Функция Вейерштрасса

Функция, непрерывная всюду, но нигде не дифференцируемая.

График функции Вейерштрасса на интервале [−2, 2]. Как и некоторые другие фракталы , функция демонстрирует самоподобие : каждый масштаб (красный кружок) аналогичен глобальному графику.

В математике функция Вейерштрасса является примером действительной функции , которая непрерывна всюду, но нигде не дифференцируема . Это пример фрактальной кривой . Назван в честь своего первооткрывателя Карла Вейерштрасса .

Функция Вейерштрасса исторически выполняла роль патологической функции , будучи первым опубликованным примером (1872 г.), специально придуманным для того, чтобы бросить вызов представлению о том, что каждая непрерывная функция дифференцируема, за исключением набора изолированных точек. ^[1] Демонстрация Вейерштрассом того, что непрерывность не подразумевает почти всюду дифференцируемость, перевернула математику, опровергнув несколько доказательств, которые опирались на геометрическую интуицию и расплывчатые определения гладкости . Эти типы функций осуждались современниками: Анри Пуанкаре, как известно, назвал их «монстрами» и назвал работу Вейерштрасса «насилием над здравым смыслом», а Шарль Эрмит писал, что они были «прискорбным бедствием». Функции было трудно визуализировать до появления компьютеров в следующем столетии, и результаты не получили широкого признания до тех пор, пока практические приложения, такие как модели броуновского движения , не потребовали бесконечно зубчатых функций (ныне известных как фрактальные кривые). ^[2]

Строительство

Анимация основана на увеличении значения b с 0,1 до 5.

В оригинальной статье Вейерштрасса функция была определена как ряд Фурье :

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),}$

где , – положительное нечетное целое число, а ${\displaystyle 0<a<1}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle ab>1+{\frac {3}{2}}\pi .}$

Минимальное значение, при котором существует такое, что эти ограничения удовлетворяются, равно . Эта конструкция, наряду с доказательством того, что функция не дифференцируема ни на каком интервале, была впервые представлена ​​Вейерштрассом в статье, представленной в Königliche Akademie der Wissenschaften 18 июля 1872 года. ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 0<a<1}$ ${\displaystyle b=7}$

Несмотря на то, что функция нигде не дифференцируема, функция непрерывна: поскольку члены бесконечного ряда, который ее определяет, ограничены ± n и имеют конечную сумму при 0 < a < ¹ , сходимость суммы членов равномерна по закону Вейерштрасса . M-тест с M _n = a ⁿ . Поскольку каждая частичная сумма непрерывна, по равномерной предельной теореме следует, что f непрерывна. Кроме того, поскольку каждая частичная сумма равномерно непрерывна , отсюда следует, что f также равномерно непрерывна.

Можно было бы ожидать, что непрерывная функция должна иметь производную или что множество точек, в которых она не дифференцируема, должно быть счетно бесконечным или конечным. Согласно Вейерштрассу в его статье, ранние математики, включая Гаусса , часто предполагали, что это правда. Возможно, это связано с тем, что трудно нарисовать или визуализировать непрерывную функцию, набор недифференцируемых точек которой отличается от счетного набора точек. Аналогичные результаты существуют для классов непрерывных функций с лучшим поведением, например, для функций Липшица , набор точек недифференцируемости которых должен быть нулевым множеством Лебега ( теорема Радемахера ). Когда мы пытаемся нарисовать общую непрерывную функцию, мы обычно рисуем график функции, которая является липшицевой или иным образом хорошо себя ведет.

Функция Вейерштрасса была одним из первых изученных фракталов , хотя этот термин использовался гораздо позже. Функция имеет детализацию на каждом уровне, поэтому увеличение фрагмента кривой не показывает, что она все ближе и ближе приближается к прямой линии. Скорее, между любыми двумя точками, независимо от того, насколько они близки, функция не будет монотонной.

Вычисление хаусдорфовой размерности D графика классической функции Вейерштрасса было открытой проблемой до 2018 года, при этом считалось, что D = . ^{[6] [7]} То, что D строго меньше 2, следует из условий выше и выше. Лишь спустя более 30 лет это было строго доказано. ^[8] ${\displaystyle 2+\log _{b}(a)<2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Термин «функция Вейерштрасса» часто используется в реальном анализе для обозначения любой функции, свойства и конструкция которой аналогичны исходному примеру Вейерштрасса. Например, функцию косинуса можно заменить в бесконечном ряду кусочно-линейной функцией «зигзаг» . Г.Х. Харди показал, что функция приведенной конструкции нигде не дифференцируема в предположениях 0 < a < 1, ab ≥ 1. ^[9]

функция Римана

Функция Вейерштрасса основана на более ранней функции Римана, которая, как утверждалось, нигде не дифференцируема. Иногда эту функцию также называют функцией Вейерштрасса. ^[10]

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n^{2}x)}{n^{2}}}}$

Хотя Бернхард Риман решительно утверждал, что эта функция нигде не дифференцируема, Риман не опубликовал никаких доказательств этого, а Вейерштрасс отметил, что он не нашел никаких доказательств ее существования ни в статьях Римана, ни в устных сообщениях его учеников.

В 1916 году Г.Х. Харди подтвердил, что функция не имеет конечной производной ни при каком значении, где x иррационально или рационально в форме либо или , где A и B — целые числа. ^[9] В 1969 году Джозеф Гервер обнаружил, что функция Римана имеет определенный дифференциал для каждого значения x , который может быть выражен в виде целых чисел A и B или рациональных множителей числа pi с нечетными числителем и знаменателем. В этих точках функция имеет производную от . ^[11] В 1971 году Дж. Гервер показал, что функция не имеет конечного дифференциала при значениях x , который можно выразить в виде , завершив проблему дифференцируемости функции Римана. ^[12] ${\displaystyle \pi x}$ ${\displaystyle {\frac {2A}{4B+1}}}$ ${\displaystyle {\frac {2A+1}{2B}}}$ ${\displaystyle {\frac {2A+1}{2B+1}}\pi }$ ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {2A}{2B+1}}\pi }$

Поскольку функция Римана дифференцируема только на нулевом множестве точек, она не дифференцируема почти нигде .

Преемственность Гельдера

Функцию Вейерштрасса удобно записать эквивалентно в виде

${\displaystyle W_{\alpha }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{-n\alpha }\cos(b^{n}\pi x)}$

для . Тогда W _α ( x ) является непрерывным по Гельдеру показателя α, то есть существует константа C такая, что ${\displaystyle \alpha =-{\frac {\ln(a)}{\ln(b)}}}$

${\displaystyle |W_{\alpha }(x)-W_{\alpha }(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }}$

для всех x и y . ^[13] Более того, W ₁ непрерывен по Гёльдеру всех порядков α < 1 , но не непрерывен по Липшицу .

Плотность нигде не дифференцируемых функций

Оказывается, функция Вейерштрасса — далеко не единичный пример: она хотя и «патологична», но в то же время «типична» для непрерывных функций:

• В топологическом смысле: множество нигде не дифференцируемых вещественных функций на [0, 1] является комбинатором в векторном пространстве C ([0, 1];  R ) всех непрерывных вещественных функций на [0, 1] с топологией равномерной сходимости . ^{[14] [15]}
• В теоретико-мерном смысле: когда пространство C ([0, 1];  R ) снабжено классической мерой Винера γ , набор функций, дифференцируемых даже в одной точке из [0, 1], имеет γ - меру нуль . То же самое верно, даже если взять конечномерные «срезы» C ([0, 1];  R ) в том смысле, что нигде не дифференцируемые функции образуют преобладающее подмножество C ( [0, 1];  R ). .

Смотрите также

• Кривая Бланманже
• Снежинка Коха
• Нигде непрерывная функция

Примечания

1. По крайней мере, два исследователя сформулировали непрерывные, нигде не дифференцируемые функции до Вейерштрасса, но их результаты не были опубликованы при их жизни. Примерно в 1831 году такую ​​функцию построил Бернард Больцано (1781–1848), чешский математик, философ и католический священник; однако он не был опубликован до 1922 года. См.:
   • Мартин Яшек (1922) «Funkce Bolzanova» (функция Больцано), Časopis pro Pěstování Matematiky a Fyziky (Журнал для развития математики и физики), том. 51, нет. 2, страницы 69–76 (на чешском и немецком языках).
   • Войтех Ярник (1922) «O funkci Bolzanově» (О функции Больцано), Časopis pro Pěstování Matematiky a Fyziky (Журнал для развития математики и физики), том. 51, нет. 4, стр. 248–264 (на чешском языке). Доступно онлайн на чешском языке: http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/109021/CasPestMatFys_051-1922-4_5.pdf. Доступно онлайн на английском языке по адресу: http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/400073/Bolzano_15-1981-1_6.pdf.
   • Карел Рыхлик (1923) «Über eine Funktion aus Bolzanos Handschriftlichem Nachlasse» (О функции из литературных останков Больцано в рукописи), Sitzungsberichte der königlichen Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften (Прага) (Труды Королевского чешского философского общества в Праге) (для 1921-1922 годы), II класс, вып. 4, страницы 1–20. ( Sitzungsberichte было продолжено как: Věstník Královské české společnosti nauk, třída matematicko-přírodovědecká (Журнал Королевского чешского общества науки, математики и естественных наук).)
   Примерно в 1860 году Шарль Селлерье (1818–1889), профессор математики, механики, астрономии и физической географии Женевского университета в Швейцарии, независимо сформулировал непрерывную, нигде не дифференцируемую функцию, очень похожую на функцию Вейерштрасса. Однако открытие Селлерье было опубликовано посмертно:
   • Селлерье, К. (1890) «Записка о фундаментальных принципах анализа», Bulletin des Sciences mathématiques , вторая серия, том. 14, стр. 142–160.
2. Кучарский, Адам (26 октября 2017 г.). «Прекрасные монстры математики: как разрушительная идея проложила путь современной математике» . Проверено 11 октября 2023 г.
3. На странице 560 Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Ежемесячные отчеты Королевской прусской академии наук в Берлине) 1872 года есть краткое упоминание о том, что 18 июля «Hr. Weierstrass las über stetige Funktionen ohne bestimmte» Дифференциальные частные» (г-н Вейерштрасс прочитал [членам Академии] [статью] о непрерывных функциях без определенных [т. е. вполне определенных] производных). Однако статья Вейерштрасса не была опубликована в Monatsberichte .
4. Карл Вейерштрасс, «Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen», (О непрерывных функциях вещественного аргумента, которые обладают определенной производной без значения аргумента) в: Königlich Preussichen Akademie der Wissenschaften, Mathematische Werke von Karl Weierstrass (Берлин, Германия: Mayer & Mueller, 1895), том. 2, стр. 71–74.;
5. См. также: Карл Вейерштрасс, Abhandlungen aus der Functionenlehre [Трактаты по теории функций] (Берлин, Германия: Юлиус Шпрингер, 1886), стр. 97.
6. Кеннет Фалконер, Геометрия фрактальных множеств (Кембридж, Англия: издательство Кембриджского университета, 1985), страницы 114, 149.
7. См. также: Брайан Р. Хант (1998) «Хаусдорфовая размерность графиков функций Вейерштрасса», Труды Американского математического общества , том. 126, нет. 3, страницы 791–800.
8. Шэнь Вэйсяо (2018). «Хаусдорфова размерность графиков классических функций Вейерштрасса». Mathematische Zeitschrift . 289 (1–2): 223–266. arXiv : 1505.03986 . дои : 10.1007/s00209-017-1949-1. ISSN  0025-5874. S2CID  118844077.
9. Харди Г.Х. (1916) «Недифференцируемая функция Вейерштрасса», Труды Американского математического общества , том. 17, страницы 301–325.
10. Вайсштейн, Эрик В. «Функция Вейерштрасса». Математический мир .
11. Гервер, Джозеф. «Дифференцируемость функции Римана при некоторых рациональных кратных π». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 62 (3): 668–670. дои : 10.1073/pnas.62.3.668. ПМК 223649 . 
12. Гервер, Джозеф. «Подробнее о дифференцируемости функции Римана». Американский журнал математики . дои : 10.2307/2373445. S2CID  124562827.
13. Зигмунд, А. (2002) [1935], Тригонометрический ряд. Том. I, II , Кембриджская математическая библиотека (3-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-89053-3, г-н  : 1963498, п. 47.
14. Мазуркевич, С.. (1931). «О непроизводных функциях». Студия Матем . 3 (3): 92–94. дои : 10.4064/см-3-1-92-94 .
15. Банах, С. (1931). «Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen». Студия Матем . 3 (3): 174–179. дои : 10.4064/см-3-1-174-179 .

Рекомендации

• Дэвид, Клэр (2018), «Обход динамических систем: простой способ получить размерность графика функции Вейерштрасса», Труды Международного центра геометрии АН Украины, 11 (2): 53 –68, arXiv : 1711.10349 , doi : 10.15673/tmgc.v11i2.1028
• Фальконер, К. (1984), Геометрия фрактальных множеств, Кембриджские трактаты по математике, том. Книга 85, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-33705-2
• Гельбаум, Б. Бернард Р.; Олмстед, Джон М.Х. (2003) [1964], Контрпримеры в анализе, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-42875-8
• Харди, GH (1916), «Недифференцируемая функция Вейерштрасса» (PDF) , Труды Американского математического общества , Американское математическое общество, 17 (3): 301–325, doi : 10.2307/1989005, JSTOR  1989005
• Вейерштрасс, Карл (18 июля 1872 г.), Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen , Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften
  • Вейерштрасс, Карл (1895), «Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen», Mathematische Werke von Karl Weierstrass , vol. 2, Берлин, Германия: Майер и Мюллер, стр. 71–74.
  • Английский перевод: Эдгар, Джеральд А. (1993), «О непрерывных функциях реального аргумента, которые не имеют четко определенной производной для любого значения своего аргумента», Классика фракталов , Исследования нелинейности, издательство Addison-Wesley Publishing Company. , стр. 3–9, ISBN. 978-0-201-58701-2

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Вейерштрасса». Математический мир .(другая функция Вейерштрасса, которая также непрерывна и нигде не дифференцируема)
• Нигде не дифференцируемая непрерывная функция, доказательство существования с использованием принципа сжатия Банаха .
• Нигде нет монотонной непрерывной функции, доказательство существования с помощью теоремы Бэра о категориях .
• Йохан Тим. «Непрерывные нигде не дифференцируемые функции». Магистерская диссертация, Технологический университет Лулео, 2003 г. Проверено 28 июля 2006 г.
• Функция Вейерштрасса на комплексной плоскости Красивый фрактал.
• SpringerLink - Журнал анализа и приложений Фурье, том 16, номер 1 Простые доказательства дифференцируемости в никуда для функции Вейерштрасса и случаи медленного роста
• Функции Вейерштрасса: непрерывные, но нигде не дифференцируемые
• Функция Вейерштрасса Брента Нельсона из Беркли, показывающая недифференцируемость