Теория множеств Цермело

Система математической теории множеств

Теория множеств Цермело (иногда обозначается как Z ^- ), изложенная в основополагающей статье 1908 года Эрнста Цермело , является предком современной теории множеств Цермело–Френкеля (ZF) и ее расширений, таких как теория множеств фон Неймана–Бернейса–Геделя (NBG). Она имеет определенные отличия от своих потомков, которые не всегда понятны и часто неправильно цитируются. В этой статье излагаются исходные аксиомы с исходным текстом (переведенным на английский язык) и исходной нумерацией.

Аксиомы теории множеств Цермело

Аксиомы теории множеств Цермело сформулированы для объектов, некоторые из которых (но не обязательно все) являются множествами, а остальные объекты являются праэлементами , а не множествами. Язык Цермело неявно включает отношение принадлежности ∈, отношение равенства = (если оно не включено в базовую логику) и унарный предикат, говорящий, является ли объект множеством. Более поздние версии теории множеств часто предполагают, что все объекты являются множествами, поэтому нет праэлементов, и нет необходимости в унарном предикате.

1. АКСИОМА I. Аксиома экстенсиональности ( Axiom der Bestimmtheit ) «Если каждый элемент множества M является также элементом N и наоборот... то M N. Короче говоря, каждое множество определяется своими элементами». ${\displaystyle \equiv }$
2. АКСИОМА II. Аксиома элементарных множеств ( Axiom der Elementarmengen ) "Существует множество, нулевое множество, ∅, которое не содержит ни одного элемента. Если a — любой объект области, то существует множество { a }, содержащее a и только a в качестве элемента. Если a и b — любые два объекта области, то всегда существует множество { a , b }, содержащее в качестве элементов a и b , но не содержащее объекта x, отличного от них обоих". См. Аксиому пар .
3. АКСИОМА III. Аксиома разделения ( Axiom der Aussonderung ) «Всякий раз, когда пропозициональная функция –( x ) определена для всех элементов множества M , M обладает подмножеством M',  содержащим в качестве элементов именно те элементы x из M , для которых –( x ) является истинным».
4. АКСИОМА IV. Аксиома множества мощности ( Axiom der Potenzmenge ) «Каждому множеству T соответствует множество T'  , множество мощности T , которое содержит в качестве элементов в точности все подмножества T  ».
5. АКСИОМА V. Аксиома объединения ( Axiom der Vereinigung ) «Каждому множеству T соответствует множество ∪T , объединение T , которое содержит в качестве элементов в точности все элементы элементов T  ».
6. АКСИОМА VI. Аксиома выбора ( Axiom der Auswahl ) «Если T — множество, все элементы которого являются множествами, отличными от ∅ и взаимно непересекающимися, то его объединение ∪T включает по крайней мере одно подмножество S _{1 ,} имеющее один и только один общий элемент с каждым элементом T  ».
7. АКСИОМА VII. Аксиома бесконечности ( Axiom des Unendlichen ) «В области существует по крайней мере одно множество Z , которое содержит нулевое множество в качестве элемента и устроено так, что каждому его элементу a соответствует еще один элемент вида { a }, иными словами, что вместе с каждым своим элементом a оно также содержит соответствующее множество { a } в качестве элемента».

Связь со стандартной теорией множеств

Наиболее широко используемая и принятая теория множеств известна как ZFC, которая состоит из теории множеств Цермело–Френкеля, включая аксиому выбора (AC). Ссылки показывают, где аксиомы теории Цермело соответствуют друг другу. Для «элементарных множеств» нет точного соответствия. (Позже было показано, что одноэлементное множество может быть получено из того, что сейчас называется «Аксиомой пар». Если a существует, a и a существуют, таким образом, { a , a } существует, и поэтому по экстенсиональности { a , a } = { a }.) Аксиома пустого множества уже предполагается аксиомой бесконечности и теперь включена как ее часть.

Теория множеств Цермело не включает аксиомы замены и регулярности . Аксиома замены была впервые опубликована в 1922 году Абрахамом Френкелем и Торальфом Сколемом , которые независимо друг от друга обнаружили, что аксиомы Цермело не могут доказать существование множества { Z ₀ ,  Z ₁ ,  Z ₂ , ...}, где Z ₀ — множество натуральных чисел , а Z _{n +1} — множество мощности Z _n . Они оба поняли, что для доказательства этого необходима аксиома замены. В следующем году Джон фон Нейман указал, что аксиома регулярности необходима для построения его теории ординалов . Аксиома регулярности была сформулирована фон Нейманом в 1925 году. ^[1]

В современной системе ZFC «пропозициональная функция», упомянутая в аксиоме разделения, интерпретируется как «любое свойство, определяемое формулой первого порядка с параметрами», поэтому аксиома разделения заменяется схемой аксиом . Понятие «формулы первого порядка» не было известно в 1908 году, когда Цермело опубликовал свою систему аксиом, и позже он отверг эту интерпретацию как слишком ограничительную. Теория множеств Цермело обычно считается теорией первого порядка, в которой аксиома разделения заменена схемой аксиом с аксиомой для каждой формулы первого порядка. Ее также можно рассматривать как теорию в логике второго порядка , где теперь аксиома разделения является просто одной аксиомой. Интерпретация второго порядка теории множеств Цермело, вероятно, ближе к собственной концепции Цермело и сильнее интерпретации первого порядка.

Так как —где есть ранг- множество в кумулятивной иерархии — образует модель теории множеств Цермело второго порядка в ZFC всякий раз, когда является предельным ординалом, большим наименьшего бесконечного ординала , то отсюда следует, что согласованность теории множеств Цермело второго порядка (и, следовательно, также согласованность теории множеств Цермело первого порядка) является теоремой ZFC. Если мы допустим , существование несчетного сильного предельного кардинала не выполняется в такой модели; таким образом, существование ℶ ω (наименьший несчетный сильный предельный кардинал) не может быть доказано в теории множеств Цермело второго порядка. Аналогично, множество (где L — конструируемый универсум ) образует модель теории множеств Цермело первого порядка, в которой существование несчетного слабого предельного кардинала не выполняется, показывая, что теория множеств Цермело первого порядка не может даже доказать существование наименьшего сингулярного кардинала , . В такой модели единственными бесконечными кардиналами являются числа алеф , ограниченные конечными индексными ординалами. ${\displaystyle (V_{\lambda },V_{\lambda +1})}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \lambda =\omega \cdot 2}$ ${\displaystyle V_{\omega \cdot 2}\cap L}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

Аксиома бесконечности теперь обычно модифицируется, чтобы утверждать существование первого бесконечного ординала фон Неймана ; исходные аксиомы Цермело не могут доказать существование этого множества, а модифицированные аксиомы Цермело не могут доказать аксиому бесконечности Цермело ^[2] . Аксиомы Цермело (исходные или модифицированные) не могут доказать существование как множества или какого-либо ранга кумулятивной иерархии множеств с бесконечным индексом. В любой формулировке теория множеств Цермело не может доказать существование ординала фон Неймана , несмотря на доказательство существования такого типа порядка; таким образом, определение ординалов фон Неймана не используется для теории множеств Цермело. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle V_{\omega }}$ ${\displaystyle \omega \cdot 2}$

Цермело допускал существование праэлементов , которые не являются множествами и не содержат элементов; в настоящее время они обычно исключаются из теорий множеств.

Теория множеств Маклейна

Теория множеств Мак-Лейна, введенная Мак-Лейном  (1986), является теорией множеств Цермело с аксиомой разделения, ограниченной формулами первого порядка, в которых каждый квантор ограничен. Теория множеств Мак-Лейна по силе близка к теории топосов с объектом натурального числа или к системе в Principia mathematica . Она достаточно сильна, чтобы выполнять почти всю обычную математику, не связанную напрямую с теорией множеств или логикой.

Цель статьи Цермело

Во введении говорится, что само существование дисциплины теории множеств «кажется, находится под угрозой из-за определенных противоречий или «антиномий», которые можно вывести из ее принципов — принципов, которые, как представляется, непременно управляют нашим мышлением, — и для которых пока не найдено полностью удовлетворительного решения». Цермело, конечно же, имеет в виду « антиномию Рассела ».

Он говорит, что хочет показать, как изначальная теория Георга Кантора и Рихарда Дедекинда может быть сведена к нескольким определениям и семи принципам или аксиомам. Он говорит, что не смог доказать, что аксиомы непротиворечивы.

Неконструктивистский аргумент в пользу их согласованности выглядит следующим образом. Определим V _α для α одного из ординалов 0, 1, 2, ...,ω, ω+1, ω+2,..., ω·2 следующим образом:

• V ₀ — пустое множество.
• Для α, являющегося последователем формы β+1, V _α определяется как совокупность всех подмножеств V _β .
• Если α — предел (например, ω, ω·2), то V _α определяется как объединение V _β для β<α.

Тогда аксиомы теории множеств Цермело непротиворечивы, поскольку они истинны в модели V _ω·2 . В то время как неконструктивист может считать это обоснованным аргументом, конструктивист, вероятно, не будет: хотя нет никаких проблем с построением множеств вплоть до V _ω , построение V _ω+1 менее ясно, поскольку невозможно конструктивно определить каждое подмножество V _ω . Этот аргумент можно превратить в обоснованное доказательство, добавив одну новую аксиому бесконечности в теорию множеств Цермело, просто то, что V _ω·2 существует . Это, по-видимому, не убедительно для конструктивиста, но это показывает, что непротиворечивость теории множеств Цермело может быть доказана с помощью теории, которая не сильно отличается от самой теории Цермело, только немного более мощная.

Аксиома разделения

Цермело комментирует, что Аксиома III его системы отвечает за устранение антиномий. Она отличается от первоначального определения Кантора следующим образом.

Множества не могут быть независимо определены каким-либо произвольным логически определяемым понятием. Они должны быть построены каким-то образом из ранее построенных множеств. Например, их можно построить, взяв powersets, или их можно разделить как подмножества множеств, уже «данных». Это, по его словам, устраняет противоречивые идеи, такие как «множество всех множеств» или «множество всех порядковых чисел».

Он устраняет парадокс Рассела с помощью этой теоремы: «Каждое множество обладает по крайней мере одним подмножеством , которое не является элементом «. Пусть будет подмножеством, из которого, по АКСИОМЕ III, выделяется понятие « «. Тогда не может быть в . Для ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\notin x}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$

1. Если находится в , то содержит элемент x, для которого x находится в x (т.е. сам по себе), что противоречило бы определению . ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$
2. Если не входит в , и если предположить, что является элементом M , то является элементом M , который удовлетворяет определению " ", и поэтому входит в , что является противоречием. ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle x\notin x}$ ${\displaystyle M_{0}}$

Следовательно, предположение, что в , неверно, что доказывает теорему. Следовательно, не все объекты универсальной области B могут быть элементами одного и того же множества. «Это устраняет антиномию Рассела , насколько это касается нас». ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$

Это оставило проблему "домена B ", который, кажется, ссылается на что-то. Это привело к идее надлежащего класса .

Теорема Кантора

Статья Цермело, возможно, является первой, в которой упоминается название « теорема Кантора ». Теорема Кантора: «Если M — произвольное множество, то всегда M < P( M ) [множество мощности M ]. Каждое множество имеет меньшую мощность, чем множество его подмножеств».

Цермело доказывает это, рассматривая функцию φ: M → P( M ). По аксиоме III это определяет следующее множество M'  :

М'  = { м : т ∉ φ( м )}.

Но никакой элемент m'  из M  не может соответствовать M'  , т.е. такой, что φ( m'  ) = M'  . В противном случае мы можем построить противоречие:

1) Если m'  принадлежит M',  то по определению m'  ∉ φ( m'  ) = M'  , что является первой частью противоречия.

2) Если m'  принадлежит не M',  но M  , то по определению m'  ∉ M'  = φ( m'  ), что по определению означает, что m'  принадлежит M'  , что является второй частью противоречия.

так что от противного m'  не существует. Обратите внимание на близкое сходство этого доказательства с тем, как Цермело устраняет парадокс Рассела.

Смотрите также

• S (теория множеств)

Ссылки

1. Феррейрос 2007, стр. 369, 371.
2. Драббе, Жан (20 января 1969 г.). «Аксиомы бесконечности в теории ансамблей без аксиомы подстановки». Comptes Rendus de I'Academie des Sciences, Париж . 268 : 137–138 . Проверено 8 сентября 2024 г.

Цитируемые работы

• Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли , Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7.

Общие ссылки

• Mac Lane, Saunders (1986), Математика, форма и функция , Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-4872-9, ISBN 0-387-96217-4, МР  0816347.
• Цермело, Эрнст (1908), «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I», Mathematische Annalen , 65 (2): 261–281, doi : 10.1007/bf01449999, S2CID  120085563. Английский перевод: Heijenoort, Jean van (1967), "Исследования по основам теории множеств", From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Source Books in the History of the Sciences, Harvard Univ. Press, стр. 199–215, ISBN 978-0-674-32449-7.