ( n , R ) некомпактна . «The» ^[3]максимальная компактная подгруппа GL ( n , R ) является ортогональной группой O( n ), тогда как «the» максимальная компактная подгруппа GL ⁺ ( n , R ) является специальной ортогональной группой SO( n ). Что касается SO( n ), группа GL ⁺ ( n , R ) не является односвязной (за исключением случая, когда n = 1) , а имеет фундаментальную группу , изоморфную Z для n = 2 или Z ₂ для n > 2 .

Сложный случай

Общая линейная группа над полем комплексных чисел , GL( n , C ) , является комплексной группой Ли комплексной размерности n ² . Как действительная группа Ли (через овеществление) она имеет размерность 2 n ² . Множество всех действительных матриц образует действительную подгруппу Ли. Они соответствуют включениям

GL( n , R ) < GL( n , C ) < GL( 2n , R ),

которые имеют действительные размеры n ² , 2 n ² и 4 n ² = (2 n ) ² . Комплексные n -мерные матрицы можно охарактеризовать как действительные 2 n -мерные матрицы, которые сохраняют линейную комплексную структуру — конкретно, которые коммутируют с матрицей J такой, что J ² = − I , где J соответствует умножению на мнимую единицу i .

Алгебра Ли, соответствующая GL( n , C ), состоит из всех комплексных матриц размера n × n с коммутатором , служащим скобкой Ли.

В отличие от вещественного случая, GL( n , C ) связно . Это следует, отчасти, из того, что мультипликативная группа комплексных чисел C ^∗связна . Групповое многообразие GL( n , C ) не является компактным; скорее его максимальная компактная подгруппа — это унитарная группа U( n ). Что касается U( n ), групповое многообразие GL( n , C ) не является просто связным , а имеет фундаментальную группу , изоморфную Z .

Над конечными полями

Если F — конечное поле с q элементами, то мы иногда пишем GL( n , q ) вместо GL( n , F ) . Когда p — простое число, GL( n , p ) — внешняя группа автоморфизмов группы Z _pⁿ , а также группа автоморфизмов , поскольку Z _pⁿ абелева, поэтому внутренняя группа автоморфизмов тривиальна.

Порядок GL( n , q ) следующий:

\prod _{k=0}^{n-1}(q^{n}-q^{k})=(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\ \cdots \ (q^{n}-q^{n-1}).

Это можно показать, подсчитав возможные столбцы матрицы: первый столбец может быть чем угодно, кроме нулевого вектора; второй столбец может быть чем угодно, кроме кратных первому столбцу; и в общем случае k- й столбец может быть любым вектором, не входящим в линейную оболочку первых k − 1 столбцов. В q -аналоговой нотации это . $[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}$

Например, GL(3, 2) имеет порядок (8 − 1)(8 − 2)(8 − 4) = 168. Это группа автоморфизмов плоскости Фано и группы Z ₂³ . Эта группа также изоморфна PSL(2, 7) .

В более общем смысле можно подсчитать точки грассманиана над F : другими словами, количество подпространств заданной размерности k . Для этого требуется только найти порядок подгруппы стабилизатора одного такого подпространства и разделить на только что приведенную формулу по теореме о стабилизаторе орбиты .

Эти формулы связаны с разложением Шуберта грассманиана и являются q -аналогами чисел Бетти комплексных грассманианов. Это было одним из ключей, приведших к гипотезам Вейля .

Обратите внимание, что в пределе q ↦ 1 порядок GL( n , q ) стремится к 0! – но при правильной процедуре (делении на ( q − 1) ⁿ ) мы видим, что это порядок симметрической группы (см. статью Лоршайда) – в философии поля с одним элементом , таким образом, можно интерпретировать симметрическую группу как общую линейную группу над полем с одним элементом: S _n ≅ GL( n , 1) .

История

Общая линейная группа над простым полем, GL( ν , p ) , была построена и ее порядок вычислен Эваристом Галуа в 1832 году в его последнем письме (Шевалье) и второй (из трех) прилагаемых рукописей, которые он использовал в контексте изучения группы Галуа общего уравнения порядка p ^ν . ^[4]

Специальная линейная группа

Специальная линейная группа SL( n , F ) является группой всех матриц с определителем 1. Они являются специальными в том смысле, что лежат на подмногообразии — они удовлетворяют полиномиальному уравнению (поскольку определитель является полиномом в записях). Матрицы этого типа образуют группу, поскольку определитель произведения двух матриц является произведением определителей каждой матрицы. SL( n , F ) является нормальной подгруппой GL ( n , F ) .

Если мы запишем F ^× для мультипликативной группы F ( исключая 0), то определитель будет групповым гомоморфизмом

det: GL( n , F ) → F ^× .

которая является сюръективной, а ее ядром является специальная линейная группа. Следовательно, по первой теореме об изоморфизме , GL( n , F )/SL( n , F ) изоморфна F × . Фактически, GL( n , F ) можно записать как полупрямое произведение ^:

GL( n , F ) = SL( n , F ) ⋊ F ^×

Специальная линейная группа также является производной группой (также известной как коммутаторная подгруппа) GL( n , F ) (для поля или тела F ) при условии, что или k не является полем с двумя элементами . ^[5] $n\neq 2$

Когда F — это R или C , SL( n , F ) является подгруппой Ли в GL( n , F ) размерности n ² − 1 . Алгебра Ли SL ( n , F ) состоит из всех матриц n × n над F с исчезающим следом . Скобка Ли задается коммутатором .

Специальную линейную группу SL( n , R ) можно охарактеризовать как группу линейных преобразований R ^{n , сохраняющих}объем и ориентацию .

Группа SL( n , C ) односвязна, а SL( n , R ) — нет. SL( n , R ) имеет ту же фундаментальную группу, что и GL ⁺ ( n , R ) , то есть Z для n = 2 и Z ₂ для n > 2 .

Другие подгруппы

Диагональные подгруппы

Множество всех обратимых диагональных матриц образует подгруппу GL( n , F ) , изоморфную ( F ^× ) ⁿ . В полях типа R и C это соответствует изменению масштаба пространства; так называемые расширения и сжатия.

Скалярная матрица — это диагональная матрица, которая является константой, умноженной на единичную матрицу . Множество всех ненулевых скалярных матриц образует подгруппу GL( n , F ) , изоморфную F ^× . Эта группа является центром GL ( n , F ) . В частности, это нормальная абелева подгруппа.

Центр SL( n , F ) — это просто множество всех скалярных матриц с единичным определителем, и он изоморфен группе корней n- й степени из единицы в поле F .

Классические группы

Так называемые классические группы являются подгруппами GL( V ), которые сохраняют некоторую билинейную форму на векторном пространстве V . К ним относятся

ортогональная группа O( V ), которая сохраняет невырожденную квадратичную форму на V ,
симплектическая группа Sp( V ), которая сохраняет симплектическую форму на V (невырожденную знакопеременную форму ),
унитарная группа U( V ), которая при F = C сохраняет невырожденную эрмитову форму на V .

Эти группы представляют собой важные примеры групп Ли.

Связанные группы и моноиды

Проективная линейная группа

Проективная линейная группа PGL( n , F ) и проективная специальная линейная группа PSL( n , F ) являются фактор-группами GL ( n , F ) и SL( n , F ) по их центрам (которые состоят из кратных единичной матрицы в них); они являются индуцированным действием на соответствующем проективном пространстве .

Аффинная группа

Аффинная группа Aff( n , F ) является расширением GL ( n , F ) группой трансляций в F ⁿ . Она может быть записана как полупрямое произведение :

Aff( n , F ) = GL( n , F ⁾ ⋉ Fn

где GL( n , F ) действует на F ⁿ естественным образом. Аффинную группу можно рассматривать как группу всех аффинных преобразований аффинного пространства , лежащего в основе векторного пространства F ⁿ .

Аналогичные конструкции имеются и для других подгрупп общей линейной группы: например, специальная аффинная группа — это подгруппа, определяемая полупрямым произведением, SL( n , F ) ⋉ F ⁿ , а группа Пуанкаре — это аффинная группа, связанная с группой Лоренца , O(1, 3, F ) ⋉ F ⁿ .

Общая полулинейная группа

Общая полулинейная группа ΓL( n , F ) является группой всех обратимых полулинейных преобразований и содержит GL. Полулинейное преобразование — это преобразование, которое линейно «с точностью до поворота», что означает «с точностью до автоморфизма поля при скалярном умножении». Его можно записать в виде полупрямого произведения:

ΓL( п , F ) = Гал( F ) ⋉ GL( п , F )

где Gal( F ) — группа Галуа F ( над его простым полем ), которая действует на GL( n , F ) посредством действия Галуа на элементах.

Основной интерес ΓL( n , F ) заключается в том, что связанная с ней проективная полулинейная группа PΓL( n , F ) (которая содержит PGL( n , F )) является группой коллинеаций проективного пространства для n > 2 , и, таким образом, полулинейные отображения представляют интерес в проективной геометрии .

Полный линейный моноид

Полный линейный моноид, полученный при удалении ненулевого ограничения определителя, образует алгебраическую структуру, родственную моноиду, часто называемую полным линейным моноидом или иногда полной линейной полугруппой или общим линейным моноидом. Примечательно, что он представляет собой регулярную полугруппу.

Если убрать ограничение на то, что определитель не равен нулю, то результирующая алгебраическая структура представляет собой моноид , обычно называемый полным линейным моноидом , ^[6]^[7]^[8] , но иногда также полной линейной полугруппой , ^[9] общим линейным моноидом ^[10]^[11] и т. д. На самом деле это регулярная полугруппа . ^[7]

Бесконечная общая линейная группа

Бесконечная общая линейная группа или стабильная общая линейная группа является прямым пределом включений GL( n , F ) → GL( n + 1, F ) как верхняя левая блочная матрица . Она обозначается либо GL( F ), либо GL(∞, F ) , и может также интерпретироваться как обратимые бесконечные матрицы, которые отличаются от единичной матрицы только в конечном числе мест. ^[12]

Он используется в алгебраической K-теории для определения K 1 и имеет хорошо понятную топологию над действительными числами благодаря периодичности Ботта .

Его не следует путать с пространством (ограниченных) обратимых операторов в гильбертовом пространстве , которое является большей группой и топологически гораздо проще, а именно стягиваемым – см. теорему Кейпера .

Смотрите также

Примечания

^ Здесь кольца предполагаются ассоциативными и унитальными .
^ Поскольку топология Зарисского грубее метрической топологии; эквивалентно, полиномиальные отображения непрерывны .
^ Максимальная компактная подгруппа не является единственной, но по существу является единственной , поэтому часто говорят о «максимальной компактной подгруппе».
^ Галуа, Эварист (1846). «Письмо Галуа к Огюсту Шевалье». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . XI : 408–415 . Проверено 4 февраля 2009 г. , GL( ν , p ), обсуждалось на стр. 410.{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)
^ Супруненко, Д.А. (1976), Матричные группы , Переводы математических монографий, Американское математическое общество, Теорема II.9.4
^ Ян Окнински (1998). Полугруппы матриц . World Scientific. Глава 2: Полный линейный моноид. ISBN 978-981-02-3445-4.
^ ab Meakin (2007). "Группы и полугруппы: связи и контраст". В CM Campbell (ред.). Группы St Andrews 2005. Cambridge University Press. стр. 471. ISBN 978-0-521-69470-4.
^ Джон Роудс; Бенджамин Стейнберг (2009). Q-теория конечных полугрупп . Springer Science & Business Media. стр. 306. ISBN 978-0-387-09781-7.
^ Эрик Йесперс; Ян Окниски (2007). Нётеровы полугрупповые алгебры . Springer Science & Business Media. 2.3: Полная линейная полугруппа. ISBN 978-1-4020-5810-3.
^ Мейнольф Гек (2013). Введение в алгебраическую геометрию и алгебраические группы . Oxford University Press. стр. 132. ISBN 978-0-19-967616-3.
^ Махир Билен Кан; Чжэньхэн Ли; Бенджамин Стейнберг; Цян Ван (2014). Алгебраические моноиды, групповые вложения и алгебраическая комбинаторика . Springer. стр. 142. ISBN 978-1-4939-0938-4.
^ Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую К-теорию . Annals of Mathematics Studies. Т. 72. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . С. 25. MR 0349811. Zbl 0237.18005.

Ссылки

Springer, Tonny Albert (1998). Линейные алгебраические группы (2-е изд.). Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4839-8.

Внешние ссылки

«Общая линейная группа», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
«GL(2, p) и GL(3, 3), действующие по точкам», Эд Пегг-младший , Wolfram Demonstrations Project , 2007.