Коэффициенты Клебша–Гордана для SU(3)

Representation of angular momentum tensor product states important to physics

В математической физике коэффициенты Клебша–Гордана являются коэффициентами разложения собственных состояний полного углового момента в несвязанном базисе тензорного произведения . Математически они определяют разложение тензорного произведения двух неприводимых представлений в прямую сумму неприводимых представлений, где тип и кратности этих неприводимых представлений известны абстрактно. Название происходит от немецких математиков Альфреда Клебша (1833–1872) и Пауля Гордана (1837–1912), которые столкнулись с эквивалентной проблемой в теории инвариантов .

Обобщение коэффициентов Клебша–Гордана до SU(3) полезно из-за их применимости для характеристики адронных распадов , где существует симметрия аромата SU(3) ( восьмеричный путь ), которая связывает три легких кварка : верхний , нижний и странный .

Группа СУ(3)

Специальная унитарная группа SU — это группа унитарных матриц , определитель которых равен 1. ^[1] Это множество замкнуто относительно умножения матриц. Все преобразования, характеризуемые специальной унитарной группой, оставляют нормы неизменными. Симметрия SU(3) появляется в симметрии аромата легких кварков (среди верхних , нижних и странных кварков), называемой Восьмеричным путем (физика) . Та же группа действует в квантовой хромодинамике на цветные квантовые числа кварков, которые образуют фундаментальное (триплетное) представление группы.

Группа SU(3) является подгруппой группы U(3) , группы всех унитарных матриц 3×3. Условие унитарности накладывает девять ограничений на все 18 степеней свободы комплексной матрицы 3×3. Таким образом, размерность группы U(3) равна 9. Более того, умножение a U на фазу, e ^iφ оставляет норму инвариантной. Таким образом, U(3) можно разложить в прямое произведение U(1) × SU(3)/Z ₃ . Из-за этого дополнительного ограничения SU(3) имеет размерность 8.

Генераторы алгебры Ли

Каждая унитарная матрица U может быть записана в виде

${\displaystyle U=e^{iH}\,}$

где H — эрмитово . Элементы SU(3) можно выразить как

${\displaystyle U=e^{i\sum {a_{k}\lambda _{k}}}}$

где — 8 линейно независимых матриц, образующих основу алгебры Ли SU (3) в триплетном представлении. Условие единичного определителя требует, чтобы матрицы были бесследовыми, поскольку ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$

${\displaystyle \det(e^{A})=e^{\operatorname {tr} (A)}}$.

Явный базис в фундаментальном, 3 , представлении может быть построен по аналогии с алгеброй матриц Паули спиновых операторов. Он состоит из матриц Гелл-Манна ,

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}&\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}&\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\\\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}&\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}\\\\\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}&\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{array}}}$

Это генераторы группы SU(3) в триплетном представлении, и они нормализованы как

${\displaystyle \operatorname {tr} (\lambda _{j}\lambda _{k})=2\delta _{jk}.}$

Структурные константы алгебры Ли группы задаются коммутаторами ${\displaystyle \lambda _{k}}$

${\displaystyle [\lambda _{j},\lambda _{k}]=2if_{jkl}\lambda _{l}~,}$

где — структурные константы, полностью антисимметричные и аналогичные символу Леви-Чивиты SU (2) . ${\displaystyle f_{jkl}}$ ${\displaystyle \epsilon _{jkl}}$

В общем случае они равны нулю, если только не содержат нечетное число индексов из набора {2,5,7}, соответствующих антисимметричному λ s. Примечание . ${\displaystyle f_{ljk}={\frac {-i}{4}}\mathrm {tr} ([\lambda _{l},\lambda _{j}]\lambda _{k})}$

Более того,

${\displaystyle \{\lambda _{j},\lambda _{k}\}={\frac {4}{3}}\delta _{jk}+2d_{jkl}\lambda _{l}}$

где — полностью симметричные константы коэффициентов. Они обращаются в нуль, если число индексов из набора {2, 5, 7} нечетно. В терминах матриц, ${\displaystyle d_{jkl}}$

${\displaystyle d_{jkl}={\frac {1}{4}}\operatorname {tr} (\{\lambda _{j},\lambda _{k}\}\lambda _{l})={\frac {1}{4}}\operatorname {tr} (\{\lambda _{k},\lambda _{l}\}\lambda _{j})=d_{klj}=d_{kjl}}$

Стандартная основа

Система корней SU (3) . 6 корней взаимно наклонены на π /3 , образуя гексагональную решетку: α соответствует изоспину; β — U-спину; а α + β — V-спину.

Несколько иначе нормализованный стандартный базис состоит из операторов F-спин , которые определены как для 3 и используются для применения к любому представлению этой алгебры . ${\displaystyle {\hat {F_{i}}}={\frac {1}{2}}\lambda _{i}}$

Базис Картана –Вейля алгебры Ли SU(3) получается еще одним изменением базиса, где определяется ^[2]

${\displaystyle {\hat {I}}_{\pm }={\hat {F}}_{1}\pm i{\hat {F}}_{2}}$

${\displaystyle {\hat {I}}_{3}={\hat {F_{3}}}}$

${\displaystyle {\hat {V}}_{\pm }={\hat {F}}_{4}\pm i{\hat {F}}_{5}}$

${\displaystyle {\hat {U}}_{\pm }={\hat {F}}_{6}\pm i{\hat {F}}_{7}}$

${\displaystyle {\hat {Y}}={\frac {2}{\sqrt {3}}}{\hat {F}}_{8}~.}$

Из-за множителей i в этих формулах, это технически является основой для комплексификации алгебры Ли su(3), а именно sl(3, C ). Предыдущий базис тогда по сути тот же, что использовался в книге Холла. ^[3]

Коммутационная алгебра генераторов

Стандартная форма генераторов группы SU(3) удовлетворяет коммутационным соотношениям , приведенным ниже:

${\displaystyle [{\hat {Y}},{\hat {I}}_{3}]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {Y}},{\hat {I}}_{\pm }]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {Y}},{\hat {U}}_{\pm }]=\pm {\hat {U}}_{\pm },}$

${\displaystyle [{\hat {Y}},{\hat {V}}_{\pm }]=\pm {\hat {V}}_{\pm },}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{3},{\hat {I}}_{\pm }]=\pm {\hat {I}}_{\pm },}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{3},{\hat {U}}_{\pm }]=\mp {\frac {1}{2}}{\hat {U}}_{\pm },}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{3},{\hat {V}}_{\pm }]=\pm {\frac {1}{2}}{\hat {V}}_{\pm },}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {I}}_{-}]=2{\hat {I}}_{3},}$

${\displaystyle [{\hat {U}}_{+},{\hat {U}}_{-}]={\frac {3}{2}}{\hat {Y}}-{\hat {I}}_{3},}$

${\displaystyle [{\hat {V}}_{+},{\hat {V}}_{-}]={\frac {3}{2}}{\hat {Y}}+{\hat {I}}_{3},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {V}}_{-}]=-{\hat {U}}_{-},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {U}}_{+}]={\hat {V}}_{+},}$

${\displaystyle [{\hat {U}}_{+},{\hat {V}}_{-}]={\hat {I}}_{-},}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {V}}_{+}]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {I}}_{+},{\hat {U}}_{-}]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {U}}_{+},{\hat {V}}_{+}]=0.}$

Все остальные коммутационные соотношения следуют из эрмитова сопряжения этих операторов.

Эти коммутационные соотношения можно использовать для построения неприводимых представлений группы SU(3) .

Представления группы лежат в 2-мерной плоскости I ₃ − Y. Здесь обозначает z-компоненту изоспина , а является гиперзарядом , и они составляют (абелеву) подалгебру Картана полной алгебры Ли. Максимальное число взаимно коммутирующих генераторов алгебры Ли называется ее рангом : SU(3) имеет ранг 2. Оставшиеся 6 генераторов, операторы лестницы ±, соответствуют 6 корням , расположенным на 2-мерной гексагональной решетке фигуры. ${\displaystyle {\hat {I}}_{3}}$ ${\displaystyle {\hat {Y}}}$

Операторы Казимира

Оператор Казимира — это оператор, который коммутирует со всеми генераторами группы Ли. В случае SU (2) квадратичный оператор J ² является единственным независимым таким оператором.

В случае группы SU (3) , напротив, можно построить два независимых оператора Казимира, квадратичный и кубический: они есть ^[4]

${\displaystyle {\hat {C_{1}}}=\sum _{k}{\hat {F_{k}}}{\hat {F_{k}}}\qquad \qquad {\hat {C_{2}}}=\sum _{jkl}d_{jkl}{\hat {F_{j}}}{\hat {F_{k}}}{\hat {F_{l}}}~.}$

Эти операторы Казимира служат для обозначения неприводимых представлений групповой алгебры Ли SU(3) , поскольку все состояния в данном представлении принимают одно и то же значение для каждого оператора Казимира, который служит тождеством в пространстве с размерностью этого представления. Это происходит потому, что состояния в данном представлении связаны действием генераторов алгебры Ли, и все генераторы коммутируют с операторами Казимира.

Например, для триплетного представления D (1,0) собственное значение ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {C}}_{1}}$ равно 4/3, а ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {C}}_{2}}$ — 10/9.

В более общем смысле, из формулы Фрейденталя для общего D ( p,q ) собственное значение [ ^5] ⁠ ⁠ равно ${\displaystyle {\hat {C}}_{1}}$

${\displaystyle (p^{2}+q^{2}+3p+3q+pq)/3}$.

Собственное значение («коэффициент аномалии») ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {C}}_{2}}$ равно ^[6]

${\displaystyle (p-q)(3+p+2q)(3+q+2p)/18.}$

Это нечетная функция относительно замены p ↔ q . Следовательно, она исчезает для действительных представлений p = q , таких как сопряженное, D (1,1) , т.е. и ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {C}}_{2}}$ аномалии исчезают для нее.

Представления группы SU(3)

Неприводимые представления группы SU(3) анализируются в различных местах, включая книгу Холла. ^[7] Поскольку группа SU(3) односвязна, ^[8] представления находятся во взаимно однозначном соответствии с представлениями ее алгебры Ли ^[9] su(3) или комплексификации ^[10] ее алгебры Ли, sl(3, C ).

Мы обозначаем представления как D ( p , q ), где p и q являются неотрицательными целыми числами, где в физических терминах p — число кварков, а q — число антикварков. Математически представление D ( p , q ) может быть построено путем тензорного объединения p копий стандартного 3-мерного представления и q копий дуального представления стандартного представления, а затем извлечения неприводимого инвариантного подпространства. ^[11] (См. также раздел Таблицы Юнга ниже: p — число столбцов с одним ящиком, «кварков», а q — число столбцов с двумя ящиками, «антикварков»).

Еще один способ рассматривать параметры p и q — как максимальные собственные значения диагональных матриц

${\displaystyle H_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad H_{2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$.

(Элементы и являются линейными комбинациями элементов и , но нормализованными таким образом, что собственные значения и являются целыми числами.) Это следует сравнить с теорией представлений SU(2) , где неприводимые представления помечены максимальным собственным значением одного элемента h . ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle {\hat {I}}_{3}}$ ${\displaystyle {\hat {Y}}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Представления имеют размерность ^[12]

Десятичное представление D (3,0) ( спин 3/2 барионный декуплет)

${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}(p+1)(q+1)(p+q+2),}$

их неприводимые характеры задаются формулой ^[13]

${\displaystyle \chi ^{p,q}(\theta ,\phi )=e^{i{\frac {\theta }{3}}(2p+q)}\sum \limits _{k=0}^{p}\sum \limits _{l=0}^{q}e^{-i(k+l)\theta }\left({\frac {\sin((k-l+q+1)\phi /2)}{\sin(\phi /2)}}\right),}$

и соответствующая мера Хаара ^[13] такова, что и , ${\displaystyle \mu (SU(3))=64\sin \left({\frac {\phi }{2}}\right)^{2}\sin \left({\frac {1}{2}}(\theta +\phi /2)\right)^{2}\sin \left({\frac {1}{2}}(\theta -\phi /2)\right)^{2}}$ ${\displaystyle -2\pi \leq \phi \leq 2\pi }$ ${\displaystyle -3\pi \leq \theta \leq 3\pi }$

${\displaystyle V(SU(3))=\int _{-\pi }^{\pi }\!\int _{-\pi }^{\pi }d\!\left({\frac {\phi }{2}}\right)d\!\left({\frac {\theta }{3}}\right)\mu (SU(3))=\int _{-2\pi }^{2\pi }{\frac {d\phi }{2}}\int _{-3\pi }^{3\pi }{\frac {d\theta }{3}}\mu (SU(3))=24\pi ^{2}.}$

Мультиплет SU(3) может быть полностью определен пятью метками, две из которых, собственные значения двух Казимиров, являются общими для всех членов мультиплета. Это обобщает простые две метки для мультиплетов SU(2) , а именно собственные значения его квадратичного Казимира и I ₃ .

Так как , мы можем маркировать различные состояния собственными значениями и операторами, , для заданного собственного значения изоспина Казимира. Действие операторов на эти состояния есть, ^[14] ${\displaystyle [{\hat {I}}_{3},{\hat {Y}}]=0}$ ${\displaystyle {\hat {I}}_{3}}$ ${\displaystyle {\hat {Y}}}$ ${\displaystyle |t,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {I}}_{3}|t,y\rangle =t|t,y\rangle }$

Представление генераторов группы SU(3) .

${\displaystyle {\hat {Y}}|t,y\rangle =y|t,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {U}}_{0}|t,y\rangle ={\Bigl (}{\frac {3}{4}}y-{\frac {1}{2}}t{\Bigr )}|t,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {V}}_{0}|t,y\rangle ={\Bigl (}{\frac {3}{4}}y+{\frac {1}{2}}t{\Bigr )}|t,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {I}}_{\pm }|t,y\rangle =\alpha |t\pm 1,y\rangle }$

${\displaystyle {\hat {U}}_{\pm }|t,y\rangle =\beta |t\pm {\frac {1}{2}},y\pm 1\rangle }$

${\displaystyle {\hat {V}}_{\pm }|t,y\rangle =\gamma |t\mp {\frac {1}{2}},y\pm 1\rangle }$

Здесь,

${\displaystyle {\hat {U}}_{0}\equiv {\frac {1}{2}}[{\hat {U}}_{+},{\hat {U}}_{-}]={\frac {3}{4}}{\hat {Y}}-{\frac {1}{2}}{\hat {I}}_{3}}$

и

${\displaystyle {\hat {V}}_{0}\equiv {\frac {1}{2}}[{\hat {V}}_{+},{\hat {V}}_{-}]={\frac {3}{4}}{\hat {Y}}+{\frac {1}{2}}{\hat {I}}_{3}.}$

15-мерное представление D (2,1)

Все остальные состояния представления могут быть построены путем последовательного применения операторов лестницы и путем идентификации базовых состояний, которые аннулируются действием понижающих операторов. Эти операторы можно изобразить как стрелки, конечные точки которых образуют вершины шестиугольника (рисунок для генераторов выше). ${\displaystyle {\hat {I}}_{\pm },{\hat {U}}_{\pm }}$ ${\displaystyle {\hat {V}}_{\pm }}$

Коэффициент Клебша – Гордана для SU(3)

Представление произведения двух неприводимых представлений и , как правило, приводимо. Символически, ${\displaystyle D(p_{1},q_{1})}$ ${\displaystyle D(p_{2},q_{2})}$

${\displaystyle D(p_{1},q_{1})\otimes D(p_{2},q_{2})=\sum _{P,Q}\oplus \sigma (P,Q)D(P,Q)~,}$

где ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma (P,Q)}$ — целое число.

Например, два октета (присоединения) составляют

${\displaystyle D(1,1)\otimes D(1,1)=D(2,2)\oplus D(3,0)\oplus D(1,1)\oplus D(1,1)\oplus D(0,3)\oplus D(0,0)~,}$

то есть их произведение сводится к икосасептету ( 27 ), декуплету, двум октетам, антидекуплету и синглету, всего 64 состояния.

Правый ряд называется рядом Клебша–Гордана. Он подразумевает, что представление ⁠ ⁠ ${\displaystyle D(P,Q)}$ появляется ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma (P,Q)}$ раз в сведении этого прямого произведения с . ${\displaystyle D(p_{1},q_{1})}$ ${\displaystyle D(p_{2},q_{2})}$

Теперь полный набор операторов необходим для однозначного указания состояний каждого неприводимого представления внутри только что приведенного. Полный набор коммутирующих операторов в случае неприводимого представления ⁠ ⁠ ${\displaystyle D(P,Q)}$ равен

${\displaystyle \{{\hat {C}}_{1},{\hat {C}}_{2},{\hat {I}}_{3},{\hat {I}}^{2},{\hat {Y}}\}~,}$

где

${\displaystyle I^{2}\equiv {I_{1}}^{2}+{I_{2}}^{2}+{I_{3}}^{2}}$.

Состояния приведенного выше прямого произведения, таким образом, полностью представлены набором операторов

${\displaystyle \{{\hat {C}}_{1}(1),{\hat {C}}_{2}(1),{\hat {I}}_{3}(1),{\hat {I}}^{2}(1),{\hat {Y}}(1),{\hat {C}}_{1}(2),{\hat {C}}_{2}(2),{\hat {I}}_{3}(2),{\hat {I}}^{2}(2),{\hat {Y}}(2)\},}$

где число в скобках обозначает представление, на которое действует оператор.

Альтернативный набор коммутирующих операторов можно найти для представления прямого произведения, если рассмотреть следующий набор операторов, ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbb {C} }}_{1}&={\hat {C}}_{1}(1)+{\hat {C}}_{1}(2)\\{\hat {\mathbb {C} }}_{2}&={\hat {C}}_{2}(1)+{\hat {C}}_{2}(2)\\{\hat {\mathbb {I} }}^{2}&={\hat {I}}^{2}(1)+{\hat {I}}^{2}(2)\\{\hat {\mathbb {Y} }}&={\hat {Y}}(1)+{\hat {Y}}(2)\\{\hat {\mathbb {I} }}_{3}&={\hat {I}}_{3}(1)+{\hat {I}}_{3}(2).\end{aligned}}}$

Таким образом, в набор коммутирующих операторов входят

${\displaystyle \{{\hat {\mathbb {C} }}_{1},{\hat {\mathbb {C} }}_{2},{\hat {\mathbb {Y} }},{\hat {\mathbb {I} }}_{3},{\hat {\mathbb {I} }}^{2},{\hat {C}}_{1}(1),{\hat {C}}_{1}(2),{\hat {C}}_{2}(1),{\hat {C}}_{2}(2)\}.}$

Это набор всего из девяти операторов. Но набор должен содержать десять операторов, чтобы однозначно определить все состояния представления прямого произведения. Чтобы найти последний оператор Γ , нужно искать вне группы. Необходимо различать различные ⁠ ⁠ ${\displaystyle D(P,Q)}$ для похожих значений P и Q.

${\displaystyle {\begin{array}{cc|cc|cc|cc}{\text{Operator}}&{\text{Eigenvalue}}&{\text{Operator}}&{\text{Eigenvalue}}&{\text{Operator}}&{\text{Eigenvalue}}&{\text{Operator}}&{\text{Eigenvalue}}\\\hline {\hat {C}}_{1}(1)&{c^{1}}_{1}&{\hat {C}}_{1}(2)&{c^{1}}_{2}&{\hat {C}}_{2}(1)&{c^{2}}_{1}&{\hat {C}}_{2}(2)&{c^{2}}_{2}\\{\hat {\mathbb {I} }}^{2}&{i^{2}}&{\hat {\mathbb {I} }}_{3}&{i^{z}}&{\hat {\mathbb {Y} }}&{y}&{\hat {\Gamma }}&\gamma \\{\hat {\mathbb {C} }}_{1}&{c^{1}}&{\hat {\mathbb {C} }}_{2}&{c^{1}}&{\hat {Y}}_{1}&{y}_{1}&{\hat {Y}}_{2}&{y}_{2}\\{\hat {I}}^{2}(1)&{i^{2}}_{1}&{\hat {I}}^{2}(2)&{i^{2}}_{2}&{\hat {I}}_{3}(1)&{i^{z}}_{1}&{\hat {I}}_{3}(2)&{i^{z}}_{2}\end{array}}}$

Таким образом, любое состояние в прямом представлении произведения может быть представлено кет-функцией,

${\displaystyle |{c^{1}}_{1},{c^{1}}_{2},{c^{2}}_{1},{c^{2}}_{2},y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}\rangle }$

также используя второй полный набор коммутирующих операторов, мы можем определить состояния в представлении прямого произведения как

${\displaystyle |{c^{1}}_{1},{c^{1}}_{2},{c^{2}}_{1},{c^{2}}_{2},y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle }$

Мы можем убрать из штата и обозначить штаты как ${\displaystyle {c^{1}}_{1},{c^{1}}_{2},{c^{2}}_{1},{c^{2}}_{2}}$

${\displaystyle |y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}\rangle }$

используя операторы из первого набора, и,

${\displaystyle |y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle ~,}$

с использованием операторов из второго набора.

Оба эти состояния охватывают представление прямого произведения, и любые состояния в представлении могут быть помечены посредством подходящего выбора собственных значений.

Используя соотношение полноты,

${\displaystyle |y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle =\sum _{y_{1},y_{2}}\sum _{{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2}}\sum _{{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}}\langle y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}|y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle |y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}\rangle }$

Здесь коэффициенты

${\displaystyle \langle y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}|y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle }$

— коэффициенты Клебша–Гордана.

Другая нотация

Чтобы избежать путаницы, собственные значения можно одновременно обозначить как μ , а собственные значения одновременно обозначить как ν . Тогда собственное состояние представления прямого произведения ⁠ ⁠ можно обозначить как ^[15] ${\displaystyle c^{1},c^{2}}$ ${\displaystyle i^{2},i^{z},y}$ ${\displaystyle D(P,Q)}$

${\displaystyle \psi {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\&&\nu \end{pmatrix}},}$

где — собственные значения и — собственные значения обозначенных одновременно. Здесь величина, выраженная скобками, — это символ Вигнера 3-j . ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle {c^{1}}_{1},{c^{2}}_{1}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$ ${\displaystyle {c^{1}}_{2},{c^{2}}_{2}}$

Кроме того, считаются базисными состояниями и являются базисными состояниями . Также являются базисными состояниями представления продукта. Здесь представляет собой объединенные собственные значения и соответственно. ${\displaystyle {\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}}}$ ${\displaystyle D(p_{1},q_{1})}$ ${\displaystyle {\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}}$ ${\displaystyle D(p_{2},q_{2})}$ ${\displaystyle {\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}},{\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}}$ ${\displaystyle \nu _{1},\nu _{2}}$ ${\displaystyle ({i^{2}}_{1},{i^{z}}_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle ({i^{2}}_{2},{i^{z}}_{2},y_{2})}$

Таким образом, унитарные преобразования, соединяющие две базы, имеют вид

${\displaystyle \psi {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\&&\nu \end{pmatrix}}=\sum _{\nu _{1},\nu _{2}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}{\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}}{\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}}$

Это сравнительно компактная запись. Здесь,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}}$

— коэффициенты Клебша–Гордана.

Отношения ортогональности

Коэффициенты Клебша–Гордана образуют действительную ортогональную матрицу. Следовательно,

${\displaystyle {\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}}{\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}=\sum _{\mu ,\nu ,\gamma }{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}\psi {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\&&\nu \end{pmatrix}}.}$

Кроме того, они следуют следующим соотношениям ортогональности:

${\displaystyle \sum _{\nu _{1},\nu _{2}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma '\\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu '\end{pmatrix}}=\delta _{\nu \nu '}\delta _{\gamma ,\gamma '}}$

${\displaystyle \sum _{\mu \nu \gamma }{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}'&\nu _{2}'&\nu \end{pmatrix}}=\delta _{\nu _{1}\nu _{1}'}\delta _{\nu _{2},\nu _{2}'}}$

Свойства симметрии

Если неприводимое представление появляется в ряду Клебша–Гордана , то оно должно появиться в ряду Клебша–Гордана . Что подразумевает, ${\displaystyle {\scriptstyle {\mu }_{\gamma }}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle {\mu }_{1}\otimes {\mu }_{2}}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle {\mu }_{2}\otimes {\mu }_{1}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}=\xi _{1}{\begin{pmatrix}\mu _{2}&\mu _{1}&\gamma \\\nu _{2}&\nu _{1}&\nu \end{pmatrix}}}$

Поскольку все коэффициенты Клебша–Гордана действительны, можно вывести следующее свойство симметрии: ${\displaystyle \xi _{1}=\xi _{1}(\mu _{1},\mu _{2},\gamma )=\pm 1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}=\xi _{2}{\begin{pmatrix}{\mu _{1}}^{*}&{\mu _{2}}^{*}&{\gamma }^{*}\\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}}$

Где . ${\displaystyle \xi _{2}=\xi _{2}(\mu _{1},\mu _{2},\gamma )=\pm 1}$

Группа симметрии оператора Гамильтона трехмерного осциллятора

Трехмерный гармонический осциллятор описывается гамильтонианом

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}+{\tfrac {1}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2}),}$

где константа пружины, масса и постоянная Планка включены в определение переменных, ħ = m =1 .

Видно, что этот гамильтониан симметричен относительно преобразований координат, сохраняющих значение . Таким образом, любые операторы в группе SO(3) сохраняют этот гамильтониан инвариантным. ${\displaystyle V=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Что еще более важно, поскольку гамильтониан является эрмитовым, он остается инвариантным при работе с элементами гораздо большей группы SU(3) .

Доказательство того, что группа симметрии линейного изотропного 3D гармонического осциллятора есть SU(3) ^[16]

Симметричный (диадический) тензорный оператор, аналогичный вектору Лапласа–Рунге–Ленца для задачи Кеплера, может быть определен:

${\displaystyle {\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}p_{i}p_{j}+\omega ^{2}r_{i}r_{j}}$

который коммутирует с гамильтонианом,

${\displaystyle [{\hat {A}}_{ij},{\hat {H}}]=0.}$

Поскольку он коммутирует с гамильтонианом (его следом), он представляет 6−1=5 констант движения.

Он обладает следующими свойствами:

${\displaystyle \sum _{j}{\hat {A}}_{ij}{\hat {L}}_{j}=\sum _{i}{\hat {L}}_{i}{\hat {A}}_{ij}=0}$

${\displaystyle \sum _{j}{\hat {A}}_{ij}{\hat {A}}_{jk}={\hat {H}}{\hat {A}}_{ik}+{\frac {1}{4}}\omega ^{2}\{{\hat {L}}_{i}{\hat {L}}_{k}-\delta _{ik}{\hat {L}}^{2}+2[{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{k}]-2\hbar ^{2}\delta _{ik}\}}$

${\displaystyle Tr[{\hat {A}}_{ij}]=\sum _{i}{{\hat {A}}_{ii}}={\hat {H}}.}$

За исключением тензорного следа оператора , который является гамильтонианом, оставшиеся 5 операторов можно перестроить в их сферическую компонентную форму следующим образом: ${\displaystyle {\hat {A}}_{ij},}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{0}=\omega ^{-1}(2{\hat {A}}_{33}-{\hat {A}}_{11}-{\hat {A}}_{22})}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{\pm }=\mp \omega ^{-1}({\hat {A}}_{13}\pm i{\hat {A}}_{23})}$

${\displaystyle {\hat {A'}}_{\pm }=\omega ^{-1}({\hat {A}}_{11}-{\hat {A}}_{22}\pm 2i{\hat {A}}_{22})}$

Далее, операторы углового момента записываются в форме сферических компонент как

${\displaystyle {\hat {L}}_{3}={\hat {L}}_{3}}$

${\displaystyle {\hat {L}}_{\pm }=({\hat {L}}_{1}\pm i{\hat {L}}_{2}).}$

Они подчиняются следующим коммутационным соотношениям:

${\displaystyle [{\hat {L}}_{3},{\hat {A}}_{0}]=[{\hat {A}}_{0},{\hat {A'}}_{\pm }]=[{\hat {A}}_{\pm },{\hat {A'}}_{\pm }]=[{\hat {L}}_{\pm },{\hat {A'}}_{\pm }]=0}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{\pm },{\hat {L}}_{\mp }]=-4[{\hat {A}}_{\pm },{\hat {A}}_{\mp }]={\frac {1}{2}}[{\hat {A'}}_{\pm },{\hat {A'}}_{\mp }]=\pm 2\hbar {\hat {L}}_{3}}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{\pm },{\hat {A}}_{\mp }]=\hbar {\hat {A}}_{0}}$

${\displaystyle \pm [{\hat {L}}_{3},{\hat {L}}_{\pm }]=-{\frac {2}{3}}[{\hat {A}}_{0},{\hat {A}}_{\pm }]=[{\hat {A}}_{\mp },{\hat {A'}}_{\pm }]=\hbar {\hat {L}}_{\pm }}$

${\displaystyle \pm [{\hat {L}}_{3},{\hat {A}}_{\pm }]=-{\frac {1}{6}}[{\hat {A}}_{0},{\hat {L}}_{\pm }]={\frac {1}{4}}[{\hat {L}}_{\mp },{\hat {A'}}_{\pm }]=\hbar {\hat {A}}_{\pm }}$

${\displaystyle \pm [{\hat {L}}_{3},{\hat {A'}}_{\pm }]=2[{\hat {L}}_{\pm },{\hat {A}}_{\pm }]=2\hbar {\hat {A'}}_{\pm }.}$

Восемь операторов (состоящих из 5 операторов, полученных из бесследового симметричного тензорного оператора Â _ij и трех независимых компонент вектора углового момента) подчиняются тем же коммутационным соотношениям, что и бесконечно малые генераторы группы SU(3) , подробно описанные выше.

Таким образом, группа симметрии гамильтониана для линейного изотропного трехмерного гармонического осциллятора изоморфна группе SU(3) .

Более систематически, такие операторы, как операторы Лестницы

${\displaystyle {\sqrt {2}}{\hat {a}}_{i}={\hat {X}}_{i}+i{\hat {P}}_{i}~~}$и ${\displaystyle ~~{\sqrt {2}}{\hat {a}}_{i}^{\dagger }={\hat {X}}_{i}-i{\hat {P}}_{i}}$

можно построить операторы, которые увеличивают и уменьшают собственное значение оператора Гамильтона на 1.

Операторы â _i и â _i ^† не являются эрмитовыми; но эрмитовы операторы могут быть построены из различных их комбинаций, а именно,

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }}$.

Существует девять таких операторов для i , j = 1, 2, 3.

Девять эрмитовых операторов, образованных билинейными формами â _i ^† â _j, контролируются фундаментальными коммутаторами

${\displaystyle [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij},}$

${\displaystyle [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}]=[{\hat {a}}_{i}^{\dagger },{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=0,}$

и не коммутируют между собой. В результате этот полный набор операторов не разделяет свои собственные векторы, и они не могут быть диагонализированы одновременно. Таким образом, группа неабелева, и в гамильтониане могут присутствовать вырождения, как указано.

Гамильтониан трехмерного изотропного гармонического осциллятора, записанный в терминах оператора, имеет вид ${\displaystyle {\hat {N_{i}}}={\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}}$

${\displaystyle {\hat {H}}=\omega {\bigl [}{\tfrac {3}{2}}+{\hat {N}}_{1}+{\hat {N}}_{2}+{\hat {N}}_{3}{\bigr ]}}$.

Гамильтониан имеет 8-кратное вырождение. Последовательное применение â _i и â _j ^† слева сохраняет инвариант гамильтониана, поскольку увеличивает N _i на 1 и уменьшает N _j на 1, тем самым сохраняя общую

${\displaystyle N=\sum {N_{i}}}$   константа. (ср. квантовый гармонический осциллятор )

Максимально коммутирующий набор операторов

Поскольку операторы, принадлежащие группе симметрии гамильтониана, не всегда образуют абелеву группу , невозможно найти общий собственный базис, который диагонализирует их все одновременно. Вместо этого мы берем максимально коммутирующий набор операторов из группы симметрии гамильтониана и пытаемся свести матричные представления группы к неприводимым представлениям.

Гильбертово пространство двух систем

Гильбертово пространство двух частиц является тензорным произведением двух гильбертовых пространств двух отдельных частиц,

${\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {H} _{1}\otimes \mathbb {I} +\mathbb {I} \otimes \mathbb {H} _{2}~,}$

где и — гильбертово пространство первой и второй частиц соответственно. ${\displaystyle \mathbb {H} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{2}}$

Операторы в каждом из гильбертовых пространств имеют свои собственные коммутационные соотношения, и оператор одного гильбертова пространства коммутирует с оператором из другого гильбертова пространства. Таким образом, группа симметрии двухчастичного гамильтониана оператора является надмножеством групп симметрии гамильтоновых операторов отдельных частиц. Если отдельные гильбертовы пространства являются N -мерными, объединенное гильбертово пространство является N ² -мерным.

Коэффициент Клебша–Гордана в этом случае

Группа симметрии гамильтониана — SU(3) . В результате коэффициенты Клебша–Гордана можно найти, разложив несвязанные базисные векторы группы симметрии гамильтониана в его связанный базис. Ряд Клебша–Гордана получается путем блочной диагонализации гамильтониана с помощью унитарного преобразования, построенного из собственных состояний, которое диагонализирует максимальный набор коммутирующих операторов.

Молодые картины

Таблица Юнга (множественное число tableaux ) — это метод разложения произведений представления группы SU( N ) в сумму неприводимых представлений. Она предоставляет размерность и типы симметрии неприводимых представлений, что известно как ряд Клебша–Гордана. Каждое неприводимое представление соответствует одночастичному состоянию, а произведение более чем одного неприводимого представления указывает на многочастичное состояние.

Поскольку частицы в квантовой механике в основном неразличимы, это приблизительно относится к нескольким перестановочным частицам. Перестановки n одинаковых частиц составляют симметричную группу S _n . Каждое n -частичное состояние S _n , которое состоит из одночастичных состояний фундаментального N -мерного мультиплета SU( N ), принадлежит неприводимому представлению SU( N ). Таким образом, его можно использовать для определения ряда Клебша–Гордана для любой унитарной группы. ^[17]

Построение государств

Любая двухчастичная волновая функция , где индексы 1,2 представляют состояние частицы 1 и 2, может быть использована для генерации состояний явной симметрии с использованием симметризующих и антисимметризующих операторов. ^[18] ${\displaystyle \psi _{1,2}}$

${\displaystyle \mathbf {S_{12}} =\mathbf {I} +\mathbf {P_{12}} }$

${\displaystyle \mathbf {A_{12}} =\mathbf {I} -\mathbf {P_{12}} }$

где — оператор, меняющий местами частицы (оператор обмена). ${\displaystyle \mathbf {P_{12}} }$

Имеет место следующее соотношение: ^[18] -

${\displaystyle \mathbf {P_{12}P_{12}} =\mathbf {I} }$

${\displaystyle \mathbf {P_{12}S_{12}} =\mathbf {P_{12}} +\mathbf {I} =\mathbf {S_{12}} }$

${\displaystyle \mathbf {P_{12}A_{12}} =\mathbf {P_{12}} -\mathbf {I} =-\mathbf {A_{12}} }$

${\displaystyle \mathbf {P_{12}} \mathbf {S_{12}} \psi _{12}=+\mathbf {S_{12}} \psi _{12}}$

таким образом,

${\displaystyle \mathbf {P_{12}} \mathbf {A_{12}} \psi _{12}=-\mathbf {A_{12}} \psi _{12}.}$

Начиная с многочастичного состояния, мы можем применять и многократно для построения состояний, которые: ^[18] ${\displaystyle \mathbf {S_{12}} }$ ${\displaystyle \mathbf {A_{12}} }$

1. Симметричен относительно всех частиц.
2. Антисимметричный по отношению ко всем частицам.
3. Смешанные симметрии, т.е. симметричные или антисимметричные относительно некоторых частиц.

Построение таблиц

Вместо использования ψ в таблицах Юнга мы используем квадратные блоки ( □ ) для обозначения частиц и i для обозначения состояния частиц.

Пример таблицы Юнга. Число внутри квадратов представляет состояние частиц

Полный набор частиц обозначается с помощью □ s, каждая из которых имеет свою собственную квантовую числовую метку ( i ). ${\displaystyle n_{p}}$ ${\displaystyle n_{p}}$

Таблицы формируются путем укладки ящиков рядом друг с другом и сверху вниз таким образом, что состояния, симметризованные относительно всех частиц, располагаются в ряду, а состояния, антисимметризованные относительно всех частиц, находятся в одном столбце. При построении таблиц соблюдаются следующие правила: ^[17]

1. Строка не должна быть длиннее предыдущей.
2. Квантовые метки (числа в □ ) не должны уменьшаться при движении слева направо в строке.
3. Квантовые метки должны строго возрастать по мере спуска по столбцу.

Дело дляН= 3

Для N = 3, то есть в случае SU(3), возникает следующая ситуация. В SU(3) есть три метки, они обычно обозначаются как (u,d,s), соответствующие верхним, нижним и странным кваркам, которые следуют алгебре SU(3). Их также можно обозначить в общем виде как (1,2,3). Для двухчастичной системы мы имеем следующие шесть состояний симметрии:

и следующие три антисимметричных состояния:

${\displaystyle {{\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline 2\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(ud-du)}\qquad {{\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline 3\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(us-su)}\qquad {{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline 3\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(ds-sd)}}$

Таблица из 1 столбца и 3 строк является синглетом, и поэтому все таблицы нетривиальных нечетных чисел SU(3) не могут иметь более двух строк. Представление D(p,q) имеет p+q ячеек в верхней строке и q ячеек во второй строке.

Ряд Клебша–Гордана из таблиц

Ряд Клебша–Гордана представляет собой разложение тензорного произведения двух неприводимых представлений в прямую сумму неприводимых представлений. Это легко выяснить из таблиц Юнга. ${\displaystyle D(p_{1},q_{1})\otimes D(p_{2},q_{2})=\sum _{P,Q}\oplus D(P,Q)}$

Пример ряда Клебша–Гордана для SU(3)

Тензорное произведение триплета с октетом, сводящееся к дециквинтоплету ( 15 ), антисекстет и триплет

${\displaystyle D(1,0)\otimes D(1,1)=D(2,1)\oplus D(0,2)\oplus D(1,0)}$

схематически выглядит как ^[19] -

всего 24 состояния. Используя ту же процедуру, любое прямое представление продукта легко сокращается.

Смотрите также

• D-матрица Вигнера
• Оператор тензора
• Теорема Вигнера–Эккарта
• Теория представления
• Коэффициент W Рака
• Формула массы Гелл-Манна – Окубо

Ссылки

1. П. Каррутерс (1966) Введение в унитарную симметрию , Interscience. онлайн.
2. Введение в элементарные частицы - Дэвид Дж. Гриффитс , ISBN  978-3527406012 , Глава 1, Страницы 33-38
3. Холл 2015 Раздел 6.2
4. Баргманн, В.; Мошинский, М. (1961). «Групповая теория гармонических осцилляторов (II). Интегралы движения для квадруполь-квадрупольного взаимодействия». Ядерная физика . 23 : 177–199. Bibcode : 1961NucPh..23..177B. doi : 10.1016/0029-5582(61)90253-X.
5. См. уравнение 3.65 в Pais, A. (1966). "Динамическая симметрия в физике частиц". Reviews of Modern Physics . 38 (2): 215–255. Bibcode :1966RvMP...38..215P. doi :10.1103/RevModPhys.38.215.
6. Паис, там же (3.66)
7. Холл 2015 Глава 6
8. Холл 2015 Предложение 13.11
9. Холл 2015 Теорема 5.6
10. Холл 2015 Раздел 3.6
11. См. доказательство предложения 6.17 в Hall 2015.
12. Холл 2015 Теорема 6.27 и Пример 10.23
13. Greiner & Müller 2012, Ch. 10.15 Примечание: в последней цитате результата есть опечатка — в уравнении 10.121 первым должно быть a . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$
14. Сеннер и Шультен
15. De Swart, JJ (1963). "Модель октета и ее коэффициенты Клебша-Гордана" (PDF) . Reviews of Modern Physics . 35 (4): 916–939. Bibcode : 1963RvMP...35..916D. doi : 10.1103/RevModPhys.35.916. (Исправление: [ De Swart, JJ (1965). Reviews of Modern Physics . 37 (2): 326. Bibcode :1965RvMP...37..326D. doi : 10.1103/RevModPhys.37.326 .{{cite journal}}: CS1 maint: untitled periodical (link)])
16. Фрадкин, ДМ (1965). «Трехмерный изотропный гармонический осциллятор и SU3». Американский журнал физики . 33 (3): 207–211. Bibcode : 1965AmJPh..33..207F. doi : 10.1119/1.1971373.
17. Arfken, George B.; Weber, Hans J. (2005). "4. Теория групп". Математические методы для физиков. Международное студенческое издание (6-е изд.). Elsevier. С. 241–320. ISBN 978-0-08-047069-6.
18. http://hepwww.rl.ac.uk/Haywood/Group_Theory_Lectures/Lecture_4.pdf ^{[ голый URL PDF ]}
19. "Некоторые заметки о таблицах Юнга, полезных для irreps для su(n)" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2014-11-07 . Получено 2014-11-07 .

• Лихтенберг, ДБ (2012). Унитарная симметрия и элементарные частицы (2-е изд.). Academic Press. ISBN 978-0123941992.
• Грейнер, В .; Мюллер, Б. (2012). Квантовая механика: Симметрии (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3540580805.
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• McNamee, P.; j., S.; Chilton, F. (1964). "Таблицы коэффициентов Клебша–Гордана SU3". Reviews of Modern Physics . 36 (4): 1005. Bibcode : 1964RvMP...36.1005M. doi : 10.1103/RevModPhys.36.1005.
• Мандельцвейг, ВБ (1965). «Неприводимые представления группы SU3». Sov Phys JETP . 20 (5): 1237–1243.онлайн
• Коулмен, Сидней (1965). "Веселье с SU(3)". INSPIREHep . МАГАТЭ.
• Плухар, З.; Смирнов, Ю. Ф.; Толстой, В. Н. (1986). «Коэффициенты Клебша-Гордана SU(3) с простыми свойствами симметрии». Журнал физики A: Математический и общий . 19 (1): 21–28. Bibcode :1986JPhA...19...21P. doi :10.1088/0305-4470/19/1/007.