Петля Вильсона

Оператор контура калибровочного поля

В квантовой теории поля петли Вильсона представляют собой калибровочно-инвариантные операторы, возникающие в результате параллельного переноса калибровочных переменных вокруг замкнутых петель . Они кодируют всю калибровочную информацию теории, позволяя строить представления петель , которые полностью описывают калибровочные теории в терминах этих петель. В чистой калибровочной теории они играют роль операторов порядка для ограничения , где они удовлетворяют так называемому закону площади. Первоначально сформулированные Кеннетом Г. Уилсоном в 1974 году, они использовались для построения связей и плакеток, которые являются фундаментальными параметрами в калибровочной теории решетки . ^[1] Петли Вильсона относятся к более широкому классу операторов петель , другими яркими примерами являются петли Т-Хофта , которые являются магнитными двойниками петель Вильсона, и петли Полякова , которые являются тепловой версией петель Вильсона.

Определение

Соединение главного расслоения с пространством-временем разделяет касательное пространство в каждой точке слоя на вертикальное подпространство и горизонтальное подпространство . Кривые в пространстве-времени поднимаются до кривых главного расслоения, касательные векторы которых лежат в горизонтальном подпространстве. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x_{p}}$ ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle V_{p}}$ ${\displaystyle H_{p}}$

Чтобы правильно определить петли Вильсона в калибровочной теории, необходимо рассмотреть формулировку расслоений калибровочных теорий. ^[2] Здесь для каждой точки -мерного пространства -времени существует копия калибровочной группы, образующая так называемый слой расслоения . Эти расслоения называются главными расслоениями . Локально полученное пространство выглядит так, хотя глобально оно может иметь некоторую закрученную структуру в зависимости от того, как склеены разные волокна. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\times G}$

Проблема, которую решают линии Вильсона, заключается в том, как сравнивать точки на волокнах в двух разных точках пространства-времени. Это аналогично параллельному транспорту в общей теории относительности , которая сравнивает касательные векторы , находящиеся в касательных пространствах в разных точках. Для главных расслоений существует естественный способ сравнения различных точек расслоения посредством введения связности , что эквивалентно введению калибровочного поля. Это связано с тем, что соединение — это способ разделить касательное пространство основного расслоения на два подпространства, известные как вертикальное и горизонтальное подпространства. ^[3] Первый состоит из всех векторов, направленных вдоль волокна, а второй состоит из векторов, перпендикулярных волокну. Это позволяет сравнивать значения волокон в разных точках пространства-времени, соединяя их с кривыми в основном пучке, касательные векторы которого всегда находятся в горизонтальном подпространстве, поэтому кривая всегда перпендикулярна любому данному волокну. ${\displaystyle G}$

Если начальный слой находится в координате начальной точки тождества , то чтобы увидеть, как это изменится при переходе к другой координате пространства-времени , нужно рассмотреть некоторую кривую пространства-времени между и . Соответствующая кривая в главном расслоении, известная как горизонтальный подъем , представляет собой кривую такую, что и ее касательные векторы всегда лежат в горизонтальном подпространстве. Формулировка расслоенной теории калибровочной теории показывает, что калибровочное поле со значениями в алгебре Ли эквивалентно связности, которая определяет горизонтальное подпространство, поэтому это приводит к дифференциальному уравнению для горизонтального подъема. ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}=e}$ ${\displaystyle x_{f}}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow M}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{f}}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=g_{i}}$ ${\displaystyle A_{\mu }(x)=A_{\mu }^{a}(x)T^{a}}$

${\displaystyle i{\frac {dg(t)}{dt}}=A_{\mu }(x){\frac {dx^{\mu }}{dt}}g(t).}$

Это имеет единственное формальное решение, называемое линией Вильсона между двумя точками.

${\displaystyle g_{f}(t_{f})=W[x_{i},x_{f}]={\mathcal {P}}\exp {\bigg (}i\int _{x_{i}}^{x_{f}}A_{\mu }dx^{\mu }{\bigg )},}$

где – оператор упорядочивания путей , который не нужен для абелевых теорий. Горизонтальный подъем, начинающийся в некоторой начальной точке волокна, отличной от единичной, просто требует умножения на начальный элемент исходного горизонтального подъема. В более общем плане считается, что если тогда для всех . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}'(0)={\tilde {\gamma }}(0)g}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}'(t)={\tilde {\gamma }}(t)g}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

При локальном калибровочном преобразовании линия Вильсона преобразуется как ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle W[x_{i},x_{f}]\rightarrow g(x_{f})W[x_{i},x_{f}]g^{-1}(x_{i}).}$

Это свойство калибровочного преобразования часто используется для непосредственного введения линии Вильсона в присутствии полей материи, преобразующихся в фундаментальном представлении калибровочной группы, где линия Вильсона является оператором, который делает комбинационную калибровку инвариантной. ^[4] Это позволяет сравнивать поле материи в разных точках калибровочно-инвариантным способом. В качестве альтернативы линии Вильсона также можно ввести, добавив бесконечно тяжелую пробную частицу , заряженную под калибровочной группой. Ее заряд образует квантованное внутреннее гильбертово пространство , которое можно проинтегрировать, получив линию Вильсона как мировую линию пробной частицы. ^[5] Это работает в квантовой теории поля независимо от того, есть ли в теории какое-либо содержание материи. Однако гипотеза болот, известная как гипотеза полноты, утверждает, что в последовательной теории квантовой гравитации каждая линия Вильсона и линия Т-Хофта с определенным зарядом, согласующимся с условием квантования Дирака, должна иметь соответствующую частицу этого заряда, присутствующую в теория. ^[6] Разделение этих частиц путем принятия предела бесконечной массы больше не работает, поскольку это привело бы к образованию черных дыр . ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \phi (x_{i})^{\dagger }W[x_{i},x_{f}]\phi (x_{f})}$

След замкнутых линий Вильсона представляет собой калибровочно-инвариантную величину, известную как петля Вильсона.

${\displaystyle W[\gamma ]={\text{tr}}{\bigg [}{\mathcal {P}}\exp {\bigg (}i\oint _{\gamma }A_{\mu }dx^{\mu }{\bigg )}{\bigg ]}.}$

Математически термин внутри следа известен как голономия , которая описывает отображение волокна в себя при горизонтальном подъеме по замкнутому контуру. Само множество всех голономий образует группу , которая для главных расслоений должна быть подгруппой калибровочной группы. Петли Вильсона удовлетворяют свойству реконструкции, при котором знание набора петель Вильсона для всех возможных петель позволяет восстановить всю калибровочно-инвариантную информацию о калибровочной связи. ^[7] Формально набор всех петель Вильсона образует сверхполный базис решений ограничения закона Гаусса.

Множество всех линий Вильсона находится во взаимно однозначном соответствии с представлениями калибровочной группы. Это можно переформулировать на языке алгебры Ли, используя решетку весов калибровочной группы . В этом случае типы петель Вильсона находятся во взаимно однозначном соответствии с где – группа Вейля . ^[8] ${\displaystyle \Lambda _{w}}$ ${\displaystyle \Lambda _{w}/W}$ ${\displaystyle W}$

Операторы гильбертового пространства

Альтернативный взгляд на петли Вильсона состоит в том, чтобы рассматривать их как операторы, действующие в гильбертовом пространстве состояний в сигнатуре Минковского . ^[5] Поскольку гильбертово пространство существует в одном временном интервале, единственные петли Вильсона, которые могут действовать как операторы в этом пространстве, — это те, которые сформированы с использованием пространственноподобных петель. Такие операторы создают замкнутый контур электрического потока , в чем можно убедиться, заметив, что оператор электрического поля не равен нулю в контуре , но исчезает везде. Из теоремы Стокса следует, что пространственная петля измеряет магнитный поток через петлю. ^[9] ${\displaystyle W[\gamma ]}$ ${\displaystyle E^{i}}$ ${\displaystyle E^{i}W[\gamma ]|0\rangle \neq 0}$

Оператор заказа

Поскольку временные линии Вильсона соответствуют конфигурации, созданной бесконечно тяжелыми стационарными кварками, петлю Вильсона, связанную с прямоугольной петлей с двумя временными компонентами длины и двумя пространственными компонентами длины , можно интерпретировать как пару кварк -антикварк при фиксированном расстоянии. На больших временах вакуумное математическое ожидание петли Вильсона проецирует состояние с минимальной энергией , которое представляет собой потенциал между кварками. ^[10] Возбужденные состояния с энергией экспоненциально подавляются со временем, поэтому среднее значение имеет вид ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle V(r)+\Delta E}$

${\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-TV(r)}(1+{\mathcal {O}}(e^{-T\Delta E})),}$

что делает петлю Вильсона полезной для расчета потенциала между парами кварков. Этот потенциал обязательно должен быть монотонно возрастающей и вогнутой функцией разделения кварков. ^{[11] [12]} Поскольку пространственноподобные петли Вильсона принципиально не отличаются от временных, кварковый потенциал действительно напрямую связан со структурой чистой теории Янга–Миллса и представляет собой явление, не зависящее от содержания материи. ^[13]

Теорема Элицура гарантирует, что локальные некалибровочные инвариантные операторы не могут иметь ненулевое математическое ожидание. Вместо этого необходимо использовать нелокальные калибровочно-инвариантные операторы в качестве параметров порядка для ограничения. Петля Вильсона является именно таким параметром порядка в чистой теории Янга–Миллса , где в фазе ограничения ее математическое ожидание следует закону площади ^[14]

${\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-aA[\gamma ]}}$

для цикла, охватывающего область . Это мотивировано потенциалом между бесконечно тяжелыми пробными кварками, который, как ожидается, в фазе удержания будет расти линейно, что известно как натяжение струны. Между тем, в фазе Хиггса математическое ожидание подчиняется закону периметра. ${\displaystyle A[\gamma ]}$ ${\displaystyle V(r)\sim \sigma r}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-bL[\gamma ]},}$

где – длина периметра петли и – некоторая константа. Закон площади петель Вильсона можно использовать для прямой демонстрации ограничения в некоторых теориях малой размерности, например, в модели Швингера , ограничение которой обусловлено инстантонами . ^[15] ${\displaystyle L[\gamma ]}$ ${\displaystyle b}$

Решеточная формулировка

В решеточной теории поля линии и петли Вильсона играют фундаментальную роль в формулировке калибровочных полей на решетке . Наименьшие линии Вильсона на решетке, между двумя соседними точками решетки, известны как звенья, при этом одно звено начинается с точки решетки и идет в направлении, обозначенном . Четыре звена вокруг одного квадрата известны как плакетка, их след образует наименьшую петлю Вильсона. ^[16] Именно эти плакетки используются для построения калибровочного действия решетки, известного как действие Вильсона . Большие петли Вильсона выражаются как произведения переменных связи вдоль некоторой петли , обозначенной ^[17] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U_{\mu }(n)}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle L[U]={\text{tr}}{\bigg [}\prod _{n\in \gamma }U_{\mu }(n){\bigg ]}.}$

Эти петли Вильсона используются для численного изучения удержания и кварковых потенциалов . Линейные комбинации циклов Вильсона также используются в качестве интерполирующих операторов, которые приводят к состояниям глюбола . ^[18] Затем массы глюбола можно извлечь из корреляционной функции между этими интерполяторами. ^[19]

Решётчатая формулировка петель Вильсона также позволяет аналитически продемонстрировать удержание в сильно связанной фазе, предполагая приближение закалки , в котором кварковые петли пренебрегаются. ^[20] Это достигается путем разложения действия Вильсона как степенного ряда следов плакеток, где первый ненулевой член в среднем значении петли Вильсона в калибровочной теории приводит к закону площади с натяжением струны. вида ^{[21] [22]} ${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$

${\displaystyle \sigma =-{\frac {1}{a^{2}}}\ln {\bigg (}{\frac {\beta }{18}}{\bigg )}(1+{\mathcal {O}}(\beta )),}$

где – константа обратной связи, – шаг решетки. Хотя этот аргумент справедлив как для абелева, так и для неабелева случая, компактная электродинамика демонстрирует ограничение только при сильной связи, при этом происходит фазовый переход в кулоновскую фазу при , в результате чего теория не ограничена при слабой связи. ^{[23] [24]} Считается, что такой фазовый переход не существует для калибровочных теорий при нулевой температуре , вместо этого они демонстрируют удержание при всех значениях константы связи. ${\displaystyle \beta =6/g^{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \beta \sim 1.01}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$

Характеристики

Уравнение петли Макеенко – Мигдала

Подобно функциональной производной , которая действует на функции функций , функции циклов допускают два типа производных , называемых производной по площади и производной по периметру. Чтобы определить первый, рассмотрим контур и другой контур , который представляет собой тот же контур, но с дополнительной маленькой петлей в плоскости - с площадью . Тогда производная площади петлевого функционала определяется по той же идее, что и обычная производная, как нормированная разность между функционалом двух петель ^[25] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{\delta \sigma _{\mu \nu }}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \delta \sigma _{\mu \nu }=dx_{\mu }\wedge dx_{\nu }}$ ${\displaystyle F[\gamma ]}$

${\displaystyle {\frac {\delta F[\gamma ]}{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}={\frac {1}{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}[F[\gamma _{\delta \sigma _{\mu \nu }}]-F[\gamma ]].}$

Производная по периметру определяется аналогичным образом, при этом теперь происходит небольшая деформация контура, который в заданном положении имеет небольшую выдавливающую петлю длины в направлении и нулевой площади. Производная по периметру петлевого функционала тогда определяется как ${\displaystyle \gamma _{\delta x_{\mu }}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta x_{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \partial _{\mu }^{x}}$

${\displaystyle \partial _{\mu }^{x}F[\gamma ]={\frac {1}{\delta x_{\mu }}}[F[\gamma _{\delta x_{\mu }}]-F[\gamma ]].}$

В большом N-пределе вакуумное математическое ожидание петли Вильсона удовлетворяет уравнению замкнутой функциональной формы, называемому уравнением Макеенко – Мигдала ^[26]

${\displaystyle \partial _{\mu }^{x}{\frac {\delta }{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}\langle W[\gamma ]\rangle =g^{2}N\oint _{\gamma }dy_{\nu }\delta ^{(D)}(x-y)\langle W[\gamma _{yx}]\rangle \langle W[\gamma _{xy}]\rangle .}$

Здесь речь идет о линии, которая не замыкается от до , но две точки расположены очень близко друг к другу. Уравнение также можно записать для конечного числа , но в этом случае оно не факторизуется и вместо этого приводит к средним значениям продуктов петель Вильсона, а не к продукту их средних значений. ^[27] Это приводит к возникновению бесконечной цепочки связанных уравнений для различных средних значений петли Вильсона, аналогичных уравнениям Швингера-Дайсона . Уравнение Макеенко–Мигдала решено точно в двумерной теории. ^[28] ${\displaystyle \gamma =\gamma _{xy}\cup \gamma _{yx}}$ ${\displaystyle \gamma _{xy}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\text{U}}(\infty )}$

тождества Мандельштама

Калибровочные группы, которые допускают фундаментальные представления в терминах матриц, имеют петли Вильсона, которые удовлетворяют набору тождеств, называемых тождествами Мандельштама, причем эти тождества отражают конкретные свойства базовой калибровочной группы. ^[29] Идентичности применяются к петлям, образованным из двух или более подпетлей, причем петля формируется путем сначала обхода , а затем обхода . ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma _{2}\circ \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$

Тождество Мандельштама первого рода утверждает, что при этом справедливо для любой калибровочной группы в любом измерении. Тождества Мандельштама второго рода получаются, если отметить, что в измерениях любой объект с полностью антисимметричными индексами исчезает, а это означает, что . В фундаментальном представлении голономии, используемые для формирования петель Вильсона, являются матричными представлениями калибровочных групп. Сжатие голономий с помощью дельта-функций дает набор тождеств между петлями Вильсона. Их можно записать в терминах объектов, определенных итеративно, так что и ${\displaystyle W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}]=W[\gamma _{2}\circ \gamma _{1}]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle \delta _{[b_{1}}^{a_{1}}\delta _{b_{2}}^{a_{2}}\cdots \delta _{b_{N+1}]}^{a_{N+1}}=0}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle M_{K}}$ ${\displaystyle M_{1}[\gamma ]=W[\gamma ]}$

${\displaystyle (K+1)M_{K+1}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{K+1}]=W[\gamma _{K+1}]M_{K}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{K}]-M_{K}[\gamma _{1}\circ \gamma _{K+1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{K}]-\cdots -M_{K}[\gamma _{1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{K}\circ \gamma _{K+1}].}$

В этих обозначениях тождества Мандельштама второго рода имеют вид ^[30]

${\displaystyle M_{N+1}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{N+1}]=0.}$

Например, для калибровочной группы это дает . ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle W[\gamma _{1}]W[\gamma _{2}]=W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}]}$

Если фундаментальным представлением являются матрицы с единичным определителем , то оно также имеет место . Например, применение этого тождества к дает ${\displaystyle M_{N}(\gamma ,\dots ,\gamma )=1}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$

${\displaystyle W[\gamma _{1}]W[\gamma _{2}]=W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}^{-1}]+W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}].}$

Фундаментальные представления, состоящие из унитарных матриц, удовлетворяют . Более того, хотя равенство справедливо для всех калибровочных групп в фундаментальных представлениях, для унитарных групп оно, кроме того, имеет место, что . ${\displaystyle W[\gamma ]=W^{*}[\gamma ^{-1}]}$ ${\displaystyle W[I]=N}$ ${\displaystyle |W[\gamma ]|\leq N}$

Перенормировка

Поскольку петли Вильсона являются операторами калибровочных полей, регуляризация и перенормировка основных полей и связей теории Янга – Миллса не мешает петлям Вильсона требовать дополнительных поправок при перенормировке. В перенормированной теории Янга – Миллса конкретный способ перенормировки петель Вильсона зависит от геометрии рассматриваемой петли. Основные особенности: ^{[31] [32] [33] [34]}

• Гладкая непересекающаяся кривая: она может иметь только линейные расхождения, пропорциональные контуру, которые можно удалить посредством мультипликативной перенормировки.
• Непересекающаяся кривая с точками возврата : каждая точка возврата приводит к дополнительному локальному мультипликативному коэффициенту перенормировки , который зависит от угла точки возврата . ${\displaystyle Z[\phi ]}$ ${\displaystyle \phi }$
• Самопересечения: это приводит к смешиванию операторов между циклами Вильсона, связанными с полным циклом и подциклами.
• Светоподобные сегменты: они приводят к дополнительным логарифмическим расхождениям.

Дополнительные приложения

Амплитуды рассеяния

Петли Вильсона играют роль в теории амплитуд рассеяния , где был обнаружен набор двойственностей между ними и особыми типами амплитуд рассеяния. ^[35] Впервые они были предложены при сильной связи с использованием соответствия AdS/CFT . ^[36] Например, в суперсимметричной теории Янга–Миллса максимальные амплитуды, нарушающие спиральность, факторизуются в компонент древесного уровня и поправку на петлевом уровне. ^[37] Эта поправка на уровень петли не зависит от спиральности частиц, но было обнаружено, что она двойственна некоторым полигональным петлям Вильсона в большом пределе, с точностью до конечных членов. Хотя эта двойственность первоначально предполагалась только в случае нарушения максимальной спиральности, есть аргументы в пользу того, что ее можно распространить на все конфигурации спиральности путем определения соответствующих суперсимметричных обобщений петли Вильсона. ^[38] ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ ${\displaystyle N}$

Компактификации теории струн

В компактифицированных теориях состояния калибровочного поля нулевой моды, которые являются локально чистыми калибровочными конфигурациями, но глобально неэквивалентны вакууму, параметризуются замкнутыми линиями Вильсона в компактном направлении. Их наличие в компактифицированной открытой теории струн эквивалентно при Т-дуальности теории с несовпадающими D-бранами , разделения которых определяются линиями Вильсона. ^[39] Линии Вильсона также играют роль в орбифолдных компактификациях, где их присутствие приводит к большему контролю над нарушением калибровочной симметрии, давая лучший контроль над конечной ненарушенной калибровочной группой, а также обеспечивая механизм для контроля количества мультиплетов материи, оставшихся после компактификации. ^[40] Эти свойства делают линии Вильсона важными в компактификациях теорий суперструн. ^{[41] [42]}

Топологическая теория поля

В топологической теории поля среднее значение петли Вильсона не меняется при плавных деформациях петли, поскольку теория поля не зависит от метрики . ^[43] По этой причине петли Вильсона являются ключевыми наблюдаемыми в этих теориях и используются для расчета глобальных свойств многообразия . По размерностям они тесно связаны с теорией узлов , где математическое ожидание произведения петель зависит только от структуры многообразия и от того, как петли связаны друг с другом. Это привело к знаменитой связи, сделанной Эдвардом Виттеном , когда он использовал петли Вильсона в теории Черна – Саймонса, чтобы связать их статистическую сумму с полиномами Джонса теории узлов. ^[44] ${\displaystyle 2+1}$

Смотрите также

• Номер обмотки

Рекомендации

1. Уилсон, КГ (1974). «Удержание кварков». Физ. Преподобный Д. 10 (8): 2445–2459. Бибкод : 1974PhRvD..10.2445W. doi : 10.1103/PhysRevD.10.2445.
2. Накахара, М. (2003). «10». Геометрия, топология и физика (2-е изд.). ЦРК Пресс. стр. 374–418. ISBN 978-0750306065.
3. Эшриг, Х. (2011). «7». Топология и геометрия для физики . Конспект лекций по физике. Спрингер. стр. 220–222. ISBN 978-3-642-14699-2.
4. Шварц, доктор медицины (2014). «25». Квантовая теория поля и Стандартная модель . Издательство Кембриджского университета. стр. 488–493. ISBN 9781107034730.
5. Тонг, Д. (2018), «2», Конспекты лекций по калибровочной теории
6. Бэнкс, Т .; Зайберг, Н. (2011). «Симметрии и струны в теории поля и гравитации». Физ. Преподобный Д. 83 : 084019. arXiv : 1011.5120 . doi : 10.1103/PhysRevD.83.084019.
7. Джайлз, Р. (1981). «Восстановление калибровочных потенциалов по петлям Вильсона». Физ. Преподобный Д. 24 (8): 2160–2168. Бибкод : 1981PhRvD..24.2160G. doi : 10.1103/PhysRevD.24.2160.
8. Офер, А.; Зайберг, Н .; Тачикава, Юдзи (2013). «Чтение между строк четырехмерных калибровочных теорий». JHEP . 2013 (8): 115. arXiv : 1305.0318 . Бибкод : 2013JHEP...08..115A. дои : 10.1007/JHEP08(2013)115. S2CID  118572353.
9. Пескин, Майкл Э .; Шредер, Дэниел В. (1995). «15». Введение в квантовую теорию поля . Вествью Пресс. п. 492. ИСБН 9780201503975.
10. Роте, HJ (2005). «7». Решетчатые калибровочные теории: введение. Мировые научные конспекты лекций по физике: Том 43. Vol. 82. Мировое научное издательство. стр. 95–108. дои : 10.1142/8229. ISBN 978-9814365857.
11. Зайлер, Э. (1978). «Верхняя граница потенциала ограничения цвета». Физ. Преподобный Д. 18 (2): 482–483. Бибкод : 1978PhRvD..18..482S. doi :10.1103/PhysRevD.18.482.
12. Бачас, К. (1986). «Вогнутость кваркониевого потенциала». Физ. Преподобный Д. 33 (9): 2723–2725. Бибкод : 1986PhRvD..33.2723B. doi : 10.1103/PhysRevD.33.2723. ПМИД  9956963.
13. Гринсайт, Дж. (2020). «4». Введение в проблему конфайнмента (2-е изд.). Спрингер. стр. 37–40. ISBN 978-3030515621.
14. Макеенко, Ю. (2002). «6». Методы современной калибровочной теории . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 117–118. дои : 10.1017/CBO9780511535147. ISBN 978-0521809115.
15. Паранджапе, М. (2017). «9». Теория и приложения инстантонных вычислений . Издательство Кембриджского университета. п. 168. ИСБН 978-1107155473.
16. Болье, Л.; Илиопулос, Дж. ; Сенеор, Р. [на французском языке] (2017). «25». От классических полей к квантовым . Издательство Оксфордского университета. п. 720. ИСБН 978-0198788409.
17. Монтвей, И.; Мюнстер, Г. (1994). «43». Квантовые поля на решетке . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 105. дои : 10.1017/CBO9780511470783. ISBN 9780511470783. S2CID  118339104.
18. ДеГранд, Т.; ДеТар, К. (2006). «11». Решеточные методы квантовой хромодинамики . Мировое научное издательство. стр. 232–233. Бибкод : 2006lmqc.book.....D. дои : 10.1142/6065. ISBN 978-9812567277.
19. Чен, Ю.; и другие. (2006). «Спектр Глюбола и матричные элементы на анизотропных решетках». Физ. Преподобный Д. 73 (1): 014516. arXiv : hep-lat/0510074 . Бибкод : 2006PhRvD..73a4516C. doi : 10.1103/PhysRevD.73.014516. S2CID  15741174.
20. Индурайн, Ф.Дж. (2006). «9». Теория кварковых и глюонных взаимодействий (4-е изд.). Спрингер. п. 383. ИСБН 978-3540332091.
21. Гатрингер, К.; Ланг, CB (2009). «3». Квантовая хромодинамика на решетке: вводное изложение . Конспект лекций по физике 788. Спрингер. стр. 58–62. дои : 10.1007/978-3-642-01850-3. ISBN 978-3642018497.
22. Друфф, Дж. М.; Зубер, Дж. Б. (1983). «Методы сильной связи и среднего поля в калибровочных теориях решетки». Отчеты по физике . 102 (1): 1–119. Бибкод : 1983PhR...102....1D. дои : 10.1016/0370-1573(83)90034-0.
23. Лаутруп, Бельгия ; Науенберг, М. (1980). «Фазовый переход в четырехмерной компактной КЭД». Физ. Летт. Б.​ 95 (1): 63–66. Бибкод : 1980PhLB...95...63L. дои : 10.1016/0370-2693(80)90400-1.
24. Гут, АХ (1980). «Доказательство существования неудерживающей фазы в четырехмерной калибровочной теории решетки U (1)». Физ. Преподобный Д. 21 (8): 2291–2307. Бибкод : 1980PhRvD..21.2291G. doi : 10.1103/PhysRevD.21.2291.
25. Мигдал, А.А. (1983). «Петлевые уравнения и разложение 1/N». Физ. Представитель . 102 (4): 199–290. дои : 10.1016/0370-1573(83)90076-5.
26. Макеенко, Ю.М.; Мигдал, А.А. (1979). «Точное уравнение для среднего цикла в многоцветной КХД». Физ. Летт. Б.​ 88 (1–2): 135–137. Бибкод : 1979PhLB...88..135M. дои : 10.1016/0370-2693(79)90131-X.
27. Нэстасе, Х. (2019). «50». Введение в квантовую теорию поля . Издательство Кембриджского университета. стр. 469–472. ISBN 978-1108493994.
28. Казаков, В.А.; Костов, ИК (1980). «Нелинейные струны в двумерной калибровочной теории U (∞)». Ядерная физика Б . 176 (1): 199–215. Бибкод : 1980NuPhB.176..199K. дои : 10.1016/0550-3213(80)90072-3.
29. Мандельштам, С. (1968). «Правила Фейнмана для электромагнитных полей и полей Янга – Миллса из калибровочно-независимого теоретико-полевого формализма». Физ. Преподобный . 175 (5): 1580–1603. Бибкод : 1968PhRv..175.1580M. дои : 10.1103/PhysRev.175.1580.
30. Гамбини, Р. (2008). «3». Петли, узлы, калибровочные теории . стр. 63–67. ISBN 978-0521654753.
31. Корчемская, И.А.; Корчемский, Г.П. (1992). «О светоподобных петлях Вильсона». Буквы по физике Б. 287 (1): 169–175. Бибкод : 1992PhLB..287..169K. дои : 10.1016/0370-2693(92)91895-G.
32. Поляков, AM (1980). «Калибровочные поля как клеевые кольца». Ядерная физика Б . 164 : 171–188. Бибкод : 1980NuPhB.164..171P. дои : 10.1016/0550-3213(80)90507-6.
33. Брандт, РА; Нери, Ф.; Сато, М. (1981). «Перенормировка функций цикла для всех циклов». Физ. Преподобный Д. 24 (4): 879–902. Бибкод : 1981PhRvD..24..879B. doi : 10.1103/PhysRevD.24.879.
34. Корчемский, ГП; Радюшкин А.В. (1987). «Перенормировка петель Вильсона за пределами ведущего порядка». Ядерная физика Б . 283 : 342–364. Бибкод : 1987NuPhB.283..342K. дои : 10.1016/0550-3213(87)90277-X.
35. Алдай, LF ; Раду, Р. (2008). «Амплитуды рассеяния, петли Вильсона и соответствие теории струн и калибровочной теории». Физ. Представитель . 468 (5): 153–211. arXiv : 0807.1889 . Бибкод : 2008PhR...468..153A. doi :10.1016/j.physrep.2008.08.002. S2CID  119220578.
36. Алдай, LF ; Малдасена, Дж. М. (2007). «Амплитуды рассеяния глюонов при сильной связи». JHEP . 6 (6): 64. arXiv : 0705.0303 . Бибкод : 2007JHEP...06..064A. дои : 10.1088/1126-6708/2007/06/064. S2CID  10711473.
37. Хенн, JM [на немецком языке] (2014). «4». Амплитуды рассеяния в калибровочных теориях . Спрингер. стр. 153–158. ISBN 978-3642540219.
38. Карон-Хуот, С. [на немецком языке] (2011). «Заметки об амплитудах рассеяния / двойственности петли Вильсона». JHEP . 2011 (7): 58. arXiv : 1010.1167 . Бибкод : 2011JHEP...07..058C. doi : 10.1007/JHEP07(2011)058. S2CID  118676335.
39. Полчински, Дж. (1998). «8». Теория струн, том I: Введение в бозонную струну . Издательство Кембриджского университета. стр. 263–268. ISBN 978-0143113799.
40. Ибанез, Ле; Ниллс, HP; Кеведо, Ф. (1986). «Орбифолды и линии Вильсона». Физ. Летт. Б.​ 187 (1–2): 25–32. дои : 10.1016/0370-2693(87)90066-9.
41. Полчински, Дж. (1998). «16». Теория струн, том II: Теория суперструн и не только . Издательство Кембриджского университета. стр. 288–290. ISBN 978-1551439761.
42. Чой, КС; Ким, JE (2020). Кварки и лептоны из орбифолдированной суперструны (2-е изд.). ISBN 978-3030540043.
43. Фрадкин, Э. (2021). «22». Квантовая теория поля: комплексный подход . Издательство Принстонского университета. п. 697. ИСБН 978-0691149080.
44. Виттен, Э. (1989). «Квантовая теория поля и полином Джонса». Коммун. Математика. Физ . 121 (3): 351–399. Бибкод : 1989CMaPh.121..351W. дои : 10.1007/BF01217730. S2CID  14951363.