Двойственность Понтрягина

Двойственность для локально компактных абелевых групп

2 -адические целые числа с выбранными соответствующими символами в их двойственной группе Понтрягина.

В математике двойственность Понтрягина — это двойственность между локально компактными абелевыми группами , которая позволяет обобщить преобразование Фурье на все такие группы, включая группу кругов (мультипликативную группу комплексных чисел по модулю один), конечные абелевы группы (с дискретной топологией ). и аддитивную группу целых чисел (также с дискретной топологией), действительные числа и каждое конечномерное векторное пространство над действительными числами или p -адическое поле .

Двойственным по Понтрягину локально компактной абелевой группе является локально компактная абелева топологическая группа, образованная непрерывными групповыми гомоморфизмами группы в группу окружности с операцией поточечного умножения и топологией равномерной сходимости на компактах. Теорема о двойственности Понтрягина устанавливает двойственность Понтрягина, утверждая, что любая локально компактная абелева группа естественно изоморфна своей бидуальной группе (двойственной к ней). Теорема обращения Фурье является частным случаем этой теоремы.

Тема названа в честь Льва Понтрягина , который заложил основы теории локально компактных абелевых групп и их двойственности в своих ранних математических работах в 1934 году. Трактовка Понтрягина основывалась на второй счетности групп , компактности или дискретности. Это было улучшено для охвата общих локально компактных абелевых групп Эгбертом ван Кампеном в 1935 году и Андре Вейлем в 1940 году.

Введение

Двойственность Понтрягина помещает в единый контекст ряд наблюдений о функциях на вещественной прямой или на конечных абелевых группах:

• Подходящие регулярные комплекснозначные периодические функции на действительной прямой имеют ряды Фурье , и эти функции можно восстановить из их рядов Фурье;
• Подходящие регулярные комплекснозначные функции на действительной прямой имеют преобразования Фурье, которые также являются функциями на действительной прямой, и, как и периодические функции, эти функции могут быть восстановлены из их преобразований Фурье; и
• Комплекснозначные функции на конечной абелевой группе имеют дискретные преобразования Фурье , которые являются функциями двойственной группы, которая является (неканонически) изоморфной группой. Более того, любую функцию конечной абелевой группы можно восстановить по ее дискретному преобразованию Фурье.

Теория, введенная Львом Понтрягиным и объединенная с мерой Хаара, введенной Джоном фон Нейманом , Андре Вейлем и другими, зависит от теории дуальной группы к локально компактной абелевой группе.

Оно аналогично двойственному векторному пространству векторного пространства: конечномерное векторное пространство и двойственное ему векторное пространство не являются естественно изоморфными, но алгебра эндоморфизмов (матричная алгебра) одного из них изоморфна противоположной алгебре эндоморфизмов векторного пространства. другое: через транспонирование. Аналогично, группа и двойственная ей группа, вообще говоря, не изоморфны, но их кольца эндоморфизмов противоположны друг другу: . Если говорить более категорично, то это не просто изоморфизм алгебр эндоморфизмов, а контравариантная эквивалентность категорий – см. § Категорические соображения . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle {\text{End}}(V)\cong {{\text{End}}(V^{*})}^{\text{op}},}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\text{End}}(G)\cong {\text{End}}({\widehat {G}})^{\text{op}}}$

Определение

Топологическая группа является локально компактной группой , если лежащее в ее основе топологическое пространство локально компактно и хаусдорфово ; топологическая группа абелева, если лежащая в ее основе группа абелева . Примеры локально компактных абелевых групп включают конечные абелевы группы, целые числа (оба для дискретной топологии , которая также индуцируется обычной метрикой), действительные числа, группу окружностей T (обе с их обычной метрической топологией), а также p -адические числа (с их обычной p -адической топологией).

Для локально компактной абелевой группы двойственной по Понтрягину является группа непрерывных гомоморфизмов групп из в группу окружностей . То есть, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle {\widehat {G}}:=\operatorname {Hom} (G,T).}$$

заданнойсходимостьюкомпактахкомпактно-открытой топологией ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T}$

Например,

$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,\ {\widehat {\mathbb {Z} }}=T,\ {\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} ,\ {\widehat {T}}=\mathbb {Z} .}$$

Теорема двойственности Понтрягина

Теорема ^{[1] [2]}  —  Между любой локально компактной абелевой группой и ее двойным двойником существует канонический изоморфизм . ${\displaystyle G\cong {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle G}$

Канонический означает, что существует естественно определенное отображение  ; что еще более важно, карта должна быть функториальной в . Канонический изоморфизм определяется следующим образом: ${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}\colon G\to {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}}$ ${\displaystyle x\in G}$

$${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}(x)(\chi )=\chi (x)\in \mathbb {T} .}$$

$${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}(x):(\chi \mapsto \chi (x)).}$$

Другими словами, каждый элемент группы идентифицируется по оценочному символу на двойнике. Это сильно аналогично каноническому изоморфизму между конечномерным векторным пространством и его двойным двойником , и стоит отметить, что любое векторное пространство является абелевой группой . Если — конечная абелева группа, то этот изоморфизм не является каноническим. Чтобы сделать это утверждение точным (в общем), необходимо подумать о дуализации не только групп, но и отображений между группами, чтобы рассматривать дуализацию как функтор и доказать, что тождественный функтор и функтор дуализации не являются естественным образом эквивалентными. Также из теоремы двойственности следует, что для любой группы (не обязательно конечной) функтор дуализации является точным функтором . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V\cong V^{**}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\cong {\widehat {G}}}$

Двойственность Понтрягина и преобразование Фурье

Мера Хаара

Одним из наиболее замечательных фактов о локально компактной группе является то, что она имеет по существу единственную естественную меру — меру Хаара , позволяющую последовательно измерять «размер» достаточно регулярных подмножеств группы . Под «достаточно регулярным подмножеством» здесь понимается борелевское множество ; то есть элемент σ-алгебры , порожденный компактами . Точнее, правая мера Хаара на локально компактной группе — это счетно-аддитивная мера µ, определенная на борелевских множествах которой, которая является правоинвариантной в том смысле, что для элемента и борелевского подмножества группы а также удовлетворяет некоторым условиям регулярности (записанным подробно в статье о мере Хаара ). За исключением положительных масштабных коэффициентов, мера Хаара уникальна. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu (Ax)=\mu (A)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Мера Хаара позволяет нам определить понятие интеграла для ( комплексных -значных) борелевских функций, определенных на группе. В частности, можно рассматривать различные пространства Lp , связанные с мерой Хаара . Конкретно, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mu }^{p}(G)=\left\{(f:G\to \mathbb {C} )\ {\Big |}\ \int _{G}|f(x)|^{p}\ d\mu (x)<\infty \right\}.}$$

Обратите внимание, что, поскольку любые две меры Хаара равны с точностью до масштабного коэффициента, это -пространство не зависит от выбора меры Хаара и, следовательно, возможно, может быть записано как . Однако -норма в этом пространстве зависит от выбора меры Хаара, поэтому, если кто-то хочет говорить об изометриях, важно следить за используемой мерой Хаара. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(G)}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Преобразование Фурье и формула обращения Фурье для L 1 -функций

Двойственная группа локально компактной абелевой группы используется в качестве основного пространства для абстрактной версии преобразования Фурье . Если , то преобразование Фурье — это функция, определенная формулой ${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

$${\displaystyle {\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\ d\mu (x),}$$

мере Хаарав нуль на бесконечности ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\chi )}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Формула обращения Фурье для -функций ${\displaystyle L^{1}}$ .  Для каждой меры Хаара существует уникальная мера Хаара, такая что всякий раз, когда и , мы имеем ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{1}\left({\widehat {G}}\right)}$

$${\displaystyle f(x)=\int _{\widehat {G}}{\widehat {f}}(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi )\qquad \mu {\text{-almost everywhere}}}$$

Если непрерывно, то это тождество справедливо для всех . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

Обратное преобразование Фурье интегрируемой функции на имеет вид ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

$${\displaystyle {\check {g}}(x)=\int _{\widehat {G}}g(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi ),}$$

двойственной мерой ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$

Различные преобразования Фурье можно классифицировать с точки зрения их области и области преобразования (группа и двойственная группа) следующим образом (обратите внимание, что это группа Circle ): ${\displaystyle \mathbb {T} }$

В качестве примера предположим , поэтому мы можем думать о том, что с помощью спаривания Если является мерой Лебега в евклидовом пространстве, мы получаем обычное преобразование Фурье , а двойственная мера, необходимая для формулы обращения Фурье, равна . Если мы хотим получить формулу обращения Фурье с одинаковой мерой с обеих сторон (то есть, поскольку мы можем думать о своем собственном двойственном пространстве, которое мы можем попросить равняться ), тогда нам нужно использовать ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mu }}=(2\pi )^{-n}\mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\\{\widehat {\mu }}&=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\end{aligned}}}$$

Однако если мы изменим способ идентификации с его двойственной группой, используя пару ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} },}$$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }}$ ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }}$ ${\displaystyle e^{-\pi x^{2}}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Групповая алгебра

Пространство интегрируемых функций на локально компактной абелевой группе представляет собой алгебру , где умножение является сверткой: сверткой двух интегрируемых функций и определяется как ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

$${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(x-y)g(y)\ d\mu (y).}$$

Теорема  .  Банахово пространство является ассоциативной и коммутативной алгеброй относительно свертки. ${\displaystyle L^{1}(G)}$

Эта алгебра называется групповой алгеброй . По теореме Фубини-Тонелли свертка субмультипликативна по отношению к норме, образуя банахову алгебру . Банахова алгебра имеет мультипликативный единичный элемент тогда и только тогда, когда она является дискретной группой, а именно функцией, которая равна 1 в единице и нулю в других местах. Однако в целом он имеет приблизительную идентичность , которая представляет собой сеть (или обобщенную последовательность), индексированную на направленном множестве, такую, что ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f*e_{i}\to f.}$

Преобразование Фурье переводит свертку в умножение, т. е. является гомоморфизмом абелевых банаховых алгебр (нормы ≤ 1): ${\displaystyle L^{1}(G)\to C_{0}\left({\widehat {G}}\right)}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)(\chi )={\mathcal {F}}(f)(\chi )\cdot {\mathcal {F}}(g)(\chi ).}$$

В частности, каждому групповому характеру на соответствует уникальный мультипликативный линейный функционал на групповой алгебре, определяемый формулой ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle f\mapsto {\widehat {f}}(\chi ).}$$

Важным свойством групповой алгебры является то, что они исчерпывают набор нетривиальных (то есть не тождественно нулевых) мультипликативных линейных функционалов на групповой алгебре; см. раздел 34 (Loomis 1953). Это означает, что преобразование Фурье является частным случаем преобразования Гельфанда .

Теоремы Планшереля и L 2 обращения Фурье

Как мы уже говорили, двойственная группа к локально компактной абелевой группе сама по себе является локально компактной абелевой группой и, следовательно, имеет меру Хаара или, точнее, целое семейство мер Хаара, связанных с масштабом.

Теорема  .  Выберите меру Хаара , и пусть это двойственная мера, как определено выше. Если непрерывно с компактным носителем, то и ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{2}\left({\widehat {G}}\right)}$

$${\displaystyle \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).}$$

В частности, преобразование Фурье представляет собой изометрию комплекснозначных непрерывных функций с компактным носителем на -функции на (с использованием -нормы по отношению к для функций на и -нормы по отношению к функциям на ). ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Поскольку комплекснозначные непрерывные функции с компактным носителем -плотны , существует единственное расширение преобразования Фурье из этого пространства до унитарного оператора ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}:L_{\mu }^{2}(G)\to L_{\nu }^{2}\left({\widehat {G}}\right).}$$

$${\displaystyle \forall f\in L^{2}(G):\quad \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).}$$

Обратите внимание, что для некомпактных локально компактных групп пространство не содержит , поэтому преобразование Фурье общих -функций на «не» задается какой-либо формулой интегрирования (или действительно какой-либо явной формулой). Чтобы определить преобразование Фурье, нужно прибегнуть к некоторому техническому трюку, например, начать с плотного подпространства, такого как непрерывные функции с компактным носителем, а затем распространить изометрию по непрерывности на все пространство. Это унитарное расширение преобразования Фурье — это то, что мы подразумеваем под преобразованием Фурье в пространстве функций, интегрируемых с квадратом. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Дуальная группа также имеет собственное обратное преобразование Фурье; его можно охарактеризовать как обратное (или сопряженное, поскольку оно унитарно) преобразованию Фурье. Это содержание формулы обращения Фурье, которая следует ниже. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Теорема  .  Сопряженным преобразованием Фурье, ограниченным непрерывными функциями с компактным носителем, является обратное преобразование Фурье.

$${\displaystyle L_{\nu }^{2}\left({\widehat {G}}\right)\to L_{\mu }^{2}(G)}$$

где – двойственная мера к . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$

В случае, если двойственная группа естественно изоморфна группе целых чисел , а преобразование Фурье специализируется на вычислении коэффициентов рядов Фурье периодических функций. ${\displaystyle G=\mathbb {T} }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Если – конечная группа, мы восстанавливаем дискретное преобразование Фурье . Заметим, что этот случай очень легко доказать непосредственно. ${\displaystyle G}$

Компактификация Бора и почти-периодичность

Одним из важных применений двойственности Понтрягина является следующая характеристика компактных абелевых топологических групп:

Теорема  .  Локально компактная абелева группа компактна тогда и только тогда, когда двойственная группа дискретна. И наоборот, дискретно тогда и только тогда, когда компактно. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

То, что из компактности следует дискретность, а из дискретности следует компактность, является элементарным следствием определения компактно-открытой топологии и не требует двойственности Понтрягина. Для доказательства обратного используется двойственность Понтрягина. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Компактификация Бора определена для любой топологической группы независимо от того, является ли она локально компактной или абелевой. Одно из применений двойственности Понтрягина между компактными абелевыми группами и дискретными абелевыми группами состоит в том, чтобы охарактеризовать боровскую компактификацию произвольной абелевой локально компактной топологической группы. Боровская компактификация is , где H имеет групповую структуру , но с дискретной топологией . Поскольку карта включения ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {H}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

$${\displaystyle \iota :H\to {\widehat {G}}}$$

$${\displaystyle G\sim {\widehat {\widehat {G}}}\to {\widehat {H}}}$$

универсальному свойству

Категорические соображения

Двойственность Понтрягина также можно с пользой рассматривать функториально . В дальнейшем LCA — категория локально компактных абелевых групп и непрерывных групповых гомоморфизмов. Конструкция двойственной группы представляет собой контравариантный функтор LCA → LCA , представленный (в смысле представимых функторов ) группой окружностей как. В частности, двойной двойственный функтор ковариантен . Категорическая формулировка двойственности Понтрягина затем утверждает, что естественное преобразование между тождественным функтором на LCA и двойным двойственным функтором является изоморфизмом. ^[3] Раскручивая понятие естественного преобразования, это означает, что отображения являются изоморфизмами для любой локально компактной абелевой группы , и эти изоморфизмы функториальны в . Этот изоморфизм аналогичен двойному двойственному конечномерному векторному пространству (частный случай для вещественных и комплексных векторных пространств). ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}={\text{Hom}}(G,\mathbb {T} ).}$ ${\displaystyle G\to {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle G\to \operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (G,T),T)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Непосредственным следствием этой формулировки является еще одна распространенная категориальная формулировка двойственности Понтрягина: функтор дуальной группы представляет собой эквивалентность категорий от LCA до LCA ^op .

Двойственность меняет местами подкатегории дискретных групп и компактных групп . Если - кольцо и является левым -модулем , двойственная группа станет правым -модулем; таким образом мы также можем видеть, что дискретные левые -модули будут двойственны по Понтрягину компактным правым -модулям. Кольцо эндоморфизмов в LCA в результате двойственности меняется на противоположное ему кольцо (измените порядок умножения на другой порядок). Например, если это бесконечная циклическая дискретная группа, это группа круга: первая имеет , поэтому это верно и для второй. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{End}}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\text{End}}(G)=\mathbb {Z} }$

Обобщения

Обобщения двойственности Понтрягина строятся в двух основных направлениях: для коммутативных топологических групп , не являющихся локально компактными , и для некоммутативных топологических групп. Теории в этих двух случаях сильно различаются.

Двойственности для коммутативных топологических групп

Если группа является хаусдорфовой абелевой топологической группой, то группа с компактно-открытой топологией является хаусдорфовой абелевой топологической группой, и естественное отображение из в ее двойной двойник имеет смысл. Если это отображение является изоморфизмом, говорят, что оно удовлетворяет двойственности Понтрягина (или что оно является рефлексивной группой ^[4] или рефлексивной группой ^[5] ). Это было расширено в ряде направлений за пределы случая локальной компактности. ^[6] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

В частности, Сэмюэл Каплан ^{[7] [8]} показал в 1948 и 1950 годах, что произвольные произведения и счетные обратные пределы локально компактных (хаусдорфовых) абелевых групп удовлетворяют двойственности Понтрягина. Заметим, что бесконечное произведение локально компактных некомпактных пространств не является локально компактным.

Позже, в 1975 году, Рангачари Венкатараман ^[9] показал, среди прочего, что каждая открытая подгруппа абелевой топологической группы, которая удовлетворяет двойственности Понтрягина, сама удовлетворяет двойственности Понтрягина.

Совсем недавно Серджио Арданса-Тревихано и Мария Хесус Часко ^[10] расширили результаты упомянутого выше Каплана. Они показали, что прямые и обратные пределы последовательностей абелевых групп, удовлетворяющих двойственности Понтрягина, также удовлетворяют двойственности Понтрягина, если группы являются метризуемыми или -пространствами, но не обязательно локально компактными, при условии, что последовательности удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. ${\displaystyle k_{\omega }}$

Однако есть фундаментальный аспект, который изменится, если мы захотим рассматривать двойственность Понтрягина за пределами локально компактного случая. Елена Мартин-Пейнадор ^[11] доказала в 1995 году, что if — абелева топологическая группа Хаусдорфа, удовлетворяющая двойственности Понтрягина и естественному спариванию оценок ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle {\begin{cases}G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} \\(x,\chi )\mapsto \chi (x)\end{cases}}}$$

^[a] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$

Другой способ распространить двойственность Понтрягина на более широкие классы коммутативных топологических групп — это наделить двойственную группу немного другой топологией, а именно топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах . Группы, удовлетворяющие тождеству при этом предположении ^[б], называются стереотипными группами . ^[5] Этот класс также очень широк (и содержит локально компактные абелевы группы), но уже, чем класс рефлексивных групп. ^[5] ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G\cong {\widehat {\widehat {G}}}}$

Двойственность Понтрягина для топологических векторных пространств

В 1952 году Марианна Ф. Смит ^[12] заметила, что банаховы пространства и рефлексивные пространства , рассматриваемые как топологические группы (с аддитивной групповой операцией), удовлетворяют двойственности Понтрягина. Позднее Б. С. Брудовский, ^[13] Уильям К. Уотерхаус ^[14] и К. Браунер ^[15] показали, что этот результат может быть распространен на класс всех квазиполных бочечных пространств (в частности, на все пространства Фреше ). В 1990-х годах Сергей Акбаров ^[16] дал описание класса топологических векторных пространств, удовлетворяющих более сильному свойству, чем классическая рефлексивность Понтрягина, а именно тождеству

$${\displaystyle (X^{\star })^{\star }\cong X}$$

равномерной сходимости на вполне ограниченных множествахпространствами стереотипов ${\displaystyle X^{\star }}$ ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X^{\star })^{\star }}$ ${\displaystyle X^{\star }}$

Двойственности для некоммутативных топологических групп

Для некоммутативных локально компактных групп классическая конструкция Понтрягина перестает работать по разным причинам, в частности, потому, что характеры не всегда разделяют точки , а неприводимые представления не всегда одномерны. В то же время не ясно, как ввести умножение на множестве неприводимых унитарных представлений , и даже не ясно, является ли это множество хорошим выбором на роль двойственного объекта для . Так что проблема построения двойственности в данной ситуации требует полного переосмысления. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Построенные к настоящему времени теории делятся на две основные группы: теории, в которых дуальный объект имеет ту же природу, что и исходный (как в самой дуальности Понтрягина), и теории, в которых исходный объект и его двойственный объект столь радикально отличаются друг от друга. что их нельзя считать объектами одного класса.

Теории второго типа исторически были первыми: вскоре после работы Понтрягина Тадао Таннака (1938) и Марк Крейн (1949) построили теорию двойственности для произвольных компактных групп, известную сейчас как двойственность Таннаки–Крейна . ^{[17] [18]} В этой теории двойственным объектом для группы является не группа, а категория ее представлений . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi (G)}$

Двойственность для конечных групп.

Теории первого типа появились позже, и ключевым примером для них была теория двойственности конечных групп. ^{[19] [20]} В этой теории категория конечных групп вкладывается операцией взятия групповой алгебры (над ) в категорию конечномерных алгебр Хопфа , так что функтор двойственности Понтрягина превращается в операцию взятия двойственного вектора пространство (которое является функтором двойственности в категории конечномерных алгебр Хопфа). ^[20] ${\displaystyle G\mapsto \mathbb {C} _{G}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{G}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle G\mapsto {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle H\mapsto H^{*}}$

В 1973 году Леонид Вайнерман , Джордж Кац, Мишель Инок и Жан-Мари Шварц построили общую теорию этого типа для всех локально компактных групп. ^[21] С 1980-х годов исследования в этой области возобновились после открытия квантовых групп , на которые стали активно переносить построенные теории. ^[22] Эти теории сформулированы на языке С*-алгебр , или алгебр фон Неймана , и одним из ее вариантов является недавняя теория локально компактных квантовых групп . ^{[23] [22]}

Однако одним из недостатков этих общих теорий является то, что в них объекты, обобщающие понятие группы, не являются алгебрами Хопфа в обычном алгебраическом смысле. ^[20] Этот недостаток может быть исправлен (для некоторых классов групп) в рамках теорий двойственности, построенных на основе понятия оболочки топологической алгебры. ^[24]

Смотрите также

• Теорема Питера – Вейля
• Двойственность Картье
• Стереотипное пространство

Примечания

1. Совместная непрерывность означает здесь, что карта непрерывна как карта между топологическими пространствами, где наделена топологией декартова произведения. Этот результат не справедлив, если предполагается, что карта отдельно непрерывна или непрерывна в стереотипном смысле . ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$ ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$
2. Где вторая двойственная группа двойственна в том же смысле. ${\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Цитаты

1. Хьюитт и Росс 1963, (24,2)
2. Моррис 1977, Глава 4
3. Редер 1974
4. Онищик 1984 г.
5. Акбаров и Шавгулидзе 2003 г.
6. Часко, Дикранжан и Мартин-Пейнадор, 2012 г.
7. Каплан 1948 г.
8. Каплан 1950
9. Венкатараман 1975
10. Арданса-Тревихано и Часко 2005 г.
11. Мартин-Пейнадор 1995
12. Смит 1952 г.
13. Брудовский 1967.
14. Уотерхаус 1968
15. Браунер 1973
16. Акбаров 2003.
17. Хьюитт и Росс 1970
18. Кириллов 1976 г.
19. Кириллов 1976, 12.3.
20. Акбаров 2009
21. Энок и Шварц, 1992 г.
22. Тиммерманн 2008
23. Кустерманс и Ваес 2000
24. Акбаров 2009, 2017а, 2017б.

Рекомендации

• Акбаров, С.С. (2003). «Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств и топологической алгебре». Журнал математических наук . 113 (2): 179–349. дои : 10.1023/А:1020929201133 . S2CID  115297067.
• Акбаров Сергей С.; Шавгулидзе, Евгений Т. (2003). «О двух классах рефлексивных по Понтрягину пространств». Математический сборник . 194 (10): 3–26.
• Акбаров, Сергей С. (2009). «Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственности для групп Штейна с алгебраической связной составляющей единицы». Журнал математических наук . 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . дои : 10.1007/s10958-009-9646-1. S2CID  115153766.
• Акбаров, Сергей С. (2017a). «Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 1». Журнал математических наук . 227 (5): 531–668. arXiv : 1303.2424 . дои : 10.1007/s10958-017-3599-6. МР  3790317. S2CID  126018582.
• Акбаров, Сергей С. (2017b). «Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 2». Журнал математических наук . 227 (6): 669–789. arXiv : 1303.2424 . дои : 10.1007/s10958-017-3600-4. МР  3796205. S2CID  128246373.
• Браунер, Кальман (1973). «Двойственные пространства Фреше и обобщение теоремы Банаха – Дьедонне». Математический журнал Дьюка . 40 (4): 845–855. дои : 10.1215/S0012-7094-73-04078-7.
• Брудовский, Б.С. (1967). «О k- и c-рефлексивности локально выпуклых векторных пространств». Литовский математический журнал . 7 (1): 17–21. дои : 10.15388/LMJ.1967.19927 .
• Диксмье, Жак (1969). C*-алгебры и представления . Готье-Виллар. ISBN 978-2-87647-013-2.
• Энок, Мишель; Шварц, Жан-Мари (1992). Алгебры Каца и двойственность локально компактных групп . С предисловием Алена Конна. С постфейсом Адриана Окняну. Берлин: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-662-02813-1. ISBN 978-3-540-54745-7. МР  1215933.
• Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1963). Абстрактный гармонический анализ. Том. I: Структура топологических групп. Теория интеграции, представления групп . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 115. Берлин-Геттинген-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94190-5. МР  0156915.
• Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1970). Абстрактный гармонический анализ . Том. 2. Спрингер. ISBN 978-3-662-24595-8. МР  0262773.
• Кириллов, Александр А. (1976) [1972]. Элементы теории представлений . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Том. 220. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-07476-4. МР  0412321.
• Лумис, Линн Х. (1953). Введение в абстрактный гармонический анализ. ISBN компании Д. ван Ностранда 978-0486481234.
• Моррис, Ю.А. (1977). Двойственность Понтрягина и строение локально компактных абелевых групп . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521215435.
• Онищик, А.Л. (1984), «Двойственность Понтрягина», Математическая энциклопедия , 4 : 481–482, ISBN 978-1402006098
• Райтер, Ганс (1968). Классический гармонический анализ и локально компактные группы . Кларендон Пресс. ISBN 978-0198511892.
• Рудин, Вальтер (1962). Анализ Фурье на группах . ISBN компании Д. ван Ностранда 978-0471523642.
• Тиммерманн, Т. (2008). Приглашение к квантовым группам и двойственности - от алгебр Хопфа к мультипликативным унитариям и не только . Учебники EMS по математике, Европейское математическое общество. ISBN 978-3-03719-043-2.
• Кустерманс, Дж.; Ваес, С. (2000). «Локально компактные квантовые группы». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 33 (6): 837–934. дои : 10.1016/s0012-9593(00)01055-7.
• Арданса-Тревихано, Серджио; Часко, Мария Хесус (2005). «Двойственность Понтрягина последовательных пределов топологических абелевых групп». Журнал чистой и прикладной алгебры . 202 (1–3): 11–21. дои : 10.1016/j.jpaa.2005.02.006. hdl : 10171/1586 . МР  2163398.
• Часко, Мария Хесус; Дикранжан, Дикран; Мартин-Пейнадор, Елена (2012). «Обзор рефлексивности абелевых топологических групп». Топология и ее приложения . 159 (9): 2290–2309. дои : 10.1016/j.topol.2012.04.012 . МР  2921819.
• Каплан, Сэмюэл (1948). «Расширения двойственности Понтрягина. Часть I: бесконечные произведения». Математический журнал Дьюка . 15 : 649–658. дои : 10.1215/S0012-7094-48-01557-9. МР  0026999.
• Каплан, Сэмюэл (1950). «Расширения двойственности Понтрягина. Часть II: прямые и обратные пределы». Математический журнал Дьюка . 17 : 419–435. дои : 10.1215/S0012-7094-50-01737-6. МР  0049906.
• Венкатараман, Рангачари (1975). «Расширения дуальности Понтрягина». Mathematische Zeitschrift . 143 (2): 105–112. дои : 10.1007/BF01187051. S2CID  123627326.
• Мартин-Пейнадор, Елена (1995). «Рефлексивная допустимая топологическая группа должна быть локально компактной». Труды Американского математического общества . 123 (11): 3563–3566. дои : 10.2307/2161108. hdl : 10338.dmlcz/127641 . JSTOR  2161108.
• Редер, Дэвид В. (1974). «Теория категорий в применении к двойственности Понтрягина». Тихоокеанский математический журнал . 52 (2): 519–527. дои : 10.2140/pjm.1974.52.519 .
• Смит, Марианна Ф. (1952). «Теорема двойственности Понтрягина в линейных пространствах». Анналы математики . 56 (2): 248–253. дои : 10.2307/1969798. JSTOR  1969798. MR  0049479.
• Уотерхаус, Уильям К. (1968). «Двойственные группы векторных пространств». Тихоокеанский математический журнал . 26 (1): 193–196. дои : 10.2140/pjm.1968.26.193 .