Комплексное число

Число с действительной и мнимой частью

Комплексное число можно визуально представить в виде пары чисел ( a ,  b ), образующих вектор на диаграмме, называемой диаграммой Аргана , представляющей комплексную плоскость . Re — действительная ось, Im — мнимая ось, а i — « мнимая единица », которая удовлетворяет условию i ² = −1 .

В математике комплексное число — это элемент числовой системы , который расширяет действительные числа с помощью определенного элемента, обозначаемого i , называемого мнимой единицей и удовлетворяющего уравнению ; каждое комплексное число может быть выражено в виде , где a и b — действительные числа. Поскольку никакое действительное число не удовлетворяет приведенному выше уравнению, Рене Декарт назвал i мнимым числом . Для комплексного числа a называется ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle a+bi}$ действительная часть , аbназываетсямнимая часть . Набор комплексных чисел обозначается либо символом, либо C . Несмотря на историческую номенклатуру, «мнимые» комплексные числа имеютматематическоесуществование, столь же прочное, как и действительные числа, и они являются фундаментальными инструментами в научном описании естественного мира.^[1][2] ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Комплексные числа позволяют решать все полиномиальные уравнения , даже те, которые не имеют решений в действительных числах. Точнее, основная теорема алгебры утверждает, что каждое непостоянное полиномиальное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет решение, которое является комплексным числом. Например, уравнение не имеет действительного решения, потому что квадрат действительного числа не может быть отрицательным, но имеет два недействительных комплексных решения и . ${\displaystyle (x+1)^{2}=-9}$ ${\displaystyle -1+3i}$ ${\displaystyle -1-3i}$

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел можно естественным образом определить, используя правило вместе с ассоциативными , коммутативными и дистрибутивными законами . Каждое ненулевое комплексное число имеет мультипликативное обратное . Это делает комплексные числа полем с действительными числами в качестве подполя. ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Комплексные числа также образуют действительное векторное пространство размерности два , с в качестве стандартного базиса . Этот стандартный базис делает комплексные числа декартовой плоскостью , называемой комплексной плоскостью . Это позволяет геометрически интерпретировать комплексные числа и их операции, и наоборот, некоторые геометрические объекты и операции могут быть выражены в терминах комплексных чисел. Например, действительные числа образуют действительную прямую , которая изображается как горизонтальная ось комплексной плоскости, в то время как действительные кратные являются вертикальной осью. Комплексное число также может быть определено его геометрическими полярными координатами : радиус называется абсолютным значением комплексного числа, в то время как угол от положительной действительной оси называется аргументом комплексного числа. Комплексные числа с абсолютным значением один образуют единичную окружность . Добавление фиксированного комплексного числа ко всем комплексным числам определяет перенос в комплексной плоскости, а умножение на фиксированное комплексное число является подобием, центрированным в начале координат (расширение на абсолютное значение и вращение на аргумент). Операция комплексного сопряжения является симметрией отражения относительно действительной оси. ${\displaystyle \{1,i\}}$ ${\displaystyle i}$

Комплексные числа образуют богатую структуру, которая одновременно является алгебраически замкнутым полем , коммутативной алгеброй над действительными числами и евклидовым векторным пространством размерности два.

Определение и основные операции

Различные комплексные числа, изображенные на комплексной плоскости.

Комплексное число — это выражение вида a + bi , где a и b — действительные числа , а i — абстрактный символ, так называемая мнимая единица , значение которой будет объяснено ниже. Например, 2 + 3 i — комплексное число. ^[3]

Для комплексного числа a + bi действительное число a называется его действительной частью , а действительное число b (не комплексное число bi ) — его мнимой частью . ^{[4] [5]} Действительная часть комплексного числа z обозначается Re( z ) , , или ; мнимая часть — Im( z ) , , или : например, , . ${\displaystyle {\mathcal {Re}}(z)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Im}}(z)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}(z)}$ ${\textstyle \operatorname {Re} (2+3i)=2}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (2+3i)=3}$

Комплексное число z можно отождествить с упорядоченной парой действительных чисел , которые можно интерпретировать как координаты точки на евклидовой плоскости со стандартными координатами, которая затем называется комплексной плоскостью или диаграммой Аргана , ^{[6] [a]} . ^[7] Горизонтальная ось обычно используется для отображения действительной части, со значениями, увеличивающимися справа, а мнимая часть отмечает вертикальную ось, со значениями, увеличивающимися вверх. ${\displaystyle (\Re (z),\Im (z))}$

Комплексное число z в виде точки (черная) и ее радиус-вектора (синяя).

Действительное число a можно рассматривать как комплексное число a + 0 i , мнимая часть которого равна 0. Чисто мнимое число bi — это комплексное число 0 + bi , действительная часть которого равна нулю. Как и в случае с многочленами, принято писать a + 0 i = a , 0 + bi = bi , и a + (− b ) i = a − bi ; например, 3 + (−4) i = 3 − 4 i .

Множество всех комплексных чисел обозначается ( жирный шрифт на доске ) или C ( жирный шрифт). ${\displaystyle \mathbb {C} }$

В некоторых дисциплинах, таких как электромагнетизм и электротехника , j используется вместо i , поскольку i часто представляет электрический ток , ^{[8] [9]} , а комплексные числа записываются как a + bj или a + jb .

Сложение и вычитание

Сложение двух комплексных чисел можно выполнить геометрически, построив параллелограмм.

Два комплексных числа и складываются путем отдельного сложения их действительных и мнимых частей. То есть: ${\displaystyle a=x+yi}$ ${\displaystyle b=u+vi}$

$${\displaystyle a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.}$$Аналогично вычитание можно выполнить как $${\displaystyle a-b=(x+yi)-(u+vi)=(x-u)+(y-v)i.}$$

Сложение можно геометрически визуализировать следующим образом: сумма двух комплексных чисел a и b , интерпретируемых как точки на комплексной плоскости, есть точка, полученная путем построения параллелограмма из трех вершин O и точек стрелок, обозначенных a и b (при условии, что они не лежат на одной прямой). Эквивалентно, называя эти точки A , B , соответственно, и четвертой точкой параллелограмма X , треугольники OAB и XBA являются конгруэнтными .

Умножение

Произведение двух комплексных чисел вычисляется следующим образом:

${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.}$

Например, в частности, сюда входит как частный случай фундаментальная формула ${\displaystyle (3+2i)(4-i)=3\cdot 4-(2\cdot (-1))+(3\cdot (-1)+2\cdot 4)i=14+5i.}$

${\displaystyle i^{2}=i\cdot i=-1.}$

Эта формула отличает комплексное число i от любого действительного числа, поскольку квадрат любого (отрицательного или положительного) действительного числа всегда является неотрицательным действительным числом.

При таком определении умножения и сложения, знакомые правила арифметики рациональных или действительных чисел продолжают действовать для комплексных чисел. Точнее, распределительное свойство , коммутативные свойства (сложения и умножения) сохраняются. Поэтому комплексные числа образуют алгебраическую структуру, известную как поле , так же, как это делают рациональные или действительные числа. ^[10]

Комплексное сопряжение, абсолютное значение и аргумент

Геометрическое представление z и его сопряженной z в комплексной плоскости.

Комплексное сопряжение комплексного числа z = x + yi определяется как ^[11] Некоторые авторы также обозначают его как . Геометрически z является «отражением» z относительно действительной оси. Сопряжение дважды дает исходное комплексное число: Комплексное число является действительным тогда и только тогда, когда оно равно своему собственному сопряженному числу. Унарная операция взятия комплексного сопряжения комплексного числа не может быть выражена применением только их основных операций сложения, вычитания, умножения и деления. ${\displaystyle {\overline {z}}=x-yi.}$ ${\displaystyle z^{*}}$ ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z.}$

Аргумент φ и модуль r определяют точку на комплексной плоскости.

Для любого комплексного числа z = x + yi произведение

${\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+y^{2}}$

— неотрицательное действительное число. Это позволяет определить абсолютное значение (или модуль или величину ) z как квадратный корень ^[12] По теореме Пифагора , — расстояние от начала координат до точки, представляющей комплексное число z на комплексной плоскости. В частности, окружность радиуса один вокруг начала координат состоит именно из таких чисел z , что . Если — действительное число, то : его абсолютное значение как комплексного числа и как действительного числа равны. $${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$ ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle z=x=x+0i}$ ${\displaystyle |z|=|x|}$

Используя сопряжение, можно вычислить обратную величину ненулевого комплексного числа : ${\displaystyle z=x+yi}$

$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}={\frac {x-yi}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$В более общем смысле деление произвольного комплексного числа на ненулевое комплексное число равно Этот процесс иногда называют « рационализацией » знаменателя (хотя знаменатель в конечном выражении может быть иррациональным действительным числом), поскольку он напоминает метод удаления корней из простых выражений в знаменателе. ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle w=u+vi}$ ${\displaystyle z=x+yi}$ $${\displaystyle {\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{|z|^{2}}}={\frac {(u+vi)(x-iy)}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {ux+vy}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {vx-uy}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$

Аргумент z (иногда называемый «фазой» φ ) ^[7] представляет собой угол радиуса Oz с положительной действительной осью и записывается в этой статье как arg z , выраженный в радианах . Угол определяется только с точностью до добавления целых кратных , поскольку поворот на (или 360°) вокруг начала координат оставляет все точки в комплексной плоскости неизменными. Один из возможных вариантов уникального указания аргумента — потребовать, чтобы он находился в интервале , который называется главным значением . ^[13] Аргумент можно вычислить из прямоугольной формы x + yi с помощью функции arctan (обратный тангенс). ^[14] ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

Полярная форма

Умножение 2 + i (синий треугольник) и 3 + i (красный треугольник). Красный треугольник поворачивается так, чтобы совпасть с вершиной синего (сложение обоих углов в терминах φ ₁ + φ ₂ в уравнении) и растягивается на длину гипотенузы синего треугольника (умножение обоих радиусов, согласно термину r ₁ r ₂ в уравнении).

Для любого комплексного числа z , имеющего абсолютное значение и аргумент , уравнение ${\displaystyle r=|z|}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

имеет место. Это тождество называется полярной формой z . Иногда его сокращают до . В электронике вектор с амплитудой r и фазой φ представляется в угловой нотации : ^[15] ${\textstyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi }$ $${\displaystyle z=r\angle \varphi .}$$

Если два комплексных числа даны в полярной форме, то есть z ₁ = r ₁ (cos  φ ₁ + i  sin  φ ₁ ) и z ₂ = r ₂ (cos  φ ₂ + i  sin  φ ₂ ) , произведение и деление можно вычислить как (Это следствие тригонометрических тождеств для функции синуса и косинуса.) Другими словами, абсолютные значения умножаются , а аргументы складываются , чтобы получить полярную форму произведения. Картинка справа иллюстрирует умножение Поскольку действительная и мнимая части 5 + 5 i равны, аргумент этого числа равен 45 градусам, или π /4 (в радианах ). С другой стороны, это также сумма углов в начале координат красного и синего треугольников, равных arctan (1/3) и arctan (1/2) соответственно. Таким образом, формула верна. Поскольку функция arctan может быть аппроксимирована весьма эффективно, такие формулы, известные как формулы типа Мачина , используются для высокоточных аппроксимаций числа π . ^{[ необходима ссылка ]} $${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).}$$ $${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right),{\text{if }}z_{2}\neq 0.}$$ $${\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.}$$ $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)}$$

Силы и корни

Степень комплексного числа n можно вычислить с помощью формулы Муавра , которая получается путем многократного применения приведенной выше формулы к произведению: Например, первые несколько степеней мнимой единицы i равны . $${\displaystyle z^{n}=\underbrace {z\cdot \dots \cdot z} _{n{\text{ factors}}}=(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}$$ ${\displaystyle i,i^{2}=-1,i^{3}=-i,i^{4}=1,i^{5}=i,\dots }$

Геометрическое представление корней 2-й и 6-й степени комплексного числа z в полярной форме re ^iφ  , где r = | z  | и φ = arg z . Если z действительное, φ = 0 или π . Главные корни показаны черным цветом.

Корни n n -й степени комплексного числа z определяются как для 0 ≤ k ≤ n − 1 . (Здесь представлен обычный (положительный) корень n -й степени положительного действительного числа r .) Поскольку синус и косинус являются периодическими, другие целые значения k не дают других значений. Для любого существует, в частности , n различных комплексных корней n -й степени. Например, существует 4 корня четвертой степени из 1, а именно $${\displaystyle z^{1/n}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)}$$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$ ${\displaystyle z\neq 0}$

${\displaystyle z_{1}=1,z_{2}=i,z_{3}=-1,z_{4}=-i.}$

В общем случае не существует естественного способа выделить один конкретный комплексный корень степени n из комплексного числа. (Это контрастирует с корнями положительного действительного числа x , которое имеет единственный положительный действительный корень степени n , который поэтому обычно называют корнем степени n из x .) Эту ситуацию можно охарактеризовать, говоря, что корень степени n является функцией числа z со значениями n .

Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры Карла Фридриха Гаусса и Жана Лерона Д'Аламбера гласит, что для любых комплексных чисел (называемых коэффициентами ) a ₀ , ...,  a _n уравнение имеет по крайней мере одно комплексное решение z , при условии, что по крайней мере один из старших коэффициентов a ₁ , ...,  a _n отличен от нуля. ^[16] Это свойство не выполняется для поля рациональных чисел (многочлен x ² − 2 не имеет рационального корня, потому что √2 не является рациональным числом) или действительных чисел (многочлен x ² + 4 не имеет действительного корня, потому что квадрат x положителен для любого действительного числа x ). $${\displaystyle a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Из-за этого факта называется алгебраически замкнутым полем . Это краеугольный камень различных приложений комплексных чисел, как подробно описано ниже. Существуют различные доказательства этой теоремы, либо аналитическими методами, такими как теорема Лиувилля , либо топологическими , такими как число вращения , либо доказательством, объединяющим теорию Галуа и тот факт, что любой действительный многочлен нечетной степени имеет по крайней мере один действительный корень. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

История

Решение в радикалах (без тригонометрических функций ) общего кубического уравнения , когда все три его корня являются действительными числами, содержит квадратные корни отрицательных чисел , ситуация, которую нельзя исправить факторизацией с помощью проверки на рациональные корни , если кубическое уравнение неприводимо ; это так называемый casus irreducibilis («несводимый случай»). Эта головоломка привела итальянского математика Джероламо Кардано к идее комплексных чисел примерно в 1545 году в его Ars Magna , ^[17] хотя его понимание было элементарным; более того, позже он описал комплексные числа как «столь же тонкие, сколь и бесполезные». ^[18] Кардано действительно использовал мнимые числа, но описал их использование как «ментальную пытку». ^[19] Это было до использования графической комплексной плоскости. Кардано и другие итальянские математики, в частности Сципионе дель Ферро , в 1500-х годах создали алгоритм для решения кубических уравнений, которые обычно имели одно действительное решение и два решения, содержащие мнимое число. Поскольку они игнорировали ответы с мнимыми числами, Кардано счел их бесполезными. ^[20]

Работа над проблемой общих многочленов в конечном итоге привела к фундаментальной теореме алгебры , которая показывает, что с комплексными числами существует решение для каждого полиномиального уравнения степени один или выше. Таким образом, комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле , где любое полиномиальное уравнение имеет корень .

Многие математики внесли свой вклад в развитие комплексных чисел. Правила сложения, вычитания, умножения и извлечения корня из комплексных чисел были разработаны итальянским математиком Рафаэлем Бомбелли . ^[21] Более абстрактный формализм для комплексных чисел был далее разработан ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном , который распространил эту абстракцию на теорию кватернионов . ^[22]

Можно сказать, что самое раннее мимолетное упоминание квадратных корней из отрицательных чисел встречается в работе греческого математика Герона Александрийского в I веке н. э. , где в своей «Стереометрике» он, по-видимому, ошибочно, рассматривал объем невозможной усеченной пирамиды, чтобы получить термин в своих вычислениях, который сегодня упростился бы до . ^[b] Отрицательные величины не были поняты в эллинистической математике , и Герон просто заменил их положительными ^[24] ${\displaystyle {\sqrt {81-144}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-63}}=3i{\sqrt {7}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {144-81}}=3{\sqrt {7}}.}$

Импульс к изучению комплексных чисел как самостоятельной темы впервые возник в XVI веке, когда итальянские математики ( Никколо Фонтана Тарталья и Джероламо Кардано ) открыли алгебраические решения для корней кубических и четвертых полиномов . Вскоре было осознано (но доказано гораздо позже) ^[25] , что эти формулы, даже если интересуются только действительными решениями, иногда требуют манипуляции квадратными корнями отрицательных чисел. Фактически, позже было доказано, что использование комплексных чисел неизбежно, когда все три корня действительны и различны. ^[c] Однако общая формула все еще может быть использована в этом случае, с некоторой осторожностью, чтобы справиться с неоднозначностью, возникающей из-за существования трех кубических корней для ненулевых комплексных чисел. Рафаэль Бомбелли был первым, кто явно обратился к этим, казалось бы, парадоксальным решениям кубических уравнений и разработал правила для комплексной арифметики, пытаясь разрешить эти проблемы.

Термин «мнимые» для этих величин был введен Рене Декартом в 1637 году, который старался подчеркнуть их нереальную природу: ^[26]

... иногда только воображаемые, то есть можно представить столько, сколько я сказал в каждом уравнении, но иногда не существует количества, соответствующего тому, которое мы воображаем.
[ ... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en Imagineer autant que j'ai dit en chaque équation, но больше, чем quelquefois aucune quantité quantité qui соответствует à celle qu'on представлять себе. ]

Еще одним источником путаницы было то, что уравнение, казалось, было капризно несовместимо с алгебраическим тождеством , которое справедливо для неотрицательных действительных чисел a и b , и которое также использовалось в вычислениях комплексных чисел, когда одно из a , b было положительным, а другое отрицательным. Неправильное использование этого тождества в случае, когда и a , и b были отрицательными, и связанного с ним тождества даже сбивало с толку Леонарда Эйлера . Эта трудность в конечном итоге привела к соглашению об использовании специального символа i вместо , чтобы защититься от этой ошибки. ^{[ необходима цитата ]} Тем не менее, Эйлер считал естественным познакомить студентов с комплексными числами гораздо раньше, чем мы это делаем сегодня. В своем учебнике элементарной алгебры Elements of Algebra он вводит эти числа почти сразу, а затем использует их естественным образом на протяжении всего текста. ${\displaystyle {\sqrt {-1}}^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

В XVIII веке комплексные числа получили более широкое применение, поскольку было замечено, что формальная манипуляция комплексными выражениями может быть использована для упрощения вычислений, включающих тригонометрические функции. Например, в 1730 году Абрахам де Муавр заметил, что тождества, связывающие тригонометрические функции целого кратного угла со степенями тригонометрических функций этого угла, могут быть перевыражены следующей формулой Муавра :

$${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta .}$$

Формула Эйлера связывает сложную показательную функцию мнимого аргумента, которую можно рассматривать как описание равномерного кругового движения в комплексной плоскости, с функциями косинуса и синуса, геометрически являющимися ее проекциями на действительную и мнимую оси соответственно.

В 1748 году Эйлер пошел дальше и получил формулу Эйлера комплексного анализа : ^[27]

$${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$$

путем формального манипулирования сложными степенными рядами и заметил, что эту формулу можно использовать для сведения любого тригонометрического тождества к гораздо более простым экспоненциальным тождествам.

Идея комплексного числа как точки на комплексной плоскости (выше) была впервые описана датско - норвежским математиком Каспаром Весселем в 1799 году ^[28] , хотя она была предсказана еще в 1685 году в «Трактате об алгебре» Уоллиса . ^[29]

Мемуары Весселя появились в Трудах Копенгагенской академии , но остались в значительной степени незамеченными. В 1806 году Жан-Робер Арган независимо выпустил брошюру о комплексных числах и предоставил строгое доказательство основной теоремы алгебры . ^[30] Карл Фридрих Гаусс ранее опубликовал по существу топологическое доказательство теоремы в 1797 году, но в то время выразил свои сомнения относительно «истинной метафизики квадратного корня из −1». ^[31] Только в 1831 году он преодолел эти сомнения и опубликовал свой трактат о комплексных числах как точках на плоскости, ^[32] в значительной степени установив современную нотацию и терминологию: ^[33]

Если кто-то раньше рассматривал этот предмет с ложной точки зрения и поэтому находил таинственную темноту, то это во многом объясняется неуклюжей терминологией. Если бы кто-то не называл +1, −1 положительными, отрицательными или мнимыми (или даже невозможными) единицами, а вместо этого, скажем, прямыми, обратными или боковыми единицами, то вряд ли можно было бы говорить о такой темноте. ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

В начале 19 века другие математики независимо друг от друга открыли геометрическое представление комплексных чисел: Бюэ, ^{[34] [35]} Мурей , ^[36] Уоррен, ^{[37] [38] [39]} Франсе и его брат Беллавитис . ^{[40] [41]}

Английский математик Г. Х. Харди заметил, что Гаусс был первым математиком, который использовал комплексные числа «действительно уверенно и научно», хотя такие математики, как норвежец Нильс Хенрик Абель и Карл Густав Якоб Якоби, обязательно использовали их повседневно до того, как Гаусс опубликовал свой трактат 1831 года. ^[42]

Огюстен-Луи Коши и Бернхард Риман совместно довели основные идеи комплексного анализа до высокой степени завершенности, начиная с 1825 года в случае Коши.

Общие термины, используемые в теории, в основном принадлежат основателям. Арган называл cos φ + i sin φ фактором направления , а модуль — модулем ; ^{[d] [43]} Коши (1821) называл cos φ + i sin φ приведенной формой (l'expression réduite) ^[44] и, по-видимому, ввел термин аргумент ; Гаусс использовал i для , ^[e] ввел термин комплексное число для a + bi , ^[f] и назвал a ² + b ² нормой . ^[g] Выражение коэффициент направления , часто используемое для cos φ + i sin φ , принадлежит Ганкелю (1867), ^[48] а абсолютное значение для модуля — Вейерштрассу. ${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

Более поздние классические авторы общей теории включают Рихарда Дедекинда , Отто Гёльдера , Феликса Клейна , Анри Пуанкаре , Германа Шварца , Карла Вейерштрасса и многих других. Важная работа (включая систематизацию) в области комплексного многомерного исчисления была начата в начале 20-го века. Важные результаты были достигнуты Вильгельмом Виртингером в 1927 году.

Абстрактные алгебраические аспекты

Хотя приведенные выше определения низкого уровня, включая сложение и умножение, точно описывают комплексные числа, существуют и другие эквивалентные подходы, которые более непосредственно раскрывают абстрактную алгебраическую структуру комплексных чисел.

Конструкция как поле частного

Один из подходов к — через многочлены , т. е. выражения вида , где коэффициенты a ₀ , ...,  a _n являются действительными числами. Множество всех таких многочленов обозначается как . Поскольку суммы и произведения многочленов снова являются многочленами, это множество образует коммутативное кольцо , называемое кольцом многочленов (над действительными числами). Каждому такому многочлену p можно присвоить комплексное число , т. е. значение, полученное путем установки . Это определяет функцию ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle p(X)=a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle p(i)=a_{n}i^{n}+\dotsb +a_{1}i+a_{0}}$ ${\displaystyle X=i}$

${\displaystyle \mathbb {R} [X]\to \mathbb {C} }$

Эта функция сюръективна , поскольку каждое комплексное число может быть получено таким образом: оценка линейного многочлена в точке равна . Однако оценка многочлена в точке i равна 0, поскольку Этот многочлен неприводим , т. е. не может быть записан в виде произведения двух линейных многочленов. Из основных фактов абстрактной алгебры следует, что ядро ​​приведенного выше отображения является идеалом, порожденным этим многочленом, и что частное по этому идеалу является полем, и что существует изоморфизм ${\displaystyle a+bX}$ ${\displaystyle X=i}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle i^{2}+1=0.}$

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1){\stackrel {\cong }{\to }}\mathbb {C} }$

между фактор-кольцом и . Некоторые авторы принимают это как определение . ^[49] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Принятие того, что алгебраически замкнуто, поскольку это алгебраическое расширение в этом подходе, следовательно, является алгебраическим замыканием ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Матричное представление комплексных чисел

Комплексные числа a + bi также могут быть представлены матрицами 2 × 2 , имеющими вид Здесь элементы a и b являются действительными числами. Поскольку сумма и произведение двух таких матриц снова имеют этот вид, эти матрицы образуют подкольцо кольца матриц 2 × 2 . $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}.}$$

Простое вычисление показывает, что отображение является кольцевым изоморфизмом из поля комплексных чисел в кольцо этих матриц, доказывая, что эти матрицы образуют поле. Этот изоморфизм связывает квадрат абсолютной величины комплексного числа с определителем соответствующей матрицы, а сопряженное комплексное число — с транспонированной матрицей. $${\displaystyle a+ib\mapsto {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}}$$

Геометрическое описание умножения комплексных чисел также может быть выражено в терминах матриц вращения , используя это соответствие между комплексными числами и такими матрицами. Действие матрицы на вектор ( x , y ) соответствует умножению x + iy на a + ib . В частности, если определитель равен 1 , существует действительное число t такое, что матрица имеет вид

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\;\;\cos t\end{pmatrix}}.}$$В этом случае действие матрицы на векторы и умножение на комплексное число являются поворотом на угол t . ${\displaystyle \cos t+i\sin t}$

Комплексный анализ

Изучение функций комплексной переменной известно как комплексный анализ и имеет огромное практическое применение в прикладной математике , а также в других областях математики. Часто наиболее естественные доказательства утверждений в вещественном анализе или даже теории чисел используют методы из комплексного анализа (см. теорему о простых числах для примера).

Граф раскраски области функции ⁠( z ² - 1)( z - 2 - я ) ²/я ² + 2 + 2 я⁠ . Более темные пятна отмечают модули вблизи нуля, более яркие пятна находятся дальше от начала координат. Цвет кодирует аргумент. Функция имеет нули для ±1, (2 + i ) и полюса при ${\displaystyle \pm {\sqrt {-2-2i}}.}$

В отличие от действительных функций, которые обычно представляются в виде двумерных графиков, сложные функции имеют четырехмерные графики и могут быть проиллюстрированы с помощью цветовой кодировки трехмерного графика , чтобы обозначить четыре измерения, или с помощью анимации динамического преобразования комплексной плоскости сложной функцией.

Конвергенция

Иллюстрация поведения последовательности для трех различных значений z (все имеют один и тот же аргумент): при последовательность сходится к 0 (внутренняя спираль), тогда как при (внешняя спираль) она расходится. ${\displaystyle z^{n}}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle |z|>1}$

Понятия сходящихся рядов и непрерывных функций в (реальном) анализе имеют естественные аналоги в комплексном анализе. Говорят, что последовательность комплексных чисел сходится тогда и только тогда, когда сходятся ее действительная и мнимая части. Это эквивалентно (ε, δ)-определению пределов , где абсолютное значение действительных чисел заменяется на абсолютное значение комплексных чисел. С более абстрактной точки зрения, , наделенное метрикой , является полным метрическим пространством , которое, в частности, включает неравенство треугольника для любых двух комплексных чисел z ₁ и z ₂ . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|}$$ $${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}$$

Комплексный показатель

Иллюстрация комплексной экспоненциальной функции, отображающей комплексную плоскость, w = exp ⁡( z ). Левая плоскость показывает квадратную сетку с размером сетки 1, с тремя выделенными комплексными числами 0, 1 и i . Два прямоугольника (пурпурного и зеленого цвета) отображаются в круговые сегменты, в то время как линии, параллельные оси x , отображаются в лучи, исходящие из начала координат, но не содержащие его. Линии, параллельные оси y , отображаются в окружности.

Как и в реальном анализе, это понятие сходимости используется для построения ряда элементарных функций : показательная функция exp z , также записываемая как e ^z , определяется как бесконечный ряд , который, как можно показать, сходится для любого z : Например, — это число Эйлера . Формула Эйлера гласит: для любого действительного числа φ . Эта формула является быстрым следствием общих основных фактов о сходящихся степенных рядах и определениях вовлеченных функций как степенных рядов. Как частный случай, это включает тождество Эйлера $${\displaystyle \exp z:=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$ ${\displaystyle \exp(1)}$ ${\displaystyle e\approx 2.718}$ $${\displaystyle \exp(i\varphi )=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$ $${\displaystyle \exp(i\pi )=-1.}$$

Комплексный логарифм

Экспоненциальная функция отображает комплексные числа z, отличающиеся на величину, кратную , в одно и то же комплексное число w . ${\displaystyle 2\pi i}$

Для любого положительного действительного числа t существует единственное действительное число x такое, что . Это приводит к определению натурального логарифма как обратной экспоненциальной функции. Для комплексных чисел ситуация иная, поскольку ${\displaystyle \exp(x)=t}$ ${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto \ln x}$

${\displaystyle \exp(z+2\pi i)=\exp z\exp(2\pi i)=\exp z}$

по функциональному уравнению и тождеству Эйлера. Например, e ^iπ = e ^{3 iπ} = −1 , поэтому и iπ и 3 iπ являются возможными значениями для комплексного логарифма −1 .

В общем случае, если задано любое ненулевое комплексное число w , любое число z, решающее уравнение

${\displaystyle \exp z=w}$

называется комплексным логарифмом w , обозначается . Можно показать, что эти числа удовлетворяют , где arg — аргумент, определенный выше, а ln — (действительный) натуральный логарифм . Поскольку arg — многозначная функция , уникальная только до кратного 2 π , log также многозначен. Главное значение log часто берется путем ограничения мнимой части интервалом ( − π , π ] . Это приводит к тому, что комплексный логарифм является биективной функцией, принимающей значения в полосе (которая обозначена на иллюстрации выше) ${\displaystyle \log w}$ $${\displaystyle z=\log w=\ln |w|+i\arg w,}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right]}$ ${\displaystyle S_{0}}$ $${\displaystyle \ln \colon \;\mathbb {C} ^{\times }\;\to \;\;\;\mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right].}$$

Если не является неположительным действительным числом (положительным или недействительным числом), то результирующее главное значение комплексного логарифма получается при − π < φ < π . Это аналитическая функция вне отрицательных действительных чисел, но ее нельзя продолжить до функции, которая непрерывна при любом отрицательном действительном числе , где главное значение равно ln z = ln(− z ) + iπ . ^[h] ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \left(-\mathbb {R} _{\geq 0}\right)}$ ${\displaystyle z\in -\mathbb {R} ^{+}}$

Комплексное возведение в степень z ^ω определяется как и является многозначным, за исключением случая, когда ω является целым числом. Для ω = 1 / n , для некоторого натурального числа n , это восстанавливает неединственность n -ных корней, упомянутую выше. Если z > 0 является действительным (и ω является произвольным комплексным числом), то есть предпочтительный выбор , действительный логарифм, который может быть использован для определения предпочтительной экспоненциальной функции. $${\displaystyle z^{\omega }=\exp(\omega \ln z),}$$ ${\displaystyle \ln x}$

Комплексные числа, в отличие от действительных чисел, в общем случае не удовлетворяют немодифицированным степенным и логарифмическим тождествам, особенно когда наивно рассматриваются как однозначные функции; см. несостоятельность степенных и логарифмических тождеств . Например, они не удовлетворяют Обе стороны уравнения являются многозначными по определению комплексного возведения в степень, данному здесь, и значения слева являются подмножеством тех, что справа. $${\displaystyle a^{bc}=\left(a^{b}\right)^{c}.}$$

Комплексный синус и косинус

Ряды, определяющие действительные тригонометрические функции синус и косинус , а также гиперболические функции sinh и cosh, также переносятся на комплексные аргументы без изменений. Для других тригонометрических и гиперболических функций, таких как тангенс , все немного сложнее, так как определяющие ряды не сходятся для всех комплексных значений. Поэтому их нужно определить либо в терминах синуса, косинуса и экспоненты, либо, что эквивалентно, с помощью метода аналитического продолжения .

Голоморфные функции

Цветовой круг графика функции sin(1/ z ), которая является голоморфной, за исключением z = 0, что является существенной особенностью этой функции. Белые части внутри относятся к числам, имеющим большие абсолютные значения.

Функция → называется голоморфной или комплексно дифференцируемой в точке, если предел ${\displaystyle f:\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}$

существует (в этом случае он обозначается как ). Это имитирует определение для действительных дифференцируемых функций, за исключением того, что все величины являются комплексными числами. Грубо говоря, свобода приближения в разных направлениях налагает гораздо более сильное условие, чем (действительная) дифференцируемость. Например, функция ${\displaystyle f'(z_{0})}$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f(z)={\overline {z}}}$

дифференцируема как функция , но не является комплексно дифференцируемой. Действительная дифференцируемая функция является комплексно дифференцируемой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши–Римана , которые иногда сокращаются до ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0.}$

Комплексный анализ показывает некоторые особенности, не очевидные в реальном анализе. Например, теорема о тождестве утверждает, что две голоморфные функции f и g согласуются, если они согласуются на произвольно малом открытом подмножестве . Мероморфные функции , функции, которые можно локально записать как f ( z )/( z − z ₀ ) ⁿ с голоморфной функцией f , по-прежнему разделяют некоторые особенности голоморфных функций. Другие функции имеют существенные особенности , такие как sin(1/ z ) при z = 0 . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Приложения

Комплексные числа имеют приложения во многих научных областях, включая обработку сигналов , теорию управления , электромагнетизм , гидродинамику , квантовую механику , картографию и анализ вибрации . Некоторые из этих приложений описаны ниже.

Комплексное сопряжение также используется в инверсной геометрии , разделе геометрии, изучающем отражения более общие, чем отражения относительно прямой. В сетевом анализе электрических цепей комплексное сопряжение используется для нахождения эквивалентного импеданса, когда ищется теорема о передаче максимальной мощности .

Геометрия

Формы

Три неколлинеарные точки на плоскости определяют форму треугольника . Располагая точки на комплексной плоскости, эта форма треугольника может быть выражена комплексной арифметикой как Форма треугольника останется той же, когда комплексная плоскость преобразуется переносом или расширением (аффинным преобразованием ), что соответствует интуитивному понятию формы и описывает подобие . Таким образом, каждый треугольник находится в классе подобия треугольников с той же формой. ^[50] ${\displaystyle u,v,w}$ ${\displaystyle \{u,v,w\}}$ $${\displaystyle S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}.}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{u,v,w\}}$

Фрактальная геометрия

Множество Мандельброта с обозначенными действительными и мнимыми осями.

Множество Мандельброта — популярный пример фрактала, образованного на комплексной плоскости. Оно определяется путем построения графика каждого местоположения , где итерация последовательности не расходится при бесконечной итерации . Аналогично, множества Жюлиа имеют те же правила, за исключением того, где остается постоянным. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle c}$

Треугольники

Каждый треугольник имеет уникальный инэллипс Штейнера – эллипс внутри треугольника и касательный к серединам трех сторон треугольника. Фокусы инэллипса Штейнера треугольника можно найти следующим образом, согласно теореме Мардена : ^{[51] [52]} Обозначим вершины треугольника на комплексной плоскости как a = x _A + y _A i , b = x _B + y _B i , и c = x _C + y _C i . Запишем кубическое уравнение , возьмем его производную и приравняем (квадратичную) производную к нулю. Теорема Мардена гласит, что решениями этого уравнения являются комплексные числа, обозначающие положения двух фокусов инэллипса Штейнера. ${\displaystyle (x-a)(x-b)(x-c)=0}$

Алгебраическая теория чисел

Построение правильного пятиугольника с помощью линейки и циркуля .

Как упоминалось выше, любое непостоянное полиномиальное уравнение (с комплексными коэффициентами) имеет решение в . Тем более , то же самое верно, если уравнение имеет рациональные коэффициенты. Корни таких уравнений называются алгебраическими числами — они являются основным объектом изучения в алгебраической теории чисел . По сравнению с , алгебраическое замыкание , которое также содержит все алгебраические числа, имеет то преимущество, что его легко понять в геометрических терминах. Таким образом, алгебраические методы могут использоваться для изучения геометрических вопросов и наоборот. С помощью алгебраических методов, а точнее, применяя аппарат теории поля к числовому полю, содержащему корни из единицы , можно показать, что невозможно построить правильный девятиугольник, используя только циркуль и линейку — чисто геометрическая задача. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Другим примером являются гауссовы целые числа , то есть числа вида x + iy , где x и y — целые числа, которые можно использовать для классификации сумм квадратов .

Аналитическая теория чисел

Аналитическая теория чисел изучает числа, часто целые или рациональные, используя тот факт, что их можно рассматривать как комплексные числа, в которых можно использовать аналитические методы. Это делается путем кодирования теоретико-числовой информации в комплекснозначных функциях. Например, дзета- функция Римана ζ( s ) связана с распределением простых чисел .

Несобственные интегралы

В прикладных областях комплексные числа часто используются для вычисления некоторых вещественных несобственных интегралов с помощью комплексных функций. Существует несколько методов для этого; см. методы контурной интеграции .

Динамические уравнения

В дифференциальных уравнениях обычно сначала находят все комплексные корни r характеристического уравнения линейного дифференциального уравнения или системы уравнений, а затем пытаются решить систему в терминах базисных функций вида f ( t ) = e ^rt . Аналогично, в разностных уравнениях используются комплексные корни r характеристического уравнения системы разностных уравнений, чтобы попытаться решить систему в терминах базисных функций вида f ( t ) = r ^t .

Линейная алгебра

Так как алгебраически замкнута, любая непустая комплексная квадратная матрица имеет по крайней мере одно (комплексное) собственное значение . Для сравнения, действительные матрицы не всегда имеют действительные собственные значения, например, матрицы вращения (для поворотов плоскости на углы, отличные от 0° или 180°) не оставляют направления фиксированными, и, следовательно, не имеют никаких действительных собственных значений. Существование (комплексных) собственных значений и, как следствие, существование собственного разложения является полезным инструментом для вычисления степеней матриц и матричных экспонент . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Комплексные числа часто обобщают концепции, изначально задуманные в действительных числах. Например, сопряженное транспонирование обобщает транспонирование , эрмитовы матрицы обобщают симметричные матрицы , а унитарные матрицы обобщают ортогональные матрицы .

В прикладной математике

Теория управления

В теории управления системы часто преобразуются из временной области в комплексную частотную область с помощью преобразования Лапласа . Нули и полюса системы затем анализируются в комплексной плоскости . Методы корневого годографа , диаграммы Найквиста и диаграммы Николса используют комплексную плоскость.

В методе корневого годографа важно, находятся ли нули и полюса в левой или правой полуплоскости, то есть имеют ли действительную часть больше или меньше нуля. Если линейная, инвариантная во времени (LTI) система имеет полюса, которые

• в правой полуплоскости он будет неустойчивым ,
• все в левой полуплоскости, будет устойчиво ,
• на мнимой оси он будет иметь предельную устойчивость .

Если система имеет нули в правой полуплоскости, то это неминимально-фазовая система.

Анализ сигнала

Комплексные числа используются в анализе сигналов и других областях для удобного описания периодически изменяющихся сигналов. Для заданных действительных функций, представляющих реальные физические величины, часто в терминах синусов и косинусов, рассматриваются соответствующие комплексные функции, действительные части которых являются исходными величинами. Для синусоиды заданной частоты абсолютное значение | z | соответствующего z является амплитудой , а аргумент arg z является фазой .

Если анализ Фурье применяется для записи заданного действительного сигнала в виде суммы периодических функций, то эти периодические функции часто записываются как комплекснозначные функции вида

$${\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \{X(t)\}}$$

и

$${\displaystyle X(t)=Ae^{i\omega t}=ae^{i\phi }e^{i\omega t}=ae^{i(\omega t+\phi )}}$$

где ω представляет угловую частоту , а комплексное число A кодирует фазу и амплитуду, как объяснено выше.

Это применение также распространяется на цифровую обработку сигналов и цифровую обработку изображений , которые используют цифровые версии анализа Фурье (и вейвлет -анализа) для передачи, сжатия , восстановления и иной обработки цифровых аудиосигналов , неподвижных изображений и видеосигналов .

Другой пример, относящийся к двум боковым полосам амплитудной модуляции AM-радио:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos((\omega +\alpha )t)+\cos \left((\omega -\alpha )t\right)&=\operatorname {Re} \left(e^{i(\omega +\alpha )t}+e^{i(\omega -\alpha )t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(\left(e^{i\alpha t}+e^{-i\alpha t}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(2\cos(\alpha t)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \operatorname {Re} \left(e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \cos \left(\omega t\right).\end{aligned}}}$$

В физике

Электромагнетизм и электротехника

В электротехнике преобразование Фурье используется для анализа изменяющихся напряжений и токов . Обработка резисторов , конденсаторов и катушек индуктивности может быть затем унифицирована путем введения мнимых, зависящих от частоты сопротивлений для последних двух и объединения всех трех в одно комплексное число, называемое импедансом . Этот подход называется исчислением векторов .

В электротехнике мнимая единица обозначается как j , чтобы избежать путаницы с I , которая обычно используется для обозначения электрического тока , или, более конкретно, i , которая обычно используется для обозначения мгновенного электрического тока.

Поскольку напряжение в цепи переменного тока колеблется, его можно представить как

$${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{j\omega t}=V_{0}\left(\cos \omega t+j\sin \omega t\right),}$$

Для получения измеряемой величины берется действительная часть:

$${\displaystyle v(t)=\operatorname {Re} (V)=\operatorname {Re} \left[V_{0}e^{j\omega t}\right]=V_{0}\cos \omega t.}$$

Комплексный сигнал V ( t ) называется аналитическим представлением действительного измеримого сигнала v ( t ) . ^[53]

Динамика жидкости

В гидродинамике комплексные функции используются для описания потенциального потока в двух измерениях .

Квантовая механика

Поле комплексных чисел является неотъемлемой частью математических формулировок квантовой механики , где комплексные гильбертовы пространства предоставляют контекст для одной такой формулировки, которая удобна и, возможно, наиболее стандартна. Первоначальные базовые формулы квантовой механики – уравнение Шредингера и матричная механика Гейзенберга – используют комплексные числа.

Относительность

В специальной и общей теории относительности некоторые формулы для метрики пространства-времени упрощаются, если принять временную составляющую пространственно-временного континуума мнимой. (Этот подход больше не является стандартным в классической теории относительности, но используется существенным образом в квантовой теории поля .) Комплексные числа существенны для спиноров , которые являются обобщением тензоров , используемых в теории относительности.

Характеристики, обобщения и связанные с ними понятия

Алгебраическая характеристика

Поле имеет следующие три свойства: ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Во-первых, его характеристика равна 0. Это означает, что 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 для любого числа слагаемых (все из которых равны единице).
• Во-вторых, его степень трансцендентности над , простое поле — это мощность континуума . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$
• В-третьих, он алгебраически замкнут (см. выше).

Можно показать, что любое поле, обладающее этими свойствами, изоморфно (как поле) Например, алгебраическое замыкание поля p -адического числа также удовлетворяет этим трем свойствам, поэтому эти два поля изоморфны (как поля, но не как топологические поля). ^[54] Кроме того, изоморфно полю комплексных рядов Пюизо . Однако для указания изоморфизма требуется аксиома выбора . Другим следствием этой алгебраической характеризации является то, что содержит много собственных подполей, которые изоморфны . ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Характеристика как топологическое поле

Предыдущая характеристика описывает только алгебраические аспекты То есть, свойства близости и непрерывности , которые имеют значение в таких областях, как анализ и топология , не рассматриваются. Следующее описание как топологического поля (то есть поля, снабженного топологией , которая допускает понятие сходимости) учитывает топологические свойства. содержит подмножество P (а именно множество положительных действительных чисел) ненулевых элементов, удовлетворяющих следующим трем условиям: ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• P замкнуто относительно сложения, умножения и взятия обратных чисел.
• Если x и y являются различными элементами P , то либо x − y , либо y − x принадлежит P.
• Если S — любое непустое подмножество P , то S + P = x + P для некоторого x из ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Более того, имеет нетривиальный инволютивный автоморфизм x ↦ x * (а именно комплексное сопряжение), такой что x x * принадлежит P для любого ненулевого x из ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Любое поле F с этими свойствами можно наделить топологией, взяв в качестве базы множества B ( x ,  p ) = {  y | p − ( y − x )( y − x )* ∈ P  }  , где x пробегает поле, а p пробегает P . С этой топологией F изоморфно как топологическое поле ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Единственными связными локально компактными топологическими полями являются и Это дает еще одну характеристику как топологического поля, поскольку может быть отличимо от , поскольку ненулевые комплексные числа связаны , в то время как ненулевые действительные числа — нет. ^[55] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Другие системы счисления

Процесс расширения поля действительных чисел до является примером конструкции Кэли–Диксона . Применение этой конструкции итеративно к затем дает кватернионы , октонионы , ^[56] седенионы и тригинтадуонионы . Оказывается, эта конструкция уменьшает структурные свойства задействованных числовых систем. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

В отличие от вещественных чисел, не является упорядоченным полем , то есть невозможно определить отношение z ₁ < z ₂ , совместимое со сложением и умножением. Фактически, в любом упорядоченном поле квадрат любого элемента обязательно положителен, поэтому i ² = −1 исключает существование упорядочения на [ ^57] Переход от к кватернионам теряет коммутативность, в то время как октонионы (в дополнение к тому, что не являются коммутативными) перестают быть ассоциативными. Вещественные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы являются нормированными алгебрами с делением над . По теореме Гурвица они единственные; седенионы , следующий шаг в конструкции Кэли–Диксона, не имеют этой структуры. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Конструкция Кэли–Диксона тесно связана с регулярным представлением мысли как -алгебры ( -векторного пространства с умножением) относительно базиса (1,  i ) . Это означает следующее: -линейное отображение для некоторого фиксированного комплексного числа w может быть представлено матрицей 2 × 2 ( после выбора базиса). Относительно базиса (1,  i ) эта матрица есть та, которая упомянута в разделе о матричном представлении комплексных чисел выше. Хотя это линейное представление в действительных матрицах 2 × 2, оно не единственное. Любая матрица обладает тем свойством, что ее квадрат является отрицательным значением единичной матрицы: J ² = − I . Тогда также изоморфно полю и дает альтернативную комплексную структуру на Это обобщается понятием линейной комплексной структуры . ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C} &\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto wz\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (w)&-\operatorname {Im} (w)\\\operatorname {Im} (w)&\operatorname {Re} (w)\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad p^{2}+qr+1=0}$$ $${\displaystyle \{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Гиперкомплексные числа также обобщают и Например, это понятие содержит расщепленно-комплексные числа , которые являются элементами кольца (в отличие от для комплексных чисел). В этом кольце уравнение a ² = 1 имеет четыре решения. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {O} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$

Поле является пополнением поля рациональных чисел относительно обычной метрики абсолютного значения . Другие выборы метрик на приводят к полям p -адических чисел ( для любого простого числа p ), которые, таким образом, аналогичны . Нет других нетривиальных способов пополнения , кроме и по теореме Островского . Алгебраические замыкания по- прежнему несут норму, но (в отличие от ) не являются полными относительно нее. Пополнение оказывается алгебраически замкнутым. По аналогии поле называется p -адическими комплексными числами. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$

Поля и их конечные расширения полей, включая их, называются локальными полями . ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Смотрите также

• Аналитическое продолжение
• Круговое движение с использованием комплексных чисел
• Комплексно-базовая система
• Комплексное координатное пространство
• Сложная геометрия
• Геометрия чисел
• Двойственно-комплексное число
• Целое число Эйзенштейна
• Геометрическая алгебра (включающая комплексную плоскость как двумерное спинорное подпространство ) ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}^{+}}$
• Единичное комплексное число

Примечания

1. Соломенцев 2001: «Плоскость , точки которой отождествляются с элементами, называется комплексной плоскостью... Полная геометрическая интерпретация комплексных чисел и операций над ними впервые появилась в работе К. Весселя (1799). Геометрическое представление комплексных чисел, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в употребление после публикации в 1806 и 1814 годах статей Дж. Р. Аргана, который заново открыл, в значительной степени независимо, открытия Весселя». ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
2. В литературе мнимая единица часто предшествует знаку радикала, даже если перед ней стоит целое число. ^[23]
3. Было доказано, что мнимые числа обязательно появляются в кубической формуле, когда уравнение имеет три действительных различных корня Пьером Лораном Ванцелем в 1843 году, Винченцо Молламе в 1890 году, Отто Гёльдером в 1891 году и Адольфом Кнезером в 1892 году. Паоло Руффини также предоставил неполное доказательство в 1799 году.——S. Confalonieri (2015) ^[25]
4. Арганд 1814, с. 204 определяет модуль комплексного числа, но не называет его:
   «Dans ce quisuit, les Accens, Indifféremment Places, Seront Employés pour indiquer la grandeur absolue des qu’ils effectent; ainsi, si , et étant réels, on devra entender que ou ». ${\displaystyle a=m+n{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{'}}$ ${\displaystyle a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$
   [В дальнейшем знаки ударения, где бы они ни располагались, будут использоваться для обозначения абсолютного размера величин, которым они присвоены; таким образом , если и будучи реальным, следует понимать это или .] Argand 1814, p. 208 определяет и называет модуль и коэффициент направления комплексного числа: «...  pourrait être appelé le Module de , et représenterait la grandeur absolue de la ligne , tandis que l'autre facteur, dont le Module est l'unité, и являюсь представителем направления». [...  можно назвать модулем и представлять собой абсолютный размер линии (Арган представлял комплексные числа в виде векторов.) , тогда как другой фактор [а именно, ], модуль которого равен единице [1], будет представлять ее направление. ] ${\displaystyle a=m+n{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{'}}$ ${\displaystyle a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$
   ${\displaystyle a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$
   ${\displaystyle a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}\,,}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\tfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\sqrt {-1}}}$
5. Гаусс пишет: ^[45] «Quemadmodum scilicet arithmetica sublimior in quaestionibus hactenus pertractatis intersolo numeros integros reales versatur, itaromeata circa residua biquadratica tunc tantum in summa simplicitate ac genuina venustate resplendent, quando Campus arithmeticae ad imaginarias расширение, это абстрактное ограничение ipsius obiectum, составляющая числа formae a + bi , denotantibus i , pro more quantitatem imaginariam , atque ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ a, b indefinite omnes numeros reales integros inter - et +» . ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ [Разумеется, подобно тому, как высшая арифметика до сих пор исследовалась в задачах только среди действительных целых чисел, так и теоремы относительно биквадратичных вычетов тогда сияют наибольшей простотой и подлинной красотой, когда область арифметики распространяется на мнимые величины, так что, не ограничения на него, числа вида a + bi — i, обозначающие по соглашению мнимую величину , и переменные a, b [обозначающие] все действительные целые числа между и — составляют объект.] ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$
6. Гаусс: ^[46] «Tales numeros vocabimus numeros integros complexos, ita quidem, ut reales complexis non opponantur, sed tamquam species sub his contineri censeantur». [Мы будем называть такие числа [а именно числа вида a + bi ] «комплексными целыми числами», так что действительные [числа] рассматриваются не как противоположность комплексным [числам], а [как] тип [числа, который], так сказать, содержится в них.]
7. Гаусс: ^[47] «Productum numeri complexi per numerum ipsi conjunctum utriusquenormalam vocamus . Pro Norma itaque numeri realis, ipsiusquadratum habendum est». [Мы называем «нормой» произведение комплексного числа [например, a + ib ] на сопряженное ему [ a - ib ]. Поэтому квадрат действительного числа следует считать его нормой.]
8. Однако для другой обратной функции комплексной показательной функции (а не для определенного выше главного значения) разрез можно провести по любому другому лучу, проходящему через начало координат.

Ссылки

1. Для подробного изложения истории «мнимых» чисел, от первоначального скептицизма до окончательного принятия, см. Бурбаки, Николас (1998). «Основания математики § Логика: теория множеств». Элементы истории математики . Springer. стр. 18–24.
2. «Комплексные числа, как и действительные числа, а может быть, даже и больше, находят единство с природой, что поистине замечательно. Как будто сама Природа так же впечатлена масштабом и последовательностью системы комплексных чисел, как и мы сами, и доверила этим числам точные операции своего мира в его мельчайших масштабах», Пенроуз 2005, стр. 72–73.
3. Акслер, Шелдон (2010). Колледжская алгебра . Wiley. стр. 262. ISBN 9780470470770.
4. Шпигель, MR; Липшуц, С.; Шиллер, Джей-Джей; Спеллман, Д. (14 апреля 2009 г.). Комплексные переменные . Серия набросков Шаума (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-161569-3.
5. Ауфманн, Баркер и Нейшн 2007, стр. 66, Глава P
6. Pedoe, Dan (1988). Геометрия: всеобъемлющий курс . Дувр. ISBN 978-0-486-65812-4.
7. Weisstein, Eric W. "Complex Number". mathworld.wolfram.com . Получено 12 августа 2020 г. .
8. Кэмпбелл, Джордж Эшли (апрель 1911 г.). «Цизоидальные колебания» (PDF) . Труды Американского института инженеров-электриков . XXX (1–6). Американский институт инженеров-электриков : 789–824 [рис. 13 на стр. 810]. doi :10.1109/PAIEE.1911.6659711. S2CID  51647814 . Получено 24 июня 2023 г. . стр. 789: Использование i (или греческого ı ) для мнимого символа почти универсально в математической работе, что является очень веской причиной для его сохранения в приложениях математики в электротехнике. Однако, помимо вопроса устоявшихся соглашений и удобства ссылок на математическую литературу, замена символа j вызывает возражения из-за векторной терминологии, с которой он стал ассоциироваться в инженерной литературе, а также из-за путаницы, возникающей из-за раздельной практики инженерных авторов, некоторые из которых используют j вместо + i , а другие — вместо − i .
9. Браун, Джеймс Уорд; Черчилль, Руэл В. (1996). Комплексные переменные и приложения (6-е изд.). Нью-Йорк, США: McGraw-Hill . стр. 2. ISBN 978-0-07-912147-9. стр. 2: В электротехнике вместо i используется буква j .
10. Апостол 1981, стр. 15–16.
11. Апостол 1981, стр. 15–16.
12. Апостол 1981, стр. 18.
13. Другие авторы, включая Эббингауза и др. 1991, §6.1, выбрали аргумент, находящийся в интервале . ${\displaystyle [0,2\pi )}$
14. Kasana, HS (2005). "Глава 1". Complex Variables: Theory And Applications (2nd ed.). PHI Learning Pvt. Ltd. стр. 14. ISBN 978-81-203-2641-5.
15. Нильссон, Джеймс Уильям; Ридель, Сьюзен А. (2008). "Глава 9". Электрические цепи (8-е изд.). Prentice Hall. стр. 338. ISBN 978-0-13-198925-2.
16. Бурбаки 1998, §VIII.1
17. Клайн, Моррис. История математической мысли, том 1. стр. 253.
18. Юрий, Кович. Тристан Нидэм, Визуальный комплексный анализ, Oxford University Press Inc., Нью-Йорк, 1998, 592 страницы. ОСЛК  1080410598.
19. О'Коннор и Робертсон (2016), «Джироламо Кардано».
20. Нахин, Пол Дж. Воображаемая история: История √−1. Принстон: Princeton University Press, 1998.
21. Кац, Виктор Дж. (2004). "9.1.4". История математики, краткая версия . Эддисон-Уэсли . ISBN 978-0-321-16193-2.
22. Гамильтон, У. (1844). «О новом виде мнимых величин, связанных с теорией кватернионов». Труды Королевской Ирландской Академии . 2 : 424–434.
23. Синтия Y. Янг (2017). Тригонометрия (4-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 406. ISBN 978-1-119-44520-3.Выдержка из страницы 406
24. Нахин, Пол Дж. (2007). Воображаемая сказка: История √−1. Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-12798-9. Архивировано из оригинала 12 октября 2012 . Получено 20 апреля 2011 .
25. Конфалоньери, Сара (2015). Недостижимая попытка избежать Casus Irreducibilis для кубических уравнений: De Regula Aliza Джероламо Кардано . Спрингер. стр. 15–16 (прим. 26). ISBN 978-3658092757.
26. Декарт, Рене (1954) [1637]. Ла Геометрия | Геометрия Рене Декарта с факсимиле первого издания. Дуврские публикации . ISBN 978-0-486-60068-0. Получено 20 апреля 2011 г.
27. Эйлер, Леонард (1748). Introductio in Analysin Infinitorum [ Введение в анализ бесконечного ] (на латыни). Т. 1. Люцерн, Швейцария: Marc Michel Bosquet & Co., стр. 104.
28. Вессель, Каспар (1799). «Om Directionens analytiske Betegning, et Forsog, anvendt fornemmelig til plane og sphæriske Polygoners Oplosning» [Об аналитическом представлении направления, попытка, приложенная, в частности, к определению плоских и сферических многоугольников]. Nye Samling af det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter [Новое собрание сочинений Датского королевского научного общества] (на датском языке). 5 : 469–518.
29. Уоллис, Джон (1685). Трактат алгебры, как исторический, так и практический... Лондон, Англия: напечатано Джоном Плейфордом для Ричарда Дэвиса. С. 264–273.
30. Арганд (1806). Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les builds géométriques [ Эссе о способе представления комплексных величин с помощью геометрических конструкций ] (на французском языке). Париж, Франция: Мадам Вев Блан.
31. Гаусс, Карл Фридрих (1799) «Demonstratio nova теорематис omnem functionem алгебраический рационалем интеграм униус вариалис в факторах реальных первоначальных и секундных градусах разрешения». [Новое доказательство теоремы о том, что любая рациональная целая алгебраическая функция одной переменной может быть разложена на действительные множители первой или второй степени.] Доктор философии. диссертация, Университет Хельмштедта (Германия). (на латыни)
32. Эвальд, Уильям Б. (1996). От Канта до Гильберта: Учебник по основам математики. Том 1. Oxford University Press. С. 313. ISBN 9780198505358. Получено 18 марта 2020 г. .
33. Гаусс 1831.
34. "Адриан Квентин Буэ (1745–1845): МакТутор".
35. Буэ (1806). «Mémoire sur les quantités imaginaires» [Мемуары о мнимых количествах]. Философские труды Лондонского королевского общества (на французском языке). 96 : 23–88. дои : 10.1098/rstl.1806.0003. S2CID  110394048.
36. Мури, CV (1861). La vraies théore des quantités négatives et des quantités pétendues imaginaires [ Истинная теория отрицательных величин и предполагаемых мнимых величин ] (на французском языке). Париж, Франция: Малле-Башелье. Перепечатка 1861 года с оригинала 1828 года.
37. Уоррен, Джон (1828). Трактат о геометрическом представлении квадратных корней отрицательных величин. Кембридж, Англия: Cambridge University Press.
38. Уоррен, Джон (1829). «Рассмотрение возражений, выдвинутых против геометрического представления квадратных корней отрицательных величин». Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 119 : 241–254. doi : 10.1098/rstl.1829.0022 . S2CID  186211638.
39. Уоррен, Джон (1829). «О геометрическом представлении степеней величин, индексы которых содержат квадратные корни отрицательных чисел». Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 119 : 339–359. doi : 10.1098/rstl.1829.0031 . S2CID  125699726.
40. Франсэ, JF (1813). «Новые принципы геометрии положения и геометрическая интерпретация сложных [числовых] символов». Annales des mathématiques pures et appliquées (на французском языке). 4 : 61–71.
41. Caparrini, Sandro (2000). «Об общем происхождении некоторых работ по геометрической интерпретации комплексных чисел». В Kim Williams (ред.). Две культуры. Birkhäuser. стр. 139. ISBN 978-3-7643-7186-9.
42. Харди, GH; Райт, EM (2000) [1938]. Введение в теорию чисел . OUP Oxford . стр. 189 (четвертое издание). ISBN 978-0-19-921986-5.
43. Джефф Миллер (21 сентября 1999 г.). "MODULUS". Самые ранние известные случаи использования некоторых слов из математики (M) . Архивировано из оригинала 3 октября 1999 г.{{cite web}}: CS1 maint: unfit URL (link)
44. Коши, Огюстен-Луи (1821). Курс анализа королевской политехнической школы (на французском языке). Том. 1. Париж, Франция: L'Imprimerie Royale. п. 183.
45. Гаусс 1831, стр. 96
46. Гаусс 1831, стр. 96
47. Гаусс 1831, стр. 98
48. Ханкель, Герман (1867). Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen [ Лекции о комплексных числах и их функциях ] (на немецком языке). Том. 1. Лейпциг, [Германия]: Леопольд Восс. п. 71. Из стр. 71: «Wir werden den Factor ( cos φ + i sin φ) haüfig den Richtungscoefficienten nennen». (Мы часто будем называть фактор (cos φ + i sin φ) «коэффициентом направления».)
49. Бурбаки 1998, §VIII.1
50. Лестер, Дж. А. (1994). «Треугольники I: Формы». Математические уравнения . 52 : 30–54. дои : 10.1007/BF01818325. S2CID  121095307.
51. Калман, Дэн (2008a). «Элементарное доказательство теоремы Мардена». American Mathematical Monthly . 115 (4): 330–38. doi :10.1080/00029890.2008.11920532. ISSN  0002-9890. S2CID  13222698. Архивировано из оригинала 8 марта 2012 года . Получено 1 января 2012 года .
52. Калман, Дэн (2008b). «Самая замечательная теорема в математике». Журнал онлайн-математики и ее приложений . Архивировано из оригинала 8 февраля 2012 года . Получено 1 января 2012 года .
53. Грант, И.С.; Филлипс, В.Р. (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Manchester Physics Series. ISBN 978-0-471-92712-9.
54. Маркер, Дэвид (1996). «Введение в модельную теорию полей». В Маркер, Д.; Мессмер, М.; Пиллэй, А. (ред.). Модельная теория полей . Конспект лекций по логике. Том 5. Берлин: Springer-Verlag. С. 1–37. ISBN 978-3-540-60741-0. МР  1477154.
55. Бурбаки 1998, §VIII.4.
56. Маккриммон, Кевин (2004). Вкус йордановых алгебр . Universitext. Springer. стр. 64. ISBN 0-387-95447-3. МР 2014924
57. Апостол 1981, стр. 25.

• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ (3-е изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
• Андрееску, Титу; Андрика, Дорин (2014), Комплексные числа от А до ... Я (второе изд.), Нью-Йорк: Springer, doi : 10.1007/978-0-8176-8415-0, ISBN 978-0-8176-8414-3
• Апостол, Том (1981). Математический анализ . Эддисон-Уэсли.
• Ауфманн, Ричард Н.; Баркер, Вернон К.; Нейшн, Ричард Д. (2007). Колледжская алгебра и тригонометрия (6-е изд.). Cengage Learning. ISBN 978-0-618-82515-8.
• Конвей, Джон Б. (1986). Функции одной комплексной переменной I. Springer. ISBN 978-0-387-90328-6.
• Дербишир, Джон (2006). Неизвестная величина: реальная и воображаемая история алгебры. Joseph Henry Press. ISBN 978-0-309-09657-7.
• Джоши, Капил Д. (1989). Основы дискретной математики . Нью-Йорк: John Wiley & Sons . ISBN 978-0-470-21152-6.
• Needham, Tristan (1997). Визуальный комплексный анализ . Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853447-1.
• Педоу, Дэн (1988). Геометрия: Полный курс . Дувр. ISBN 978-0-486-65812-4.
• Пенроуз, Роджер (2005). Дорога к реальности: полное руководство по законам вселенной. Альфред А. Кнопф. ISBN 978-0-679-45443-4.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Раздел 5.5 Комплексная арифметика". Numerical Recipes: The art of scientific computing (3rd ed.). Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Архивировано из оригинала 13 марта 2020 . Получено 9 августа 2011 .
• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], "Комплексное число", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС

Исторические справки

• Арганд (1814 г.). «Размышления о новой теории комплексных чисел с последующим применением к доказательству теоремы анализа». Annales de mathématiques pures et appliquées (на французском языке). 5 : 197–209.
• Бурбаки, Николя (1998). «Основания математики § логика: теория множеств». Элементы истории математики . Springer.
• Бертон, Дэвид М. (1995). История математики (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-009465-9.
• Гаусс, CF (1831). «Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda» [Теория биквадратичных остатков. Второе воспоминание.]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores (на латыни). 7 : 89–148.
• Кац, Виктор Дж. (2004). История математики, краткая версия . Эддисон-Уэсли . ISBN 978-0-321-16193-2.
• Нахин, Пол Дж. (1998). Воображаемая сказка: История ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {-1}}}$ . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-02795-1.— Краткое введение в историю комплексных чисел и истоки комплексного анализа.
• Эббингауз, HD; Гермес, Х.; Хирцебрух, Ф.; Коечер, М.; Майнцер, К.; Нойкирх, Дж.; Престель, А.; Реммерт, Р. (1991). Числа (изд. в твердом переплете). Спрингер. ISBN 978-0-387-97497-2.— Расширенный взгляд на историческое развитие концепции числа.