Абелева категория

Категория с прямыми суммами и определенными типами ядер и коядер

В математике абелева категория — это категория , в которой могут быть добавлены морфизмы и объекты и в которой существуют ядра и коядра , обладающие желаемыми свойствами.

Мотивирующим прототипическим примером абелевой категории является категория абелевых групп , Ab .

Абелевы категории являются очень стабильными категориями; например, они регулярны и удовлетворяют лемме о змее . Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категориальных конструкций, например, категория цепных комплексов абелевой категории или категория функторов из малой категории в абелеву категорию также являются абелевыми. Эти свойства стабильности делают их неизбежными в гомологической алгебре и за ее пределами; теория имеет основные приложения в алгебраической геометрии , когомологиях и чистой теории категорий .

Маклейн ^[1] утверждает, что Александр Гротендик ^[2] определил абелеву категорию, но есть ссылка ^[3] , в которой говорится, что ученик Эйленберга, Буксбаум , предложил эту концепцию в своей докторской диссертации ^[4] , а Гротендик популяризировал ее под названием «абелева категория».

Определения

Категория абелева, если она предаддитивна и

• у него есть нулевой объект ,
• он имеет все бинарные побочные продукты ,
• он имеет все ядра и коядра , и
• все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны .​

Это определение эквивалентно ^[5] следующему «частичному» определению:

• Категория предаддитивна, если она обогащена над моноидальной категорией Ab абелевых групп . Это означает, что все hom-множества являются абелевыми группами, а композиция морфизмов билинейна .
• Предаддитивная категория является аддитивной , если каждое конечное множество объектов имеет бипроизведение . Это означает, что мы можем образовывать конечные прямые суммы и прямые произведения . В ^[6] Определ. 1.2.6 требуется, чтобы аддитивная категория имела нулевой объект (пустое бипроизведение).
• Аддитивная категория является преабелевой , если каждый морфизм имеет как ядро , так и коядро .
• Наконец, преабелева категория является абелевой, если каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм являются нормальными . Это означает, что каждый мономорфизм является ядром некоторого морфизма, а каждый эпиморфизм является коядром некоторого морфизма.

Обратите внимание, что обогащенная структура на hom-sets является следствием первых трех аксиом первого определения. Это подчеркивает фундаментальную значимость категории абелевых групп в теории и ее каноническую природу.

Понятие точной последовательности возникает естественным образом в этой обстановке, и оказывается, что точные функторы , т. е. функторы, сохраняющие точные последовательности в различных смыслах, являются соответствующими функторами между абелевыми категориями. Это понятие точности было аксиоматизировано в теории точных категорий , образуя весьма частный случай регулярных категорий .

Примеры

• Как упоминалось выше, категория всех абелевых групп является абелевой категорией. Категория всех конечно порождённых абелевых групп также является абелевой категорией, как и категория всех конечных абелевых групп.
• Если R — кольцо , то категория всех левых (или правых) модулей над R является абелевой категорией. Фактически, можно показать, что любая малая абелева категория эквивалентна полной подкатегории такой категории модулей ( теорема вложения Митчелла ).
• Если R — лево- нётерово кольцо , то категория конечно порождённых левых модулей над R абелева. В частности, категория конечно порождённых модулей над нётеровым коммутативным кольцом абелева; таким образом, абелевы категории появляются в коммутативной алгебре .
• Как частные случаи двух предыдущих примеров: категория векторных пространств над фиксированным полем k является абелевой, как и категория конечномерных векторных пространств над k .
• Если X — топологическое пространство , то категория всех (действительных или комплексных) векторных расслоений на X обычно не является абелевой категорией, поскольку могут существовать мономорфизмы, не являющиеся ядрами.
• Если X — топологическое пространство , то категория всех пучков абелевых групп на X является абелевой категорией. В более общем смысле, категория пучков абелевых групп на сайте Гротендика является абелевой категорией. Таким образом, абелевы категории появляются в алгебраической топологии и алгебраической геометрии .
• Если C — малая категория , а A — абелева категория, то категория всех функторов из C в A образует абелеву категорию. Если C — малая и предаддитивная , то категория всех аддитивных функторов из C в A также образует абелеву категорию. Последнее является обобщением примера R -модуля, поскольку кольцо можно понимать как предаддитивную категорию с одним объектом.

Аксиомы Гротендика

В своей статье в журнале Tōhoku Гротендик перечислил четыре дополнительные аксиомы (и их двойственные), которым может удовлетворять абелева категория A. Эти аксиомы широко используются и по сей день. Они следующие:

• AB3 ) Для каждого индексированного семейства ( A _i ) объектов A копроизведение * A _i существует в A (т.е. A является кополным ).
• AB4) A удовлетворяет AB3), и копроизведение семейства мономорфизмов является мономорфизмом.
• AB5 ) A удовлетворяет AB3), и отфильтрованные копределы точных последовательностей являются точными.

и их двойники

• AB3 * ) Для каждого индексированного семейства ( A _i ) объектов A произведение P A _i существует в A (т.е. A является полным ).
• AB4*) A удовлетворяет AB3*), и произведение семейства эпиморфизмов является эпиморфизмом.
• AB5*) A удовлетворяет AB3*), и отфильтрованные пределы точных последовательностей являются точными.

Также были даны аксиомы AB1) и AB2). Они делают аддитивную категорию абелевой. А именно:

• AB1) Каждый морфизм имеет ядро ​​и коядро.
• AB2) Для любого морфизма f канонический морфизм из coim f в im f является изоморфизмом .

Гротендик также дал аксиомы AB6) и AB6*).

• AB6) A удовлетворяет AB3), и для заданного семейства отфильтрованных категорий и отображений имеем , где lim обозначает отфильтрованный копредел. ${\displaystyle I_{j},j\in J}$ ${\displaystyle A_{j}:I_{j}\to A}$ ${\displaystyle \prod _{j\in J}\lim _{I_{j}}A_{j}=\lim _{I_{j},\forall j\in J}\prod _{j\in J}A_{j}}$
• AB6*) A удовлетворяет AB3*), и, учитывая семейство кофильтрованных категорий и отображений , мы имеем , где lim обозначает кофильтрованный предел. ${\displaystyle I_{j},j\in J}$ ${\displaystyle A_{j}:I_{j}\to A}$ ${\displaystyle \sum _{j\in J}\lim _{I_{j}}A_{j}=\lim _{I_{j},\forall j\in J}\sum _{j\in J}A_{j}}$

Элементарные свойства

Для любой пары A , B объектов в абелевой категории существует специальный нулевой морфизм из A в B . Его можно определить как нулевой элемент hom -множества Hom( A , B ), поскольку это абелева группа. В качестве альтернативы его можно определить как уникальную композицию A → 0 → B , где 0 — нулевой объект абелевой категории.

В абелевой категории каждый морфизм f может быть записан как композиция эпиморфизма, за которым следует мономорфизм. Этот эпиморфизм называется кообразом f , в то время как мономорфизм называется образом f .

Подобъекты и фактор-объекты ведут себя хорошо в абелевых категориях. Например, ч.у.м. подобъектов любого заданного объекта A является ограниченной решеткой .

Каждая абелева категория A является модулем над моноидальной категорией конечно порождённых абелевых групп; то есть мы можем образовать тензорное произведение конечно порождённой абелевой группы G и любого объекта A из A . Абелева категория также является комодулем ; Hom( G , A ) можно интерпретировать как объект A . Если A является полной , то мы можем снять требование, чтобы G была конечно порождённой; в самом общем случае мы можем образовать финитные обогащённые пределы в A .

Для объекта в абелевой категории плоскостность относится к идее, что является точным функтором . См. плоский модуль или, для большей общности, плоский морфизм . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle -\otimes A}$

Связанные концепции

Абелевы категории являются наиболее общими для гомологической алгебры . Все конструкции, используемые в этой области, являются релевантными, такие как точные последовательности, и особенно короткие точные последовательности , и производные функторы . Важные теоремы, которые применяются во всех абелевых категориях, включают лемму о пяти (и короткую лемму о пяти как частный случай), а также лемму о змее (и лемму о девяти как частный случай).

Полупростые абелевы категории

Абелева категория называется полупростой, если существует набор объектов, называемых простыми объектами (то есть единственными подобъектами любого из них являются нулевой объект и он сам), такой, что объект можно разложить в виде прямой суммы (обозначающей копроизведение абелевой категории). ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}\in {\text{Ob}}(\mathbf {A} )}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X\in {\text{Ob}}(\mathbf {A} )}$

${\displaystyle X\cong \bigoplus _{i\in I}X_{i}}$

Это техническое условие довольно сильное и исключает многие естественные примеры абелевых категорий, встречающиеся в природе. Например, большинство категорий модулей над кольцом не являются полупростыми; на самом деле, это так, если и только если — полупростое кольцо . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Примеры

Некоторые абелевы категории, встречающиеся в природе, являются полупростыми, например

• Категория векторных пространств над фиксированным полем . ${\displaystyle {\text{Vect}}(k)}$ ${\displaystyle k}$
• По теореме Машке категория представлений конечной группы над полем, характеристика которого не делится, является полупростой абелевой категорией. ${\displaystyle {\text{Rep}}_{k}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle |G|}$
• Категория когерентных пучков на нётеровой схеме является полупростой тогда и только тогда, когда является конечным дизъюнктным объединением неприводимых точек. Это эквивалентно конечному копроизведению категорий векторных пространств над различными полями. Демонстрация того, что это верно в прямом направлении, эквивалентна демонстрации того, что все группы исчезают, что означает, что когомологическая размерность равна 0. Это происходит только тогда, когда пучки небоскребов в точке имеют касательное пространство Зарисского, равное нулю, что изоморфно использованию локальной алгебры для такой схемы. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}(k_{x},k_{x})}$

Не примеры

Существуют некоторые естественные контрпримеры абелевых категорий, которые не являются полупростыми, такие как некоторые категории представлений . Например, категория представлений группы Ли имеет представление ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$

${\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$

которая имеет только одно подпредставление размерности . Фактически, это верно для любой унипотентной группы ^{[8] стр. 112} . ${\displaystyle 1}$

Подкатегории абелевых категорий

В природе встречаются многочисленные типы (полных, аддитивных) подкатегорий абелевых категорий, а также некоторая противоречивая терминология.

Пусть A — абелева категория, C — полная аддитивная подкатегория, а I — функтор включения.

• C является точной подкатегорией, если она сама является точной категорией , а включение I является точным функтором . Это происходит тогда и только тогда, когда C замкнута относительно обратных протяжек эпиморфизмов и выталкиваний мономорфизмов. Таким образом, точные последовательности в C являются точными последовательностями в A , для которых все объекты лежат в C.
• C является абелевой подкатегорией, если она сама является абелевой категорией, а включение I является точным функтором . Это происходит тогда и только тогда, когда C замкнута относительно взятия ядер и коядер. Обратите внимание, что существуют примеры полных подкатегорий абелевой категории, которые сами являются абелевыми, но где функтор включения не является точным, поэтому они не являются абелевыми подкатегориями (см. ниже).
• C является толстой подкатегорией, если она замкнута относительно взятия прямых слагаемых и удовлетворяет свойству 2-из-3 на коротких точных последовательностях; то есть, если — короткая точная последовательность в A такая, что два из лежат в C , то так же поступает и третья. Другими словами, C замкнута относительно ядер эпиморфизмов, коядер мономорфизмов и расширений. Обратите внимание, что П. Габриэль использовал термин толстая подкатегория для описания того, что мы здесь называем подкатегорией Серра . ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$ ${\displaystyle M',M,M''}$
• C является топологизирующей подкатегорией, если она замкнута относительно подфакторов .
• C является подкатегорией Серра , если для всех коротких точных последовательностей в A мы имеем M в C тогда и только тогда, когда оба находятся в C . Другими словами, C замкнута относительно расширений и подфакторов . Эти подкатегории являются в точности ядрами точных функторов из A в другую абелеву категорию. ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$ ${\displaystyle M',M''}$
• C является локализующей подкатегорией , если она является подкатегорией Серра, такой что фактор-функтор допускает правый сопряженный . ${\displaystyle Q\colon \mathbf {A} \to \mathbf {A} /\mathbf {C} }$
• Существуют два конкурирующих понятия широкой подкатегории. Одна версия заключается в том, что C содержит каждый объект A (с точностью до изоморфизма); для полной подкатегории это, очевидно, неинтересно. (Это также называется lluf подкатегорией.) Другая версия заключается в том, что C замкнута относительно расширений.

Вот явный пример полной аддитивной подкатегории абелевой категории, которая сама абелева, но функтор включения не является точным. Пусть k — поле, алгебра верхнетреугольных матриц над k и категория конечномерных -модулей. Тогда каждая из них является абелевой категорией, и у нас есть функтор включения, идентифицирующий простые проективные, простые инъективные и неразложимые проективно-инъективные модули. Существенный образ I — полная аддитивная подкатегория, но I не является точным. ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{n}}$ ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{n}}$ ${\displaystyle I\colon \mathbf {A} _{2}\to \mathbf {A} _{3}}$

История

Абелевы категории были введены Буксбаумом (1955) (под названием «точная категория») и Гротендиком (1957) с целью объединения различных теорий когомологий. В то время существовала теория когомологий для пучков и теория когомологий для групп . Они были определены по-разному, но имели схожие свойства. Фактически, большая часть теории категорий была разработана как язык для изучения этих сходств. Гротендик объединил две теории: они обе возникают как производные функторы на абелевых категориях; абелева категория пучков абелевых групп на топологическом пространстве и абелева категория G -модулей для заданной группы G .

Смотрите также

• Математический портал

• Триангулированная категория

Ссылки

1. Mac Lane, Saunders (2013-04-17). Категории для работающих математиков . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5 (второе изд.). Springer Science+Business Media. стр. 205. ISBN 978-1-4757-4721-8.
2. Гротендик (1957)
3. Дэвид Эйзенбуд и Ежи Вейман. "ПАМЯТНАЯ ДАНЬ В память о Дэвиде Буксбауме" (PDF) . Американское математическое общество . Получено 22.12.2023 .
4. Буксбаум (1955)
5. Питер Фрейд, Абелевы категории
6. Справочник по категорической алгебре, т. 2, Ф. Борсо
7. "алгебраическая геометрия - касательное пространство в точке и первая группа Ext". Mathematics Stack Exchange . Получено 2020-08-23 .
8. Хамфрис, Джеймс Э. (2004). Линейные алгебраические группы. Springer. ISBN 0-387-90108-6. OCLC  77625833.

• Буксбаум, Дэвид А. (1955), «Точные категории и двойственность», Труды Американского математического общества , 80 (1): 1–34, doi : 10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1993003, MR  0074407
• Фрейд, Питер (1964), Абелевы категории, Нью-Йорк: Harper and Row
• Гротендик, Александр (1957), «Sur quelques point d'algèbre homologique», Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 9 : 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , ISSN  0040-8735, MR  0102537
• Митчелл, Барри (1965), Теория категорий , Бостон, Массачусетс: Academic Press
• Попеску, Николае (1973), Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям , Бостон, Массачусетс: Academic Press