Формула Эйлера

Комплексная экспонента в терминах синуса и косинуса

Формула Эйлера , названная в честь Леонарда Эйлера , является математической формулой в комплексном анализе , которая устанавливает фундаментальную связь между тригонометрическими функциями и комплексной показательной функцией . Формула Эйлера гласит, что для любого действительного числа  x , имеем где e — основание натурального логарифма , i — мнимая единица , а cos и sin — тригонометрические функции косинус и синус соответственно. Эта комплексная показательная функция иногда обозначается как cis x («косинус плюс i синус»). Формула по-прежнему верна, если x — комплексное число , и в этом более общем случае также называется формулой Эйлера . ^[1] $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

Формула Эйлера повсеместно используется в математике, физике, химии и инженерии. Физик Ричард Фейнман назвал это уравнение «нашей жемчужиной» и «самой замечательной формулой в математике». ^[2]

При x = π формулу Эйлера можно переписать как e ^iπ + 1 = 0 или e ^iπ = −1 , что известно как тождество Эйлера .

История

В 1714 году английский математик Роджер Коутс представил геометрический аргумент, который можно интерпретировать (после исправления неуместного множителя ) как: ^{[3] [4] [5]} Возведение этого уравнения в степень дает формулу Эйлера. Обратите внимание, что логарифмическое утверждение не является универсально верным для комплексных чисел, поскольку комплексный логарифм может иметь бесконечно много значений, отличающихся на кратные 2 πi . ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ $${\displaystyle ix=\ln(\cos x+i\sin x).}$$

Визуализация формулы Эйлера в виде спирали в трехмерном пространстве. Спираль формируется путем построения точек для различных значений и определяется как косинусной, так и синусной компонентами формулы. Одна кривая представляет собой действительную компоненту ( ) формулы, а другая кривая, повернутая на 90 градусов вокруг оси z (из-за умножения на ), представляет собой мнимую компоненту ( ). ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \sin \theta }$

Около 1740 года Леонард Эйлер обратил внимание на показательную функцию и вывел уравнение, названное в его честь, путем сравнения разложений в ряд показательных и тригонометрических выражений. ^{[6] [4]} Формула была впервые опубликована в 1748 году в его основополагающем труде Introductio in analysin infinitorum . ^[7]

Иоганн Бернулли обнаружил, что ^[8] $${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1-ix}}+{\frac {1}{1+ix}}\right).}$$

И поскольку приведенное выше уравнение говорит нам кое-что о комплексных логарифмах , связывая натуральные логарифмы с мнимыми (комплексными) числами. Бернулли, однако, не вычислял интеграл. $${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+ax}}={\frac {1}{a}}\ln(1+ax)+C,}$$

Переписка Бернулли с Эйлером (который также знал приведенное выше уравнение) показывает, что Бернулли не полностью понимал комплексные логарифмы . Эйлер также предположил, что комплексные логарифмы могут иметь бесконечно много значений.

Представление о комплексных числах как о точках на комплексной плоскости было описано примерно 50 лет спустя Каспаром Весселем .

Определения комплексного возведения в степень

Экспоненциальная функция e ^x для действительных значений x может быть определена несколькими различными эквивалентными способами (см. Характеристика экспоненциальной функции ). Некоторые из этих методов могут быть напрямую расширены для определения e ^z для комплексных значений z просто путем подстановки z вместо x и использования комплексных алгебраических операций . В частности, мы можем использовать любое из трех следующих определений, которые эквивалентны. С более продвинутой точки зрения каждое из этих определений может быть интерпретировано как дающее уникальное аналитическое продолжение e ^x на комплексную плоскость.

Определение дифференциального уравнения

Экспоненциальная функция — это единственная дифференцируемая функция комплексной переменной , для которой производная равна функции и ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$ $${\displaystyle {\frac {df}{dz}}=f}$$ $${\displaystyle f(0)=1.}$$

Определение степенного ряда

Для комплексного z $${\displaystyle e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$

Используя тест отношения , можно показать, что этот степенной ряд имеет бесконечный радиус сходимости и, таким образом, определяет e ^z для всех комплексных z .

Определение предела

Для комплексного z $${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}$$

Здесь n ограничено положительными целыми числами , поэтому не возникает вопроса о том, что означает степень с показателем n .

Доказательства

Возможны различные доказательства формулы.

Использование дифференциации

Это доказательство показывает, что частное тригонометрического и показательного выражений является постоянной функцией, равной единице, поэтому они должны быть равны (показательная функция никогда не равна нулю, ^[9] поэтому это разрешено). ^[10]

Рассмотрим функцию f ( θ ) для действительных θ . Дифференцирование дает по правилу произведения Таким образом, f ( θ ) является константой. Поскольку f (0) = 1 , то f ( θ ) = 1 для всех действительных θ , и таким образом $${\displaystyle f(\theta )={\frac {\cos \theta +i\sin \theta }{e^{i\theta }}}=e^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}$$ $${\displaystyle f'(\theta )=e^{-i\theta }\left(i\cos \theta -\sin \theta \right)-ie^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=0}$$ $${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

Использование степенных рядов

График первых нескольких членов ряда Тейлора функции e ^it для t = 2 .

Вот доказательство формулы Эйлера с использованием разложений в степенные ряды , а также основные факты о степенях i : ^[11] $${\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned}}}$$

Используя теперь определение степенного ряда, приведенное выше, мы видим, что для действительных значений x , где на последнем шаге мы распознаем два члена, есть ряд Маклорена для cos x и sin x . Перестановка членов оправдана, поскольку каждый ряд абсолютно сходится . $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}}$$

Использование полярных координат

Другое доказательство ^[12] основано на том факте, что все комплексные числа можно выразить в полярных координатах . Поэтому для некоторых r и θ, зависящих от x , никаких предположений относительно r и θ не делается ; они будут определены в ходе доказательства. Из любого определения показательной функции можно показать, что производная e ^ix равна ie ^ix . Поэтому, дифференцируя обе стороны, получаем Подстановка r (cos θ + i sin θ ) вместо e ^ix и приравнивание действительной и мнимой частей в этой формуле дает ⁠ $${\displaystyle e^{ix}=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right).}$$ $${\displaystyle ie^{ix}=\left(\cos \theta +i\sin \theta \right){\frac {dr}{dx}}+r\left(-\sin \theta +i\cos \theta \right){\frac {d\theta }{dx}}.}$$доктор/дх⁠ = 0и ⁠dθ/дх⁠ = 1. Таким образом,rявляется константой, аθравно x + C для некоторой константыC. Начальные значения r (0) = 1и θ (0) = 0исходят из e ^{0 i} = 1, что дает r = 1и θ = x . Это доказывает формулу $${\displaystyle e^{i\theta }=1(\cos \theta +i\sin \theta )=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

Приложения

Приложения в теории комплексных чисел

Формула Эйлера e ^iφ = cos φ + i sin φ, проиллюстрированная на комплексной плоскости.

Интерпретация формулы

Эту формулу можно интерпретировать так, что функция e ^iφ является единичным комплексным числом , т. е. она описывает единичную окружность в комплексной плоскости , когда φ пробегает действительные числа. Здесь φ — это угол , который линия, соединяющая начало координат с точкой на единичной окружности, образует с положительной действительной осью , измеренный против часовой стрелки и в радианах .

Первоначальное доказательство основано на разложении в ряд Тейлора показательной функции e ^z (где z — комплексное число) и sin x и cos x для действительных чисел x (см. выше). Фактически, то же самое доказательство показывает, что формула Эйлера верна даже для всех комплексных чисел  x .

Точка на комплексной плоскости может быть представлена ​​комплексным числом, записанным в декартовых координатах . Формула Эйлера обеспечивает средство преобразования между декартовыми координатами и полярными координатами . Полярная форма упрощает математику при использовании в умножении или возведении в степень комплексных чисел. Любое комплексное число z = x + iy и его комплексно сопряженное число z = x − iy можно записать как где $${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi },\\{\bar {z}}&=x-iy=|z|(\cos \varphi -i\sin \varphi )=re^{-i\varphi },\end{aligned}}}$$

• x = Re z — действительная часть,
• y = Im z — мнимая часть,
• r = | z | = √ x ² + y ² — величина z и
• φ знак равно arg z знак равно atan2 ( y , x ) .

φ — аргумент z , т. е. угол между осью x и вектором z , измеренный против часовой стрелки в радианах , который определяется с точностью до прибавления 2 π . Во многих текстах пишут φ = tan ⁻¹ ⁠ у/х⁠ вместо φ = atan2( y , x ), но первое уравнение требует корректировки, когда x ≤ 0.Это связано с тем, что для любых действительныхxиy, не равных нулю, углы векторов( x , y )и(− x , − y )отличаются наπрадиан, но имеют одинаковое значениеtan φ = ⁠у/х⁠ .

Использование формулы для определения логарифма комплексных чисел

Теперь, взяв эту выведенную формулу, мы можем использовать формулу Эйлера для определения логарифма комплексного числа. Для этого мы также используем определение логарифма (как обратного оператора возведения в степень): и что оба справедливы для любых комплексных чисел a и b . Следовательно, можно записать: для любого z ≠ 0 . Взятие логарифма от обеих сторон показывает, что и на самом деле, это можно использовать в качестве определения для комплексного логарифма . Таким образом, логарифм комплексного числа является многозначной функцией , поскольку φ является многозначной. $${\displaystyle a=e^{\ln a},}$$ $${\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b},}$$ $${\displaystyle z=\left|z\right|e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|}e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|+i\varphi }}$$ $${\displaystyle \ln z=\ln \left|z\right|+i\varphi ,}$$

Наконец, другой показательный закон , который, как можно видеть, справедлив для всех целых чисел k , вместе с формулой Эйлера влечет за собой несколько тригонометрических тождеств , а также формулу Муавра . $${\displaystyle \left(e^{a}\right)^{k}=e^{ak},}$$

Связь с тригонометрией

Связь между синусом, косинусом и показательной функцией

Формула Эйлера, определения тригонометрических функций и стандартные тождества для экспонент достаточны для легкого вывода большинства тригонометрических тождеств. Она обеспечивает мощную связь между анализом и тригонометрией и дает интерпретацию функций синуса и косинуса как взвешенных сумм экспоненциальной функции: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\\\sin x&=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.\end{aligned}}}$$

Два приведенных выше уравнения можно вывести путем сложения или вычитания формул Эйлера и решения относительно косинуса или синуса. $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x,\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}$$

Эти формулы могут даже служить определением тригонометрических функций для комплексных аргументов x . Например, положив x = iy , имеем: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos iy&={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\cosh y,\\\sin iy&={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}i=i\sinh y.\end{aligned}}}$$

Кроме того $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos x,\\\sinh ix&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin x.\end{aligned}}}$$

Комплексные экспоненты могут упростить тригонометрию, потому что ими математически легче манипулировать, чем их синусоидальными и косинусными компонентами. Один из методов заключается в простом преобразовании синусов и косинусов в эквивалентные выражения в терминах экспонент, иногда называемых комплексными синусоидами . ^[13] После манипуляций упрощенный результат все еще имеет вещественное значение. Например:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cos y&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{iy}+e^{-iy}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}}+{\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}}{\bigg )}\\&={\frac {1}{2}}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right).\end{aligned}}}$$

Другой метод заключается в представлении синусов и косинусов в терминах действительной части комплексного выражения и выполнении манипуляций над комплексным выражением. Например: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos nx&=\operatorname {Re} \left(e^{inx}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\right)\\&=\operatorname {Re} {\Big (}e^{i(n-1)x}\cdot {\big (}\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos x}-e^{-ix}{\big )}{\Big )}\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x-e^{i(n-2)x}\right)\\&=\cos[(n-1)x]\cdot [2\cos x]-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}}$$

Эта формула используется для рекурсивной генерации cos nx для целых значений n и произвольных x (в радианах).

Рассматривая cos x как параметр в уравнении выше, получаем рекурсивную формулу для полиномов Чебышева первого рода.

Топологическая интерпретация

На языке топологии формула Эйлера утверждает, что мнимая показательная функция является ( сюръективным ) морфизмом топологических групп из действительной прямой в единичную окружность . Фактически, это проявляется как покрывающее пространство . Аналогично, тождество Эйлера утверждает, что ядро ​​этого отображения есть , где . Эти наблюдения можно объединить и суммировать в коммутативной диаграмме ниже: ${\displaystyle t\mapsto e^{it}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle \tau \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \tau =2\pi }$

Формула и тождество Эйлера, объединенные в диаграммной форме

Другие приложения

В дифференциальных уравнениях функция e ^ix часто используется для упрощения решений, даже если окончательный ответ представляет собой действительную функцию, включающую синус и косинус. Причина этого в том, что экспоненциальная функция является собственной функцией операции дифференцирования .

В электротехнике , обработке сигналов и подобных областях сигналы, которые периодически изменяются с течением времени, часто описываются как комбинация синусоидальных функций (см. Анализ Фурье ), и их удобнее выражать как сумму экспоненциальных функций с мнимыми показателями, используя формулу Эйлера. Кроме того, векторный анализ цепей может включать формулу Эйлера для представления импеданса конденсатора или катушки индуктивности.

В четырехмерном пространстве кватернионов существует сфера мнимых единиц . Для любой точки r на этой сфере и x — действительного числа применима формула Эйлера: и элемент называется версором в кватернионах. Множество всех версоров образует 3-сферу в 4-пространстве. $${\displaystyle \exp xr=\cos x+r\sin x,}$$

Другие особые случаи

Особые случаи , которые оцениваются как единицы, иллюстрируют вращение вокруг комплексной единичной окружности:

Особый случай при x = τ (где τ = 2 π , один оборот ) дает e ^iτ = 1 + 0 . Также утверждается, что это связывает пять фундаментальных констант с тремя основными арифметическими операциями, но, в отличие от тождества Эйлера, без перестановки слагаемых из общего случая: Интерпретация упрощенной формы e ^iτ = 1 заключается в том, что поворот на полный оборот является тождественной функцией . ^[14] $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\tau }&=\cos \tau +i\sin \tau \\&=1+0\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Комплексное число
• тождество Эйлера
• Интегрирование по формуле Эйлера
• История преобразований Лоренца
• Список вещей, названных в честь Леонарда Эйлера

Ссылки

1. Московиц, Мартин А. (2002). Курс комплексного анализа с одной переменной. World Scientific Publishing Co. стр. 7. ISBN 981-02-4780-X.
2. Фейнман, Ричард П. (1977). Лекции Фейнмана по физике, т. I. Эддисон-Уэсли. стр. 22-10. ISBN 0-201-02010-6.
3. Котес писал: "Nam si quadrantis circuli quilibet arcus, radio CE descriptus, sinun habeat CX sinumque completi ad quadrantem XE  ; sumendo radium CE pro Modulo, arcus erit rationis inter & ${\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}}$ CE mensura ducta in ." ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ (Таким образом, если любая дуга квадранта окружности, описанная радиусом CE , имеет синус CX и синус дополнения к квадранту XE  ; взяв радиус CE в качестве модуля, дуга будет мерой отношения между & CE , умноженным на .) То есть, рассмотрим окружность с центром E (в начале координат плоскости (x,y)) и радиусом CE . Рассмотрим угол θ с вершиной в точке E , имеющий положительную ось x в качестве одной стороны и радиус CE в качестве другой стороны. Перпендикуляр из точки C на окружности к оси x является "синусом" CX  ; линия между центром окружности E и точкой X у основания перпендикуляра — это XE , что является «синусом дополнения к квадранту» или «косинусом». Таким образом , отношение между и CE равно . В терминологии Котеса «мера» величины — это ее натуральный логарифм, а «модуль» — это коэффициент преобразования, который преобразует меру угла в длину дуги окружности (здесь модуль — это радиус ( CE ) окружности). По словам Котеса, произведение модуля и меры (логарифма) отношения, умноженное на , равно длине дуги окружности, охватываемой θ , что для любого угла, измеренного в радианах, равно CE • θ . Таким образом, . В этом уравнении есть неуместный множитель: множитель должен быть в правой части уравнения, а не в левой. Если сделать изменение масштаба на , то после деления обеих сторон на CE и возведения обеих сторон в степень результат будет: , что является формулой Эйлера. См.: ${\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle \cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \ }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle \cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }}$
   
   • Роджер Коутс (1714) «Логометрия», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 29 (338): 5-45; см. особенно стр. 32. Доступно в Интернете по адресу: Hathi Trust
   • Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722 г.), глава: «Логометрия», стр. 28.
   • https://nrich.maths.org/1384
4. Джон Стиллвелл (2002). Математика и ее история. Springer. ISBN 9781441960528.
5. Сэндифер, К. Эдвард (2007), Лучшие хиты Эйлера , Математическая ассоциация Америки ISBN 978-0-88385-563-8 
6. Леонард Эйлер (1748) Глава 8: О трансцендировании величин, возникающих из круга, Введение в анализ бесконечного , стр. 214, раздел 138 (перевод Яна Брюса, ссылка в формате PDF из книги «Математика 17 века»).
7. Конвей и Гай, стр. 254–255.
8. Бернулли, Иоганн (1702). «Решение задачи по интегральному исчислению с некоторыми примечаниями, относящимися к этому расчету». Мемуары Парижской Королевской академии наук . 1702 : 289–297.
9. Апостол, Том (1974). Математический анализ . Пирсон. стр. 20. ISBN 978-0201002881.Теорема 1.42
10. user02138 (https://math.stackexchange.com/users/2720/user02138), Как доказать формулу Эйлера: $e^{i\varphi}=\cos(\varphi) +i\sin(\varphi)$?, URL (версия: 2018-06-25): https://math.stackexchange.com/q/8612
11. Рикардо, Генри Дж. (23 марта 2016 г.). Современное введение в дифференциальные уравнения. Elsevier Science. стр. 428. ISBN 9780123859136.
12. Стрэнг, Гилберт (1991). Исчисление. Уэллсли-Кембридж. стр. 389. ISBN 0-9614088-2-0.Второе доказательство на странице.
13. "Комплексные синусоиды". ccrma.stanford.edu . Получено 10 сентября 2024 г. .
14. Хартл, Майкл (14 марта 2019 г.) [2010-03-14]. «Манифест Тау». Архивировано из оригинала 28 июня 2019 г. Получено 14 сентября 2013 г.

Дальнейшее чтение

• Нахин, Пол Дж. (2006). Потрясающая формула доктора Эйлера: излечивает множество математических недугов . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11822-2.
• Уилсон, Робин (2018). Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема в математике . Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-879492-9. МР  3791469.

Внешние ссылки

• Элементы алгебры