мера Малера

Мера высоты полинома

В математике мера Малера многочлена с комплексными коэффициентами определяется как ${\displaystyle M(p)}$ ${\displaystyle p(z)}$

$${\displaystyle M(p)=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|=|a|\prod _{i=1}^{n}\max\{1,|\alpha _{i}|\},}$$где факторизуется по комплексным числам как ${\displaystyle p(z)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n}).}$$

Меру Малера можно рассматривать как своего рода функцию высоты . Используя формулу Йенсена , можно доказать, что эта мера также равна геометрическому среднему для на единичной окружности (т.е. ) : ${\displaystyle |p(z)|}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|=1}$ $${\displaystyle M(p)=\exp \left(\int _{0}^{1}\ln(|p(e^{2\pi i\theta })|)\,d\theta \right).}$$

В более широком смысле мера Малера алгебраического числа определяется как мера Малера минимального многочлена над . В частности, если — число Пизо или число Салема , то его мера Малера — это просто . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Мера Малера названа в честь австралийского математика немецкого происхождения Курта Малера .

Характеристики

• Мера Малера является мультипликативной: ${\displaystyle \forall p,q,\,\,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q).}$
• ${\textstyle M(p)=\lim _{\tau \to 0}\|p\|_{\tau }}$где - норма . [ ^1] ${\textstyle \,\|p\|_{\tau }=\left(\int _{0}^{1}|p(e^{2\pi i\theta })|^{\tau }d\theta \right)^{1/\tau }}$ ${\displaystyle L_{\tau }}$ ${\displaystyle p}$
• Теорема Кронекера : Если — неприводимый монический целочисленный многочлен с , то либо , либо — циклотомический многочлен . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M(p)=1}$ ${\displaystyle p(z)=z,}$ ${\displaystyle p}$
• ( Гипотеза Лемера ) Существует константа такая, что если — неприводимый целочисленный многочлен, то либо , либо . ${\displaystyle \mu >1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M(p)=1}$ ${\displaystyle M(p)>\mu }$
• Мера Малера целочисленного мономического многочлена — это число Перрона .

Многомерная мера Малера

Мера Малера многомерного полинома определяется аналогично формулой ^[2] ${\displaystyle M(p)}$ ${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

$${\displaystyle M(p)=\exp \left(\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\log {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{2\pi i\theta _{1}},e^{2\pi i\theta _{2}},\ldots ,e^{2\pi i\theta _{n}}){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n}\right).}$$Она наследует три вышеуказанных свойства меры Малера для многочлена с одной переменной.

Было показано, что многомерная мера Малера в некоторых случаях связана со специальными значениями дзета-функций и -функций . Например, в 1981 году Смит ^[3] доказал формулы где — L-функция Дирихле , а где — дзета-функция Римана . Здесь называется логарифмической мерой Малера . ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle m(1+x+y)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2)}$$ ${\displaystyle L(\chi _{-3},s)}$ $${\displaystyle m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2}}}\zeta (3),}$$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle m(P)=\log M(P)}$

Некоторые результаты Лоутона и Бойда

Из определения мера Малера рассматривается как интегрированные значения многочленов по тору (см. также гипотезу Лемера ). Если обращается в нуль на торе , то сходимость определяющего интеграла неочевидна, но известно, что сходится и равна пределу одномерных мер Малера, ^[4] что было высказано предположением Бойда . ^{[5] [6]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (S^{1})^{n}}$ ${\displaystyle M(p)}$ ${\displaystyle M(p)}$

Это формулируется следующим образом: Пусть обозначают целые числа и определяют . Если — многочлен от переменных, то определим многочлен от одной переменной как ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}:r_{j}\geq 0\ {\text{for}}\ 1\leq j\leq N\}}$ ${\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} _{+}^{N}}$ ${\displaystyle Q_{r}(z)}$

$${\displaystyle Q_{r}(z):=Q(z^{r_{1}},\dots ,z^{r_{N}})}$$

и определить по ${\displaystyle q(r)}$ $${\displaystyle q(r):=\min \left\{H(s):s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N},s\neq (0,\dots ,0)~{\text{and}}~\sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\right\}}$$

где . ${\displaystyle H(s)=\max\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}}$

Теорема (Лоутон)  —  Пусть — многочлен от N переменных с комплексными коэффициентами. Тогда справедлив следующий предел (даже если условие ослаблено): ${\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}$ ${\displaystyle r_{i}\geq 0}$ $${\displaystyle \lim _{q(r)\to \infty }M(Q_{r})=M(Q)}$$

Предложение Бойда

Бойд предоставил более общие утверждения, чем приведенная выше теорема. Он указал, что классическая теорема Кронекера , которая характеризует монические многочлены с целыми коэффициентами, все корни которых находятся внутри единичного круга, может рассматриваться как характеризующая те многочлены одной переменной, мера которых равна точно 1, и что этот результат распространяется на многочлены от нескольких переменных. ^[6]

Определим расширенный циклотомический многочлен как многочлен вида , где — m -й циклотомический многочлен , — целые числа, а выбраны минимально так, чтобы — многочлен от . Пусть — множество многочленов, которые являются произведениями мономов и расширенных циклотомических многочленов. $${\displaystyle \Psi (z)=z_{1}^{b_{1}}\dots z_{n}^{b_{n}}\Phi _{m}(z_{1}^{v_{1}}\dots z_{n}^{v_{n}}),}$$ ${\displaystyle \Phi _{m}(z)}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}=\max(0,-v_{i}\deg \Phi _{m})}$ ${\displaystyle \Psi (z)}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle \pm z_{1}^{c_{1}}\dots z_{n}^{c_{n}}}$

Теорема (Бойд)  —  Пусть — многочлен с целыми коэффициентами. Тогда тогда и только тогда, когда — элемент . ${\displaystyle F(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]}$ ${\displaystyle M(F)=1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K_{n}}$

Это привело Бойда к рассмотрению множества значений и объединения . Он выдвинул далеко идущую гипотезу ^[5] о том, что множество является замкнутым подмножеством . Непосредственным следствием этой гипотезы была бы истинность гипотезы Лемера, хотя и без явной нижней границы. Поскольку результат Смита предполагает, что , Бойд далее предполагает, что $${\displaystyle L_{n}:={\bigl \{}m(P(z_{1},\dots ,z_{n})):P\in \mathbb {Z} [z_{1},\dots ,z_{n}]{\bigr \}},}$$ ${\textstyle {L}_{\infty }=\bigcup _{n=1}^{\infty }L_{n}}$ ${\displaystyle {L}_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}}$ $${\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}\subsetneqq L_{3}\subsetneqq \ \cdots .}$$

Мера Малера и энтропия

Действие автоморфизмами компактной метризуемой абелевой группы может быть связано посредством двойственности с любым счетным модулем над кольцом . ^[7] Топологическая энтропия (которая равна энтропии теории меры ) этого действия, , задается мерой Малера (или бесконечна). ^[8] В случае циклического модуля для ненулевого многочлена формула, доказанная Линдом, Шмидтом и Уордом , дает , логарифмическую меру Малера . В общем случае энтропия действия выражается как сумма логарифмических мер Малера по образующим главных ассоциированных простых идеалов модуля. Как ранее указывал Линд в случае одного компактного группового автоморфизма, это означает, что множество возможных значений энтропии таких действий является либо всеми из , либо счетным множеством в зависимости от решения проблемы Лемера . Линд также показал, что бесконечномерный тор либо имеет эргодические автоморфизмы конечной положительной энтропии, либо имеет только автоморфизмы бесконечной энтропии в зависимости от решения задачи Лемера. ^[9] ${\displaystyle \alpha _{M}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R=\mathbb {Z} [z_{1}^{\pm 1},\dots ,z_{n}^{\pm 1}]}$ ${\displaystyle h(\alpha _{N})}$ ${\displaystyle M=R/\langle F\rangle }$ ${\displaystyle F(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]}$ ${\displaystyle h(\alpha _{N})=\log M(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{\infty }}$

Смотрите также

• норма Бомбьери
• Высота многочлена

Примечания

1. Хотя это не является истинной нормой для значений . ${\displaystyle \tau <1}$
2. Шинцель 2000, стр. 224.
3. Смит 2008.
4. Лоутон 1983.
5. Boyd 1981a.
6. Boyd 1981b.
7. Китченс, Брюс; Шмидт, Клаус (1989). «Автоморфизмы компактных групп». Эргодическая теория и динамические системы . 9 (4): 691–735. doi : 10.1017/S0143385700005290 .
8. Линд, Дуглас; Шмидт, Клаус; Уорд, Том (1990). «Мера Малера и энтропия для коммутирующих автоморфизмов компактных групп». Inventiones Mathematicae . 101 : 593–629. doi : 10.1007/BF01231517 .
9. Линд, Дуглас (1977). «Структура косых произведений с эргодическими групповыми автоморфизмами». Israel Journal of Mathematics . 28 (3): 205–248. doi :10.1007/BF02759810. S2CID  120160631.

Ссылки

• Борвейн, Питер (2002). Вычислительные экскурсии в анализ и теорию чисел . CMS Books in Mathematics. Том 10. Springer . С. 3, 15. ISBN 978-0-387-95444-8. Збл  1020.12001.

• Бойд, Дэвид (1981a). «Размышления относительно диапазона меры Малера». Канадский математический вестник . 24 (4): 453–469. doi : 10.4153/cmb-1981-069-5 .

• Бойд, Дэвид (1981b). «Теорема Кронекера и проблема Лемера для многочленов от нескольких переменных». Журнал теории чисел . 13 : 116–121. doi : 10.1016/0022-314x(81)90033-0 .

• Boyd, David (2002a). «Мера Малера и инварианты гиперболических многообразий». В Bennett, MA (ред.). Теория чисел для тысячелетия . AK Peters. стр. 127–143.

• Бойд, Дэвид (2002b). «Мера Малера, гиперболические многообразия и дилогарифм». Заметки Канадского математического общества . 34 (2): 3–4, 26–28.

• Бойд, Дэвид ; Родригес Вильегас, Фернандо (2002). «Мера Малера и дилогарифм, часть 1». Канадский математический журнал . 54 (3): 468–492. дои : 10.4153/cjm-2002-016-9 . S2CID  10069657.
• Брюно, Франсуа; Зудилин, Вадим (2020). Множество вариаций мер Малера: вечная симфония . Кембридж, Соединенное Королевство Нью-Йорк, Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-79445-9. OCLC  1155888228.

• Эверест, Грэм и Уорд, Томас (1999). "Высоты многочленов и энтропия в алгебраической динамике". Springer-Verlag London, Ltd., Лондон. xii+211 стр. ISBN : 1-85233-125-9

• «Мера Малера», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994].
• Дженсен, Дж. Л. (1899). «Сюр ип новая и важная теория теории функций». Акта Математика . 22 : 359–364. дои : 10.1007/BF02417878 . ЖФМ  30.0364.02.

• Кнут, Дональд Э. (1997). "4.6.2 Факторизация многочленов". Получисленные алгоритмы . Искусство программирования . Т. 2 (3-е изд.). Эддисон-Уэсли. С. 439–461, 678–691. ISBN 978-0-201-89684-8.

• Лоутон, Уэйн М. (1983). «Проблема Бойда, касающаяся геометрических средних многочленов». Журнал теории чисел . 16 (3): 356–362. doi : 10.1016/0022-314X(83)90063-X . Zbl  0516.12018.

• Моссингхофф, Майкл Дж. (1998). «Многочлены с малой мерой Малера». Математика вычислений . 67 (224): 1697–1706. doi : 10.1090/S0025-5718-98-01006-0 . Zbl  0918.11056.

• Шинцель, Анджей (2000). Полиномы с особым учетом сводимости . Энциклопедия математики и ее приложений. Т. 77. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-66225-3. Збл  0956.12001.

• Смит, Крис (2008). «Мера Малера алгебраических чисел: обзор». В Макки, Джеймс; Смит, Крис (ред.). Теория чисел и многочлены . Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 352. Издательство Кембриджского университета . С. 322–349. ISBN 978-0-521-71467-9. Збл  1334.11081.

Внешние ссылки

• Мера Малера на MathWorld
• Формула Йенсена на MathWorld