stringtranslate.com

Луи Ниренберг

Луи Ниренберг (28 февраля 1925 г. — 26 января 2020 г.) — канадско-американский математик, считающийся одним из самых выдающихся математиков XX века. [2] [3]

Почти все его работы были в области уравнений с частными производными . Многие из его вкладов в настоящее время считаются фундаментальными для этой области, например, его сильный принцип максимума для параболических уравнений с частными производными второго порядка и теорема Ньюлендера–Ниренберга в комплексной геометрии . Он считается основополагающей фигурой в области геометрического анализа , причем многие из его работ тесно связаны с изучением комплексного анализа и дифференциальной геометрии . [4]

Биография

Ниренберг родился в Гамильтоне, Онтарио, в семье украинских еврейских иммигрантов. Он учился в средней школе Барона Бинга и в Университете Макгилла , получив степень бакалавра по математике и физике в 1945 году. Во время летней работы в Национальном исследовательском совете Канады он познакомился с женой Эрнеста Куранта Сарой Пол. Она поговорила с отцом Куранта, выдающимся математиком Ричардом Курантом , чтобы получить совет о том, куда Ниренбергу следует поступить для изучения теоретической физики. После их обсуждения Ниренберг был приглашен в аспирантуру Института математических наук Куранта при Нью-Йоркском университете . В 1949 году он получил докторскую степень по математике под руководством Джеймса Стокера . В своей докторской работе он решил «проблему Вейля» в дифференциальной геометрии , которая была хорошо известной открытой проблемой с 1916 года.

После получения докторской степени он стал профессором в Институте Куранта, где и оставался до конца своей карьеры. Он был научным руководителем 45 аспирантов и опубликовал более 150 статей с рядом соавторов, включая известные совместные работы с Анри Берестицким , Хаимом Брезисом , Луисом Каффарелли и Яньяном Ли , среди многих других. Он продолжал проводить математические исследования до 87 лет. 26 января 2020 года Ниренберг умер в возрасте 94 лет. [5] [6] [7]

Работа Ниренберга получила широкое признание, включая следующие награды и почести:

Математические достижения

Ниренберг особенно известен своим сотрудничеством с Шмуэлем Агмоном и Авроном Дуглисом, в котором они расширили теорию Шаудера , как она ранее понималась для эллиптических уравнений в частных производных второго порядка, на общую постановку эллиптических систем. С Базилисом Гидасом и Вэй-Мин Ни он новаторски использовал принцип максимума для доказательства симметрии многих решений дифференциальных уравнений. Изучение функционального пространства BMO было инициировано Ниренбергом и Фрицем Джоном в 1961 году; хотя первоначально оно было введено Джоном при изучении упругих материалов , оно также применялось к азартным играм, известным как мартингалы . [18] Его работа 1982 года с Луисом Каффарелли и Робертом Коном внесла основополагающий вклад в существование и гладкость Навье–Стокса в области математической механики жидкости .

Другие достижения включают решение проблемы Минковского в двумерном пространстве, интерполяционное неравенство Гальярдо–Ниренберга , теорему Ньюлендера–Ниренберга в комплексной геометрии и разработку псевдодифференциальных операторов совместно с Джозефом Коном .

Уравнения Навье-Стокса

Уравнения Навье -Стокса были разработаны в начале 1800-х годов для моделирования физики механики жидкости . Жан Лере , в основополагающем достижении в 1930-х годах, сформулировал влиятельное понятие слабого решения для уравнений и доказал их существование. [19] Его работа была позже использована в постановке краевой задачи Эберхардом Хопфом . [20]

Прорыв произошел с работой Владимира Шеффера в 1970-х годах. Он показал, что если гладкое решение уравнений Навье-Стокса приближается к сингулярному времени, то решение может быть непрерывно продолжено к сингулярному времени вдали от, грубо говоря, кривой в пространстве. [21] Не делая такого условного предположения о гладкости, он установил существование решений Лере-Хопфа, которые являются гладкими вдали от двумерной поверхности в пространстве-времени. [22] Такие результаты называются «частичной регулярностью». Вскоре после этого Луис Каффарелли , Роберт Кон и Ниренберг локализовали и усилили анализ Шеффера. [CKN82] Ключевым инструментом анализа Шеффера было энергетическое неравенство, обеспечивающее локализованный интегральный контроль решений. Оно автоматически не удовлетворяется решениями Лере-Хопфа, но Шеффер и Каффарелли-Кон-Ниренберг установили теоремы существования для решений, удовлетворяющих таким неравенствам. Используя такой «априорный» контроль в качестве отправной точки, Каффарелли–Кон–Ниренберг смогли доказать чисто локальный результат о гладкости вдали от кривой в пространстве-времени, улучшив частичную регулярность Шеффера.

Аналогичные результаты были позже получены Майклом Струве , а упрощенная версия анализа Каффарелли-Кона-Ниренберга была позже найдена Фан-Хуа Линем . [23] [24] В 2014 году Американское математическое общество отметило работу Каффарелли-Кона-Ниренберга премией Стила за основополагающий вклад в исследования , заявив, что их работа является «вехой», предоставляющей «источник вдохновения для поколения математиков». Дальнейший анализ теории регулярности уравнений Навье-Стокса по состоянию на 2021 год является хорошо известной открытой проблемой .

Нелинейные эллиптические уравнения в частных производных

В 1930-х годах Чарльз Моррей нашел базовую теорию регулярности квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных для функций в двумерных областях. [25] Ниренберг в рамках своей докторской диссертации распространил результаты Моррея на постановку полностью нелинейных эллиптических уравнений. [N53a] Работы Моррея и Ниренберга широко использовали двумерность, и понимание эллиптических уравнений с областями более высоких размерностей было выдающейся открытой проблемой.

Уравнение Монжа-Ампера , в форме задания определителя гессиана функции, является одним из стандартных примеров полностью нелинейного эллиптического уравнения. В приглашенной лекции на Международном конгрессе математиков 1974 года Ниренберг объявил о результатах, полученных совместно с Эухенио Калаби по граничной задаче для уравнения Монжа-Ампера, основанных на оценках граничной регулярности и методе непрерывности . [26] Однако вскоре они поняли, что их доказательства были неполными. [26] В 1977 году Шиу-Юэнь Чэн и Шин-Тун Яу разрешили вопрос о существовании и внутренней регулярности для уравнения Монжа-Ампера , показав, в частности, что если определитель гессиана функции гладкий, то и сама функция должна быть гладкой. [27] Их работа основывалась на связи через преобразование Лежандра с проблемой Минковского , которую они ранее решили с помощью дифференциально-геометрических оценок. [28] В частности, их работа не использовала регулярность границ, и их результаты оставили такие вопросы нерешенными.

В сотрудничестве с Луисом Каффарелли и Джоэлем Спруком Ниренберг решил такие вопросы, напрямую установив регулярность границы и используя ее для построения прямого подхода к уравнению Монжа-Ампера, основанного на методе непрерывности. [CNS84] Калаби и Ниренберг успешно продемонстрировали равномерный контроль первых двух производных; ключом к методу непрерывности является более мощная равномерная непрерывность Гельдера вторых производных. Каффарелли, Ниренберг и Спрук установили тонкую версию этого вдоль границы, [29] которую они смогли установить как достаточную, используя оценки третьей производной Калаби внутри. [30] С Джозефом Коном они нашли аналогичные результаты в постановке комплексного уравнения Монжа-Ампера. [C+85] В таких общих ситуациях теория Эванса-Крылова [29] является более гибким инструментом, чем основанные на вычислениях расчеты Калаби.

Каффарелли, Ниренберг и Спрук смогли распространить свои методы на более общие классы полностью нелинейных эллиптических уравнений в частных производных, в которых изучаются функции, для которых заданы определенные соотношения между собственными значениями гессиана. [CNS85] В качестве частного случая их нового класса уравнений им удалось частично решить граничную задачу для специальных лагранжианов .

Линейные эллиптические системы

Самая известная работа Ниренберга 1950-х годов посвящена «эллиптической регулярности». Совместно с Авроном Дуглисом Ниренберг распространил оценки Шаудера , открытые в 1930-х годах в контексте эллиптических уравнений второго порядка, на общие эллиптические системы произвольного порядка. [DN55] В сотрудничестве с Шмуэлем Агмоном и Дуглисом Ниренберг доказал граничную регулярность для эллиптических уравнений произвольного порядка. [ADN59] Позднее они распространили свои результаты на эллиптические системы произвольного порядка. [ADN64] Совместно с Морри Ниренберг доказал, что решения эллиптических систем с аналитическими коэффициентами сами по себе являются аналитическими, распространяясь на границу ранее известных работ. [MN57] Эти вклады в эллиптическую регулярность теперь считаются частью «стандартного пакета» информации и рассматриваются во многих учебниках. Оценки Дуглиса-Ниренберга и Агмона-Дуглиса-Ниренберга, в частности, являются одними из наиболее широко используемых инструментов в эллиптических уравнениях в частных производных. [31]

С Яньяном Ли , и мотивированный композитными материалами в теории упругости, Ниренберг изучал линейные эллиптические системы, в которых коэффициенты являются непрерывными по Гёльдеру внутри, но, возможно, разрывными на границе. Их результат заключается в том, что градиент решения является непрерывным по Гёльдеру, с оценкой L ∞ для градиента, которая не зависит от расстояния от границы. [LN03]

Принцип максимума и его приложения

В случае гармонических функций принцип максимума был известен в 1800-х годах и использовался Карлом Фридрихом Гауссом . [32] [33] В начале 1900-х годов сложные расширения для общих эллиптических уравнений в частных производных второго порядка были найдены Сергеем Бернштейном , Леоном Лихтенштейном и Эмилем Пикаром ; только в 1920-х годах Эберхард Хопф нашел простое современное доказательство . [34] В одной из своих самых ранних работ Ниренберг адаптировал доказательство Хопфа к параболическим уравнениям в частных производных второго порядка , тем самым установив сильный принцип максимума в этом контексте. [N53b] Как и в более ранней работе, такой результат имел различные теоремы единственности и сравнения в качестве следствий. Работа Ниренберга теперь считается одной из основ области параболических уравнений в частных производных и повсеместно встречается в стандартных учебниках. [35] [36] [37] [38] [39] [40]

В 1950-х годах А. Д. Александров представил элегантный метод отражения «движущейся плоскости», который он использовал в качестве контекста для применения принципа максимума для характеристики стандартной сферы как единственной замкнутой гиперповерхности евклидова пространства с постоянной средней кривизной . В 1971 году Джеймс Серрин использовал технику Александрова, чтобы доказать, что высокосимметричные решения некоторых эллиптических уравнений в частных производных второго порядка должны поддерживаться на симметричных областях. Ниренберг понял, что работа Серрина может быть переформулирована таким образом, чтобы доказать, что решения эллиптических уравнений в частных производных второго порядка наследуют симметрии своей области и самого уравнения. Такие результаты не выполняются автоматически, и нетривиально определить, какие особые черты данной проблемы являются релевантными. Например, существует много гармонических функций в евклидовом пространстве , которые не являются вращательно-симметричными, несмотря на вращательную симметрию Лапласа и евклидова пространства.

Первые результаты Ниренберга по этой проблеме были получены в сотрудничестве с Базилисом Гидасом и Вэй-Мин Ни . Они разработали точную форму техники Александрова и Серрина, применимую даже к полностью нелинейным эллиптическим и параболическим уравнениям. [GNN79] В более поздней работе они разработали версию леммы Хопфа , применимую к неограниченным областям, тем самым улучшив свою работу в случае уравнений в таких областях. [GNN81] Их основные приложения связаны с вращательной симметрией. Благодаря таким результатам во многих случаях, представляющих геометрический или физический интерес, достаточно изучать обыкновенные дифференциальные уравнения, а не уравнения с частными производными.

Позже, совместно с Анри Берестицким , Ниренберг использовал оценку Александрова-Бакельмана-Пуччи [29] для улучшения и модификации методов Гидаса-Ни-Ниренберга, значительно уменьшив необходимость предположения о регулярности области. [BN91a] В важном результате совместно с Шринивасой Варадан , Берестицкий и Ниренберг продолжили изучение областей без предполагаемой регулярности. Для линейных операторов они связали справедливость принципа максимума с положительностью первого собственного значения и существованием первой собственной функции. [BNV94] Вместе с Луисом Каффарелли , Берестицкий и Ниренберг применили свои результаты к симметрии функций на цилиндрических областях. [BCN96] Они получили, в частности, частичное разрешение известной гипотезы Эннио Де Джорджи о трансляционной симметрии, которая позже была полностью разрешена в докторской диссертации Овидиу Савина . [BCN97b] [41] [42] Они также применили свой метод для получения качественных явлений в общих неограниченных областях, расширяя более ранние работы Марии Эстебан и Пьера-Луи Лионса . [BCN97a]

Функциональные неравенства

Ниренберг и Эмилио Гальярдо независимо доказали фундаментальные неравенства для пространств Соболева , теперь известные как неравенство Гальярдо–Ниренберга–Соболева и интерполяционные неравенства Гальярдо–Ниренберга . [N59] Они повсеместно используются в литературе по уравнениям с частными производными; как таковые, было очень интересно расширить и адаптировать их к различным ситуациям. Сам Ниренберг позже разъяснил возможные показатели, которые могут появляться в интерполяционном неравенстве. [N66] Совместно с Луисом Каффарелли и Робертом Коном , Ниренберг установил соответствующие неравенства для определенных весовых норм. [CKN84] Нормы Каффарелли, Кона и Ниренберга позже были более полно исследованы в известной работе Флорина Катрины и Чжи-Цяна Вана. [43]

Сразу после введения Фрицем Джоном функционального пространства ограниченных средних колебаний (BMO) в теорию упругости , он и Ниренберг провели дальнейшее исследование этого пространства, доказав, в частности, «неравенство Джона-Ниренберга», которое ограничивает размер множества, на котором функция BMO далека от своего среднего значения. [JN61] Их работа, которая является применением разложения Кальдерона-Зигмунда , стала частью стандартной математической литературы. Изложения содержатся в стандартных учебниках по вероятности, [44] комплексному анализу, [45] гармоническому анализу, [46] анализу Фурье, [47] и уравнениям с частными производными. [29] Среди других приложений, оно особенно фундаментально для неравенства Гарнака Юргена Мозера и последующих работ. [48] [49] [29]

Неравенство Джона-Ниренберга и более общие основы теории BMO были разработаны Ниренбергом и Хаимом Брезисом в контексте отображений между римановыми многообразиями . [BN95] Среди других результатов им удалось установить, что гладкие отображения, близкие по норме BMO, имеют одинаковую топологическую степень , и, следовательно, эта степень может быть осмысленно определена для отображений исчезающего среднего колебания (VMO) .

Вариационное исчисление

В контексте топологических векторных пространств Ки Фан разработал теорему о минимаксе с приложениями в теории игр . [50] [51] Совместно с Хаимом Брезисом и Гвидо Стампаккиа Ниренберг получил результаты, расширяющие как теорию Фана, так и обобщение Стампаккиа теоремы Лакса-Мильграма . [BNS72] [52] Их работа имеет приложения к предмету вариационных неравенств . [53]

Адаптируя энергию Дирихле , стандартно распознавать решения некоторых волновых уравнений как критические точки функционалов. С Брезисом и Жаном-Мишелем Короном Ниренберг нашел новый функционал, критические точки которого могут быть напрямую использованы для построения решений волновых уравнений. [BCN80] Они смогли применить теорему о горном перевале к своему новому функционалу, тем самым установив существование периодических решений некоторых волновых уравнений, расширяя результат Пола Рабиновица . [54] Часть их работы включала небольшие расширения стандартной теоремы о горном перевале и условия Пале-Смейла , которые стали стандартными в учебниках. [55] [56] [57] В 1991 году Брезис и Ниренберг показали, как вариационный принцип Экеланда может быть применен для расширения теоремы о горном перевале, с эффектом того, что почти критические точки могут быть найдены без требования условия Пале-Смейла. [BN91b] [57]

Фундаментальный вклад Брезиса и Ниренберга в теорию критических точек касался локальных минимизаторов. [BN93] В принципе, выбор функционального пространства весьма важен, и функция может минимизироваться среди гладких функций без минимизации среди более широкого класса функций Соболева . Используя более ранний результат о регулярности Брезиса и Тосио Като , Брезис и Ниренберг исключили такие явления для определенного класса функционалов типа Дирихле . [58] Их работа была позже расширена Хесусом Гарсией Азореро, Хуаном Манфреди и Иренео Пералем. [59]

В одной из наиболее цитируемых работ Ниренберга он и Брезис изучали задачу Дирихле для уравнений типа Ямабэ на евклидовых пространствах, следуя части работы Тьерри Обена по проблеме Ямабэ . [BN83] Вместе с Берестицким и Итало Капуццо-Дольчеттой Ниренберг изучал суперлинейные уравнения типа Ямабэ, получая различные результаты существования и несуществования. [BCN94]

Нелинейный функциональный анализ

Агмон и Ниренберг провели обширное исследование обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, связав асимптотические представления и поведение решений на бесконечности с

к спектральным свойствам оператора A. Приложения включают изучение довольно общих параболических и эллиптико-параболических задач. [AN63]

Брезис и Ниренберг провели исследование теории возмущений нелинейных возмущений необратимых преобразований между гильбертовыми пространствами; приложения включают результаты существования периодических решений некоторых полулинейных волновых уравнений. [BN78a] [BN78b]

В работе Джона Нэша по изометрической задаче вложения ключевым шагом является результат малого возмущения, очень напоминающий теорему о неявной функции ; его доказательство использовало новую комбинацию метода Ньютона (в бесконечно малой форме) со сглаживающими операторами. [60] Ниренберг был одним из многих математиков, которые поместили идеи Нэша в систематические и абстрактные рамки, называемые теоремами Нэша-Мозера . Формулировка Ниренберга особенно проста, изолируя основные аналитические идеи, лежащие в основе анализа большинства итерационных схем Нэша-Мозера. [N72] В рамках аналогичной рамки он доказал абстрактную форму теоремы Коши-Ковалевски как частный случай теоремы о разрешимости обыкновенных дифференциальных уравнений в семействах банаховых пространств . [N72] Его работа была позже упрощена Такааки Нисидой и использована при анализе уравнения Больцмана . [61] [62]

Геометрические задачи

Используя свою работу по полностью нелинейным эллиптическим уравнениям [N53a] , Ниренберг в своей докторской диссертации дал решение проблемы Вейля и проблемы Минковского в области дифференциальной геометрии . [N53c] Первая требует существования изометрических вложений положительно искривленных римановых метрик на двумерной сфере в трехмерное евклидово пространство , тогда как вторая требует замкнутых поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве, для которых отображение Гаусса предписывает гауссову кривизну . Ключевым моментом является то, что «уравнение Дарбу» из теории поверхностей имеет тип Монжа-Ампера, так что теория регулярности Ниренберга становится полезной в методе непрерывности . Известные теоремы Джона Нэша об изометрическом вложении , установленные вскоре после этого, не имеют очевидного отношения к проблеме Вейля, которая одновременно имеет дело с вложениями высокой регулярности и низкой коразмерностью. [63] [60] Работа Ниренберга по проблеме Минковского была распространена на римановы условия Алексеем Погореловым . В более высоких размерностях проблема Минковского была решена Шиу-Юэнь Ченгом и Шин-Тунг Яу . [28] Другие подходы к проблеме Минковского были разработаны на основе фундаментальных вкладов Каффарелли, Ниренберга и Спрука в теорию нелинейных эллиптических уравнений. [CNS85]

В одной из своих немногих статей, не посвященных анализу , Ниренберг и Филипп Хартман охарактеризовали цилиндры в евклидовом пространстве как единственные полные гиперповерхности, которые являются по сути плоскими. [HN59] Это также можно рассматривать как решение вопроса об изометрическом вложении плоских многообразий как гиперповерхностей. Такие вопросы и естественные обобщения были позднее рассмотрены Ченгом, Яу и Гарольдом Розенбергом , среди прочих. [64] [65]

Отвечая на вопрос, заданный Ниренбергу Шиинг-Шен Черном и Андре Вейлем , Ниренберг и его аспирант Август Ньюлендер доказали то, что сейчас известно как теорема Ньюлендера-Ниренберга , которая обеспечивает точное алгебраическое условие, при котором почти комплексная структура возникает из голоморфного координатного атласа. [NN57] Теорема Ньюлендера-Ниренберга теперь считается основополагающим результатом в комплексной геометрии , хотя сам результат гораздо более известен, чем доказательство, которое обычно не описывается во вводных текстах, поскольку оно опирается на передовые методы в частных дифференциальных уравнениях. Ниренберг и Джозеф Кон , следуя более ранней работе Кона, изучили ∂- задачу Неймана на псевдовыпуклых областях и продемонстрировали связь теории регулярности с существованием субэллиптических оценок для оператора ∂ . [KN65b]

Классическая модель диска Пуанкаре назначает метрику гиперболического пространства единичному шару. Ниренберг и Чарльз Лёвнер изучали более общие средства естественного назначения полной римановой метрики ограниченным открытым подмножествам евклидова пространства . [ LN74] Геометрические вычисления показывают, что решения некоторых полулинейных уравнений типа Ямабе могут быть использованы для определения метрик постоянной скалярной кривизны, и что метрика является полной, если решение расходится к бесконечности вблизи границы. Лёвнер и Ниренберг установили существование таких решений в некоторых областях. Аналогично они изучили определенное уравнение Монжа-Ампера со свойством, что для любого отрицательного решения, непрерывно продолжающегося до нуля на границе, можно определить полную риманову метрику через гессиан. Эти метрики обладают особым свойством проективной инвариантности, так что проективное преобразование из одной заданной области в другую становится изометрией соответствующей метрики.

Псевдодифференциальные операторы

Джозеф Кон и Ниренберг ввели понятие псевдодифференциальных операторов . [KN65a] Ниренберг и Франсуа Трев исследовали знаменитый пример Леви для неразрешимого линейного уравнения в частных производных второго порядка и открыли условия, при которых оно разрешимо, в контексте как частных дифференциальных операторов, так и псевдодифференциальных операторов. [NT63] [NT70] Их введение условий локальной разрешимости с аналитическими коэффициентами стало центром внимания таких исследователей, как Р. Билс, К. Фефферман, Р. Д. Мойер, Ларс Хермандер и Нильс Денкер , которые решили псевдодифференциальное условие для уравнения Леви. Это открыло новые двери в локальную разрешимость линейных частных дифференциальных уравнений.

Основные публикации

Книги и обзоры.

Статьи.

Ссылки

  1. ^ Лоусон, Х. Блейн-младший (21 апреля 2012 г.). «Размышления о ранней математической жизни Боба Оссермана» (PDF) .
  2. ^ Аллин Джексон (март 2002 г.). «Интервью с Луисом Ниренбергом» (PDF) . Уведомления AMS . 49 (4): 441–449. Архивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 г. . Получено 26 марта 2015 г. .
  3. ^ Каффарелли, Луис А.; Ли, ЯнЯнь. Предисловие [Посвящено Луису Ниренбергу по случаю его 85-летия. Часть I]. Discrete Contin. Dyn. Syst. 28 (2010), № 2, i–ii. doi:10.3934/dcds.2010.28.2i
  4. ^ Яу, Шинг-Тунг. Перспективы геометрического анализа. Обзоры дифференциальной геометрии. Т. X, 275–379, Surv. Differ. Geom., 10, Int. Press, Сомервилл, Массачусетс, 2006.
  5. ^ Morto il grande matematico Луи Ниренберг (на итальянском языке)
  6. ↑ Чанг, Кеннет (31 января 2020 г.). «Луи Ниренберг, «Один из великих математиков», умер в возрасте 94 лет». New York Times . Получено 19 февраля 2020 г. .
  7. ^ Shields, Brit; Barany, Michael J. (17 февраля 2020 г.). «Луи Ниренберг (1925–2020)». Nature . Получено 19 февраля 2020 г. .
  8. ^ "Просмотр призов и наград". Американское математическое общество . Получено 12 августа 2022 г.
  9. ^ "Louis Nirenberg". Американская академия искусств и наук . Получено 5 мая 2022 г.
  10. ^ "Луи Ниренберг". www.nasonline.org . Получено 5 мая 2022 г. .
  11. ^ "Премия Крафорда 1982". Премия Крафорда . 25 мая 1982 г.
  12. ^ "Премия Джеффри-Уильямса". CMS-SMC . Получено 12 августа 2022 г.
  13. ^ "История члена APS". search.amphilsoc.org . Получено 5 мая 2022 г. .
  14. ↑ Премии Стила 1994 г. Уведомления Amer. Math. Soc. 41 (1994), № 8, 905–912.
  15. ↑ Луи Ниренберг получает Национальную медаль науки. С участием Луиса Каффарелли и Джозефа Дж. Кона. Notices Amer. Math. Soc. 43 (1996), № 10, 1111–1116.
  16. ↑ Награжден медалью Черна 2010 г. Notices Amer. Math. Soc. 57 (2010), № 11, 1472–1474.
  17. ^ "2015: Джон Ф. Нэш и Луис Ниренберг". Норвежская академия наук и литературы . Получено 12 августа 2022 г.
  18. ^ "Джон Ф. Нэш-младший и Луис Ниренберг разделяют Абелевскую премию". Абелевская премия . 25 марта 2015 г. Получено 26 марта 2015 г.
  19. ^ Лерэ, Жан. Sur le mouvement d'un Liquide visqueux emplissant l'espace. Акта Математика. 63 (1934), вып. 1, 193–248.
  20. ^ Хопф, Эберхард. Используйте функцию Anfangswertaufgabe for die Hydrodynamischen Grundgleichungen. Математика. Нахр. 4 (1951), 213–231.
  21. ^ Шеффер, Владимир. Частичная регулярность решений уравнений Навье-Стокса. Pacific J. Math. 66 (1976), № 2, 535–552.
  22. ^ Шеффер, Владимир. Мера Хаусдорфа и уравнения Навье-Стокса. Comm. Math. Phys. 55 (1977), № 2, 97–112.
  23. ^ Струве, Майкл. О результатах частичной регулярности для уравнений Навье-Стокса. Comm. Pure Appl. Math. 41 (1988), № 4, 437–458.
  24. ^ Линь, Фанхуа. Новое доказательство теоремы Каффарелли-Кона-Ниренберга. Comm. Pure Appl. Math. 51 (1998), № 3, 241–257.
  25. ^ Морри, Чарльз Б., младший. О решениях квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных. Trans. Amer. Math. Soc. 43 (1938), № 1, 126–166.
  26. ^ ab См. вторую страницу [CNS84] .
  27. ^ Чэн, Шиу Юэнь; Яу, Шинг Тунг. О регулярности уравнения Монжа-Ампера det(∂ 2 u/∂x i ∂x j ) = F(x,u) . Comm. Pure Appl. Math. 30 (1977), № 1, 41–68.
  28. ^ ab Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing Tung. О регулярности решения n-мерной задачи Минковского. Comm. Pure Appl. Math. 29 (1976), № 5, 495–516.
  29. ^ abcde Гилбарг, Дэвид; Трудингер, Нил С. Эллиптические уравнения с частными производными второго порядка. Переиздание издания 1998 года. Классика математики. Springer-Verlag, Берлин, 2001. xiv+517 стр. ISBN 3-540-41160-7 
  30. ^ Калаби, Эухенио. Несобственные аффинные гиперсферы выпуклого типа и обобщение теоремы К. Йоргенса. Michigan Math. J. 5 (1958), 105–126.
  31. ^ Морри, Чарльз Б. младший. Множественные интегралы в вариационном исчислении. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 130 Springer-Verlag New York, Inc., Нью-Йорк, 1966 ix+506 стр.
  32. ↑ Исторические комментарии и ссылки взяты из комментария Джеймса Серрина на странице 9 книги « Избранные труды Эберхарда Хопфа с комментариями». Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2002. xxiv+386 стр.
  33. ^ Гаусс, CF Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus. Resultate aus den Beobachtungen des Magnetischen Vereins im Jahre 1838.
  34. ^ Хопф, Эберхард. Elementare Bemerkungen über die Lösungen partieller Differentialgleichngen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus (1927)
  35. ^ Эванс, Лоуренс К. Уравнения с частными производными. Второе издание. Graduate Studies in Mathematics, 19. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2010. xxii+749 стр.
  36. ^ Фридман, Авнер. Уравнения с частными производными параболического типа. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ 1964 xiv+347 стр.
  37. ^ Ладыженская, О.А.; Солонников, В.А.; Уральцева, Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Переводы математических монографий, т. 23, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1968, xi+648 с.
  38. ^ Либерман, Гэри М. Параболические дифференциальные уравнения второго порядка. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1996. xii+439 стр.
  39. ^ Проттер, Мюррей Х.; Вайнбергер, Ганс Ф. Принципы максимума в дифференциальных уравнениях. Исправленное переиздание оригинала 1967 года. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1984. x+261 стр.
  40. ^ Смоллер, Джоэл. Ударные волны и уравнения реакции-диффузии. Второе издание. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 258. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1994. xxiv+632 стр.
  41. ^ Савин, Овидиу. Регулярность плоских множеств уровня в фазовых переходах. Ann. of Math. (2) 169 (2009), № 1, 41–78.
  42. ^ дель Пино, Мануэль; Ковальчик, Михал; Вэй, Цзюньчэн. О гипотезе Де Джорджи в размерности N≥9. Энн. математики. (2) 174 (2011), вып. 3, 1485–1569.
  43. ^ Catrina, Florin; Wang, Zhi-Qiang. О неравенствах Каффарелли-Кона-Ниренберга: точные константы, существование (и несуществование) и симметрия экстремальных функций. Comm. Pure Appl. Math. 54 (2001), № 2, 229–258.
  44. ^ Ревуз, Дэниел; Йор, Марк. Непрерывные мартингалы и броуновское движение. Третье издание. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 293. Springer-Verlag, Берлин, 1999. xiv+602 стр. ISBN 3-540-64325-7 
  45. ^ Гарнетт, Джон Б. Ограниченные аналитические функции. Пересмотренное первое издание. Graduate Texts in Mathematics, 236. Springer, Нью-Йорк, 2007. xiv+459 стр. ISBN 978-0-387-33621-3 , 0-387-33621-4 
  46. ^ Гарсиа-Куэрва, Хосе; Рубио де Франсия, Хосе Л. Взвешенное нормативное неравенство и смежные темы. Математические исследования Северной Голландии, 116. Notas de Matemática, 104. North-Holland Publishing Co., Амстердам, 1985. x +604 стр. ISBN 0-444-87804-1 
  47. ^ Графакос, Лукас. Современный анализ Фурье. Третье издание. Graduate Texts in Mathematics, 250. Springer, Нью-Йорк, 2014. xvi+624 стр. ISBN 978-1-4939-1229-2 , 978-1-4939-1230-8 
  48. ^ Мозер, Юрген О теореме Гарнака для эллиптических дифференциальных уравнений. Comm. Pure Appl. Math. 14 (1961), 577–591.
  49. ^ Мозер, Юрген. Неравенство Гарнака для параболических дифференциальных уравнений. Comm. Pure Appl. Math. 17 (1964), 101–134.
  50. ^ Фань, К. Обобщение теоремы Тихонова о неподвижной точке. Math. Ann. 142 (1960), 305–310.
  51. ^ Фэн, К. Минимаксное неравенство и его приложения. Неравенства, III (Proc. Third Sympos., Univ. California, Los Angeles, Calif., 1969; посвящается памяти Теодора С. Моцкина), стр. 103–113. Academic Press, Нью-Йорк, 1972.
  52. ^ Стампаккья, Гвидо. Формы билинейных принуждений к выпуклым ансамблям. ЧР акад. наук. Париж 258 (1964), 4413–4416.
  53. ^ Обен, Жан-Пьер; Экланд, Ивар. Прикладной нелинейный анализ. Перепечатка оригинала 1984 года. Dover Publications, Inc., Минеола, Нью-Йорк, 2006. x+518 стр.
  54. ^ Рабинович, Пол Х. Свободные колебания для полулинейного волнового уравнения. Comm. Pure Appl. Math. 31 (1978), № 1, 31–68.
  55. ^ Mawhin, Jean; Willem, Michel. Теория критических точек и гамильтоновы системы. Applied Mathematical Sciences, 74. Springer-Verlag, New York, 1989. xiv+277 стр.
  56. ^ Струве, Майкл. Вариационные методы. Приложения к нелинейным уравнениям в частных производных и гамильтоновым системам. Четвертое издание. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике, 34. Springer-Verlag, Берлин, 2008. xx+302 стр.
  57. ^ ab Виллем, Мишель. Теоремы о минимаксе. Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях, 24. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1996. x+162 стр.
  58. ^ Брезис, Хаим; Като, Тосио. Замечания об операторе Шредингера с сингулярными комплексными потенциалами. J. Math. Pures Appl. (9) 58 (1979), № 2, 137–151.
  59. ^ Гарсия Азореро, ХП; Перал Алонсо, И.; Манфреди, Хуан Х. Локальные минимизаторы Соболева против Гёльдера и глобальная кратность для некоторых квазилинейных эллиптических уравнений. Commun. Contemp. Math. 2 (2000), № 3, 385–404.
  60. ^ Нэш, Джон. Задача погружения для римановых многообразий. Ann. of Math. (2) 63 (1956), 20–63.
  61. ^ Нисида, Такааки. Заметка о теореме Ниренберга. J. Differential Geometry 12 (1977), № 4, 629–633
  62. ^ Нисида, Такааки. Жидкостно-динамический предел нелинейного уравнения Больцмана на уровне сжимаемого уравнения Эйлера. Comm. Math. Phys. 61 (1978), № 2, 119–148.
  63. ^ Нэш, Джон. Изометрические вложения C 1. Ann. of Math. (2) 60 (1954), 383–396.
  64. ^ Чэн, Шиу Юэнь; Яу, Шинг Тунг. Гиперповерхности с постоянной скалярной кривизной. Math. Ann. 225 (1977), № 3, 195–204.
  65. ^ Розенберг, Гарольд. Гиперповерхности постоянной кривизны в пространственных формах. Bull. Sci. Math. 117 (1993), № 2, 211–239.

Внешние ссылки