В евклидовой геометрии ректификация , также известная как критическое усечение или полное усечение , представляет собой процесс усечения многогранника путем отметки средних точек всех его ребер и отрезания его вершин в этих точках. [1] Полученный многогранник будет ограничен гранями вершинных фигур и спрямленными гранями исходного многогранника.
Оператор ректификации иногда обозначается буквой r с символом Шлефли . Например, r {4,3} — это выпрямленный куб , также называемый кубооктаэдром , и также представленный как . А выпрямленный кубооктаэдр rr{4,3} — это ромбокубооктаэдр , и также представленный как .
Нотация полиэдра Конвея использует для ambo в качестве этого оператора. В теории графов эта операция создает медиальный граф .
Ректификация любого правильного самодвойственного многогранника или мозаики приведет к другому правильному многограннику или мозаике с порядком мозаики 4, например, тетраэдр {3,3} станет октаэдром {3,4}. Как особый случай, квадратная мозаика {4,4} превратится в другую квадратную мозаику {4,4} при операции ректификации.
Ректификация — это конечная точка процесса усечения. Например, на кубе эта последовательность показывает четыре шага континуума усечений между регулярной и ректифицированной формой:
Более высокая степень ректификации может быть выполнена на более многомерных правильных многогранниках. Самая высокая степень ректификации создает дуальный многогранник . Ректификация усекает ребра до точек. Биректификация усекает грани до точек. Триректификация усекает ячейки до точек и т. д.
Эта последовательность показывает двояковыпрямленный куб как конечную последовательность от куба до двойственного, где исходные грани усечены до одной точки:
Двойственный многоугольнику многоугольник совпадает с его выпрямленной формой. Новые вершины размещаются в центре рёбер исходного многоугольника.
Каждое платоново тело и его двойственное тело имеют один и тот же выпрямленный многогранник. (Это не относится к многогранникам в более высоких измерениях.)
Выпрямленный многогранник оказывается выразимым как пересечение исходного платонового тела с соответствующим образом масштабированной концентрической версией его дуального. По этой причине его название представляет собой комбинацию названий исходного и дуального:
Примеры
Если многогранник не является правильным, то середины ребер, окружающие вершину, могут не быть копланарными. Однако в этом случае все еще возможна форма ректификации: каждый многогранник имеет многогранный граф в качестве своего 1-скелета , и из этого графа можно сформировать срединный граф , поместив вершину в каждую срединную точку ребра исходного графа и соединив две из этих новых вершин ребром всякий раз, когда они принадлежат последовательным ребрам вдоль общей грани. Полученный срединный граф остается многогранным, поэтому по теореме Штейница его можно представить как многогранник.
Обозначение многогранника Конвея, эквивалентное ректификации, — ambo , представленное как a . Применение дважды aa , (ректификация ректификации) — это операция расширения Конвея , e , которая совпадает с операцией сокращения Джонсона , t 0,2 , полученной из правильных многогранников и мозаик.
Каждый выпуклый правильный 4-мерный многогранник имеет выпрямленную форму однородного 4-мерного многогранника .
Правильный 4-мерный многогранник {p,q,r} имеет ячейки {p,q}. Его ректификация будет иметь два типа ячеек: ректифицированный многогранник {p,q}, оставшийся от исходных ячеек, и многогранник {q,r} как новые ячейки, образованные каждой усеченной вершиной.
Однако выпрямленный {p,q,r} не то же самое, что выпрямленный {r,q,p}. Дальнейшее усечение, называемое битусечением , симметрично между 4-многогранником и его двойственным. См. Однородный 4-многогранник#Геометрические выводы .
Примеры
Первая ректификация усекает ребра до точек. Если многогранник правильный , эта форма представлена расширенной нотацией символа Шлефли t 1 {p,q,...} или r {p,q,...}.
Второе ректификация, или двойное ректификация , усекает грани до точек. Если она правильная, то имеет обозначение t 2 {p,q,...} или 2 r {p,q,...}. Для многогранников двойное ректификация создает двойственный многогранник .
Выпрямления более высокой степени могут быть построены для многогранников более высокой размерности. В общем случае n-выпрямление усекает n-грани до точек.
Если n-многогранник (n-1)-выпрямлен, его грани сводятся к точкам, и многогранник становится двойственным ему .
Существуют различные эквивалентные обозначения для каждой степени ректификации. Эти таблицы показывают названия по размерности и два типа граней для каждой.
Грани — это ребра, обозначенные как {}.
Грани представляют собой правильные многоугольники.
Грани представляют собой правильные или спрямленные многогранники.
Грани представляют собой правильные или выпрямленные 4-мерные многогранники.
