Неаналитическая гладкая функция

Математические функции, которые являются гладкими, но не аналитическими

В математике гладкие функции ( также называемые бесконечно дифференцируемыми функциями) и аналитические функции являются двумя очень важными типами функций . Можно легко доказать, что любая аналитическая функция действительного аргумента является гладкой. Обратное неверно, как показано в контрпримере ниже.

Одним из важнейших приложений гладких функций с компактным носителем является построение так называемых успокаивающих функций , которые играют важную роль в теориях обобщенных функций , таких как теория распределений Лорана Шварца .

Существование гладких, но неаналитических функций представляет собой одно из главных различий между дифференциальной геометрией и аналитической геометрией . В терминах теории пучков это различие можно сформулировать следующим образом: пучок дифференцируемых функций на дифференцируемом многообразии является тонким , в отличие от аналитического случая.

Приведенные ниже функции обычно используются для построения разбиений единицы на дифференцируемых многообразиях.

Пример функции

Определение функции

В статье рассматривается неаналитическая гладкая функция f ( x ).

Рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}}$

определено для каждого действительного числа x .

Функция гладкая.

Функция f имеет непрерывные производные всех порядков в каждой точке x действительной прямой . Формула для этих производных:

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x^{2n}}}\,f(x)&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}}$

где p _n ( x ) — многочлен степени n − 1 ,  заданный рекурсивно формулой p ₁ ( x ) = 1 и

${\displaystyle p_{n+1}(x)=x^{2}p_{n}'(x)-(2nx-1)p_{n}(x)}$

для любого положительного целого числа n . Из этой формулы не совсем ясно, что производные непрерывны в 0; это следует из одностороннего предела

${\displaystyle \lim _{x\searrow 0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{m}}}=0}$

для любого неотрицательного целого числа m .

Функция не является аналитической.

Как было показано ранее, функция f является гладкой, и все ее производные в начале координат равны 0. Поэтому ряд Тейлора функции f в начале координат всюду сходится к нулевой функции ,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {0}{n!}}x^{n}=0,\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

и поэтому ряд Тейлора не равен f ( x ) при x  > 0. Следовательно, f не является аналитической в ​​начале координат.

Функции плавного перехода

Плавный переход g от 0 до 1 определен здесь.

Функция

${\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

имеет строго положительный знаменатель всюду на действительной прямой, поэтому g также является гладкой. Кроме того, g ( x ) = 0 для x  ≤ 0 и g ( x ) = 1 для x  ≥ 1, поэтому она обеспечивает плавный переход от уровня 0 к уровню 1 в единичном интервале [0, 1]. Чтобы иметь плавный переход в действительном интервале [ a , b ] с a  <  b , рассмотрим функцию

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}.}$

Для действительных чисел a < b < c < d гладкая функция

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}\,g{\Bigl (}{\frac {d-x}{d-c}}{\Bigr )}}$

равна 1 на замкнутом интервале [ b , c ] и исчезает вне открытого интервала ( a , d ), поэтому она может служить функцией выпуклости .

Гладкая функция, которая нигде не является действительно аналитической

Приближение гладкой-везде, но нигде-аналитической функции, упомянутой здесь. Эта частичная сумма берется от k = 2 ⁰ до 2 ⁵⁰⁰ .

Более патологический пример — бесконечно дифференцируемая функция, которая не является аналитической ни в одной точке . Она может быть построена с помощью ряда Фурье следующим образом. Определим для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle F(x):=\sum _{k\in \mathbb {N} }e^{-{\sqrt {2^{k}}}}\cos(2^{k}x)\ .}$

Поскольку ряд сходится для всех , легко видеть, что эта функция принадлежит классу C ^∞ , с помощью стандартного индуктивного применения M-теста Вейерштрасса для демонстрации равномерной сходимости каждого ряда производных. ${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {N} }e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Теперь покажем, что не является аналитическим при любом двоично-рациональном кратном π, то есть при любом с и . Поскольку сумма первых членов аналитична, нам нужно рассмотреть только , сумму членов с . Для всех порядков вывода с , и мы имеем ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle x:=\pi \cdot p\cdot 2^{-q}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle F_{>q}(x)}$ ${\displaystyle k>q}$ ${\displaystyle n=2^{m}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m\geq 2}$ ${\displaystyle m>q/2}$

${\displaystyle F_{>q}^{(n)}(x):=\sum _{k\in \mathbb {N} \atop k>q}e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}\cos(2^{k}x)=\sum _{k\in \mathbb {N} \atop k>q}e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}\geq e^{-n}n^{2n}\quad (\mathrm {as} \;n\to \infty )}$

где мы использовали тот факт, что для всех , и ограничили первую сумму снизу членом с . Как следствие, при любом таком ${\displaystyle \cos(2^{k}x)=1}$ ${\displaystyle 2^{k}>2^{q}}$ ${\displaystyle 2^{k}=2^{2m}=n^{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left({\frac {|F_{>q}^{(n)}(x)|}{n!}}\right)^{1/n}=+\infty \,,}$

так что радиус сходимости ряда Тейлора при равен 0 по формуле Коши-Адамара . Поскольку множество аналитичности функции является открытым множеством, а двоичные рациональные числа плотны , мы заключаем, что , и, следовательно , нигде не является аналитическим в . ${\displaystyle F_{>q}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F_{>q}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Применение к ряду Тейлора

Для каждой последовательности α ₀ , α ₁ , α ₂ , . . . действительных или комплексных чисел следующая конструкция показывает существование гладкой функции F на действительной прямой, которая имеет эти числа в качестве производных в начале координат. ^[1] В частности, каждая последовательность чисел может появляться как коэффициенты ряда Тейлора гладкой функции. Этот результат известен как лемма Бореля , в честь Эмиля Бореля .

Используя функцию плавного перехода g , как указано выше, определим

${\displaystyle h(x)=g(2+x)\,g(2-x),\qquad x\in \mathbb {R} .}$

Эта функция h также является гладкой; она равна 1 на замкнутом интервале [−1,1] и исчезает вне открытого интервала (−2,2). Используя h , определим для каждого натурального числа n (включая ноль) гладкую функцию

${\displaystyle \psi _{n}(x)=x^{n}\,h(x),\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

что согласуется с мономом x ⁿ на [−1,1] и исчезает вне интервала (−2,2). Следовательно, k -я производная ψ _n в начале координат удовлетворяет условию

${\displaystyle \psi _{n}^{(k)}(0)={\begin{cases}n!&{\text{if }}k=n,\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\quad k,n\in \mathbb {N} _{0},}$

и теорема об ограниченности подразумевает, что ψ _n и каждая производная ψ _n ограничены. Поэтому константы

${\displaystyle \lambda _{n}=\max {\bigl \{}1,|\alpha _{n}|,\|\psi _{n}\|_{\infty },\|\psi _{n}^{(1)}\|_{\infty },\ldots ,\|\psi _{n}^{(n)}\|_{\infty }{\bigr \}},\qquad n\in \mathbb {N} _{0},}$

включающие супремум - норму ψ _n и ее первые n производные, являются хорошо определенными действительными числами. Определить масштабированные функции

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\alpha _{n}}{n!\,\lambda _{n}^{n}}}\psi _{n}(\lambda _{n}x),\qquad n\in \mathbb {N} _{0},\;x\in \mathbb {R} .}$

При повторном применении цепного правила ,

${\displaystyle f_{n}^{(k)}(x)={\frac {\alpha _{n}}{n!\,\lambda _{n}^{n-k}}}\psi _{n}^{(k)}(\lambda _{n}x),\qquad k,n\in \mathbb {N} _{0},\;x\in \mathbb {R} ,}$

и, используя предыдущий результат для k -й производной ψ _n в нуле,

${\displaystyle f_{n}^{(k)}(0)={\begin{cases}\alpha _{n}&{\text{if }}k=n,\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\qquad k,n\in \mathbb {N} _{0}.}$

Осталось показать, что функция

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x),\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

хорошо определено и может быть дифференцировано почленно бесконечное количество раз. ^[2] Для этого заметим, что для каждого k

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}^{(k)}\|_{\infty }\leq \sum _{n=0}^{k+1}{\frac {|\alpha _{n}|}{n!\,\lambda _{n}^{n-k}}}\|\psi _{n}^{(k)}\|_{\infty }+\sum _{n=k+2}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\underbrace {\frac {1}{\lambda _{n}^{n-k-2}}} _{\leq \,1}\underbrace {\frac {|\alpha _{n}|}{\lambda _{n}}} _{\leq \,1}\underbrace {\frac {\|\psi _{n}^{(k)}\|_{\infty }}{\lambda _{n}}} _{\leq \,1}<\infty ,}$

где оставшийся бесконечный ряд сходится по тесту отношения .

Применение к более высоким измерениям

Функция Ψ ₁ ( x ) в одном измерении.

Для любого радиуса r  > 0,

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\ni x\mapsto \Psi _{r}(x)=f(r^{2}-\|x\|^{2})}$

с евклидовой нормой || x || определяет гладкую функцию на n -мерном евклидовом пространстве с носителем в шаре радиуса r , но . ${\displaystyle \Psi _{r}(0)>0}$

Комплексный анализ

Эта патология не может возникнуть с дифференцируемыми функциями комплексной переменной, а не действительной переменной. Действительно, все голоморфные функции являются аналитическими , так что неспособность функции f, определенной в этой статье, быть аналитической, несмотря на ее бесконечную дифференцируемость, является указанием на одно из самых драматичных различий между анализом действительной и комплексной переменной.

Обратите внимание, что хотя функция f имеет производные всех порядков по действительной прямой, аналитическое продолжение f с положительной полупрямой x > 0  на комплексную плоскость , то есть функция

${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto e^{-{\frac {1}{z}}}\in \mathbb {C} ,}$

имеет существенную особенность в начале координат, и, следовательно, не является даже непрерывным, не говоря уже о аналитическом. По великой теореме Пикара , он достигает каждого комплексного значения (за исключением нуля) бесконечно много раз в каждой окрестности начала координат.

Смотрите также

• Функция удара
• Функция Фабия
• Плоская функция
• Успокаивающий

Примечания

1. Упражнение 12 на стр. 418 в книге Уолтера Рудина « Действительный и комплексный анализ» . McGraw-Hill, Нью-Дели, 1980, ISBN  0-07-099557-5
2. См., например, главу V, раздел 2, теорему 2.8 и следствие 2.9 о дифференцируемости пределов последовательностей функций в Аманн, Герберт; Эшер, Иоахим (2005), Анализ I , Базель: Birkhäuser Verlag , стр. 373–374, ISBN 3-7643-7153-6

Внешние ссылки

• «Бесконечно дифференцируемая функция, не являющаяся аналитической». PlanetMath .