Тройка называется пространством с мерой . Вероятностная мера — это мера с полной мерой единица, то есть вероятностное пространство — это пространство меры с вероятностной мерой.
Мера Хаара для локально компактной топологической группы является обобщением меры Лебега (а также считающей меры и меры кругового угла) и обладает аналогичными свойствами единственности.
Мера Хаусдорфа является обобщением меры Лебега на множества нецелой размерности, в частности на фрактальные множества.
Мера Дирака δ a (ср. дельта-функция Дирака ) задается формулой δ a ( S ) = χ S (a), где χ S — индикаторная функция . Мера множества равна 1, если оно содержит точку , и 0 в противном случае. .
Мера Лиувилля , известная также как естественная форма объема на симплектическом многообразии, полезна в классической статистической и гамильтоновой механике.
Если измеримые множества возрастают (это означает, что ), то объединение множеств измеримо и
Непрерывность сверху
Если измеримые множества уменьшаются (это означает, что ), то пересечение множеств измеримо; при этом, если хотя бы одно из них имеет конечную меру, то
Это свойство неверно без предположения, что хотя бы одно из них имеет конечную меру. Например, для каждого пусть все имеют бесконечную меру Лебега, но пересечение пусто.
Другие объекты недвижимости
Полнота
Измеримое множество называется нулевым множеством , если подмножество нулевого множества называется пренебрежимо малым множеством . Пренебрежимо малое множество не обязательно должно быть измеримым, но каждое измеримое пренебрежимо малое множество автоматически является нулевым множеством. Мера называется полной, если каждое ничтожное множество измеримо.
Меру можно расширить до полной, рассматривая σ-алгебру подмножеств , которые незначительно отличаются от измеримого множества , то есть таких, что симметричная разность и содержится в нулевом множестве. Один определяет , что он равен
Обе функции и являются монотонно невозрастающими функциями, поэтому обе они имеют не более счетного числа разрывов и, следовательно, непрерывны почти всюду относительно меры Лебега. Если то так то как хотелось.
Если таково, что из монотонности следует
так что как надо. Если для всех , то мы закончили, поэтому предположим обратное. Тогда существует единственный такой, который бесконечен слева от (что может произойти только при ) и конечен справа. Рассуждая так же, как и выше, когда Аналогично, если и тогда
Действительно , пусть – монотонно неубывающая последовательность, сходящаяся к Монотонно невозрастающая последовательность членов имеет хотя бы одну конечно -измеримую компоненту, и
Непрерывность сверху гарантирует, что
Правая часть тогда равна, если является точкой непрерывности. Поскольку непрерывна почти всюду, это завершает доказательство.
Аддитивность
Меры должны быть счетно-аддитивными. Однако это условие можно усилить следующим образом. Для любого множества и любого множества неотрицательных определим:
Мера на является -аддитивной, если для любого семейства непересекающихся множеств выполняется следующее:
Пространство с мерой называется конечным, если является конечным вещественным числом (а не ). Ненулевые конечные меры аналогичны вероятностным мерам в том смысле, что любая конечная мера пропорциональна вероятностной мере. Мера называется σ-конечной, если ее можно разложить в счетное объединение измеримых множеств конечной меры. Аналогично, говорят, что множество в пространстве с мерой имеет σ-конечную меру, если оно представляет собой счетное объединение множеств с конечной мерой.
Например, действительные числа со стандартной мерой Лебега σ-конечны, но не конечны. Рассмотрим замкнутые интервалы для всех целых чисел . Таких интервалов счетное множество, каждый имеет меру 1, а их объединение представляет собой всю вещественную прямую. В качестве альтернативы рассмотрим действительные числа со счетной мерой , которая присваивает каждому конечному набору действительных чисел количество точек в наборе. Это пространство с мерой не является σ-конечным, поскольку каждое множество с конечной мерой содержит только конечное число точек, и для покрытия всей вещественной прямой потребовалось бы несчетное количество таких множеств. Пространства с σ-конечной мерой обладают некоторыми очень удобными свойствами; В этом отношении σ-конечность можно сравнить со свойством Линделефа топологических пространств. [ оригинальное исследование? ] Их также можно рассматривать как смутное обобщение идеи о том, что пространство с мерой может иметь «несчетную меру».
Строго локализуемые меры
Полуконечные меры
Пусть - множество, пусть - сигма-алгебра на и пусть - мера на. Мы говорим, что является полуконечной , имея в виду, что для всех [3]
Полуконечные меры обобщают сигма-конечные меры таким образом, что некоторые большие теоремы теории меры, справедливые для сигма-конечных, но не произвольных мер, могут быть с небольшими изменениями расширены и для полуконечных мер. (Задание: добавить примеры таких теорем; см. страницу обсуждения.)
Основные примеры
Любая сигма-конечная мера полуконечная.
Предположим и предположим для всех
Мы имеем, что сигма-конечно тогда и только тогда, когда для всех и счетно. Мы имеем, что полуконечно тогда и только тогда, когда для всех [4]
Принимая во внимание вышеизложенное (т.е. считая меру на ), мы видим, что считающая мера на есть
сигма-конечная тогда и только тогда, когда счетна; и
полуконечный (независимо от того, счетен ли). (Таким образом, считающая мера на множестве степеней произвольного несчетного множества дает пример полуконечной меры, которая не является сигма-конечной.)
Пусть – полная сепарабельная метрика на пусть – борелевская сигма-алгебра, индуцированная и пусть Тогда мера Хаусдорфа полуконечная. [5]
Пусть – полная сепарабельная метрика на пусть – борелевская сигма-алгебра, индуцированная и пусть Тогда мера упаковки полуконечная. [6]
Задействованный пример
Нулевая мера сигма-конечная и, следовательно, полуконечная. Кроме того, нулевая мера явно меньше или равна. Можно показать, что существует наибольшая мера с этими двумя свойствами:
Теорема (полуконечная часть) [7] — Для любой меры существует среди полуконечных мер, которые меньше или равны наибольшему элементу .
Мы говорим « полуконечная часть », имея в виду полуконечную меру , определенную в приведенной выше теореме. Мы даем несколько хороших явных формул для полуконечной части, которые некоторые авторы могут принять за определение:
[7]
[8]
[9]
Поскольку полуконечно, отсюда следует, что if then полуконечно. Очевидно также, что если полуконечно, то
Непримеры
Всякая мера , не являющаяся нулевой мерой, не является полуконечной. (Здесь мы говорим «мера» для обозначения меры, диапазон которой лежит в : ) Ниже мы приводим примеры мер, которые не являются нулевыми мерами.
Пусть непусто, пусть -алгебра на ней, пусть не нулевая функция, и пусть Можно показать, что это мера.
[10]
[11]
Пусть несчетна, пусть - -алгебра, пусть - счетные элементы , и пусть Можно показать, что это мера. [3]
Вовлеченный не пример
Меры, которые не являются полуконечными, становятся очень дикими, если ограничиваться определенными множествами. [Примечание 1] Каждая мера в некотором смысле является полуконечной, если отнять ее часть (дикую часть).
- А. Мухерджа и К. Потовен, Реальный и функциональный анализ, Часть A: Реальный анализ (1985)
Теорема (разложение Лютера) [12] [13] — Для любой меры на существует мера на такая, что для некоторой полуконечной меры на Фактически, среди таких мер существует наименьшая мера . Кроме того, мы имеем
Мы говорим, что часть имеет в виду меру , определенную в приведенной выше теореме. Вот явная формула для :
Результаты относительно полуконечных мер
Пусть будет или и пусть Тогда полуконечно тогда и только тогда, когда инъективно. [14] [15] (Этот результат важен при изучении двойственного пространства .)
Пусть или и пусть быть топологией сходимости по мере на Тогда полуконечная тогда и только тогда, когда хаусдорфова. [16] [17]
(Джонсон) Пусть будет множество, пусть будет сигма-алгебра на, пусть будет мера на , пусть будет множество, пусть будет сигма-алгебра на и пусть будет мера на Если оба не являются мерой, то оба и полуконечные тогда и только тогда, когда для всех и (Здесь — мера, определенная в теореме 39.1 в Berberian '65. [18] )
Локализуемые меры
Локализуемые меры являются частным случаем полуконечных мер и обобщением сигма-конечных мер.
Пусть — множество, пусть — сигма-алгебра на и пусть — мера на
Позвольте быть или и пусть Тогда локализуется тогда и только тогда, когда является биективным (тогда и только если «есть» ). [19] [15]
s-конечные меры
Мера называется s-конечной, если она представляет собой счетную сумму конечных мер. S-конечные меры являются более общими, чем сигма-конечные, и имеют приложения в теории случайных процессов .
Для определенных целей полезно иметь «меру», значения которой не ограничиваются неотрицательными действительными числами или бесконечностью. Например, счетно-аддитивная функция множества со значениями в (знаковых) действительных числах называется знаковой мерой , а такая функция со значениями в комплексных числах называется комплексной мерой . Заметим, однако, что комплексная мера обязательно имеет конечную вариацию, следовательно, комплексные меры включают в себя конечные меры со знаком , но не, например, меру Лебега .
Меры, принимающие значения в банаховом пространстве, широко изучались. [20] Мера, принимающая значения в множестве самосопряженных проекций в гильбертовом пространстве, называется проекционнозначной мерой ; они используются в функциональном анализе спектральной теоремы . Когда необходимо отличить обычные меры, принимающие неотрицательные значения, от обобщений, используют термин «положительная мера» . Положительные меры замыкаются при конической комбинации , но не при общей линейной комбинации , а знаковые меры представляют собой линейное замыкание положительных мер.
Другое обобщение — это конечно-аддитивная мера , также известная как содержание . Это то же самое, что и мера, за исключением того, что вместо требования счетной аддитивности нам требуется только конечная аддитивность. Исторически это определение было использовано первым. Оказывается, что в общем случае конечно-аддитивные меры связаны с такими понятиями, как банаховы пределы , двойственные и компактификация Стоуна-Чеха . Все это так или иначе связано с аксиомой выбора . Содержание остается полезным в некоторых технических проблемах геометрической теории меры ; это теория банаховых мер .
Заряд — это обобщение в обе стороны: это конечно-аддитивная знаковая мера. [21] ( Информацию об ограниченных зарядах см. в пространстве ba , где мы говорим, что заряд ограничен , что означает, что его диапазон является ограниченным подмножеством R .)
^ Один из способов перефразировать наше определение: оно является полуконечным тогда и только тогда, когда Отрицая эту перефразировку, мы находим, что оно не является полуконечным тогда и только тогда, когда для каждого такого множества мера подпространства, индуцированная сигма-алгеброй подпространства, индуцированная, т.е. ограничением на упомянутое подпространство сигма-алгебры является мерой, не являющейся нулевой мерой.
Библиография
Роберт Г. Бартл (1995) Элементы интеграции и мера Лебега , Wiley Interscience.
Бауэр, Х. (2001), Теория меры и интеграции , Берлин: de Gruyter, ISBN 978-3110167191
Медведь, HS (2001), Учебник по интеграции Лебега , Сан-Диего: Academic Press, ISBN 978-0120839711
Бербериан, Стерлинг К. (1965). Измерение и интегрирование . Макмиллан.
Р. М. Дадли, 2002. Реальный анализ и вероятность . Издательство Кембриджского университета.
Эдгар, Джеральд А. (1998). Интегральные, вероятностные и фрактальные меры . Спрингер. ISBN 978-1-4419-3112-2.
Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (второе изд.). Уайли. ISBN 0-471-31716-0.
Федерер, Герберт. Геометрическая теория меры. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153 Springer-Verlag New York Inc., Нью-Йорк, 1969 xiv+676 стр.
Фремлин, Д.Х. (2016). Теория меры, Том 2: Широкие основы (изд. В твердом переплете). Торрес Фремлин.Вторая печать.
Хьюитт, Эдвард; Стромберг, Карл (1965). Реальный и абстрактный анализ: современная трактовка теории функций действительной переменной . Спрингер. ISBN 0-387-90138-8.
Джех, Томас (2003), Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное , Springer Verlag , ISBN 3-540-44085-2
Лютер, Норман Ю. (1967). «Декомпозиция мер». Канадский математический журнал . 20 : 953–959. дои : 10.4153/CJM-1968-092-0 . S2CID 124262782.
Мухерджа, А; Потховен, К. (1985). Реальный и функциональный анализ, Часть А: Реальный анализ (второе изд.). Пленум Пресс.
Первое издание было опубликовано вместе с Частью B: Функциональный анализ в виде одного тома: Мукерджа, А.; Потховен, К. (1978). Реальный и функциональный анализ (Первое изд.). Пленум Пресс. дои : 10.1007/978-1-4684-2331-0. ISBN 978-1-4684-2333-4.
М. Е. Манро, 1953. Введение в измерение и интегрирование . Эддисон Уэсли.
Нильсен, Оле А (1997). Введение в интегрирование и теорию меры . Уайли. ISBN 0-471-59518-7.
КПС Бхаскара Рао и М. Бхаскара Рао (1983), Теория зарядов: исследование конечно-аддитивных мер , Лондон: Academic Press, стр. x + 315, ISBN 0-12-095780-9
Ройден, ХЛ ; Фицпатрик, премьер-министр (2010). Реальный анализ (Четвертое изд.). Прентис Холл. п. 342, Упражнение 17.8.Первая печать. Имеется более позднее (2017 г.) второе издание. Хотя обычно разница между первым и последующими изданиями незначительна, в этом случае второе издание не только удаляет со страницы 53 упражнения 36, 40, 41 и 42 главы 2, но также предлагает (немного, но все же существенно) другое издание. презентация части (ii) упражнения 17.8. (Изложение части (ii) упражнения 17.8 во втором издании (о разложении Лютера [12] ) согласуется с обычными изложениями, [3] [22] , тогда как изложение в первом издании дает свежий взгляд.)
Шилов Г.Е. и Гуревич Б.Л., 1978. Интеграл, мера и производная: единый подход , Ричард А. Сильверман, пер. Дуврские публикации. ISBN 0-486-63519-8 . Подчеркивает интеграл Даниэля .
Тешль, Джеральд , Темы реального и функционального анализа (конспекты лекций)
Тао, Теренс (2011). Введение в теорию меры . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 9780821869192.