Вавилонская математика

Математика в Месопотамии (1830–539 до н.э.)

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 с аннотациями. Диагональ отображает приближение квадратного корня из 2 в четырех шестидесятеричных цифрах, 1 24 51 10, что хорошо примерно до шести десятичных цифр.
1 + 24/60 + 51/60 ² + 10/60 ³ = 1,41421296... На табличке также приведен пример, где одна сторона квадрата равна 30, а результирующая диагональ равна 42 25 35 или 42,4263888...

Вавилонская математика (также известная как ассиро-вавилонская математика ) ^{[1] [2] [3] [4]} — это математика, разработанная или практикуемая народом Месопотамии , о чем свидетельствуют источники, в основном сохранившиеся от древневавилонского периода (1830–1531 гг. до н. э.) до селевкидского периода последних трех или четырех столетий до н. э. Что касается содержания, то между двумя группами текстов едва ли есть какая-либо разница. Вавилонская математика оставалась неизменной по характеру и содержанию на протяжении более тысячелетия. ^[5]

В отличие от скудности источников по египетской математике , знания по вавилонской математике получены из сотен глиняных табличек, найденных с 1850-х годов. Написанные клинописью , таблички были написаны, пока глина была влажной, и затвердевали в печи или под воздействием солнечного тепла. Большинство восстановленных глиняных табличек датируются периодом с 1800 по 1600 год до нашей эры и охватывают такие темы, как дроби , алгебра , квадратные и кубические уравнения и теорема Пифагора . Вавилонская табличка YBC 7289 дает приближение с точностью до трех значащих шестидесятеричных цифр (около шести значащих десятичных цифр). ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Истоки вавилонской математики

Вавилонская математика — это ряд числовых и более продвинутых математических практик на древнем Ближнем Востоке , записанных клинописью . Исторически исследования были сосредоточены на древневавилонском периоде в начале второго тысячелетия до нашей эры из-за обилия доступных данных. Были споры о самом раннем появлении вавилонской математики, и историки предполагали диапазон дат между 5-м и 3-м тысячелетиями до нашей эры. ^[6] Вавилонская математика в основном была записана на глиняных табличках клинописью на аккадском или шумерском языках.

«Вавилонская математика», возможно, бесполезный термин, поскольку самые ранние предполагаемые истоки относятся к использованию счетных устройств, таких как буллы и жетоны , в 5-м тысячелетии до н. э. ^[7]

Вавилонские цифры

Вавилонская система математики была шестидесятеричной (основание 60) системой счисления . Из этого мы выводим современное использование 60 секунд в минуте, 60 минут в часе и 360 градусов в окружности. ^[8] Вавилоняне смогли добиться больших успехов в математике по двум причинам. Во-первых, число 60 является высшим высоко составным числом , имеющим множители 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (включая те, которые сами являются составными), что облегчает вычисления с дробями . Кроме того, в отличие от египтян и римлян, вавилоняне имели настоящую позиционную систему счисления, где цифры, записанные в левом столбце, представляли большие значения (примерно как в нашей десятичной системе 734 = 7 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1). ^[9]

Древневавилонская математика (2000–1600 гг. до н.э.)

Глиняная табличка, математическая, геометрически-алгебраическая, похожая на теорему Пифагора. Из Телль-аль-Дхаббаи, Ирак. 2003–1595 до н.э. Музей Ирака

Глиняная табличка, математическая, геометрически-алгебраическая, похожая на евклидову геометрию. Из Телль-Хармала, Ирак. 2003–1595 до н.э. Музей Ирака

Арифметика

Вавилоняне использовали заранее рассчитанные таблицы для помощи в арифметике . Например, две таблички, найденные в Сенкере на Евфрате в 1854 году и датируемые 2000 годом до нашей эры, дают списки квадратов чисел до 59 и кубов чисел до 32. Вавилоняне использовали списки квадратов вместе с формулами:

${\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}}$

${\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}}$

для упрощения умножения.

У вавилонян не было алгоритма для деления столбиком . ^[10] Вместо этого они основывали свой метод на том факте, что:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}}$

вместе с таблицей обратных величин . Числа, единственными простыми множителями которых являются 2, 3 или 5 (известные как 5- гладкие или регулярные числа ), имеют конечные обратные величины в шестидесятеричной системе счисления, и были найдены таблицы с обширными списками этих обратных величин.

Обратные числа, такие как 1/7, 1/11, 1/13 и т. д., не имеют конечных представлений в шестидесятеричной системе счисления. Чтобы вычислить 1/13 или разделить число на 13, вавилоняне использовали приближение, например:

${\displaystyle {\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.}$

Алгебра

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 ( ок.  1800–1600 гг. до н. э. ) дает приближенное представление числа √ 2 четырьмя шестидесятеричными цифрами, 𒐕 𒌋𒌋𒐼 𒐐𒐕 𒌋 = 1;24,51,10, [ ^11] что имеет точность около шести десятичных цифр, ^[12] и является ближайшим возможным трехзначным шестидесятеричным представлением числа √ 2 :

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}}.}$

Помимо арифметических вычислений, вавилонские математики разработали также алгебраические методы решения уравнений . Опять же, они основывались на заранее рассчитанных таблицах.

Для решения квадратного уравнения вавилоняне по сути использовали стандартную квадратную формулу . Они рассматривали квадратные уравнения вида:

${\displaystyle \ x^{2}+bx=c}$

где b и c не обязательно были целыми числами, но c всегда было положительным. Они знали, что решение этой формы уравнения: ^[13]

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}}$

и они эффективно находили квадратные корни, используя деление и усреднение. ^[14] Задачи этого типа включали нахождение размеров прямоугольника по его площади и величине, на которую длина превышает ширину.

Таблицы значений n ³  +  n ² использовались для решения некоторых кубических уравнений . Например, рассмотрим уравнение:

${\displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}=c.}$

Умножение уравнения на a ² и деление на b ³ дает:

${\displaystyle \left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}.}$

Подстановка y = ax / b дает:

${\displaystyle y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}}$

которое теперь можно было решить, заглянув в таблицу n ³  +  n ² и найдя значение, ближайшее к правой стороне. Вавилоняне достигли этого без алгебраической нотации, показав замечательную глубину понимания. Однако у них не было метода решения общего кубического уравнения.

Рост

Вавилоняне моделировали экспоненциальный рост, ограниченный рост (посредством формы сигмоидальных функций ) и удвоение времени , последнее — в контексте процентов по ссудам.

Глиняные таблички, датируемые примерно 2000 г. до н.э., включают упражнение «При процентной ставке 1/60 в месяц (без сложных процентов) вычислите время удвоения». Это дает годовую процентную ставку 12/60 = 20%, а значит, время удвоения составляет 100% роста/20% роста в год = 5 лет. ^{[15] [16]}

Плимптон 322

Табличка Plimpton 322 содержит список « пифагорейских троек », т. е. целых чисел, таких что . Троек слишком много, и они слишком велики, чтобы их можно было получить методом грубой силы. ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Много было написано на эту тему, включая некоторые предположения (возможно, анахроничные) о том, могла ли табличка служить ранней тригонометрической таблицей. Необходимо проявлять осторожность, чтобы рассматривать табличку с точки зрения методов, знакомых или доступных писцам того времени.

[...] вопрос «как была рассчитана табличка?» не обязательно должен иметь тот же ответ, что и вопрос «какие задачи решает табличка?» На первый вопрос можно ответить наиболее удовлетворительно с помощью взаимных пар, как впервые было предложено полвека назад, а на второй — с помощью неких задач на прямоугольные треугольники. ^[17]

Геометрия

Вавилоняне знали общие правила измерения объемов и площадей. Они измеряли окружность круга как три диаметра, а площадь как одну двенадцатую квадрата окружности, что было бы правильно, если бы π оценивалось как 3. Они знали, что это было приближением, и одна старая вавилонская математическая табличка, раскопанная около Суз в 1936 году (датированная периодом между 19 и 17 веками до нашей эры), дает лучшее приближение π как 25/8 = 3,125, примерно на 0,5 процента ниже точного значения. ^[18] Объем цилиндра принимался как произведение основания на высоту, однако объем усеченного конуса или квадратной пирамиды ошибочно принимался как произведение высоты на половину суммы оснований. Правило Пифагора также было известно вавилонянам. ^{[19] [20] [21]}

«Вавилонская миля» была мерой расстояния, равной примерно 11,3 км (или около семи современных миль). Эта мера расстояния в конечном итоге была преобразована в «мили времени», используемую для измерения перемещения Солнца, следовательно, представляющую время. ^[22]

Вавилонские астрономы вели подробные записи восхода и захода звезд , движения планет , солнечных и лунных затмений , и все это требовало знания угловых расстояний, измеренных на небесной сфере . ^[23]

Они также использовали форму анализа Фурье для вычисления эфемерид (таблицы астрономических положений), которая была открыта в 1950-х годах Отто Нойгебауэром . ^{[24] [25] [26] [27]} Для расчета движений небесных тел вавилоняне использовали базовую арифметику и систему координат, основанную на эклиптике — части неба, через которую проходят солнце и планеты.

Таблички, хранящиеся в Британском музее, свидетельствуют о том, что вавилоняне даже зашли так далеко, что имели концепцию объектов в абстрактном математическом пространстве. Таблички датируются периодом между 350 и 50 годами до н. э., показывая, что вавилоняне понимали и использовали геометрию даже раньше, чем считалось ранее. Вавилоняне использовали метод оценки площади под кривой, рисуя трапецию под ней, метод, который, как ранее считалось, возник в Европе 14 века. Этот метод оценки позволял им, например, находить расстояние, которое прошел Юпитер за определенное время. ^[28]

Смотрите также

• Математический портал
• Азиатский портал

• Вавилония
• Вавилонская астрономия
• История математики
• Исламская математика для математики в исламском Ираке/Месопотамии

Примечания

1. Леви, Х. (1949). «Исследования по ассиро-вавилонской математике и метрологии». Orientalia . NS. 18 : 40–67, 137–170.
2. Леви, Х. (1951). «Исследования по ассиро-вавилонской математике и метрологии». Orientalia . NS. 20 : 1–12.
3. Брюинз, EM (1953). «Классификация чисел в вавилонских математиках». Ревю д'Ассириологии . 47 (4): 185–188. JSTOR  23295221.
4. Робсон, Э. (2002). «Гарантированные подлинные оригиналы: Коллекция Плимптона и ранняя история математической ассириологии». В Вунш, К. (ред.). Mining the Archives: Festschrift for Christopher Walker on the 60th birthday . Дрезден: ISLET. стр. 245–292. ISBN 3-9808466-0-1.
5. Aaboe, Asger (1991). «Вавилонская математика, астрология и астрономия». В Boardman, John; Edwards, IES; Hammond, NGL; Sollberger, E.; Walker, CBF (ред.). Кембриджская древняя история: том 3, часть 2: Ассирийская и Вавилонская империи и другие государства Ближнего Востока с восьмого по шестой век до нашей эры . Cambridge University Press. стр. 276–277. ISBN 0-521-22717-8.
6. Генрик Дреннел (2004). Арамейский текст мудрости из Кумрана: новая интерпретация документа Леви . Дополнения к журналу по изучению иудаизма. Том 86 (иллюстрированное издание). BRILL. ISBN 978-90-04-13753-0.
7. Джейн Макинтош (2005). Древняя Месопотамия: Новые перспективы . Понимание древних цивилизаций (иллюстрированное издание). ABC-CLIO. стр. 265. ISBN 978-1-57607-965-2.
8. Майкл А. Ломбарди, «Почему минута делится на 60 секунд, час на 60 минут, а в сутках всего 24 часа?», «Scientific American», 5 марта 2007 г.
9. Лукас Н. Х. Бунт, Филлип С. Джонс, Джек Д. Бедиент (2001). Исторические корни элементарной математики (переиздание). Courier Corporation. стр. 44. ISBN 978-0-486-13968-5.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
10. "Вавилонская математика". История математики .
11. Стандартная шестидесятеричная система счисления с использованием точек с запятыми была введена Отто Нойгебауэром в 1930-х годах. Нойгебауэр, Отто ; Сакс, Авраам Джозеф ; Гётце, Альбрехт (1945). Математические клинописные тексты. Американская восточная серия. Т. 29. Нью-Хейвен: Американское восточное общество и американские школы восточных исследований. стр. 2. ISBN 978-0-940490-29-1.
12. Фаулер и Робсон, стр. 368.
    Фотография, иллюстрация и описание таблички root(2) из ​​Йельской вавилонской коллекции
    Фотографии высокого разрешения, описания и анализ таблички root(2) (YBC 7289) из Йельской вавилонской коллекции
13. Берриман, AE (1956). «Вавилонское квадратное уравнение». The Mathematical Gazette . 40 (333): 185–192. doi :10.2307/3608807. JSTOR  3608807. MR  0080587.
14. Аллен, Арнольд (январь 1999 г.). «Обзоры: Математика: от рождения чисел. Автор: Ян Гуллберг». The American Mathematical Monthly . 106 (1): 77–85. doi :10.2307/2589607. JSTOR  2589607.
15. Почему «чудо сложных процентов» приводит к финансовым кризисам Архивировано 10 мая 2012 г. в Wayback Machine , Майкл Хадсон
16. Мы привлекли ваш интерес? Джон Х. Уэбб
17. Э. Робсон, «Ни Шерлок Холмс, ни Вавилон: переоценка Плимптона 322», Historia Math. 28 (3), стр. 202
18. Дэвид Гилман Романо, Легкая атлетика и математика в архаическом Коринфе: происхождение греческого стадиона , Американское философское общество, 1993, стр. 78. «Группа математических глиняных табличек древневавилонского периода, найденных при раскопках в Сузах в 1936 году и опубликованных Э. М. Брюинзом в 1950 году, содержит информацию о том, что вавилонское приближение 3+1 ⁄ 8 или 3,125». EM Bruins, Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse , 1950. EM Bruins and M. Rutten, Textes mathématiques de Suse , Mémoires de la Missionarchéologique en Iran vol. XXXIV (1961). См. также Бекманн . , Петр (1971). История Пи Нью-Йорка: St. Martin's Press, стр. 12, 21–22.«в 1936 году в 200 милях от Вавилона была раскопана табличка. [...] Упомянутая табличка, перевод которой был частично опубликован только в 1950 году, [...] утверждает, что отношение периметра правильного шестиугольника к длине окружности описанного круга равно числу, которое в современной записи задается как 57/60 + 36/(60) ² [т.е. π = 3/0,96 = 25/8]». Джейсон Дайер, О древневавилонском значении числа Пи, 3 декабря 2008 г.
19. Neugebauer 1969, стр. 36. «Другими словами, на протяжении всего периода существования вавилонской математики было известно, что сумма квадратов длин сторон прямоугольного треугольника равна квадрату длины гипотенузы».
20. Хёйруп, стр. 406. « Судя по этим свидетельствам, можно предположить, что правило Пифагора было открыто в среде землемеров-любителей, возможно, как побочный продукт проблемы, рассмотренной в Db ₂ -146, где-то между 2300 и 1825 гг. до н. э.» ( Db ₂ -146 — это древневавилонская глиняная табличка из Эшнунны, посвященная вычислению сторон прямоугольника по его площади и диагонали.)
21. Робсон 2008, стр. 109. «Многие древневавилонские математики-практики... знали, что квадрат на диагонали прямоугольного треугольника имеет ту же площадь, что и сумма квадратов длины и ширины: это соотношение используется в проработанных решениях текстовых задач по «алгебре» с вырезанием и вставкой на семи различных табличках из Эшнуны, Сиппара, Суз и неизвестного места на юге Вавилонии».
22. Евы, Глава 2.
23. Маор, Эли (1998). Тригонометрические наслаждения . Princeton University Press . стр. 20. ISBN 0-691-09541-8.
24. Престини, Елена (2004). Эволюция прикладного гармонического анализа: модели реального мира. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4125-2., стр. 62
25. Рота, Джан-Карло ; Паломби, Фабрицио (1997). Нескромные мысли. Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-3866-5., стр. 11
26. Нойгебауэр 1969.
27. Брак-Бернсен, Лис ; Брак, Маттиас (2004). «Анализ структуры оболочки от вавилонского и современного времени». International Journal of Modern Physics E. 13 ( 1): 247–260. arXiv : physics/0310126 . Bibcode : 2004IJMPE..13..247B. doi : 10.1142/S0218301304002028. S2CID  15704235.
28. Эмспак, Джесси. «Вавилоняне использовали геометрию на столетия раньше, чем предполагалось». Смитсоновский институт . Получено 1 февраля 2016 г.

Ссылки

• Берриман, А. Е. (1956). Вавилонское квадратное уравнение .
• Boyer, CB (1989). Merzbach, Uta C. (ред.). История математики (2-е перераб. изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 0-471-09763-2.(изд. ISBN 1991 г., ISBN 0-471-54397-7 ). 
• Хойруп, Йенс. «Пифагорейское «Правило» и «Теорема» - зеркало связи между вавилонской и греческой математикой». В Ренгере, Йоханнес (ред.). Вавилон: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Международный коллоквиум Deutschen Orient-Gesellschaft 24–26. Март 1998 г. в Берлине (PDF) . Берлин: Deutsche Orient-Gesellschaft / Саарбрюккен: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag. стр. 393–407.
• Джозеф, Г. Г. (2000). Гребень павлина. Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8.
• Джойс, Дэвид Э. (1995). «Плимптон 322».
• Нойгебауэр, Отто (1969). Точные науки в древности (2-е изд.). Дуврские публикации . ISBN 978-0-486-22332-2.
• Мурои, Казуо (2022). «Шестидесятеричные вычисления в Древнем Шумере». arXiv : 2207.12102 [math.HO].
• О'Коннор, Дж. Дж.; Робертсон, Э. Ф. (декабрь 2000 г.). «Обзор вавилонской математики». История математики MacTutor .
• Робсон, Элеанор (2001). «Ни Шерлок Холмс, ни Вавилон: переоценка Плимптона 322». Historia Math . 28 (3): 167–206. doi : 10.1006/hmat.2001.2317 . MR  1849797.
• Робсон, Э. (2002). «Слова и картинки: Новый свет на Plimpton 322». American Mathematical Monthly . 109 (2). Вашингтон: 105–120. doi : 10.1080/00029890.2002.11919845. JSTOR  2695324. S2CID  33907668.
• Робсон, Э. (2008). Математика в Древнем Ираке: Социальная история . Princeton University Press.
• Тумер, Г. Дж. (1981). Гиппарх и вавилонская астрономия .