Симметричное пространство

В математике симметричное пространство — это риманово многообразие (или, в более общем смысле, псевдориманово многообразие ), группа изометрий которого содержит инверсионную симметрию относительно каждой точки. Это можно изучать с помощью инструментов римановой геометрии , что приводит к следствиям в теории голономии ; или алгебраически через теорию Ли , что позволило Картану дать полную классификацию. Симметричные пространства обычно встречаются в дифференциальной геометрии , теории представлений и гармоническом анализе .

В геометрических терминах полное, односвязное риманово многообразие является симметричным пространством тогда и только тогда, когда его тензор кривизны инвариантен относительно параллельного переноса. В более общем смысле, риманово многообразие ( M , g ) называется симметричным тогда и только тогда, когда для каждой точки p из M существует изометрия M , фиксирующая p и действующая на касательное пространство как минус тождество (каждое симметричное пространство является полным , поскольку любая геодезическая может быть продолжена до бесконечности посредством симметрий относительно конечных точек). Оба описания также могут быть естественным образом расширены до случая псевдоримановых многообразий . $T_{p}M$

С точки зрения теории Ли, симметричное пространство — это фактор-пространство G / H связной группы Ли G по подгруппе Ли H , которая является (связной компонентой) инвариантной группой инволюции группы G. Это определение включает в себя больше, чем риманово определение, и сводится к нему, когда H компактно.

Симметричные римановы пространства возникают в самых разных ситуациях как в математике, так и в физике. Их центральная роль в теории голономии была открыта Марселем Берже . Они являются важными объектами изучения в теории представлений и гармоническом анализе, а также в дифференциальной геометрии.

Геометрическое определение

Пусть M — связное риманово многообразие, а p — точка M. Диффеоморфизм f окрестности p называется геодезической симметрией , если он фиксирует точку p и меняет геодезические, проходящие через эту точку, т. е. если γ — геодезическая с то Отсюда следует, что производная отображения f в точке p равна минус тождественному отображению на касательном пространстве p . На общем римановом многообразии f не обязательно изометричен и, вообще говоря, не может быть продолжен с окрестности p на все M. $\gamma (0)=p$ $f(\gamma (t))=\gamma (-t).$

Говорят, что M локально риманово симметрично , если его геодезические симметрии на самом деле изометричны. Это эквивалентно обращению в нуль ковариантной производной тензора кривизны. Говорят, что локально симметричное пространство является (глобально) симметричным пространством , если , кроме того, его геодезические симметрии могут быть расширены до изометрий на всех M.

Основные свойства

Теорема Картана –Амброуза–Хикса подразумевает, что M является локально риманово симметричным тогда и только тогда, когда его тензор кривизны ковариантно постоянен , и, более того, что каждое односвязное полное локально риманово симметричное пространство на самом деле является риманово симметричным .

Каждое риманово симметрическое пространство M является полным и риманово однородным (это означает, что группа изометрий M действует транзитивно на M ). Фактически, уже единичный компонент группы изометрий действует транзитивно на M (потому что M связно).

Локально римановы симметричные пространства, которые не являются риманово симметричными, могут быть построены как факторы римановых симметричных пространств по дискретным группам изометрий без неподвижных точек и как открытые подмножества (локально) римановых симметричных пространств.

Примеры

Базовыми примерами римановых симметричных пространств являются евклидово пространство , сферы , проективные пространства и гиперболические пространства , каждое из которых имеет свою стандартную риманову метрику. Дополнительные примеры предоставляются компактными полупростыми группами Ли, оснащенными биинвариантной римановой метрикой.

Каждая компактная риманова поверхность рода больше 1 (с ее обычной метрикой постоянной кривизны −1) является локально симметричным пространством, но не симметричным пространством.

Каждое линзовое пространство локально симметрично, но не симметрично, за исключением , которое симметрично. Линзовые пространства являются факторами 3-сферы по дискретной изометрии, которая не имеет неподвижных точек. $L(2,1)$

Примером нериманова симметричного пространства является антидеситтеровское пространство .

Алгебраическое определение

Пусть G — связная группа Ли . Тогда симметричное пространство для G — это однородное пространство G / H , где стабилизатор H типичной точки — открытая подгруппа множества неподвижных точек инволюции σ в Aut( G ). Таким образом, σ — автоморфизм группы G с σ ² = id _G , а H — открытая подгруппа инвариантного множества

G^{\sigma }=\{g\in G:\sigma (g)=g\}.

Поскольку H открыто, оно представляет собой объединение компонентов G ^σ (включая, конечно, компонент тождества).

Как автоморфизм G , σ фиксирует единичный элемент, и, следовательно, дифференцируя в единице, он индуцирует автоморфизм алгебры Ли G , также обозначаемый σ , квадрат которого является единицей. Отсюда следует, что собственные значения σ равны ±1. Собственное пространство +1 является алгеброй Ли H ( поскольку это алгебра Ли G ^σ ), а собственное пространство −1 будет обозначаться . Поскольку σ является автоморфизмом , это дает разложение в прямую сумму ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {m}}$ ${\mathfrak {g}}$

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}

[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}},\;[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {m}},\;[{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}.

Первое условие выполняется автоматически для любого однородного пространства: оно просто говорит, что инфинитезимальный стабилизатор является подалгеброй Ли в . Второе условие означает, что является -инвариантным дополнением к в . Таким образом, любое симметричное пространство является редуктивным однородным пространством , но существует много редуктивных однородных пространств, которые не являются симметричными пространствами. Ключевой особенностью симметричных пространств является третье условие, которое заключает в скобки . ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {m}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {m}}$ ${\mathfrak {h}}$

Наоборот, для любой алгебры Ли с разложением в прямую сумму, удовлетворяющей этим трем условиям, линейное отображение σ , равное единице на и минус единица на , является инволютивным автоморфизмом. ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {m}}$

Симметричные римановы пространства удовлетворяют теоретико-лиевской характеристике

Если M — риманово симметрическое пространство, то единичная компонента G группы изометрий M является группой Ли, действующей транзитивно на M (то есть M является риманово однородным). Следовательно, если мы фиксируем некоторую точку p из M , M диффеоморфно фактору G/K , где K обозначает группу изотропии действия G на M в точке p . Дифференцируя действие в точке p , мы получаем изометрическое действие K на T _p M . Это действие является точным (например, по теореме Костанта любая изометрия в единичной компоненте определяется ее 1-струей в любой точке), и поэтому K является подгруппой ортогональной группы T _p M , следовательно, компактной. Более того, если мы обозначим через s _p : M → M геодезическую симметрию M в точке p , то отображение

\sigma :G\to G,h\mapsto s_{p}\circ h\circ s_{p}

является инволютивным автоморфизмом группы Ли, таким, что группа изотропии K содержится между группой неподвижных точек и ее компонентой тождества (следовательно, открытой подгруппой). Для получения дополнительной информации см. определение и следующее предложение на стр. 209, глава IV, раздел 3 в книге Хелгасона «Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства». $G^{\sigma }$ $(G^{\sigma })_{o}\,,$

Подводя итог, M — это симметричное пространство G / K с компактной группой изотропии K. Наоборот, симметричные пространства с компактной группой изотропии являются римановыми симметричными пространствами, хотя и не обязательно единственным образом. Чтобы получить структуру риманового симметричного пространства, нам нужно зафиксировать K -инвариантное скалярное произведение на касательном пространстве к G / K в единичном смежном классе eK : такое скалярное произведение всегда существует при усреднении, поскольку K компактно, и, действуя с G , мы получаем G -инвариантную риманову метрику g на G / K .

Чтобы показать, что G / K является риманово симметричным, рассмотрим любую точку p = hK (класс смежности K , где h ∈ G ) и определим

s_{p}:M\to M,\quad h'K\mapsto h\sigma (h^{-1}h')K

где σ — инволюция G , фиксирующая K. Тогда можно проверить, что s _p — изометрия с (очевидно) s _p ( p ) = p и (дифференцируя) d s _{p ,} равным минус единице на T _p M . Таким образом, s _p — геодезическая симметрия, и, поскольку p было произвольным, M — риманово симметрическое пространство.

Если начать с риманова симметричного пространства M , а затем последовательно выполнить эти две конструкции, то полученное риманово симметричное пространство будет изометричным исходному. Это показывает, что «алгебраические данные» ( G , K , σ , g ) полностью описывают структуру M .

Классификация римановых симметрических пространств

Алгебраическое описание римановых симметрических пространств позволило Эли Картану получить в 1926 году их полную классификацию.

Для заданного риманова симметричного пространства M пусть ( G , K , σ , g ) будут алгебраическими данными, связанными с ним. Чтобы классифицировать возможные классы изометрий M , сначала отметим, что универсальное покрытие риманова симметричного пространства снова является римановым симметричным, а отображение покрытия описывается делением связной группы изометрий G покрытия на подгруппу его центра. Поэтому мы можем предположить без потери общности, что M односвязно. (Это подразумевает, что K связано длинной точной последовательностью расслоения , поскольку G связано по предположению.)

Схема классификации

Односвязное риманово симметричное пространство называется неприводимым , если оно не является произведением двух или более римановых симметричных пространств. Тогда можно показать, что любое односвязное риманово симметричное пространство является римановым произведением неприводимых. Поэтому мы можем далее ограничиться классификацией неприводимых односвязных римановых симметричных пространств.

Следующий шаг — показать, что любое неприводимое односвязное риманово симметрическое пространство M относится к одному из следующих трех типов:

Евклидов тип : M имеет исчезающую кривизну и, следовательно, изометрично евклидову пространству .
Компактный тип : M имеет неотрицательную (но не тождественно нулевую) секционную кривизну .
Некомпактный тип : M имеет неположительную (но не тождественно нулевую) секционную кривизну.

Более точным инвариантом является ранг , который является максимальной размерностью подпространства касательного пространства (к любой точке), на котором кривизна тождественно равна нулю. Ранг всегда не меньше единицы, с равенством, если секционная кривизна положительна или отрицательна. Если кривизна положительна, пространство имеет компактный тип, а если отрицательна, то некомпактный тип. Пространства евклидова типа имеют ранг, равный их размерности, и изометричны евклидову пространству этой размерности. Поэтому остается классифицировать неприводимые односвязные римановы симметрические пространства компактного и некомпактного типа. В обоих случаях имеется два класса.

A. G — (действительная) простая группа Ли;

B. G является либо произведением компактной простой группы Ли на саму себя (компактный тип), либо комплексификацией такой группы Ли (некомпактный тип).

Примеры в классе B полностью описываются классификацией простых групп Ли . Для компактного типа M — компактная односвязная простая группа Ли, G — это M × M , а K — диагональная подгруппа. Для некомпактного типа G — односвязная комплексная простая группа Ли, а K — ее максимальная компактная подгруппа. В обоих случаях ранг равен рангу G.

Компактные односвязные группы Ли являются универсальными накрытиями классических групп Ли SO( n ), SU( n ), Sp( n ) и пяти исключительных групп Ли E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ , G ₂ .

Примеры класса A полностью описываются классификацией некомпактных односвязных вещественных простых групп Ли. Для некомпактного типа G является такой группой, а K — ее максимальной компактной подгруппой. Каждому такому примеру соответствует пример компактного типа, если рассмотреть максимальную компактную подгруппу комплексификации G , содержащую K. Более непосредственно, примеры компактного типа классифицируются инволютивными автоморфизмами компактных односвязных простых групп Ли G (с точностью до сопряжения). Такие инволюции распространяются на инволюции комплексификации G , а они, в свою очередь, классифицируют некомпактные вещественные формы G.

Таким образом, в обоих классах A и B существует соответствие между симметричными пространствами компактного типа и некомпактного типа. Это известно как двойственность для римановых симметричных пространств.

Результат классификации

Специализируясь на римановых симметрических пространствах класса A и компактного типа, Картан обнаружил, что существуют следующие семь бесконечных серий и двенадцать исключительных римановых симметрических пространств G / K . Здесь они даны в терминах G и K , вместе с геометрической интерпретацией, если она легко доступна. Маркировка этих пространств дана Картаном.

Как грассманианцы

Более современная классификация (Хуан и Леунг 2010) равномерно классифицирует римановы симметрические пространства, как компактные, так и некомпактные, с помощью конструкции магического квадрата Фрейденталя . Неприводимые компактные римановы симметрические пространства являются, с точностью до конечных покрытий, либо компактной простой группой Ли, грассманианом, лагранжевым грассманианом или двойным лагранжевым грассманианом подпространств для нормированных алгебр с делением A и B. Подобная конструкция производит неприводимые некомпактные римановы симметрические пространства. $(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{n},$

Общие симметричные пространства

Важным классом симметричных пространств, обобщающих римановы симметричные пространства, являются псевдоримановы симметричные пространства , в которых риманова метрика заменяется псевдоримановой метрикой (невырожденной вместо положительно определенной на каждом касательном пространстве). В частности, лоренцевы симметричные пространства , т. е. n- мерные псевдоримановы симметричные пространства сигнатуры ( n − 1,1), играют важную роль в общей теории относительности , наиболее яркими примерами являются пространство Минковского , пространство де Ситтера и анти-де Ситтера (с нулевой, положительной и отрицательной кривизной соответственно). Пространство де Ситтера размерности n можно отождествить с однополостным гиперболоидом в пространстве Минковского размерности n + 1.

Симметричные и локально симметричные пространства в общем случае можно рассматривать как аффинные симметричные пространства. Если M = G / H — симметричное пространство, то Номидзу показал, что существует G -инвариантная аффинная связность без кручения (т. е. аффинная связность, тензор кручения которой равен нулю) на M , кривизна которой параллельна . Обратно, многообразие с такой связностью локально симметрично (т. е. его универсальное покрытие является симметричным пространством). Такие многообразия также можно описать как те аффинные многообразия, геодезические симметрии которых являются глобально определенными аффинными диффеоморфизмами, обобщающими риманов и псевдориманов случай.

Результаты классификации

Классификация римановых симметрических пространств не распространяется легко на общий случай по той простой причине, что не существует общего разложения симметрического пространства в произведение неприводимых. Здесь симметрическое пространство G / H с алгеброй Ли

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}

называется неприводимым, если является неприводимым представлением . Поскольку в общем случае не является полупростым (или даже неприводимым), он может иметь неразложимые представления, которые не являются неприводимыми. ${\mathfrak {m}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}$

Однако неприводимые симметричные пространства можно классифицировать. Как показал Кацуми Номидзу , существует дихотомия: неприводимое симметричное пространство G / H либо плоское (т. е. аффинное пространство), либо полупростое. Это аналог римановой дихотомии между евклидовыми пространствами и пространствами компактного или некомпактного типа, и это побудило М. Бергера классифицировать полупростые симметричные пространства (т. е. те, которые полупросты) и определить, какие из них неприводимы. Последний вопрос более тонкий, чем в римановом случае: даже если является простым, G / H может не быть неприводимым. ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$

Как и в римановом случае, существуют полупростые симметрические пространства с G = H × H . Любое полупростое симметрическое пространство является произведением симметрических пространств этого вида с симметрическими пространствами, такими что является простым. Осталось описать последний случай. Для этого нужно классифицировать инволюции σ (действительной) простой алгебры Ли . Если не является простым, то является комплексной простой алгеброй Ли, и соответствующие симметрические пространства имеют вид G / H , где H является вещественной формой G : это аналоги римановых симметрических пространств G / K , где G является комплексной простой группой Ли, а K — максимальной компактной подгруппой. ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}^{c}$ ${\mathfrak {g}}$

Таким образом, мы можем предположить, что является простым. Действительная подалгебра может рассматриваться как множество неподвижных точек комплексной антилинейной инволюции τ из , в то время как σ продолжается до комплексной антилинейной инволюции коммутирующей с τ и, следовательно, также комплексной линейной инволюции σ ∘ τ . ${\mathfrak {g}}^{c}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}^{c}$ ${\mathfrak {g}}^{c}$

Таким образом, классификация сводится к классификации коммутирующих пар антилинейных инволюций комплексной алгебры Ли. Композиция σ ∘ τ определяет комплексное симметричное пространство, в то время как τ определяет вещественную форму. Из этого легко построить таблицы симметричных пространств для любого заданного , и, кроме того, существует очевидная двойственность, заданная заменой σ и τ . Это расширяет двойственность компакт/некомпакт из риманова случая, где либо σ, либо τ является инволюцией Картана , т. е. ее множество неподвижных точек является максимальной компактной подалгеброй. ${\mathfrak {g}}^{c}$

Таблицы

В следующей таблице вещественные симметричные пространства индексированы комплексными симметричными пространствами и вещественными формами для каждой классической и исключительной комплексной простой группы Ли.

Для исключительных простых групп Ли риманов случай явно включен ниже, позволяя σ быть тождественной инволюцией (обозначенной тире). В приведенных выше таблицах это неявно охватывается случаем kl = 0 .

Слабо симметричные римановы пространства

В 1950-х годах Атле Сельберг расширил определение симметричного пространства Картана до определения слабо симметричного риманова пространства , или в современной терминологии слабо симметричного пространства . Они определяются как римановы многообразия M с транзитивной связной группой Ли изометрий G и изометрией σ, нормализующей G, такой, что для заданных x , y в M существует изометрия s в G, такая, что sx = σy и sy = σx . ( Предположение Сельберга о том, что σ ² должен быть элементом G , позднее было показано Эрнестом Винбергом как необязательное .) Сельберг доказал, что слабо симметричные пространства порождают пары Гельфанда , так что, в частности, унитарное представление G на L ² ( M ) не имеет кратностей.

Определение Сельберга можно также эквивалентно сформулировать в терминах обобщения геодезической симметрии. Требуется, чтобы для каждой точки x в M и касательного вектора X в x существовала изометрия s M , зависящая от x и X , такая, что

s исправляет x ;
производная s в точке x переводит X в − X.

Когда s не зависит от X , M является симметричным пространством.

Описание слабо симметричных пространств и их классификации Ахиезера и Винберга, основанной на классификации периодических автоморфизмов комплексных полупростых алгебр Ли , дано в работе Вольфа (2007).

Характеристики

Можно отметить некоторые свойства и формы симметричных пространств.

Поднятие метрического тензора

Метрический тензор на римановом многообразии M можно поднять до скалярного произведения на G, объединив его с формой Киллинга . Это делается путем определения

\langle X,Y\rangle _{\mathfrak {g}}={\begin{cases}\langle X,Y\rangle _{p}\quad &X,Y\in T_{p}M\cong {\mathfrak {m}}\\-B(X,Y)\quad &X,Y\in {\mathfrak {h}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}

Здесь — риманова метрика, определенная на , а — форма Киллинга . Знак минус появляется, поскольку форма Киллинга отрицательно определена на , что делает ее положительно определенной. $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{p}$ $T_{p}M$ $B(X,Y)=\operatorname {trace} (\operatorname {ad} X\circ \operatorname {ad} Y)$ ${\mathfrak {h}}~;$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathfrak {g}}$

Факторизация

Касательное пространство может быть далее разложено на собственные пространства, классифицированные по форме Киллинга. ^[1] Это достигается путем определения сопряженного отображения, принимая в качестве ${\mathfrak {m}}$ ${\mathfrak {m}}\to {\mathfrak {m}}$ $Y\mapsto Y^{\#}$

\langle X,Y^{\#}\rangle =B(X,Y)

где — риманова метрика на , а — форма Киллинга. Это отображение иногда называют обобщенным транспонированием , так как оно соответствует транспонированию для ортогональных групп и эрмитово сопряжению для унитарных групп. Это линейный функционал, и он самосопряжен, и поэтому можно сделать вывод, что существует ортонормированный базис с $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\mathfrak {m}}$ $B(\cdot ,\cdot )$ $Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ ${\mathfrak {m}}$

Y_{i}^{\#}=\lambda _{i}Y_{i}

Они ортогональны относительно метрики, т.е.

\langle Y_{i}^{\#},Y_{j}\rangle =\lambda _{i}\langle Y_{i},Y_{j}\rangle =B(Y_{i},Y_{j})=\langle Y_{j}^{\#},Y_{i}\rangle =\lambda _{j}\langle Y_{j},Y_{i}\rangle

поскольку форма Киллинга симметрична. Это факторизуется в собственные пространства ${\mathfrak {m}}$

{\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {m}}_{d}

[{\mathfrak {m}}_{i},{\mathfrak {m}}_{j}]=0

для . Для случая полупростого, так что форма Киллинга невырождена, метрика также факторизуется: $i\neq j$ ${\mathfrak {g}}$

\langle \cdot ,\cdot \rangle ={\frac {1}{\lambda _{1}}}\left.B\right|_{{\mathfrak {m}}_{1}}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{d}}}\left.B\right|_{{\mathfrak {m}}_{d}}

В некоторых практических приложениях эта факторизация может быть интерпретирована как спектр операторов, например, спектр атома водорода, с собственными значениями формы Киллинга, соответствующими различным значениям углового момента орбитали ( то есть форма Киллинга является оператором Казимира , который может классифицировать различные представления, при которых преобразуются различные орбитали).

Классификация симметричных пространств основана на том, является ли форма Киллинга определенной.

Приложения и особые случаи

Симметричные пространства и голономия

Если единичная компонента группы голономии риманова многообразия в точке действует неприводимо на касательное пространство, то либо многообразие является локально римановым симметрическим пространством, либо оно принадлежит одному из 7 семейств .

Эрмитовы симметричные пространства

Симметричное риманово пространство, дополнительно снабженное параллельной комплексной структурой, совместимой с римановой метрикой, называется эрмитовым симметричным пространством . Примерами являются комплексные векторные пространства и комплексные проективные пространства, оба с их обычной римановой метрикой, а также комплексные единичные шары с подходящими метриками, так что они становятся полными и риманово симметричными.

Неприводимое симметричное пространство G / K является эрмитовым тогда и только тогда, когда K содержит центральную окружность. Четверть поворота этой окружностью действует как умножение на i на касательном пространстве в единичном смежном классе. Таким образом, эрмитовы симметричные пространства легко вычитаются из классификации. Как в компактном, так и в некомпактном случаях оказывается, что существует четыре бесконечных серии, а именно AIII, BDI с p = 2 , DIII и CI, и два исключительных пространства, а именно EIII и EVII. Некомпактные эрмитовы симметричные пространства могут быть реализованы как ограниченные симметричные области в комплексных векторных пространствах.

Симметричные пространства кватерниона-кэлера

Риманово симметричное пространство, дополнительно снабженное параллельным подрасслоением End(T M ), изоморфным мнимым кватернионам в каждой точке и совместимым с римановой метрикой, называется кватернионно-кэлеровым симметричным пространством .

Неприводимое симметричное пространство G / K является кватернионно-кэлеровым тогда и только тогда, когда изотропное представление K содержит слагаемое Sp(1), действующее как единичные кватернионы на кватернионном векторном пространстве . Таким образом, кватернионно-кэлеровы симметричные пространства легко вычитаются из классификации. Как в компактном, так и в некомпактном случаях оказывается, что для каждой комплексной простой группы Ли существует ровно одно, а именно AI с p = 2 или q = 2 (они изоморфны), BDI с p = 4 или q = 4, CII с p = 1 или q = 1, EII, EVI, EIX, FI и G.

Теорема периодичности Ботта

В теореме Ботта о периодичности пространства петель стабильной ортогональной группы можно интерпретировать как редуктивные симметрические пространства.

Смотрите также

Ссылки

^ Юрген Йост, (2002) «Риманова геометрия и геометрический анализ», Третье издание, Springer (см. раздел 5.3, стр. 256)

Ахиезер, Д. Н.; Винберг, Э. Б. (1999), «Слабо симметричные пространства и сферические многообразия», Transf. Groups , 4 : 3–24, doi : 10.1007/BF01236659
van den Ban, EP; Flensted-Jensen, M.; Schlichtkrull, H. (1997), Гармонический анализ на полупростых симметричных пространствах: обзор некоторых общих результатов , в Representation Theory and Automorphic Forms: Instructional Conference, Международный центр математических наук, март 1996 г., Эдинбург, Шотландия, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0609-8
Бергер, Марсель (1957), «Les espaces symétriques noncompacts», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 74 (2): 85–177, doi : 10.24033/asens.1054
Бесс, Артур Ланселот (1987), Многообразия Эйнштейна , Springer-Verlag, ISBN 0-387-15279-2Содержит краткое введение и множество таблиц.
Борель, Арманд (2001), Очерки истории групп Ли и алгебраических групп , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0288-7
Картан, Эли (1926), «Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann, I», Bulletin de la Société Mathématique de France , 54 : 214–216, doi : 10.24033/bsmf.1105
Картан, Эли (1927), «Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann, II», Bulletin de la Société Mathématique de France , 55 : 114–134, doi : 10.24033/bsmf.1113
Фленстед-Йенсен, Могенс (1986), Анализ неримановых симметричных пространств , Региональная конференция CBMS, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0711-8
Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, Группы Ли и симметричные пространства , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5Стандартная книга по римановым симметрическим пространствам.
Хельгасон, Сигурдур (1984), Группы и геометрический анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции , Academic Press, ISBN 0-12-338301-3
Хуан, Йонгдонг; Леунг, Найчунг Конан (2010). «Единообразное описание компактных симметричных пространств как грассманианов с использованием магического квадрата» (PDF) . Mathematische Annalen . 350 (1): 79–106. doi :10.1007/s00208-010-0549-8.
Кобаяси, Сёсичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, том II , издание Wiley Classics Library, ISBN 0-471-15732-5Глава XI содержит хорошее введение в римановы симметрические пространства.
Лоос, Оттмар (1969), Симметричные пространства I: Общая теория , Бенджамин
Лоос, Оттмар (1969), Симметричные пространства II: Компактные пространства и классификация , Бенджамин
Номидзу, К. (1954), «Инвариантные аффинные связности на однородных пространствах», Amer. J. Math. , 76 (1): 33–65, doi :10.2307/2372398, JSTOR 2372398
Сельберг, Атле (1956), «Гармонический анализ и разрывные группы в слабо симметричных римановых пространствах с приложениями к рядам Дирихле», J. Indian Math. Society , 20 : 47–87
Вольф, Джозеф А. (1999), Пространства постоянной кривизны (5-е изд.), McGraw–Hill
Вольф, Джозеф А. (2007), Гармонический анализ на коммутативных пространствах , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4289-8