В комплексном анализе (раздел математики) полюс — это определенный тип особенности комплекснозначной функции комплексной переменной . Это простейший тип неустранимой особенности такой функции (см. существенная особенность ). Технически, точка z 0 является полюсом функции f , если она является нулем функции 1/ f и 1/ f голоморфна ( т.е. комплексно дифференцируема ) в некоторой окрестности z 0 .
Функция f является мероморфной в открытом множестве U , если для каждой точки z из U существует окрестность z , в которой по крайней мере одна из функций f и 1/ f является голоморфной.
Если f мероморфна в U , то нуль f является полюсом 1/ f , а полюс f является нулем 1/ f . Это индуцирует двойственность между нулями и полюсами , которая является фундаментальной для изучения мероморфных функций. Например, если функция мероморфна на всей комплексной плоскости плюс точка на бесконечности , то сумма кратностей ее полюсов равна сумме кратностей ее нулей.
Функция комплексной переменной z голоморфна в открытой области U, если она дифференцируема по z в каждой точке U. Эквивалентно, она голоморфна, если она аналитична , то есть если ее ряд Тейлора существует в каждой точке U и сходится к функции в некоторой окрестности этой точки. Функция мероморфна в U , если каждая точка U имеет окрестность, такую, что по крайней мере одна из функций f и 1/ f голоморфна в ней.
Нулем мероморфной функции f является комплексное число z такое, что f ( z ) = 0. Полюсом f является нуль 1/ f .
Если f — функция, мероморфная в окрестности точки комплексной плоскости , то существует целое число n такое, что
голоморфна и не равна нулю в окрестности (это следствие аналитического свойства). Если n > 0 , то является полюсом порядка ( или кратности) n функции f . Если n < 0 , то является нулем порядка f . Простой ноль и простой полюс — термины, используемые для нулей и полюсов порядка . Степень иногда используется как синоним порядка.
Такая характеристика нулей и полюсов подразумевает, что нули и полюса изолированы , то есть каждый ноль или полюс имеет окрестность, не содержащую никаких других нулей и полюсов.
Поскольку порядок нулей и полюсов определяется как неотрицательное число n и симметрия между ними, часто бывает полезно рассматривать полюс порядка n как ноль порядка – n , а ноль порядка n как полюс порядка – n . В этом случае точка, которая не является ни полюсом, ни нулем, рассматривается как полюс (или ноль) порядка 0.
Мероморфная функция может иметь бесконечно много нулей и полюсов. Это касается гамма-функции (см. изображение в информационном поле), которая мероморфна во всей комплексной плоскости и имеет простой полюс при каждом неположительном целом числе. Дзета-функция Римана также мероморфна во всей комплексной плоскости с единственным полюсом порядка 1 при z = 1. Ее нули в левой полуплоскости — все отрицательные четные целые числа, а гипотеза Римана — это предположение, что все остальные нули расположены вдоль Re( z ) = 1/2 .
В окрестности точки ненулевая мероморфная функция f является суммой ряда Лорана с не более чем конечной главной частью (членами с отрицательными значениями индекса):
где n — целое число, и Опять же, если n > 0 (сумма начинается с , главная часть имеет n членов), то имеем полюс порядка n , а если n ≤ 0 (сумма начинается с , главная часть отсутствует), то имеем нуль порядка .
Функция мероморфна на бесконечности , если она мероморфна в некоторой окрестности бесконечности (то есть вне некоторого круга ), и существует целое число n такое, что
существует и является ненулевым комплексным числом.
В этом случае бесконечно удаленная точка является полюсом порядка n, если n > 0 , и нулем порядка, если n < 0 .
Например, многочлен степени n имеет полюс степени n на бесконечности.
Комплексная плоскость, расширенная точкой на бесконечности, называется сферой Римана .
Если f — функция, мероморфная на всей сфере Римана, то она имеет конечное число нулей и полюсов, а сумма порядков ее полюсов равна сумме порядков ее нулей.
Всякая рациональная функция мероморфна на всей сфере Римана, и в этом случае сумма порядков нулей или полюсов равна максимуму степеней числителя и знаменателя.
Все приведенные выше примеры, за исключением третьего, являются рациональными функциями . Для общего обсуждения нулей и полюсов таких функций см. График полюс–ноль § Системы с непрерывным временем .
Концепция нулей и полюсов естественным образом распространяется на функции на комплексной кривой , то есть комплексном аналитическом многообразии размерности один (над комплексными числами). Простейшими примерами таких кривых являются комплексная плоскость и риманова поверхность . Это расширение осуществляется путем переноса структур и свойств через карты , которые являются аналитическими изоморфизмами .
Точнее, пусть f будет функцией от комплексной кривой M к комплексным числам. Эта функция голоморфна (соответственно мероморфна) в окрестности точки z кривой M, если существует карта такая, что голоморфна (соответственно мероморфна) в окрестности Тогда z является полюсом или нулем порядка n, если то же самое верно для
Если кривая компактна , а функция f мероморфна на всей кривой, то число нулей и полюсов конечно, а сумма порядков полюсов равна сумме порядков нулей. Это один из основных фактов, которые участвуют в теореме Римана–Роха .
