Оператор углового момента

Квантово-механический оператор, связанный с вращательной симметрией

В квантовой механике оператор углового момента является одним из нескольких связанных операторов, аналогичных классическому угловому моменту . Оператор углового момента играет центральную роль в теории атомной и молекулярной физики и других квантовых задачах, связанных с вращательной симметрией . Будучи наблюдаемой, его собственные функции представляют различимые физические состояния углового момента системы, а соответствующие собственные значения — наблюдаемые экспериментальные значения. При применении к математическому представлению состояния системы дает то же состояние, умноженное на его значение углового момента, если состояние является собственным состоянием (согласно уравнению собственные состояния/собственные значения). Как в классических, так и в квантово-механических системах угловой момент (вместе с линейным импульсом и энергией ) является одним из трех фундаментальных свойств движения. ^[1]

Существует несколько операторов углового момента: полный угловой момент (обычно обозначается J ), орбитальный угловой момент (обычно обозначается L ) и спиновый угловой момент ( сокращенно спин , обычно обозначается S ). Термин оператор углового момента может (что сбивает с толку) относиться как к полному, так и к орбитальному угловому моменту. Полный угловой момент всегда сохраняется , см. теорему Нётер .

Обзор

«Векторные конусы» полного углового момента J (зеленый), орбитального L (синий) и спинового S (красный). Конусы возникают из-за квантовой неопределенности между измерениями компонент углового момента (см. ниже).

В квантовой механике момент импульса может относиться к одному из трех различных, но связанных между собой понятий.

Орбитальный угловой момент

Классическое определение момента импульса : . Квантово-механические аналоги этих объектов имеют те же отношения: где r — оператор квантового положения , p — оператор квантового импульса , × — векторное произведение , а L — оператор орбитального момента импульса . L (так же, как p и r ) — векторный оператор (вектор, компоненты которого являются операторами), т. е. где L _x , L _y , L _z — три различных квантово-механических оператора. ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$ ${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$

В частном случае одиночной частицы без электрического заряда и спина оператор орбитального углового момента можно записать в базисе положений как: где ∇ — векторный дифференциальный оператор, del . $${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )}$$

Спиновый угловой момент

Существует еще один тип углового момента, называемый спиновым угловым моментом (чаще сокращается до спина ), представленный оператором спина . Спин часто изображается как частица, буквально вращающаяся вокруг оси, но это только метафора: ближайший классический аналог основан на волновой циркуляции. ^[2] Все элементарные частицы имеют характерный спин ( скалярные бозоны имеют нулевой спин). Например, электроны всегда имеют «спин 1/2», а фотоны всегда имеют «спин 1» (подробности ниже). ${\displaystyle \mathbf {S} =\left(S_{x},S_{y},S_{z}\right)}$

Полный угловой момент

Наконец, существует полный угловой момент , который объединяет как спиновый, так и орбитальный угловой момент частицы или системы: ${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$ $${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$$

Сохранение момента импульса гласит, что J для замкнутой системы или J для всей Вселенной сохраняется. Однако L и S , как правило, не сохраняются . Например, спин-орбитальное взаимодействие позволяет моменту импульса передаваться туда и обратно между L и S , при этом общий J остается постоянным.

Соотношения коммутации

Коммутационные соотношения между компонентами

Оператор орбитального углового момента является векторным оператором, то есть его можно записать в терминах его векторных компонент . Компоненты имеют следующие коммутационные соотношения друг с другом: ^[3] ${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$ $${\displaystyle \left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z},\;\;\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x},\;\;\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y},}$$

где [ , ] обозначает коммутатор $${\displaystyle [X,Y]\equiv XY-YX.}$$

В общем виде это можно записать как, где l , m , n — индексы компонентов (1 для x , 2 для y , 3 для z ), а ε _lmn обозначает символ Леви-Чивиты . $${\displaystyle \left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n},}$$

Возможно также компактное выражение в виде одного векторного уравнения: ^[4] $${\displaystyle \mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L} }$$

Соотношения коммутации можно доказать как прямое следствие канонических соотношений коммутации , где δ _lm — символ Кронекера . ${\displaystyle [x_{l},p_{m}]=i\hbar \delta _{lm}}$

Аналогичное соотношение существует в классической физике: ^[5] где L _n — компонент классического оператора момента импульса, а — скобка Пуассона . $${\displaystyle \left\{L_{i},L_{j}\right\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}}$$ ${\displaystyle \{,\}}$

Те же самые коммутационные соотношения применяются для других операторов углового момента (спина и полного углового момента): ^[6] $${\displaystyle \left[S_{l},S_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}S_{n},\quad \left[J_{l},J_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}J_{n}.}$$

Можно предположить, что они выполняются по аналогии с L. В качестве альтернативы их можно вывести , как обсуждается ниже.

Эти коммутационные соотношения означают, что L имеет математическую структуру алгебры Ли , а ε _lmn являются ее структурными константами . В этом случае алгебра Ли имеет вид SU(2) или SO(3) в физических обозначениях ( или соответственно в математических обозначениях), т.е. алгебра Ли, связанная с вращениями в трех измерениях. То же самое относится к J и S. Причина обсуждается ниже. Эти коммутационные соотношения имеют отношение к измерению и неопределенности, как обсуждается далее ниже. ${\displaystyle \operatorname {su} (2)}$ ${\displaystyle \operatorname {so} (3)}$

В молекулах полный угловой момент F является суммой ровибронного (орбитального) углового момента N , электронного спинового углового момента S и ядерного спинового углового момента I. Для электронных синглетных состояний ровибронный угловой момент обозначается как J, а не как N. Как объяснил Ван Флек ^[7] , компоненты молекулярного ровибронного углового момента, относящиеся к фиксированным осям молекулы, имеют другие коммутационные соотношения, чем те, которые приведены выше, которые относятся к компонентам вокруг фиксированных в пространстве осей.

Соотношения коммутации, включающие векторную величину

Как и любой вектор, квадрат величины может быть определен для оператора орбитального углового момента: $${\displaystyle L^{2}\equiv L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}$$

${\displaystyle L^{2}}$— еще один квантовый оператор . Он коммутирует с компонентами , ${\displaystyle \mathbf {L} }$ $${\displaystyle \left[L^{2},L_{x}\right]=\left[L^{2},L_{y}\right]=\left[L^{2},L_{z}\right]=0.}$$

Один из способов доказать, что эти операторы коммутируют, — это начать с коммутационных соотношений [ L _ℓ , L _m ] из предыдущего раздела:

Доказательство [ L ² , L _x ] = 0, исходя из коммутационных соотношений [ L _ℓ , L _m ] ^[8]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[L^{2},L_{x}\right]&=\left[L_{x}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{y}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{z}^{2},L_{x}\right]\\&=L_{y}\left[L_{y},L_{x}\right]+\left[L_{y},L_{x}\right]L_{y}+L_{z}\left[L_{z},L_{x}\right]+\left[L_{z},L_{x}\right]L_{z}\\&=L_{y}\left(-i\hbar L_{z}\right)+\left(-i\hbar L_{z}\right)L_{y}+L_{z}\left(i\hbar L_{y}\right)+\left(i\hbar L_{y}\right)L_{z}\\&=0\end{aligned}}}$$

Математически является инвариантом Казимира алгебры Ли SO(3), натянутой на . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

Как и выше, в классической физике существует аналогичное соотношение: где — компонент классического оператора углового момента, а — скобка Пуассона . ^[9] $${\displaystyle \left\{L^{2},L_{x}\right\}=\left\{L^{2},L_{y}\right\}=\left\{L^{2},L_{z}\right\}=0}$$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle \{,\}}$

Возвращаясь к квантовому случаю, те же самые коммутационные соотношения применимы и к другим операторам углового момента (спину и полному угловому моменту), $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[S^{2},S_{i}\right]&=0,\\\left[J^{2},J_{i}\right]&=0.\end{aligned}}}$$

Принцип неопределенности

В общем, в квантовой механике, когда два наблюдаемых оператора не коммутируют, они называются дополнительными наблюдаемыми . Две дополнительные наблюдаемые не могут быть измерены одновременно; вместо этого они удовлетворяют принципу неопределенности . Чем точнее известна одна наблюдаемая, тем менее точно может быть известна другая. Так же, как существует принцип неопределенности, связывающий положение и импульс, существуют принципы неопределенности для момента импульса.

Соотношение Робертсона–Шредингера дает следующий принцип неопределенности: где — стандартное отклонение измеренных значений X , а — ожидаемое значение X. Это неравенство также верно, если x , y, z переставлены местами или если L заменено на J или S. $${\displaystyle \sigma _{L_{x}}\sigma _{L_{y}}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\langle L_{z}\rangle \right|.}$$ ${\displaystyle \sigma _{X}}$ ${\displaystyle \langle X\rangle }$

Следовательно, две ортогональные компоненты момента импульса (например, L _x и L _y ) являются дополнительными и не могут быть одновременно известны или измерены, за исключением особых случаев, таких как . ${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=0}$

Однако возможно одновременно измерить или указать L ² и любой один компонент L ; например, L ² и L _z . Это часто бывает полезно, и значения характеризуются азимутальным квантовым числом ( l ) и магнитным квантовым числом ( m ). В этом случае квантовое состояние системы является одновременным собственным состоянием операторов L ² и L _z , но не L x или L _y . Собственные значения связаны с l и m , как показано в таблице ниже _.

Квантование

В квантовой механике момент импульса квантуется – то есть он не может изменяться непрерывно, а только «квантовыми скачками» между определенными допустимыми значениями. Для любой системы применяются следующие ограничения на результаты измерений, где – приведенная постоянная Планка : ^[10] ${\displaystyle \hbar }$

Вывод с использованием лестничных операторов

Распространенным способом вывода правил квантования, приведенных выше, является метод лестничных операторов . ^[12] Лестничные операторы для полного углового момента определяются как: ${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&\equiv J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&\equiv J_{x}-iJ_{y}\end{aligned}}}$$

Предположим, что является одновременным собственным состоянием и (т. е. состоянием с определенным значением для и определенным значением для ). Тогда, используя коммутационные соотношения для компонентов , можно доказать, что каждое из состояний и является либо нулем, либо одновременным собственным состоянием и с тем же значением, что и для , но со значениями для , которые увеличиваются или уменьшаются на соответственно. Результат равен нулю, когда использование оператора лестницы в противном случае привело бы к состоянию со значением для , которое находится за пределами допустимого диапазона. Используя операторы лестницы таким образом, можно найти возможные значения и квантовые числа для и . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle J_{+}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle J_{-}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$

Вывод возможных значений и квантовых чисел для и . ^[13] ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J^{2}}$

Пусть будет функцией состояния для системы с собственным значением для и собственным значением для . ^{[примечание 1]} ${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$ ${\displaystyle {J^{2}}'}$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}'}$ ${\displaystyle J_{z}}$

Из получаем, Применяем обе части приведенного выше уравнения к , Так как и являются действительными наблюдаемыми, не является отрицательным и . Таким образом, имеет верхнюю и нижнюю границу. ${\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}$ $${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}.}$$ ${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$ $${\displaystyle (J_{x}^{2}+J_{y}^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')=({J^{2}}'-J_{z}'^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').}$$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle {J^{2}}'-J_{z}'^{2}}$ ${\textstyle |J_{z}'|\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$ ${\displaystyle J_{z}'}$

Два из соотношений коммутации для компонентов имеют вид, Их можно объединить, чтобы получить два уравнения, которые записываются вместе с использованием знаков в следующем виде, где одно из уравнений использует знаки, а другое использует знаки. Применяя обе стороны вышеприведенного к , Вышеизложенное показывает, что есть две собственные функции с соответствующими собственными значениями , если только одна из функций не равна нулю, в этом случае она не является собственной функцией. Для функций, которые не равны нулю, Дополнительные собственные функции и соответствующие собственные значения могут быть найдены путем многократного применения до тех пор, пока величина полученного собственного значения не будет равна . Поскольку собственные значения ограничены, пусть будет наименьшим собственным значением и будет наибольшим. Тогда и поскольку нет состояний, в которых собственное значение равно или . Применяя к первому уравнению, ко второму, используя , и используя также , можно показать, что и Вычитая первое уравнение из второго и переставляя, Поскольку , второй множитель отрицателен. Тогда первый множитель должен быть равен нулю и, следовательно , . ${\displaystyle \mathbf {J} }$ $${\displaystyle [J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x},\;\;[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}.}$$ ${\displaystyle \pm }$ $${\displaystyle J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar ),}$$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')&=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\\&=(J_{z}'\pm \hbar )(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\;.\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle (J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle {J_{z}}'\pm \hbar }$ $${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}'\pm \hbar )=(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').}$$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J_{x}\pm iJ_{y}}$ ${\displaystyle \leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J_{z}^{0}}$ ${\displaystyle J_{z}^{1}}$ $${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{0})=0}$$ $${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{1})=0,}$$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle <J_{z}^{0}}$ ${\displaystyle >J_{z}^{1}}$ ${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})}$ ${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})}$ ${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}}$ ${\displaystyle J_{+}J_{-}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}}$ $${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$$ $${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{1})^{2}-\hbar J_{z}^{1}=0.}$$ $${\displaystyle (J_{z}^{1}+J_{z}^{0})(J_{z}^{0}-J_{z}^{1}-\hbar )=0.}$$ ${\displaystyle J_{z}^{1}\geq J_{z}^{0}}$ ${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$

Разница возникает из-за последовательного применения или , которые понижают или повышают собственное значение на так, что, Пусть , где Тогда используя и выше, и и допустимые собственные значения выражаются через квантовое число и подставляя в из вышесказанного, ${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}}$ ${\displaystyle J_{x}-iJ_{y}}$ ${\displaystyle J_{x}+iJ_{y}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \hbar }$ $${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=0,\hbar ,2\hbar ,\dots }$$ $${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=2j\hbar ,}$$ $${\displaystyle j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.}$$ ${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$ $${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$$ $${\displaystyle J_{z}^{1}=j\hbar ,}$$ ${\displaystyle J_{z}}$ $${\displaystyle J_{z}'=-j\hbar ,-j\hbar +\hbar ,-j\hbar +2\hbar ,\dots ,j\hbar .}$$ ${\displaystyle J_{z}'}$ ${\displaystyle m_{j}\;}$ ${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$ ${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}'&=m_{j}\hbar &m_{j}&=-j,-j+1,-j+2,\dots ,j\\{J^{2}}'&=j(j+1)\hbar ^{2}&j&=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.\end{aligned}}}$

Поскольку и имеют те же коммутационные соотношения , что и , к ним можно применить тот же лестничный анализ, за ​​исключением того, что на квантовые числа накладывается дополнительное ограничение: они должны быть целыми числами. ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

Традиционный вывод ограничения на целые квантовые числа для и . ^[14] ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

В представлении Шредингера z-компонента оператора орбитального углового момента может быть выражена в сферических координатах как, ^[15] Для и собственной функции с собственным значением , Решение для , где не зависит от . Так как требуется, чтобы было однозначным, и добавление к приводит к координате для той же точки в пространстве, Решение для собственного значения , где — целое число. ^[16] Из вышесказанного и соотношения следует, что — также целое число. Это показывает, что квантовые числа и для орбитального углового момента ограничены целыми числами, в отличие от квантовых чисел для полного углового момента и спина , которые могут иметь полуцелые значения. ^[17] $${\displaystyle L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.}$$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle L_{z}'}$ $${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}\psi =L_{z}'\psi .}$$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \psi =Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Ae^{iL_{z}'(\phi +2\pi )/\hbar }&=Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },\\e^{iL_{z}'2\pi /\hbar }&=1.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L_{z}'}$ $${\displaystyle L_{z}'=m_{l}\hbar \;,}$$ ${\displaystyle m_{l}}$ ${\displaystyle m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell \ \ }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

Ниже приведен альтернативный вывод, который не предполагает однозначных волновых функций, а также еще один аргумент с использованием групп Ли.

Альтернативный вывод ограничения на целые квантовые числа для и ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Ключевой частью традиционного вывода выше является то, что волновая функция должна быть однозначной. Теперь многие признают это не совсем правильным: волновая функция не наблюдаема, и только плотность вероятности должна быть однозначной. Возможные двузначные полуцелые волновые функции имеют однозначную плотность вероятности. ^[18] Это было признано Паули в 1939 году (цитируется Джапаридзе и др. ^[19] ) ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{*}\psi }$

... нет априорно убедительного аргумента, утверждающего, что волновые функции, описывающие некоторые физические состояния, должны быть однозначными функциями. Для того, чтобы физические величины, выражаемые квадратами волновых функций, были однозначными, вполне достаточно, чтобы после обхода замкнутого контура эти функции приобрели множитель exp(iα)

Были обнаружены двузначные волновые функции, такие как и . ^{[20] [21]} Они плохо себя ведут под действием лестничных операторов, но оказались полезными при описании жестких квантовых частиц ^[22] ${\displaystyle \left|{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =e^{i\phi /2}\sin ^{\frac {1}{2}}\theta }$ ${\displaystyle \left|{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =e^{-i\phi /2}\sin ^{\frac {1}{2}}\theta }$

Баллентайн ^[23] приводит аргумент, основанный исключительно на операторном формализме и не опирающийся на однозначность волновой функции. Азимутальный угловой момент определяется как Определим новые операторы (Размерная корректность может быть сохранена путем вставки множителей массы и единичной угловой частоты, численно равных единице.) Тогда Но два члена справа — это просто гамильтонианы для квантового гармонического осциллятора с единичной массой и единичной угловой частотой , и , , и все коммутируют. $${\displaystyle L_{z}=Q_{x}P_{y}-Q_{y}P_{x}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}&={\frac {Q_{x}+P_{y}}{\sqrt {2}}}&q_{2}&={\frac {Q_{x}-P_{y}}{\sqrt {2}}}\\p_{1}&={\frac {P_{x}-Q_{y}}{\sqrt {2}}}&p_{2}&={\frac {P_{x}+Q_{y}}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle L_{z}={\tfrac {1}{2}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}&={\tfrac {1}{2}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)\\H_{2}&={\tfrac {1}{2}}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Для коммутирующих эрмитовых операторов можно выбрать полный набор базисных векторов, которые являются собственными векторами для всех четырех операторов. (Аргумент Глориозо ^[24] можно легко обобщить на любое количество коммутирующих операторов.)

Для любого из этих собственных векторов при некоторых целых числах находим, что как разность двух целых чисел должно быть целым числом, из которого также является целым числом. ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}\psi &=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\psi \\L_{z}\psi &=\hbar m\psi \\H_{1}\psi &=\hbar \left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)\psi \\H_{2}\psi &=\hbar \left(n_{2}+{\tfrac {1}{2}}\right)\psi \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n_{1},n_{2}}$ $${\displaystyle m=\left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)-\left(n_{2}+{\tfrac {1}{2}}\right)=n_{1}-n_{2}}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ell }$

Более сложная версия этого аргумента с использованием лестничных операторов квантового гармонического осциллятора была дана Бухдалем. ^[25]

Визуальная интерпретация

Иллюстрация векторной модели орбитального углового момента.

Поскольку угловые моменты являются квантовыми операторами, их нельзя изобразить как векторы, как в классической механике. Тем не менее, их принято изображать эвристически таким образом. Справа изображен набор состояний с квантовыми числами , а для пяти конусов снизу вверх. Поскольку , все векторы показаны с длиной . Кольца представляют факт, который известен с уверенностью, но и неизвестны; поэтому каждый классический вектор с соответствующей длиной и z -компонентой изображен, образуя конус. Ожидаемое значение углового момента для данного ансамбля систем в квантовом состоянии, характеризуемом и , может находиться где-то на этом конусе, в то время как для отдельной системы оно не может быть определено (поскольку компоненты не коммутируют друг с другом). ${\displaystyle \ell =2}$ ${\displaystyle m_{\ell }=-2,-1,0,1,2}$ ${\displaystyle |L|={\sqrt {L^{2}}}=\hbar {\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle \hbar {\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{y}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m_{\ell }}$ ${\displaystyle L}$

Квантование в макроскопических системах

Широко распространено мнение, что правила квантования верны даже для макроскопических систем, таких как угловой момент L вращающейся шины. Однако они не имеют наблюдаемого эффекта, поэтому это не проверялось. Например, если приблизительно 100000000, то по сути нет никакой разницы, является ли точное значение целым числом, например 100000000 или 100000001, или нецелым числом, например 100000000.2 — дискретные шаги в настоящее время слишком малы для измерения. ^[26] ${\displaystyle L_{z}/\hbar }$

Угловой момент как генератор вращений

Наиболее общее и фундаментальное определение углового момента — это как генератора вращений. ^[6] Более конкретно, пусть будет оператором вращения , который вращает любое квантовое состояние вокруг оси на угол . Так как , оператор приближается к оператору тождества , поскольку вращение на 0° отображает все состояния в себя. Тогда оператор углового момента вокруг оси определяется как: ^[6] ${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi \rightarrow 0}$ ${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )}$ ${\displaystyle J_{\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ $${\displaystyle J_{\hat {n}}\equiv i\hbar \lim _{\phi \rightarrow 0}{\frac {R\left({\hat {n}},\phi \right)-1}{\phi }}=\left.i\hbar {\frac {\partial R\left({\hat {n}},\phi \right)}{\partial \phi }}\right|_{\phi =0}}$$

где 1 — оператор тождества . Также отметим, что R — аддитивный морфизм:  ; как следствие ^[6] где exp — матричная экспонента . Существование генератора гарантируется теоремой Стоуна об однопараметрических унитарных группах . ${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi _{1}+\phi _{2}\right)=R\left({\hat {n}},\phi _{1}\right)R\left({\hat {n}},\phi _{2}\right)}$ $${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi J_{\hat {n}}}{\hbar }}\right)}$$

Проще говоря, оператор полного углового момента характеризует, как изменяется квантовая система при ее вращении. Связь между операторами углового момента и операторами вращения такая же, как связь между алгебрами Ли и группами Ли в математике, как обсуждается ниже.

Различные типы операторов вращения . В верхнем поле показаны две частицы, спиновые состояния которых схематически обозначены стрелками.

1. Оператор R , связанный с J , вращает всю систему.
2. Оператор R _{пространственный} , связанный с L , вращает положения частиц, не изменяя их внутренних спиновых состояний.
3. Оператор R _{внутренний} , связанный с S , вращает внутренние спиновые состояния частиц, не меняя их положения.

Так же, как J является генератором для операторов вращения , L и S являются генераторами для модифицированных операторов частичного вращения. Оператор вращает положение (в пространстве) всех частиц и полей, не вращая внутреннее (спиновое) состояние любой частицы. Аналогично, оператор вращает внутреннее (спиновое) состояние всех частиц, не перемещая никаких частиц или полей в пространстве. Соотношение J = L + S происходит из: $${\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi L_{\hat {n}}}{\hbar }}\right),}$$ $${\displaystyle R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi S_{\hat {n}}}{\hbar }}\right),}$$ $${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)=R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)}$$

т.е. если положения поворачиваются, а затем поворачиваются внутренние состояния, то в целом вся система поворачивается.

SU(2), SO(3) и вращения на 360°

Хотя можно было бы ожидать (поворот на 360° является тождественным оператором), это не предполагается в квантовой механике, и оказывается, что это часто неверно: когда полное квантовое число углового момента является полуцелым числом (1/2, 3/2 и т. д.), , а когда оно является целым числом, . ^[6] Математически структура вращений во Вселенной не является SO(3) , группой трехмерных вращений в классической механике. Вместо этого это SU(2) , которая идентична SO(3) для малых вращений, но где вращение на 360° математически отличается от вращения на 0°. (Однако вращение на 720° то же самое, что и вращение на 0°.) ^[6] ${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=1}$ ${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=-1}$ ${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$

С другой стороны, при любых обстоятельствах, поскольку вращение пространственной конфигурации на 360° равносильно отсутствию вращения вообще. (Это отличается от вращения на 360° внутреннего ( спинового) состояния частицы, которое может быть или не быть равносильно отсутствию вращения вообще.) Другими словами, операторы несут структуру SO(3) , тогда как и несут структуру SU(2) . ${\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$ ${\displaystyle R_{\text{spatial}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{\text{internal}}}$

Из уравнения выбирается собственное состояние и выводится то есть квантовые числа орбитального углового момента могут быть только целыми, а не полуцелыми числами. ${\displaystyle +1=R_{\text{spatial}}\left({\hat {z}},360^{\circ }\right)=\exp \left(-2\pi iL_{z}/\hbar \right)}$ ${\displaystyle L_{z}|\psi \rangle =m\hbar |\psi \rangle }$ $${\displaystyle e^{-2\pi im}=1}$$

Связь с теорией репрезентации

Начиная с определенного квантового состояния , рассмотрим множество состояний для всех возможных и , т.е. множество состояний, которые возникают при вращении начального состояния всеми возможными способами. Линейная оболочка этого множества является векторным пространством , и поэтому способ, которым операторы вращения отображают одно состояние на другое, является представлением группы операторов вращения. ${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$ ${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)\left|\psi _{0}\right\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle \phi }$

Когда операторы вращения действуют на квантовые состояния, они образуют представление группы Ли SU(2) (для R и R _{внутренних} ) или SO(3) (для R _{пространственных} ).

Из соотношения между J и операторами вращения,

Когда операторы углового момента действуют на квантовые состояния, они образуют представление алгебры Ли или . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

(Алгебры Ли SU(2) и SO(3) идентичны.)

Вывод лестничного оператора, приведенный выше, является методом классификации представлений алгебры Ли SU(2).

Связь с коммутационными отношениями

Классические вращения не коммутируют друг с другом: например, вращение на 1° вокруг оси x , а затем на 1° вокруг оси y дает немного иное общее вращение, чем вращение на 1° вокруг оси y , а затем на 1° вокруг оси x . Тщательно проанализировав эту некоммутативность, можно вывести коммутационные соотношения операторов углового момента. ^[6]

(Эта же вычислительная процедура является одним из способов ответа на математический вопрос «Какова алгебра Ли групп Ли SO(3) или SU(2) ?»)

Сохранение момента импульса

Гамильтониан H представляет энергию и динамику системы. В сферически симметричной ситуации гамильтониан инвариантен относительно вращений: где R — оператор вращения . Как следствие, , а затем из-за связи между J и R . По теореме Эренфеста следует, что J сохраняется. $${\displaystyle RHR^{-1}=H}$$ ${\displaystyle [H,R]=0}$ ${\displaystyle [H,\mathbf {J} ]=\mathbf {0} }$

Подводя итог, если H инвариантна относительно вращения (Говорят, что функция Гамильтона, определенная на пространстве внутреннего произведения, имеет инвариантность относительно вращения, если ее значение не меняется при применении произвольных вращений к ее координатам.), то полный угловой момент J сохраняется. Это пример теоремы Нётер .

Если H — это просто гамильтониан для одной частицы, то полный угловой момент этой частицы сохраняется, когда частица находится в центральном потенциале (т. е. когда функция потенциальной энергии зависит только от ). В качестве альтернативы H может быть гамильтонианом всех частиц и полей во Вселенной, и тогда H всегда инвариантен относительно вращения, поскольку фундаментальные законы физики Вселенной одинаковы независимо от ориентации. Это является основанием для утверждения, что сохранение углового момента является общим принципом физики. ${\displaystyle \left|\mathbf {r} \right|}$

Для частицы без спина J = L , поэтому орбитальный угловой момент сохраняется в тех же обстоятельствах. Когда спин не равен нулю, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться от L к S или обратно. Поэтому L сам по себе не сохраняется.

Угловая связь импульса

Часто два или более видов углового момента взаимодействуют друг с другом, так что угловой момент может передаваться от одного к другому. Например, в спин-орбитальной связи угловой момент может передаваться между L и S , но сохраняется только общий J = L + S. В другом примере в атоме с двумя электронами каждый имеет свой собственный угловой момент J ₁ и J ₂ , но сохраняется только общий J = J ₁ + J _{2 .}

В таких ситуациях часто бывает полезно знать соотношение между, с одной стороны, состояниями, где все имеют определенные значения, и, с другой стороны, состояниями, где все имеют определенные значения, поскольку последние четыре обычно сохраняются (константы движения). Процедура перехода между этими базами заключается в использовании коэффициентов Клебша–Гордана . ${\displaystyle \left(J_{1}\right)_{z},\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)_{z},\left(J_{2}\right)^{2}}$ ${\displaystyle \left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2},J_{z}}$

Одним из важных результатов в этой области является то, что установлена ​​связь между квантовыми числами для : ${\displaystyle \left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2}}$ $${\displaystyle j\in \left\{\left|j_{1}-j_{2}\right|,\left(\left|j_{1}-j_{2}\right|+1\right),\ldots ,\left(j_{1}+j_{2}\right)\right\}.}$$

Для атома или молекулы с J = L + S термин символ дает квантовые числа, связанные с операторами . ${\displaystyle L^{2},S^{2},J^{2}}$

Орбитальный момент импульса в сферических координатах

Операторы углового момента обычно возникают при решении задачи со сферической симметрией в сферических координатах . Угловой момент в пространственном представлении равен ^{[27] [28]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\\&=i\hbar \left({\hat {\mathbf {x} }}\left(\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+{\hat {\mathbf {y} }}\left(-\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)-{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\L_{+}&=\hbar e^{i\phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L_{-}&=\hbar e^{-i\phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}-i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L^{2}&=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right),\\L_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.\end{aligned}}}$$

В сферических координатах угловая часть оператора Лапласа может быть выражена через момент импульса. Это приводит к соотношению $${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\frac {L^{2}}{\hbar ^{2}r^{2}}}.}$$

При решении задачи нахождения собственных состояний оператора получаем следующее, где — сферические гармоники . ^[29] ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}\left|\ell ,m\right\rangle &=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\left|\ell ,m\right\rangle \\L_{z}\left|\ell ,m\right\rangle &=\hbar m\left|\ell ,m\right\rangle \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \left\langle \theta ,\phi |\ell ,m\right\rangle =Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )}$$

Смотрите также

• Вектор Рунге–Ленца (используется для описания формы и ориентации тел на орбите)
• Преобразование Гольштейна – Примакова.
• Отображение Иордана ( бозонная модель углового момента Швингера [ ^30] )
• Псевдовектор Паули–Любанского
• Диаграммы углового момента (квантовая механика)
• Сферическая основа
• Оператор тензора
• Орбитальное намагничивание
• Орбитальный угловой момент свободных электронов
• Орбитальный угловой момент света

Примечания

1. В выводе Кондона и Шортли, на котором основан текущий вывод, набор наблюдаемых вместе с и образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых. Кроме того, они потребовали, чтобы коммутировал с и . ^[13] Текущий вывод упрощен за счет того, что не включает набор или соответствующий ему набор собственных значений . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Ссылки

1. Введение в квантовую механику, Ричард Л. Либофф , 2-е издание, ISBN  0-201-54715-5
2. Оганян, Ханс К. (1986-06-01). «Что такое спин?» (PDF) . American Journal of Physics . 54 (6): 500–505. Bibcode : 1986AmJPh..54..500O. doi : 10.1119/1.14580. ISSN  0002-9505.
3. Арулдхас, Г. (2004-02-01). "формула (8.8)". Квантовая механика . Prentice Hall India. стр. 171. ISBN 978-81-203-1962-2.
4. Шанкар, Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Kluwer Academic / Plenum. стр. 319. ISBN 9780306447907.
5. Х. Голдштейн, Ч. П. Пул и Дж. Сафко, Классическая механика, 3-е издание , Addison-Wesley 2002, стр. 388 и далее.
6. Литтлджон, Роберт (2011). "Lecture Notes on Rotations in Quantum Mechanics" (PDF) . Physics 221B Spring 2011 . Архивировано из оригинала (PDF) 26 августа 2014 . Получено 13 января 2012 .
7. JH Van Vleck (1951). "Связь векторов углового момента в молекулах". Reviews of Modern Physics . 23 (3): 213. Bibcode :1951RvMP...23..213V. doi :10.1103/RevModPhys.23.213.
8. Гриффитс, Дэвид Дж. (1995). Введение в квантовую механику . Prentice Hall . стр. 146.
9. Голдштейн и др., стр. 410
10. Кондон, EU ; Шортли, GH (1935). "Глава III: Угловой момент". Квантовая теория атомных спектров. Cambridge University Press. ISBN 9780521092098.
11. Введение в квантовую механику: с приложениями к химии , Лайнус Полинг, Эдгар Брайт Уилсон, стр. 45, ссылка на Google Books
12. Гриффитс, Дэвид Дж. (1995). Введение в квантовую механику . Prentice Hall . С. 147–149.
13. Condon & Shortley 1935, стр. 46–47
14. Кондон и Шортли 1935, стр. 50–51.
15. Кондон и Шортли 1935, стр. 50, уравнение 1
16. Кондон и Шортли 1935, стр. 50, уравнение 3
17. Кондон и Шортли 1935, стр. 51.
18. Ballentine, LE (1998). Квантовая механика: современное развитие . World Scientific Publishing. стр. 169.
19. Джапаридзе, Г.; Хелашвили, А.; Турашвили, К. (2020). «Критические замечания о квантовании углового момента: II. Анализ, основанный на требовании, чтобы собственная функция третьей компоненты оператора углового момента была однозначной периодической функцией». arXiv : 2004.10673 [physics.gen-ph].
20. Хантер, Г.; и др. (1999). «Квазисферические гармоники фермионов». Journal of Physics A. 32 ( 5): 795–803. arXiv : math-ph/9810001 . Bibcode : 1999JPhA...32..795H. doi : 10.1088/0305-4470/32/5/011. S2CID  119721724.
21. Хантер, Г.; И., Шлифер (2008). «Явные спиновые координаты». arXiv : quant-ph/0507008 .
22. Павшич, М (2007). «Жёсткая частица и её спин снова». Основы физики . 37 (1): 40–79. arXiv : hep-th/0412324 . Bibcode :2007FoPh...37...40P. doi :10.1007/s10701-006-9094-4. S2CID  119648904.
23. Ballentine, LE (1998). Квантовая механика: современное развитие . World Scientific Publishing. С. 169–171.
24. Glorioso, P. "On common eigenbases of commuting operations" (PDF) . Получено 14 августа 2021 г. .
25. Buchdahl, HA (1962). «Замечание относительно собственных значений орбитального углового момента». American Journal of Physics . 30 (11): 829–831. Bibcode : 1962AmJPh..30..829B. doi : 10.1119/1.1941817.
26. Даунс, Шон (29 июля 2022 г.). «Спиновый угловой момент». Физика! .
27. Бес, Дэниел Р. (2007). Квантовая механика . Расширенные тексты по физике. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 70. Bibcode : 2007qume.book.....B. doi : 10.1007/978-3-540-46216-3. ISBN 978-3-540-46215-6.
28. Сравните и сопоставьте с контрагредиентным классическим L.
29. Сакурай, Дж. Дж. и Наполитано, Дж. (2010), Современная квантовая механика (2-е издание) (Пирсон) ISBN 978-0805382914 
30. Швингер, Джулиан (1952). Об угловом моменте (PDF) . Комиссия по атомной энергии США.

Дальнейшее чтение

• Эберс, Э. (2004). Квантовая механика . Addison Wesley, Prentice Hall Inc. ISBN 978-0-13-146100-0.
• Biedenharn, LC ; Louck, James D. (1984). Угловой момент в квантовой физике: теория и применение. Энциклопедия математики и ее применения. Кембридж: Cambridge University Press. Bibcode : 1984amqp.book.....B. doi : 10.1017/cbo9780511759888. ISBN 978-0-521-30228-9.
• Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Физика атомов и молекул . Longman. ISBN 0-582-44401-2.
• Фейнман, Ричард П.; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс, Мэтью. "Гл. 18: Угловой момент". Лекции Фейнмана по физике, том III (ред. New Millennium).
• Макмахон, Д. (2006). Квантовая механика демистифицирована . McGraw Hill (США). ISBN 0-07-145546 9.
• Zare, RN (1991). Угловой момент. Понимание пространственных аспектов в химии и физике . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-47-1858928.