Теорема Римана–Роха

Связь между родом, степенью и размерностью функциональных пространств над поверхностями

Теорема Римана–Роха является важной теоремой в математике , в частности в комплексном анализе и алгебраической геометрии , для вычисления размерности пространства мероморфных функций с предписанными нулями и разрешенными полюсами . Она связывает комплексный анализ связной компактной римановой поверхности с чисто топологическим родом поверхности g таким образом, что его можно перенести в чисто алгебраические установки.

Первоначально доказанная как неравенство Римана Риманом (1857), теорема достигла своей окончательной формы для римановых поверхностей после работы недолго просуществовавшего ученика Римана Густава Роха  (1865). Позднее она была обобщена на алгебраические кривые , на многообразия более высокой размерности и далее.

Предварительные представления

Риманова поверхность рода 3.

Риманова поверхность — это топологическое пространство , локально гомеоморфное открытому подмножеству , множеству комплексных чисел . Кроме того, требуется , чтобы отображения перехода между этими открытыми подмножествами были голоморфными . Последнее условие позволяет переносить понятия и методы комплексного анализа, имеющие дело с голоморфными и мероморфными функциями, на поверхность . Для целей теоремы Римана–Роха поверхность всегда предполагается компактной . Проще говоря, род римановой поверхности — это число ее ручек ; например, род римановой поверхности, показанной справа, равен трем. Точнее, род определяется как половина первого числа Бетти , т. е. половина -размерности первой сингулярной группы гомологий с комплексными коэффициентами. Род классифицирует компактные римановы поверхности с точностью до гомеоморфизма , т. е. две такие поверхности гомеоморфны тогда и только тогда, когда их род одинаков. Следовательно, род является важным топологическим инвариантом римановой поверхности. С другой стороны, теория Ходжа показывает, что род совпадает с -размерностью пространства голоморфных одноформ на , поэтому род также кодирует комплексно-аналитическую информацию о римановой поверхности. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H_{1}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$

Дивизор — элемент свободной абелевой группы на точках поверхности. Эквивалентно, дивизор — это конечная линейная комбинация точек поверхности с целыми коэффициентами . ${\displaystyle D}$

Любая мероморфная функция порождает делитель, обозначаемый как ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f)}$

${\displaystyle (f):=\sum _{z_{\nu }\in R(f)}s_{\nu }z_{\nu }}$

где — множество всех нулей и полюсов , и задается выражением ${\displaystyle R(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s_{\nu }}$

${\displaystyle s_{\nu }:={\begin{cases}a&{\text{if }}z_{\nu }{\text{ is a zero of order }}a\\-a&{\text{if }}z_{\nu }{\text{ is a pole of order }}a\end{cases}}}$.

Известно, что множество конечно; это следствие компактности и того факта, что нули (ненулевой) голоморфной функции не имеют точки накопления . Следовательно, хорошо определено. Любой делитель такого вида называется главным делителем . Два делителя, отличающиеся главным делителем, называются линейно эквивалентными . Делитель мероморфной 1-формы определяется аналогично. Делитель глобальной мероморфной 1-формы называется каноническим делителем (обычно обозначается ). Любые две мероморфные 1-формы дадут линейно эквивалентные делители, поэтому канонический делитель определяется однозначно с точностью до линейной эквивалентности (отсюда и «» канонический делитель). ${\displaystyle R(f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle K}$

Символ обозначает степень (иногда также называемую индексом) делителя , т.е. сумму коэффициентов, встречающихся в . Можно показать, что делитель глобальной мероморфной функции всегда имеет степень 0, поэтому степень делителя зависит только от его линейного класса эквивалентности. ${\displaystyle \deg(D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Число — это величина, которая представляет основной интерес: размерность (над ) векторного пространства мероморфных функций на поверхности, такая, что все коэффициенты неотрицательны. Интуитивно мы можем думать об этом как о всех мероморфных функциях, полюса которых в каждой точке не хуже соответствующего коэффициента в ; если коэффициент в в отрицателен, то мы требуем, чтобы имел ноль по крайней мере такой кратности в – если коэффициент в положителен, может иметь полюс не более этого порядка. Векторные пространства для линейно эквивалентных делителей естественно изоморфны через умножение с глобальной мероморфной функцией (которая хорошо определена с точностью до скаляра). ${\displaystyle \ell (D)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (h)+D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle h}$

Формулировка теоремы

Теорема Римана–Роха для компактной римановой поверхности рода с каноническими дивизорными состояниями ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)=\deg(D)-g+1}$.

Обычно число представляет интерес, в то время как рассматривается как поправочный член (также называемый индексом специальности ^{[2] [3]} ), поэтому теорему можно грубо перефразировать следующим образом: ${\displaystyle \ell (D)}$ ${\displaystyle \ell (K-D)}$

размерность − поправка = степень − род + 1.

Поскольку это измерение векторного пространства, поправочный член всегда неотрицателен, так что ${\displaystyle \ell (K-D)}$

${\displaystyle \ell (D)\geq \deg(D)-g+1}$.

Это называется неравенством Римана . Часть Роха в утверждении — это описание возможной разницы между сторонами неравенства. На общей римановой поверхности рода имеет степень , независимо от мероморфной формы, выбранной для представления дивизора. Это следует из подстановки в теорему. В частности, пока имеет степень не менее , поправочный член равен 0, так что ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 2g-2}$ ${\displaystyle D=K}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 2g-1}$

${\displaystyle \ell (D)=\deg(D)-g+1}$.

Теорема будет теперь проиллюстрирована для поверхностей низкого рода. Существует также ряд других тесно связанных теорем: эквивалентная формулировка этой теоремы с использованием линейных расслоений и обобщение теоремы на алгебраические кривые .

Примеры

Теорема будет проиллюстрирована путем выбора точки на рассматриваемой поверхности и рассмотрения последовательности чисел ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \ell (n\cdot P),n\geq 0}$

т. е. размерность пространства функций, которые голоморфны всюду, за исключением точки , где функции разрешено иметь полюс порядка не более . Для функции, таким образом, требуется, чтобы они были целыми , т. е. голоморфными на всей поверхности . По теореме Лиувилля такая функция обязательно постоянна. Следовательно, . В общем случае последовательность является возрастающей. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell (0)=1}$ ${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$

Род нулевой

Сфера Римана (также называемая комплексной проективной прямой ) односвязна , и, следовательно, ее первая сингулярная гомология равна нулю. В частности, ее род равен нулю. Сфера может быть покрыта двумя копиями , причем отображение перехода задается как ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto {\frac {1}{z}}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$.

Следовательно, форма на одном экземпляре продолжается до мероморфной формы на сфере Римана: она имеет двойной полюс на бесконечности, поскольку ${\displaystyle \omega =dz}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle d\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{z^{2}}}\,dz}$

Таким образом, его канонический делитель равен (где — точка, находящаяся в бесконечности). ${\displaystyle K:=\operatorname {div} (\omega )=-2P}$ ${\displaystyle P}$

Следовательно, теорема гласит, что последовательность имеет вид ${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$

1, 2, 3, ... .

Эту последовательность можно также вывести из теории простейших дробей . Наоборот, если эта последовательность начинается таким образом, то она должна быть равна нулю. ${\displaystyle g}$

Род один

Тор

Следующий случай — риманова поверхность рода , например тор , где — двумерная решетка (группа, изоморфная ). Ее род равен единице: ее первая сингулярная группа гомологий свободно порождается двумя петлями, как показано на иллюстрации справа. Стандартная комплексная координата на дает однократную форму на , которая всюду голоморфна, т.е. вообще не имеет полюсов. Следовательно, , делитель равен нулю. ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \omega =dz}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \omega }$

На этой поверхности эта последовательность

1, 1, 2, 3, 4, 5 ... ;

и это характеризует случай . Действительно, для , , как было упомянуто выше. Для с , степень строго отрицательна, так что поправочный член равен 0. Последовательность размерностей также может быть выведена из теории эллиптических функций . ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle D=0}$ ${\displaystyle \ell (K-D)=\ell (0)=1}$ ${\displaystyle D=n\cdot P}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle K-D}$

Род два и далее

Для последовательность, упомянутая выше, имеет вид ${\displaystyle g=2}$

1, 1, ?, 2, 3, ... .

Из этого следует, что член степени 2 равен либо 1, либо 2 в зависимости от точки. Можно доказать, что в любой кривой рода 2 имеется ровно шесть точек, последовательности которых равны 1, 1, 2, 2, ..., а остальные точки имеют общую последовательность 1, 1, 1, 2, ... В частности, кривая рода 2 является гиперэллиптической кривой . Ведь всегда верно, что в большинстве точек последовательность начинается с единиц, и имеется конечное число точек с другими последовательностями (см. точки Вейерштрасса ). ${\displaystyle g>2}$ ${\displaystyle g+1}$

Римана–Роха для линейных расслоений

Используя тесное соответствие между дивизорами и голоморфными линейными расслоениями на римановой поверхности, теорему можно сформулировать иным, но эквивалентным образом: пусть L — голоморфное линейное расслоение на X. Пусть обозначает пространство голоморфных сечений L. Это пространство будет конечномерным; его размерность обозначается . Пусть K обозначает каноническое расслоение на X. Тогда теорема Римана–Роха утверждает, что ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L)}$

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,L^{-1}\otimes K)=\deg(L)+1-g}$.

Теорема предыдущего раздела является частным случаем, когда L — точечное расслоение.

Теорему можно применить, чтобы показать, что существует g линейно независимых голоморфных сечений K , или одноформ на X , следующим образом. Принимая L за тривиальное расслоение, поскольку единственные голоморфные функции на X являются константами. Степень L равна нулю, и является тривиальным расслоением. Таким образом, ${\displaystyle h^{0}(X,L)=1}$ ${\displaystyle L^{-1}}$

${\displaystyle 1-h^{0}(X,K)=1-g}$.

Следовательно, , доказывая, что существует g голоморфных одноформ. ${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$

Степень канонического расслоения

Так как каноническое расслоение имеет , применение Римана–Роха дает ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$ ${\displaystyle L=K}$

${\displaystyle h^{0}(X,K)-h^{0}(X,K^{-1}\otimes K)=\deg(K)+1-g}$

что можно переписать как

${\displaystyle g-1=\deg(K)+1-g}$

следовательно, степень канонического расслоения равна . ${\displaystyle \deg(K)=2g-2}$

Теорема Римана–Роха для алгебраических кривых

Каждый элемент в приведенной выше формулировке теоремы Римана–Роха для дивизоров на римановых поверхностях имеет аналог в алгебраической геометрии . Аналогом римановой поверхности является неособая алгебраическая кривая C над полем k . Разница в терминологии (кривая против поверхности) заключается в том, что размерность римановой поверхности как вещественного многообразия равна двум, но одному как комплексного многообразия. Компактность римановой поверхности параллельна условию, что алгебраическая кривая должна быть полной , что эквивалентно тому, чтобы быть проективной . Над общим полем k нет хорошего понятия особая (ко)гомология. Так называемый геометрический род определяется как

${\displaystyle g(C):=\dim _{k}\Gamma (C,\Omega _{C}^{1})}$

т.е. как размерность пространства глобально определенных (алгебраических) однократных форм (см. дифференциал Кэлера ). Наконец, мероморфные функции на римановой поверхности локально представлены как дроби голоморфных функций. Следовательно, они заменяются рациональными функциями , которые локально являются дробями регулярных функций . Таким образом, записывая для размерности (над k ) пространства рациональных функций на кривой, полюсы которых в каждой точке не хуже соответствующего коэффициента в D , справедлива та же самая формула, что и выше: ${\displaystyle \ell (D)}$

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)=\deg(D)-g+1}$.

где C — проективная неособая алгебраическая кривая над алгебраически замкнутым полем k . Фактически, та же формула справедлива для проективных кривых над любым полем, за исключением того, что степень дивизора должна учитывать кратности, возникающие из возможных расширений базового поля и полей вычетов точек, поддерживающих дивизор. ^[4] Наконец, для правильной кривой над артиновым кольцом эйлерова характеристика линейного расслоения, связанного с дивизором, задается степенью дивизора (соответствующим образом определенной) плюс эйлерова характеристика структурного пучка . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Предположение о гладкости в теореме также можно ослабить: для (проективной) кривой над алгебраически замкнутым полем, все локальные кольца которого являются кольцами Горенштейна , справедливо то же утверждение, что и выше, при условии, что геометрический род, определенный выше, заменяется арифметическим родом g _a , определяемым как

${\displaystyle g_{a}:=\dim _{k}H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$. ^[6]

(Для гладких кривых геометрический род совпадает с арифметическим.) Теорема была также распространена на общие особые кривые (и многообразия более высокой размерности). ^[7]

Приложения

Полином Гильберта

Одним из важных следствий теоремы Римана–Роха является то, что она дает формулу для вычисления полинома Гильберта линейных расслоений на кривой. Если линейное расслоение обильно, то полином Гильберта даст первую степень , дающую вложение в проективное пространство. Например, канонический пучок имеет степень , что дает обильное линейное расслоение для рода . ^[8] Если мы положим , то формула Римана–Роха будет иметь вид ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \omega _{C}}$ ${\displaystyle 2g-2}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle \omega _{C}(n)=\omega _{C}^{\otimes n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}(n))&=\deg(\omega _{C}^{\otimes n})-g+1\\&=n(2g-2)-g+1\\&=2ng-2n-g+1\\&=(2n-1)(g-1)\end{aligned}}}$

Давая степень полинома Гильберта ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega _{C}}$

${\displaystyle H_{\omega _{C}}(t)=2(g-1)t-g+1}$.

Поскольку для встраивания кривой используется триканонический пучок , многочлен Гильберта ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$

${\displaystyle H_{C}(t)=H_{\omega _{C}^{\otimes 3}}(t)}$

обычно рассматривается при построении схемы Гильберта кривых (и пространства модулей алгебраических кривых ). Этот многочлен есть

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{C}(t)&=(6t-1)(g-1)\\&=6(g-1)t+(1-g)\end{aligned}}}$

и называется многочленом Гильберта кривой рода g .

Плюриканоническое вложение

Анализируя это уравнение дальше, эйлерова характеристика имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}^{\otimes n})&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\omega _{C}\otimes \left(\omega _{C}^{\otimes n}\right)^{\vee }\right)\\&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)\end{aligned}}}$

С ${\displaystyle \deg(\omega _{C}^{\otimes n})=n(2g-2)}$

${\displaystyle h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)=0}$.

для , поскольку его степень отрицательна для всех , что подразумевает, что он не имеет глобальных сечений, существует вложение в некоторое проективное пространство из глобальных сечений . В частности, дает вложение в , где , поскольку . Это полезно при построении пространства модулей алгебраических кривых, поскольку его можно использовать в качестве проективного пространства для построения схемы Гильберта с многочленом Гильберта . ^[9] ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}\cong \mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 3}))}$ ${\displaystyle N=5g-5-1=5g-6}$ ${\displaystyle h^{0}(\omega _{C}^{\otimes 3})=6g-6-g+1}$ ${\displaystyle H_{C}(t)}$

Род плоских кривых с особенностями

Неприводимая плоская алгебраическая кривая степени d имеет ( d  − 1)( d  − 2)/2 −  g особенностей, если их правильно подсчитать. Из этого следует, что если кривая имеет ( d  − 1)( d  − 2)/2 различных особенностей, то она является рациональной кривой и, таким образом, допускает рациональную параметризацию.

Формула Римана–Гурвица

Формула Римана–Гурвица, касающаяся (разветвленных) отображений между римановыми поверхностями или алгебраическими кривыми, является следствием теоремы Римана–Роха.

Теорема Клиффорда о специальных делителях

Теорема Клиффорда о специальных дивизорах также является следствием теоремы Римана–Роха. Она утверждает, что для специального дивизора (т.е. такого, что ), удовлетворяющего , выполняется следующее неравенство: ^[10] ${\displaystyle \ell (K-D)>0}$ ${\displaystyle \ell (D)>0}$

${\displaystyle \ell (D)\leq {\frac {\deg D}{2}}+1}$.

Доказательство

Доказательство для алгебраических кривых

Утверждение для алгебраических кривых можно доказать с помощью двойственности Серра . Целое число является размерностью пространства глобальных сечений линейного расслоения, связанного с D ( ср. дивизор Картье ). В терминах когомологий пучков , следовательно, имеем , и аналогично . Но двойственность Серра для неособых проективных многообразий в частном случае кривой утверждает, что изоморфно двойственному . Таким образом, левая часть равна эйлеровой характеристике дивизора D . Когда D = 0, мы находим, что эйлерова характеристика для структурного пучка равна по определению. Чтобы доказать теорему для общего дивизора, можно затем продолжить, добавляя точки по одной к дивизору и обеспечивая, что эйлерова характеристика преобразуется соответственно правой части. ${\displaystyle \ell (D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$ ${\displaystyle \ell (D)=\mathrm {dim} H^{0}(X,{\mathcal {L}}(D))}$ ${\displaystyle \ell ({\mathcal {K}}_{X}-D)=\dim H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$ ${\displaystyle H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}}(D))^{\vee }}$ ${\displaystyle 1-g}$

Доказательство для компактных римановых поверхностей

Теорема для компактных римановых поверхностей может быть выведена из алгебраической версии с использованием теоремы Чжоу и принципа GAGA : на самом деле, каждая компактная риманова поверхность определяется алгебраическими уравнениями в некотором комплексном проективном пространстве. (Теорема Чжоу утверждает, что любое замкнутое аналитическое подмногообразие проективного пространства определяется алгебраическими уравнениями, а принцип GAGA утверждает, что когомологии пучков алгебраического многообразия совпадают с когомологиями пучков аналитического многообразия, определяемыми теми же уравнениями).

Можно избежать использования теоремы Чжоу, рассуждая идентично доказательству в случае алгебраических кривых, но заменив на пучок мероморфных функций h, таких, что все коэффициенты дивизора неотрицательны. Здесь тот факт, что эйлерова характеристика преобразуется желаемым образом при добавлении точки к дивизору, можно вывести из длинной точной последовательности, индуцированной короткой точной последовательностью ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}}$ ${\displaystyle (h)+D}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{D}\to {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}\to 0}$

где - это небоскребный пучок в точке P , а карта возвращает -й коэффициент Лорана, где . ^[11] ${\displaystyle \mathbb {C} _{P}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}}$ ${\displaystyle -k-1}$ ${\displaystyle k=D(P)}$

Арифметическая теорема Римана–Роха

Версия арифметической теоремы Римана–Роха утверждает, что если k – глобальное поле , а f – приемлемая функция аделей поля k , то для каждого иделя a имеет место формула суммирования Пуассона :

${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\sum _{x\in k}{\hat {f}}(x/a)=\sum _{x\in k}f(ax)}$.

В частном случае, когда k — функциональное поле алгебраической кривой над конечным полем, а f — любой характер, тривиальный на k , это восстанавливает геометрическую теорему Римана–Роха. ^[12]

Другие версии арифметической теоремы Римана–Роха используют теорию Аракелова, чтобы точнее напоминать традиционную теорему Римана–Роха.

Обобщения теоремы Римана–Роха

Теорема Римана–Роха для кривых была доказана для римановых поверхностей Риманом и Рохом в 1850-х годах, а для алгебраических кривых Фридрихом Карлом Шмидтом в 1931 году, когда он работал над совершенными полями конечной характеристики . Как заявил Питер Рокетт , ^[13]

Первым главным достижением Ф. К. Шмидта является открытие того, что классическая теорема Римана–Роха о компактных римановых поверхностях может быть перенесена на функциональные поля с конечным базовым полем. Фактически, его доказательство теоремы Римана–Роха работает для произвольных совершенных базовых полей, не обязательно конечных.

Она является основополагающей в том смысле, что последующая теория кривых пытается уточнить информацию, которую она дает (например, в теории Брилля–Нётер ).

Существуют версии в более высоких размерностях (для соответствующего понятия дивизора или линейного расслоения ). Их общая формулировка зависит от разбиения теоремы на две части. Одна из них, которая теперь называется двойственностью Серра , интерпретирует термин как размерность первой пучковой группы когомологий; с размерностью нулевой группы когомологий или пространства сечений левая часть теоремы становится эйлеровой характеристикой , а правая часть — ее вычислением как степени, скорректированной в соответствии с топологией римановой поверхности. ${\displaystyle \ell (K-D)}$ ${\displaystyle \ell (D)}$

В алгебраической геометрии размерности два такую ​​формулу нашли геометры итальянской школы ; была доказана теорема Римана–Роха для поверхностей (существует несколько версий, первая из которых, возможно, принадлежит Максу Нётеру ).

N -мерное обобщение, теорема Хирцебруха–Римана–Роха , было найдено и доказано Фридрихом Хирцебрухом как приложение характеристических классов в алгебраической топологии ; на него оказали большое влияние работы Кунихико Кодаиры . Примерно в то же время Жан-Пьер Серр дал общую форму двойственности Серра, какой мы ее знаем сейчас.

Александр Гротендик доказал далеко идущее обобщение в 1957 году, теперь известное как теорема Гротендика–Римана–Роха . Его работа переосмысливает Римана–Роха не как теорему о многообразии, а как теорему о морфизме между двумя многообразиями. Детали доказательств были опубликованы Арманом Борелем и Жаном-Пьером Серром в 1958 году. ^[14] Позднее Гротендик и его коллеги упростили и обобщили доказательство. ^[15]

Наконец, общая версия была найдена и в алгебраической топологии . По сути, все эти разработки были выполнены между 1950 и 1960 годами. После этого теорема Атьи–Зингера об индексе открыла другой путь к обобщению. Следовательно, эйлерова характеристика когерентного пучка является разумно вычислимой. Для всего лишь одного слагаемого в знакопеременной сумме необходимо использовать дополнительные аргументы, такие как теоремы об исчезновении .

Смотрите также

• теория Аракелова
• Теорема Гротендика–Римана–Роха
• Теорема Хирцебруха – Римана – Роха.
• Формула Римана–Роха Кавасаки
• Полином Гильберта
• Модули алгебраических кривых

Примечания

1. Гриффит, Харрис, стр. 116, 117
2. Стихтенот стр.22
3. Мукаи, стр. 295–297.
4. Лю, Цин (2002), Алгебраическая геометрия и арифметические кривые , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850284-5, Раздел 7.3
5. * Альтман, Аллен; Клейман, Стивен (1970), Введение в теорию двойственности Гротендика , Lecture Notes in Mathematics, том 146, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Теорема VIII.1.4., стр. 164
6. Хартсхорн, Робин (1986), «Обобщенные дивизоры на кривых Горенштейна и теорема Нётер», Журнал математики Киотского университета , 26 (3): 375–386, doi : 10.1215/kjm/1250520873 , ISSN  0023-608X
7. Баум, Пол; Фултон, Уильям ; Макферсон, Роберт (1975), «Риман – Рох для особых многообразий», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 45 (45): 101–145, doi : 10.1007/BF02684299, ISSN  1618-1913, S2CID  83458307
8. Обратите внимание, что модули эллиптических кривых можно построить независимо, см. https://arxiv.org/abs/0812.1803, и существует только одна гладкая кривая рода 0, , которую можно найти с помощью теории деформации. См. https://arxiv.org/abs/math/0507286 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$
9. Делинь, П.; Мамфорд, Д. (1969). «Неприводимость пространства кривых данного рода». IHES . 36 : 75–110. CiteSeerX 10.1.1.589.288 . doi :10.1007/BF02684599. S2CID  16482150. 
10. Фултон, Уильям (1989), Алгебраические кривые (PDF) , Advanced Book Classics, Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-51010-2, стр. 109
11. Форстер, Отто (1981), Лекции по римановым поверхностям , Springer Nature , ISBN 978-1-4612-5963-3, Раздел 16
12. Рамакришнан, Динакар; Валенца, Роберт (1999), Анализ Фурье числовых полей , Springer-Verlag, Глава 7.
13. «Рукописи».
14. А. Борель и Ж.-П. Серр. Bull. Soc. Math. France 86 (1958), 97-136.
15. SGA 6, Springer-Verlag (1971).

Ссылки

• Серр, Жан-Пьер; Борель, Арманд (1958). «Теорема Римана-Роха». Бюллетень математического общества Франции . 79 : 97–136. дои : 10.24033/bsmf.1500 .
• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классических произведений Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, г-н  1288523
• Гротендик, Александр и др. (1966/67), Теория пересечений и теория Римана-Роха (SGA 6), LNM 225, Springer-Verlag, 1971.
• Фултон, Уильям (1974). Алгебраические кривые (PDF) . Серия заметок по лекциям по математике. WA Benjamin. ISBN 0-8053-3080-1.
• Йост, Юрген (2006). Компактные римановы поверхности . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-33065-3.См. стр. 208–219 для доказательства в сложной ситуации. Обратите внимание, что Йост использует немного другую нотацию.
• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90244-9. MR  0463157. OCLC  13348052., содержит утверждение для кривых над алгебраически замкнутым полем. См. раздел IV.1.
• «Теорема Римана–Роха», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Хирцебрух, Фридрих (1995). Топологические методы в алгебраической геометрии . Классика математики. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58663-0. МР  1335917..
• Миранда, Рик (1995). Алгебраические кривые и римановы поверхности . Аспирантура по математике. Том 5. doi :10.1090/gsm/005. ISBN 9780821802687.
• Сигеру Мукаи (2003). Введение в инварианты и модули . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том 81. Уильям Оксбери (перевод). Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 0-521-80906-1.
• Векторные расслоения на компактных римановых поверхностях , М.С. Нарасимхан, стр. 5–6.
• Риман, Бернхард (1857). «Теория абельских функций». Журнал для королевы и математики . 1857 (54): 115–155. дои : 10.1515/crll.1857.54.115. hdl : 2027/coo.31924060183864 . S2CID  16593204.
• Рох, Густав (1865). «Ueber die Anzahl der willkurlichen Constanten в алгебраических функциях». Журнал для королевы и математики . 1865 (64): 372–376. дои : 10.1515/crll.1865.64.372. S2CID  120178388.
• Шмидт, Фридрих Карл (1931), «Analytische Zahlentheorie in Körpern der Charakteristik p», Mathematische Zeitschrift , 33 : 1–32, doi : 10.1007/BF01174341, S2CID  186228993, Zbl  0001.05401, заархивировано из оригинала 2 017-12-22 , получено 16 мая 2020 г.
• Стихтенот, Хеннинг (1993). Поля и коды алгебраических функций . Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-56489-6.
• Миша Капович, Теорема Римана – Роха (конспект лекции) элементарное введение
• Дж. Грей, Теорема Римана–Роха и геометрия, 1854–1914.
• Существует ли уравнение Римана–Роха для гладких проективных кривых над произвольным полем? на MathOverflow