Множество Мандельброта ( / ˈ m æ n d əl b r oʊ t , - br ɒ t / ) [1] [2] представляет собой двумерное множество с относительно простым определением, которое демонстрирует большую сложность, особенно при его увеличении . . Он популярен благодаря своей эстетической привлекательности и фрактальным структурам. Набор определяется в комплексной плоскости как комплексные числа , для которых функция не стремится к бесконечности при итерации , начиная с , т. е. для которых последовательность , и т. д. остается ограниченной по абсолютной величине .
Этот набор был впервые определен и нарисован Робертом Бруксом и Питером Мательски в 1978 году в рамках исследования кляйнианских групп . [3] Впоследствии, в 1980 году, Бенуа Мандельброт получил высококачественные визуализации набора, работая в Исследовательском центре Томаса Дж. Уотсона IBM в Йорктаун-Хайтс, Нью-Йорк .
Изображения множества Мандельброта демонстрируют бесконечно сложную границу , которая при увеличении раскрывает все более мелкие рекурсивные детали; математически граница множества Мандельброта представляет собой фрактальную кривую . «Стиль» этой рекурсивной детали зависит от исследуемой области заданной границы. Изображения множества Мандельброта могут быть созданы путем выборки комплексных чисел и проверки для каждой точки выборки , стремится ли последовательность к бесконечности . Рассматривая действительную и мнимую части как координаты изображения на комплексной плоскости , пиксели затем можно раскрасить в зависимости от того, как скоро последовательность пересекает произвольно выбранный порог (порог должен быть не менее 2, поскольку -2 — это комплексное число с наибольшим значением). величина внутри набора, но в остальном порог является произвольным). Если оставить постоянным и вместо этого изменить начальное значение, получается соответствующий набор Жюлиа для точки .
Множество Мандельброта стало популярным за пределами математики как из-за своей эстетической привлекательности, так и как пример сложной структуры, возникающей в результате применения простых правил. Это один из самых известных примеров математической визуализации , математической красоты и мотива .
Множество Мандельброта берет свое начало в сложной динамике — области, впервые исследованной французскими математиками Пьером Фату и Гастоном Жюли в начале 20 века. Фрактал был впервые определен и нарисован в 1978 году Робертом Бруксом и Питером Мательски в рамках исследования кляйнианских групп . [3] 1 марта 1980 года в Исследовательском центре Томаса Дж. Уотсона компании IBM в Йорктаун-Хайтс , штат Нью-Йорк , Бенуа Мандельброт впервые визуализировал этот набор. [4]
Мандельброт изучил пространство параметров квадратичных многочленов в статье, появившейся в 1980 году. [5] Математическое исследование множества Мандельброта действительно началось с работ математиков Адриана Дуади и Джона Х. Хаббарда (1985), [6] которые установили множество своих фундаментальных свойств и назвал набор в честь Мандельброта за его влиятельную работу во фрактальной геометрии .
Математики Хайнц-Отто Пейтген и Петер Рихтер стали хорошо известны благодаря продвижению набора с помощью фотографий, книг (1986 г.), [7] и международной передвижной выставки немецкого Института Гете (1985 г.). [8] [9]
В обложке журнала Scientific American за август 1985 года был представлен алгоритм вычисления множества Мандельброта. Обложку создали Пайтген, Рихтер и Саупе в Бременском университете . [10] Набор Мандельброта стал известен в середине 1980-х годов как демонстрация компьютерной графики , когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, чтобы рисовать и отображать набор в высоком разрешении. [11]
Работа Дуади и Хаббарда возникла во время роста интереса к сложной динамике и абстрактной математике [12] , и с тех пор изучение множества Мандельброта стало центральным элементом этой области. [ нужна цитата ]
Множество Мандельброта - это набор значений c на комплексной плоскости , для которых орбита критической точки при итерации квадратичного отображения
остается ограниченным . [14] Таким образом, комплексное число c является членом множества Мандельброта, если при запуске и повторном применении итерации абсолютное значение остается ограниченным для всех .
Например, для c = 1 последовательность равна 0, 1, 2, 5, 26, ..., которая стремится к бесконечности , поэтому 1 не является элементом множества Мандельброта. С другой стороны, для последовательность равна 0, −1, 0, −1, 0, ..., которая ограничена, поэтому −1 действительно принадлежит множеству.
Множество Мандельброта также можно определить как локус связности семейства квадратичных многочленов , подмножества пространства параметров, для которого множество Жюлиа соответствующего многочлена образует связное множество . Точно так же границу множества Мандельброта можно определить как место бифуркации этого квадратичного семейства, подмножества параметров, вблизи которого динамическое поведение полинома (при его повторении ) резко меняется.
Множество Мандельброта является компактным , так как оно замкнуто и содержится в замкнутом круге радиуса 2 вокруг начала координат . Точка принадлежит множеству Мандельброта тогда и только тогда, когда для всех . Другими словами, абсолютное значение должно оставаться на уровне 2 или ниже, чтобы находиться в множестве Мандельброта , и если это абсолютное значение превышает 2, последовательность устремится в бесконечность. Поскольку , отсюда следует, что , устанавливая, что всегда будет в замкнутом диске радиуса 2 вокруг начала координат. [15]
Пересечение с действительной осью есть интервал . Параметры в этом интервале можно привести во взаимно однозначное соответствие с параметрами реального логистического семейства .
Переписка предоставлена
Это дает соответствие между всем пространством параметров логистического семейства и пространством множества Мандельброта. [16]
Дуади и Хаббард показали, что множество Мандельброта связно . Они построили явный конформный изоморфизм между дополнением множества Мандельброта и дополнением замкнутого единичного круга . Первоначально Мандельброт предположил, что множество Мандельброта несвязно . Эта гипотеза была основана на компьютерных изображениях, созданных программами, которые не способны обнаружить тонкие нити, соединяющие разные части . После дальнейших экспериментов он пересмотрел свою гипотезу, решив, что это должно быть связано. Топологическое доказательство связности было обнаружено в 2001 году Джереми Каном . [17]
Динамическая формула униформизации дополнения множества Мандельброта, вытекающая из доказательства Дуади и Хаббарда связности , порождает внешние лучи множества Мандельброта. Эти лучи можно использовать для изучения множества Мандельброта в комбинаторных терминах и сформировать основу параголоволомки Йоккоза . [18]
Границей множества Мандельброта является место бифуркации семейства квадратичных многочленов. Другими словами, граница множества Мандельброта — это набор всех параметров, для которых динамика квадратичного отображения чувствительно зависит от т. е. резко изменяется при сколь угодно малых изменениях. Его можно построить как предельное множество последовательности плоских алгебраических кривые — кривые Мандельброта общего типа, известные как полиномиальные лемнискаты . Кривые Мандельброта определяются путем установки , а затем интерпретации набора точек на комплексной плоскости как кривой на действительной декартовой плоскости степени по x и y . [19] Каждая кривая представляет собой отображение исходной окружности радиуса 2 под . Эти алгебраические кривые появляются на изображениях множества Мандельброта, вычисленных с использованием упомянутого ниже «алгоритма времени выхода».
Основная кардиоида – это период 1 континента. Это область параметров, для которых карта
имеет притягивающую неподвижную точку . Он состоит из всех параметров вида
для некоторых в открытом блоке диска .
Слева от основной кардиоиды, прикрепленной к ней в точке , видна круглая лампочка, лампочка периода-2 . Луковица состоит из , для которых имеет цикл притяжения с периодом 2 . Это закрашенный круг радиуса 1/4 с центром вокруг −1.
В более общем смысле, для каждого положительного целого числа существуют круглые лампочки, касающиеся основной кардиоиды, называемые лампочками периода q (где обозначает фи-функцию Эйлера ), которые состоят из параметров , для которых имеется притягивающий цикл периода . Более конкретно, для каждого примитивного корня из единицы (где ) существует одна лампочка с периодом q, называемая лампочкой, которая касается основной кардиоиды при параметре
и который содержит параметры с -циклами, имеющими комбинаторное число вращения . Точнее, все периодические компоненты Фату , содержащие притягивающий цикл, соприкасаются в общей точке (обычно называемой -неподвижной точкой ). Если мы пометим эти компоненты в ориентации против часовой стрелки, то компонент будет сопоставлен с компонентом .
Изменение поведения, происходящее при, известно как бифуркация : притягивающая неподвижная точка «столкнется» с отталкивающим циклом периода q . Когда мы переходим через параметр бифуркации в -лампочку , притягивающая фиксированная точка превращается в отталкивающую фиксированную точку (-неподвижная точка), и цикл периода q становится притягивающим.
Лампочки, являющиеся внутренними компонентами множества Мандельброта, в которых отображения имеют притягивающий периодический цикл, называются гиперболическими компонентами . [ нужна цитата ]
Предполагается, что это единственные внутренние области и что они плотны в . Эта проблема, известная как плотность гиперболичности , является одной из наиболее важных открытых проблем в сложной динамике . [20] Гипотетические негиперболические компоненты множества Мандельброта часто называют «странными» или призрачными компонентами. [21] [22] Для вещественных квадратичных полиномов этот вопрос был доказан в 1990-х годах независимо Любичем, а также Грачиком и Свёнтеком. (Обратите внимание, что гиперболические компоненты, пересекающие действительную ось, точно соответствуют периодическим окнам на диаграмме Фейгенбаума . Таким образом, этот результат утверждает, что такие окна существуют вблизи каждого параметра на диаграмме.)
Не к каждой гиперболической компоненте можно добраться последовательностью прямых бифуркаций от главной кардиоиды множества Мандельброта. К такому компоненту можно прийти последовательностью прямых бифуркаций от главной кардиоиды маленькой копии Мандельброта (см. ниже).
Каждый из гиперболических компонентов имеет центр , который представляет собой точку c , такую, что внутренняя область Фату имеет цикл суперпритяжения, то есть притяжение бесконечно. Это означает, что цикл содержит критическую точку 0, так что 0 после нескольких итераций возвращается к самому себе. Следовательно, для некоторого n . Если мы назовем этот полином (позволив ему зависеть от c вместо z ), мы получим то, что и степень равна . Поэтому построение центров гиперболических компонент возможно путем последовательного решения уравнений . [ нужна ссылка ] Число новых центров, созданных на каждом этапе, определяется OEIS Слоана : A000740 .
Предполагается, что множество Мандельброта локально связно . Эта гипотеза известна как MLC (от локально связного Мандельброта ). Благодаря работе Адриана Дуади и Джона Х. Хаббарда эта гипотеза привела к созданию простой абстрактной модели «сжатого диска» множества Мандельброта. В частности, это подразумевало бы важную гипотезу гиперболичности, упомянутую выше. [ нужна цитата ]
Работа Жана-Кристофа Йоко установила локальную связность множества Мандельброта при всех конечно перенормируемых параметрах; то есть, грубо говоря, содержащиеся лишь в конечном числе маленьких копий Мандельброта. [23] С тех пор локальная связность была доказана во многих других точках , но полная гипотеза все еще остается открытой.
Множество Мандельброта самоподобно при увеличении в окрестностях точек Мисюревича . Также предполагается, что он самоподобен вокруг обобщенных точек Фейгенбаума (например, -1,401155 или -0,1528 + 1,0397i ) в смысле сходимости к предельному множеству. [24] [25] Множество Мандельброта в целом является квазисамоподобным, поскольку небольшие, слегка отличающиеся версии самого себя можно найти в сколь угодно малых масштабах. Все эти копии набора Мандельброта немного отличаются, в основном из-за тонких нитей, соединяющих их с основной частью набора. [ нужна цитата ]
Хаусдорфова размерность границы множества Мандельброта равна 2, как это определено Мицухиро Шишикурой . [26] Тот факт, что это целое число больше, чем его топологическая размерность, равная 1, отражает крайнюю фрактальную природу границы множества Мандельброта. Грубо говоря, результат Шишикуры утверждает, что граница множества Мандельброта настолько «волнистая», что локально заполняет пространство так же эффективно, как двумерная плоская область. Кривые с размерностью Хаусдорфа 2, несмотря на то, что они (топологически) одномерны, часто могут иметь ненулевую площадь (более формально, ненулевую плоскую меру Лебега ). Так ли обстоит дело с границей множества Мандельброта, остается нерешенной проблемой. [ нужна цитата ]
Было показано, что обобщенное множество Мандельброта в многомерных гиперкомплексных числовых пространствах (т.е. когда степень повторяемой переменной стремится к бесконечности) сходится к единичной ( -1)-сфере. [27]
В модели реальных вычислений Блюма-Шуба-Смейла множество Мандельброта не вычислимо, но его дополнение вычислимо перечислимо . Многие простые объекты (например, график возведения в степень) также не вычислимы в модели BSS. В настоящее время неизвестно, вычислимо ли множество Мандельброта в моделях реальных вычислений, основанных на вычислимом анализе , которые более точно соответствуют интуитивному понятию «построение множества с помощью компьютера». Гертлинг показал, что множество Мандельброта вычислимо в этой модели, если гипотеза гиперболичности верна. [ нужна цитата ]
Как следствие определения множества Мандельброта, существует тесное соответствие между геометрией множества Мандельброта в данной точке и структурой соответствующего множества Жюлиа . Например, значение c принадлежит множеству Мандельброта тогда и только тогда, когда соответствующее множество Жюлиа связно. Таким образом, множество Мандельброта можно рассматривать как отображение связных множеств Жюлиа. [ нужна цитата ]
Этот принцип используется практически во всех глубоких результатах на множестве Мандельброта. Например, Шишикура доказал, что для плотного набора параметров на границе множества Мандельброта множество Жюлиа имеет хаусдорфовую размерность два, а затем переносит эту информацию на плоскость параметров. [26] Точно так же Йоккоз сначала доказал локальную связность множеств Жюлиа, прежде чем установить ее для множества Мандельброта при соответствующих параметрах. [23]
Для каждого рационального числа , где p и q взаимно простые , гиперболическая компонента периода q отделяется от основной кардиоиды в точке на краю кардиоиды, соответствующей внутреннему углу . [28] Часть множества Мандельброта, соединенная с основной кардиоидой в этой точке бифуркации, называется p / q -лимбом . Компьютерные эксперименты показывают, что диаметр конечности стремится к нулю, как . Наилучшая известная на данный момент оценка — это неравенство Йоккоза, которое утверждает, что размер стремится к нулю, как . [ нужна цитата ]
Лимб с периодом q будет иметь «усики» наверху конечности. Период данной лампочки определяется путем подсчета этих антенн. Числитель числа вращения p находится путем нумерации каждой антенны против часовой стрелки, начиная с конечности от 1 до, и определения того, какая антенна является самой короткой. [28]
Пытаясь продемонстрировать, что толщина p / q -лимба равна нулю, Дэвид Болл в 1991 году провел компьютерный эксперимент, в ходе которого вычислил количество итераций, необходимое для того, чтобы ряд расходился ( это его местоположение). Поскольку ряд не расходится при точном значении , количество требуемых итераций увеличивается с небольшим . Оказывается, что умножение значения на количество требуемых итераций дает приближение, которое становится лучше при меньшем . Например, для = 0,0000001 количество итераций равно 31415928, а произведение — 3,1415928. [29] В 2001 году Аарон Клебанов доказал открытие Болла. [30]
Набор Мандельброта имеет фундаментальную кардиоидную форму, украшенную многочисленными лампочками, непосредственно прикрепленными к нему. [31] Понимание расположения этих луковиц требует детального изучения границы множества Мандельброта. При увеличении масштаба конкретных частей с геометрической точки зрения появляется точная выводимая информация о местоположении внутри границы и соответствующем динамическом поведении параметров, полученных из связанных лампочек. [32]
Итерация квадратичного полинома , где параметр, взятый из одной из лампочек, прикрепленных к основной кардиоиде в множестве Мандельброта, приводит к появлению карт с притягивающими циклами заданного периода и числа вращения . В этом контексте притягивающий цикл демонстрирует вращательное движение вокруг центральной фиксированной точки, совершая в среднем обороты на каждой итерации. [32] [33]
Луковицы в множестве Мандельброта отличаются как циклами притяжения, так и геометрическими особенностями своей структуры. Каждая лампочка характеризуется прикрепленной к ней антенной, исходящей из точки соединения и имеющей определенное количество спиц, указывающих ее период. Например, лампочка идентифицируется по циклу ее притяжения с числом оборотов . Его характерная антенноподобная структура включает точку соединения, из которой выходят пять спиц. Среди этих спиц так называемая главная спица непосредственно прикреплена к колбе, а «самая маленькая» неосновная спица расположена примерно на оборот против часовой стрелки от основной спицы, что обеспечивает отличительную идентификацию как -лампочка . [34] Возникает вопрос: как определить, какая из этих спиц является «самой маленькой»? [31] [34] В теории внешних лучей , разработанной Дуади и Хаббардом. В [35] имеется ровно два внешних луча, приземляющихся в корневой точке спутниковой гиперболической компоненты множества Мандельброта. Каждый из этих лучей имеет внешний угол, который удваивается по карте удвоения угла . Согласно этой теореме, когда два луча попадают в одну точку, никакие другие лучи между ними не могут пересечься. Таким образом, «размер» этой области измеряется путем определения длины дуги между двумя углами. [32]
Если корневой точкой главной кардиоиды является точка возврата в точке , то основной кардиоидой является -луковица . Корневая точка любой другой лампочки — это точка, в которой эта лампочка крепится к основной кардиоиде. Это вызывает вопрос: какая луковица является самой большой между корневыми точками и -луковиц? Это явно лампочка. И обратите внимание, что получается из двух предыдущих дробей сложением Фарея , т. е. сложением числителей и сложением знаменателей.
Точно так же самая большая луковица между и -луковицами - это -луковица, опять-таки полученная сложением Фарея.
Самая большая луковица между -лампочкой и -лампочка - это -лампочка, а самая большая луковица между -лампочками и -лампочка - это -лампочка, и так далее. [32] [36] Расположение лампочек в множестве Мандельброта следует замечательному образцу, управляемому деревом Фарея , структурой, охватывающей все рациональные числа между и . Такое упорядочение располагает лампочки вдоль границы главной кардиоиды точно в соответствии с рациональными числами в единичном интервале . [34]
Начиная с лампочки вверху и продвигаясь к кругу, последовательность разворачивается систематически: самая большая лампочка между и есть , между и есть и так далее. [37] Интересно, что знаменатели периодов круглых лампочек в последовательных масштабах множества Мандельброта соответствуют последовательности чисел Фибоначчи , последовательности, которая получается путем сложения двух предыдущих членов – 1, 2, 3, 5, 8, 13. , 21... [38] [39]
Последовательность Фибоначчи проявляется в количестве спиральных рукавов в уникальном месте множества Мандельброта, зеркально отраженных сверху и снизу. Это уникальное расположение требует максимального количества итераций для детального фрактального изображения со сложными деталями, повторяющимися при увеличении масштаба. [40]
Граница множества Мандельброта показывает более сложные детали по мере приближения или увеличения изображения. Ниже приведен пример последовательности изображений, масштабируемой до выбранного значения c .
Увеличение последнего изображения относительно первого составляет примерно 10 10 к 1. Применительно к обычному компьютерному монитору оно представляет собой сечение множества Мандельброта диаметром 4 миллиона километров.
«Тело» морского конька состоит из 25 «спиц», состоящих из двух групп по 12 «спиц» в каждой и одной «спицы», соединяющейся с основной кардиоидой. Эти две группы можно отнести посредством некоторой метаморфозы к двум «пальцам» «верхней руки» множества Мандельброта; следовательно, число «спиц» увеличивается от одного «морского конька» к другому на 2; «концентратор» — это точка Мисюревича . Между «верхней частью тела» и «хвостом» находится искаженная копия множества Мандельброта, называемая «спутником».
Острова на предпоследнем шаге кажутся состоящими из бесконечного числа частей, как и в случае соответствующего множества Жюлиа . Они соединены крошечными структурами, так что целое представляет собой односвязное множество. Крошечные структуры встречаются друг с другом на спутнике в центре, который слишком мал, чтобы его можно было распознать при таком увеличении. Значение для соответствующего не является центром изображения, но относительно основной части множества Мандельброта имеет то же положение, что и центр этого изображения относительно спутника, показанного на 6-м шаге.
Хотя множество Мандельброта обычно визуализируется с отображением деталей внешних границ, также может быть выявлена структура внутри ограниченного множества. Например, при вычислении того, является ли данное значение c связанным или несвязанным, пока оно остается связанным, максимальное значение, которого достигает это число, можно сравнить со значением c в этом месте. Если используется метод суммы квадратов, вычисленное число будет иметь вид max:(действительное^2 + мнимое^2) - c:(действительное^2 + мнимое^2). Величину этого расчета можно представить как значение градиента.
Это приводит к следующим результатам: градиенты с четкими краями и контурами по мере приближения к границам. Анимации служат для выделения границ градиента.
Мультибротные множества - это ограниченные множества, найденные в комплексной плоскости для членов общего семейства одномерных полиномиальных рекурсий.
Для целого числа d эти наборы являются локусами связности для множеств Жюлиа, построенных по той же формуле. Также был изучен локус полной кубической связности; здесь рассматривается двухпараметрическая рекурсия , две критические точки которой являются комплексными квадратными корнями параметра k . Параметр находится в локусе кубической связности, если обе критические точки стабильны. [41] Для общих семейств голоморфных функций граница множества Мандельброта обобщается до места бифуркации . [ нужна цитата ]
Множество Мультибро получается путем изменения значения показателя d . В статье есть видео, где показано развитие от d =0 до 7, в этот момент по периметру 6 т.е. лепестков . В общем, когда d является положительным целым числом, центральная область в каждом из этих наборов всегда представляет собой эпициклоиду точек возврата. Аналогичное развитие событий с отрицательными целыми показателями приводит к образованию расщелин внутри кольца, где основная центральная область набора представляет собой гипоциклоиду выступов . [ нужна цитата ]
Не существует идеального расширения множества Мандельброта в 3D, потому что не существует 3D-аналога комплексных чисел, по которому можно было бы выполнять итерации. Существует расширение комплексных чисел в 4 измерения, кватернионы , которые создают идеальное расширение множества Мандельброта и множеств Жюлиа в 4 измерения. [42] Затем их можно либо разрезать в поперечном сечении , либо спроецировать в трехмерную структуру. Кватернионное (4-мерное) множество Мандельброта представляет собой просто тело вращения 2-мерного множества Мандельброта (в плоскости jk), и поэтому на него неинтересно смотреть. [42] Трехмерное поперечное сечение at приводит к получению тела вращения двумерного множества Мандельброта вокруг действительной оси. [ нужна цитата ]
Особый интерес представляет фрактал- треугольник — локус связности антиголоморфного семейства .
Треуголка (также иногда называемая Мандельбаром ) была встречена Милнором в его исследовании срезов параметров действительных кубических многочленов . Он не подключен локально. Это свойство наследуется локусом связности вещественных кубических многочленов.
Еще одним неаналитическим обобщением является фрактал «Горящий корабль» , который получается повторением следующего:
Существует множество различных алгоритмов построения множества Мандельброта с помощью вычислительного устройства. Здесь будет продемонстрирован наиболее широко используемый и простой алгоритм, а именно, наивный «алгоритм времени выхода». В алгоритме времени выхода повторяющийся расчет выполняется для каждой точки x , y в области графика, и на основе поведения этого расчета для этого пикселя выбирается цвет.
Местоположение x и y каждой точки используется в качестве начальных значений в повторяющихся или итерирующих вычислениях (подробно описано ниже). Результат каждой итерации используется в качестве начального значения для следующей. Значения проверяются во время каждой итерации, чтобы увидеть, достигли ли они критического состояния «выхода» или «катастрофы». Если это условие достигнуто, расчет останавливается, пиксель рисуется и исследуется следующая точка x , y .
Цвет каждой точки показывает, насколько быстро значения достигли точки выхода. Часто черный цвет используется для отображения значений, которые не могут выйти за пределы итерации, а для точек, которые выходят за рамки, постепенно используются более яркие цвета. Это дает визуальное представление о том, сколько циклов потребовалось для достижения условия выхода.
Для визуализации такого изображения рассматриваемую нами область комплексной плоскости разбивают на определенное количество пикселей . Чтобы раскрасить любой такой пиксель, пусть это будет середина этого пикселя. Выполните итерацию критической точки 0 под , проверяя на каждом шаге, имеет ли точка орбиты радиус больше 2. В этом случае она не принадлежит множеству Мандельброта и раскрасьте пиксель в соответствии с количеством итераций, использованных для определения . В противном случае продолжайте итерацию до фиксированного количества шагов, после чего мы решаем, что наш параметр «вероятно» принадлежит множеству Мандельброта или, по крайней мере, очень близок к нему, и окрашиваем пиксель в черный цвет.
В псевдокоде этот алгоритм будет выглядеть следующим образом. Алгоритм не использует комплексные числа и вручную моделирует операции с комплексными числами, используя два действительных числа, для тех, у кого нет сложного типа данных . Программа может быть упрощена, если язык программирования включает операции со сложными типами данных .
для каждого пикселя (Px, Py) на экране выполните x0 := масштабированная координата x пикселя (масштабированная по шкале Мандельброта X (-2,00, 0,47)) y0 := масштабированная координата y пикселя (масштабированная по шкале Y Мандельброта (-1,12, 1,12)) х := 0,0 у := 0,0 итерация := 0 максимальная_итерация:= 1000 while (x*x + y*y ≤ 2*2 И итерация < max_iteration) do xtemp := x*x - y*y + x0 у := 2*x*y + y0 х := хтемп итерация := итерация + 1
цвет := палитра[итерация] сюжет (Px, Py, цвет)
Здесь, связывая псевдокод с , и :
и так, как видно из псевдокода при вычислении x и y :
Чтобы получить красочные изображения множества, присвоение цвета каждому значению числа выполненных итераций может быть произведено с помощью одной из множества функций (линейной, экспоненциальной и т. д.).
Множество Мандельброта широко считается самым популярным фракталом [43] [44] и несколько раз упоминалось в популярной культуре .