Картан соединение

В математической области дифференциальной геометрии связность Картана является гибким обобщением понятия аффинной связности . Она также может рассматриваться как специализация общего понятия главной связности , в которой геометрия главного расслоения связана с геометрией базового многообразия с помощью спаянной формы . Связности Картана описывают геометрию многообразий, смоделированных на однородных пространствах .

Теория связностей Картана была разработана Эли Картаном как часть (и способ формулировки) его метода подвижных систем отсчета ( repère mobile ). ^[1] Основная идея состоит в том, чтобы разработать подходящее понятие форм связности и кривизны , используя подвижные системы отсчета, адаптированные к конкретной рассматриваемой геометрической задаче. В теории относительности или римановой геометрии ортонормированные системы отсчета используются для получения описания связности Леви-Чивиты как связности Картана. Для групп Ли системы отсчета Маурера–Картана используются для рассмотрения формы Маурера–Картана группы как связности Картана.

Картан переформулировал дифференциальную геометрию ( псевдо ) римановой геометрии , а также дифференциальную геометрию многообразий, снабженных некоторой неметрической структурой, включая группы Ли и однородные пространства . Термин «связность Картана» чаще всего относится к формулировке Картаном (псевдо)римановой, аффинной , проективной или конформной связности . Хотя это наиболее часто используемые связности Картана, они являются частными случаями более общей концепции.

Подход Картана на первый взгляд кажется зависимым от координат из-за выбора кадров, которые он включает. Однако это не так, и это понятие можно точно описать с помощью языка главных расслоений. Связи Картана индуцируют ковариантные производные и другие дифференциальные операторы на определенных ассоциированных расслоениях, отсюда и понятие параллельного переноса. Они имеют множество приложений в геометрии и физике: см. метод движущихся кадров , формализм Картана и теорию Эйнштейна–Картана для некоторых примеров.

Введение

В своих корнях геометрия состоит из понятия конгруэнтности между различными объектами в пространстве. В конце 19 века понятия конгруэнтности обычно предоставлялись действием группы Ли на пространство. Группы Ли обычно действуют довольно жестко, и поэтому геометрия Картана является обобщением этого понятия конгруэнтности, чтобы допустить присутствие кривизны . Плоские геометрии Картана — те, которые имеют нулевую кривизну — локально эквивалентны однородным пространствам, следовательно, геометриям в смысле Клейна.

Геометрия Клейна состоит из группы Ли G вместе с подгруппой Ли H группы G. Вместе G и H определяют однородное пространство G / H , на котором группа G действует левым переносом. Целью Клейна было изучение объектов, находящихся на однородном пространстве, которые были бы конгруэнтны действием G. Геометрия Картана расширяет понятие геометрии Клейна, прикрепляя к каждой точке многообразия копию геометрии Клейна и рассматривая эту копию как касательную к многообразию. Таким образом, геометрия многообразия бесконечно мала и идентична геометрии Клейна, но глобально может быть совершенно иной. В частности, геометрии Картана больше не имеют четко определенного действия G на них. Однако связность Картана предоставляет способ соединения бесконечно малых модельных пространств внутри многообразия посредством параллельного переноса .

Мотивация

Рассмотрим гладкую поверхность S в трехмерном евклидовом пространстве R ³ . Вблизи любой точки S можно аппроксимировать ее касательной плоскостью в этой точке, которая является аффинным подпространством евклидова пространства. Аффинные подпространства являются модельными поверхностями — они являются простейшими поверхностями в R ³ и однородны относительно евклидовой группы плоскости, следовательно, они являются геометриями Клейна в смысле Эрлангенской программы Феликса Клейна . Каждая гладкая поверхность S имеет единственную аффинную плоскость, касательную к ней в каждой точке. Семейство всех таких плоскостей в R ³ , по одной в каждой точке S , называется конгруэнцией касательных плоскостей. Касательную плоскость можно «катить» вдоль S , и при этом точка контакта вычерчивает кривую на S . И наоборот, если задана кривая на S , касательную плоскость можно катить вдоль этой кривой. Это дает возможность идентифицировать касательные плоскости в различных точках вдоль кривой с помощью аффинных (фактически евклидовых) преобразований и является примером связности Картана, называемой аффинной связностью .

Другой пример получается путем замены плоскостей, как модельных поверхностей, сферами, которые являются однородными относительно группы Мёбиуса конформных преобразований. Больше нет единственной сферы, касающейся гладкой поверхности S в каждой точке, поскольку радиус сферы не определен. Это можно исправить, предположив, что сфера имеет ту же среднюю кривизну , что и S в точке контакта. Такие сферы снова можно катить по кривым на S , и это снабжает S другим типом связи Картана, называемой конформной связью .

Дифференциальные геометры в конце 19-го и начале 20-го веков были очень заинтересованы в использовании модельных семейств, таких как плоскости или сферы, для описания геометрии поверхностей. Семейство модельных пространств, прикрепленных к каждой точке поверхности S, называется конгруэнцией : в предыдущих примерах имелся канонический выбор такой конгруэнции. Связность Картана обеспечивает идентификацию между модельными пространствами в конгруэнции вдоль любой кривой в S. Важной особенностью этих идентификаций является то, что точка контакта модельного пространства с S всегда движется вместе с кривой. Это общее условие характерно для связностей Картана.

В современной трактовке аффинных связей точка контакта рассматривается как начало координат в касательной плоскости (которая тогда является векторным пространством), а движение начала координат корректируется переносом, и поэтому связи Картана не нужны. Однако в общем случае нет канонического способа сделать это: в частности, для конформной связи конгруэнтности сферы невозможно отделить движение точки контакта от остального движения естественным образом.

В обоих примерах модельное пространство представляет собой однородное пространство G / H .

В первом случае G / H — аффинная плоскость, причем G = Aff( R ² ) — аффинная группа плоскости, а H = GL(2) — соответствующая общая линейная группа.
Во втором случае G / H — конформная (или небесная ) сфера, где G = O ⁺ (3,1) — ⁽ортохронная) группа Лоренца , а H — стабилизатор нулевой линии в R3,1 .

Геометрия Картана S состоит из копии модельного пространства G / H в каждой точке S (с отмеченной точкой контакта) вместе с понятием «параллельного переноса» вдоль кривых, которое идентифицирует эти копии с использованием элементов G. Это понятие параллельного переноса является общим в интуитивном смысле, что точка контакта всегда движется вдоль кривой.

В общем случае пусть G — группа с подгруппой H , а M — многообразие той же размерности, что и G / H. Тогда, грубо говоря, связность Картана на M — это G -связность , которая является общей относительно редукции к H.

Аффинные связи

Аффинная связность на многообразии M — это связность на расслоении фреймов (главном расслоении) M (или, что эквивалентно, связность на касательном расслоении ( векторном расслоении) M ). Ключевым аспектом точки зрения Картана на связность является разработка этого понятия в контексте главных расслоений (которые можно было бы назвать «общей или абстрактной теорией фреймов»).

Пусть H — группа Ли , ее алгебра Ли . Тогда главное H -расслоение — это расслоение P над M с гладким действием H на P , которое свободно и транзитивно на слоях. Таким образом, P — гладкое многообразие с гладким отображением π : P → M , которое локально выглядит как тривиальное расслоение M × H → M. Расслоение реперов M является главным GL( n )-расслоением, в то время как если M — риманово многообразие , то ортонормированное расслоение реперов является главным O( n )-расслоением. ${\mathfrak {h}}$

Пусть R _h обозначает (правое) действие h ∈ H на P. Производная этого действия определяет вертикальное векторное поле на P для каждого элемента ξ из : если h ( t ) является 1-параметрической подгруппой с h (0) = e (единичный элемент) и h '( 0 ) = ξ , то соответствующее вертикальное векторное поле равно ${\mathfrak {h}}$

X_{\xi }={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}R_{h(t)}{\biggr |}_{t=0}.\,

Главная H -связность на P — это 1-форма на P со значениями в алгебре Ли H , такая , что $\omega \colon TP\to {\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}$

${\hbox{Ad}}(h)(R_{h}^{*}\omega )=\omega$
для любого ω ( Xξ ) = _ξ ( тождественно на P ). $\xi \in {\mathfrak {h}}$

Интуитивная идея состоит в том, что ω ( X ) обеспечивает вертикальную компоненту X , используя изоморфизм слоев π с H для идентификации вертикальных векторов с элементами . ${\mathfrak {h}}$

Рамочные расслоения имеют дополнительную структуру, называемую формой припоя , которую можно использовать для расширения главного соединения на P до тривиализации касательного расслоения P , называемого абсолютным параллелизмом .

В общем случае предположим, что M имеет размерность n , а H действует на R ⁿ (это может быть любое n -мерное вещественное векторное пространство). Форма припоя на главном H -расслоении P над M - это R ⁿ -значная 1-форма θ : T P → R ^{n ,} которая является горизонтальной и эквивариантной, так что она индуцирует гомоморфизм расслоений из T M в ассоциированное расслоение P × _H R ⁿ . Кроме того, это требуется, чтобы быть изоморфизмом расслоений. Рамочные расслоения имеют (каноническую или тавтологическую) форму припоя, которая отправляет касательный вектор X ∈ T _p P в координаты d π _p ( X ) ∈ T _{π ( p )}M относительно рамки p .

Пара ( ω , θ ) (главная связность и форма припоя) определяет 1-форму η на P со значениями в алгебре Ли полупрямого произведения G пространства H с Rn , что обеспечивает изоморфизм каждого касательного пространства T _p P ^с . Она индуцирует главную связность α на ассоциированном главном G -расслоении P × _H G . Это связность Картана. ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$

Связи Картана обобщают аффинные связи двумя способами.

Действие H на R ⁿ не обязательно должно быть эффективным. Это позволяет, например, включить в теорию спиновые связи, в которых H является спиновой группой Spin( n ), а не ортогональной группой O( n ).
Группа G не обязательно должна быть полупрямым произведением H с Rn ^.

Геометрии Клейна как модельные пространства

Эрлангенская программа Клейна предполагала, что геометрию можно рассматривать как изучение однородных пространств : в частности, это изучение многих геометрий, представляющих интерес для геометров 19-го века (и ранее). Геометрия Клейна состояла из пространства, а также закона движения в пространстве (аналогичного евклидовым преобразованиям классической евклидовой геометрии ), выраженного как группа Ли преобразований . Эти обобщенные пространства оказываются однородными гладкими многообразиями, диффеоморфными фактор- пространству группы Ли по подгруппе Ли . Дополнительная дифференциальная структура, которой обладают эти однородные пространства, позволяет изучать и обобщать их геометрию с помощью исчисления.

Общий подход Картана заключается в том, чтобы начать с такой гладкой геометрии Клейна , заданной группой Ли G и подгруппой Ли H , с ассоциированными алгебрами Ли и , соответственно. Пусть P — лежащее в основе главное однородное пространство G. Геометрия Клейна — это однородное пространство, заданное фактором P / H группы P по правому действию H. На слоях канонической проекции существует правое H -действие ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h}}$

π : P → P / H

задано формулой R _h g = gh . Более того, каждое волокно π является копией H . P имеет структуру главного H -расслоения над P / H . ^[2]

Вектор X на P является вертикальным, если d π ( X ) = 0. Любой ξ ∈ порождает каноническое вертикальное векторное поле X _ξ, взяв производную от правого действия 1-параметрической подгруппы H, связанной с ξ. Форма Маурера-Картана η поля P является -значной одномерной формой на P , которая отождествляет каждое касательное пространство с алгеброй Ли. Она обладает следующими свойствами: ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {g}}$

Ad( h ) R _h^*η = η для всех h в H
η ( X _ξ ) = ξ для всех ξ в ${\mathfrak {h}}$
для всех g ∈ P , η ограничивает линейный изоморфизм T _g P с (η — абсолютный параллелизм на P ). ${\mathfrak {g}}$

В дополнение к этим свойствам, η удовлетворяет структурному (или структурному ) уравнению

d\eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta ,\eta ]=0.

Наоборот, можно показать, что если заданы многообразие M и главное H -расслоение P над M , а также 1-форма η с этими свойствами, то P локально изоморфно как H -расслоение главному однородному расслоению G → G / H. Уравнение структуры является условием интегрируемости для существования такого локального изоморфизма.

Геометрия Картана является обобщением гладкой геометрии Клейна, в которой уравнение структуры не предполагается, а вместо этого используется для определения понятия кривизны . Таким образом, геометрии Клейна называются плоскими моделями для геометрий Картана. ^[3]

Псевдогруппы

Связи Картана тесно связаны со структурами псевдогрупп на многообразии. Каждая из них рассматривается как смоделированная на основе геометрии Клейна G / H , аналогично тому, как риманова геометрия моделируется на основе евклидова пространства . На многообразии M можно представить себе присоединение к каждой точке M копии модельного пространства G / H . Симметрия модельного пространства затем встраивается в геометрию Картана или структуру псевдогруппы путем постулирования того, что модельные пространства соседних точек связаны преобразованием в G . Фундаментальное различие между геометрией Картана и геометрией псевдогруппы заключается в том, что симметрия для геометрии Картана связывает бесконечно близкие точки посредством бесконечно малого преобразования в G (т. е. элемента алгебры Ли G ), и аналогичное понятие симметрии для структуры псевдогруппы применяется к точкам, которые физически разделены внутри многообразия.

Процесс прикрепления пространств к точкам и сопутствующие симметрии могут быть конкретно реализованы с помощью специальных систем координат . ^[4] Для каждой точки p ∈ M задана окрестность U p точки p вместе с отображением φ p : _Up → G / H _. Таким образом , _{модельное} пространство прикреплено к каждой точке M путем локальной реализации M в каждой точке как открытого подмножества G / H . Мы думаем об этом как о семействе систем координат на M , параметризованных точками M . Две такие параметризованные системы координат φ и φ′ являются H -связанными , если существует элемент h _p ∈ H , параметризованный p , такой, что

φ′ _p = h _p φ _p . ^[5]

Эта свобода примерно соответствует понятию физиков о калибровке .

Соседние точки связаны путем соединения их кривой. Предположим, что p и p ′ — две точки в M, соединенные кривой p _t . Тогда p _t предоставляет понятие переноса модельного пространства вдоль кривой. ^[6] Пусть τ _t : G / H → G / H — (локально определенное) составное отображение

τ _t = φ _{p _t} o φ _{p ₀}⁻¹ .

Интуитивно, τ _t — это транспортное отображение. Псевдогрупповая структура требует, чтобы τ _t была симметрией модельного пространства для каждого t : τ _t ∈ G . Связность Картана требует только, чтобы производная τ _t была симметрией модельного пространства: τ′ ₀ ∈ g , алгебры Ли группы G .

Типично для Картана, одной из мотиваций введения понятия связности Картана было изучение свойств псевдогрупп с точки зрения бесконечно малых. Связность Картана определяет псевдогруппу точно тогда, когда производная транспортного отображения τ′ может быть интегрирована , тем самым восстанавливая истинное ( G -значное) транспортное отображение между системами координат. Таким образом, существует условие интегрируемости , и метод Картана для реализации условий интегрируемости заключался во введении дифференциальной формы .

В этом случае τ′ ₀ определяет дифференциальную форму в точке p следующим образом. Для кривой γ( t ) = p _t в M, начинающейся в p , мы можем связать касательный вектор X , а также транспортное отображение τ _t^γ . Взятие производной определяет линейное отображение

X\mapsto \left.{\frac {d}{dt}}\tau _{t}^{\gamma }\right|_{t=0}=\theta (X)\in {\mathfrak {g}}.

Таким образом , θ определяет g -значную дифференциальную 1-форму на M.

Эта форма, однако, зависит от выбора параметризованной системы координат. Если h : U → H является H -отношением между двумя параметризованными системами координат φ и φ′, то соответствующие значения θ также связаны соотношением

\theta _{p}^{\prime }=Ad(h_{p}^{-1})\theta _{p}+h_{p}^{*}\omega _{H},

где ω _H — форма Маурера-Картана для H.

Формальное определение

Геометрию Картана, смоделированную на однородном пространстве G / H, можно рассматривать как деформацию этой геометрии, которая допускает наличие кривизны . Например:

Риманово многообразие можно рассматривать как деформацию евклидова пространства ;
Лоренцево многообразие можно рассматривать как деформацию пространства Минковского ;
конформное многообразие можно рассматривать как деформацию конформной сферы ;
многообразие, снабженное аффинной связностью, можно рассматривать как деформацию аффинного пространства .

Существует два основных подхода к определению. В обоих подходах M — гладкое многообразие размерности n , H — группа Ли размерности m с алгеброй Ли , а G — группа Ли размерности n + m с алгеброй Ли , содержащая H в качестве подгруппы. ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {g}}$

Определение через калибровочные переходы

Связность Картана состоит ^[7]^[8] из координатного атласа открытых множеств U в M , а также -значной 1-формы θ _U, определенной на каждой карте, такой, что ${\mathfrak {g}}$

θ _U : T U → . ${\mathfrak {g}}$
θ _U mod : T _uU → является линейным изоморфизмом для любого u ∈ U . ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$
Для любой пары карт U и V в атласе существует гладкое отображение h : U ∩ V → H такое, что

\theta _{V}=Ad(h^{-1})\theta _{U}+h^{*}\omega _{H},\,

где ω _H — форма Маурера-Картана для H.

По аналогии со случаем, когда θ _U пришла из систем координат, условие 3 означает, что φ _U связана с φ _V через h .

Кривизна соединения Картана состоит из системы 2-форм, определенных на графиках, заданных формулой

\Omega _{U}=d\theta _{U}+{\tfrac {1}{2}}[\theta _{U},\theta _{U}].

Ω _U удовлетворяют условию совместности:

Если формы θ _U и θ _V связаны функцией h : U ∩ V → H , как выше, то Ω _V = Ad( h ⁻¹ ) Ω _U

Определение можно сделать независимым от систем координат, сформировав факторпространство

P=(\coprod _{U}U\times H)/\sim

дизъюнктного объединения по всем U в атласе. Отношение эквивалентности ~ определяется на парах ( x , h ₁ ) ∈ U ₁ × H и ( x , h ₂ ) ∈ U ₂ × H , как

( x , h ₁ ) ~ ( x , h ₂ ) тогда и только тогда, когда x ∈ U ₁ ∩ U ₂ , θ _{U ₁} связан с θ _{U ₂} посредством h , и h ₂ = h ( x ) ⁻¹ h ₁ .

Тогда P является главным H -расслоением на M , и условие совместимости на формы связности θ _U подразумевает, что они поднимаются до -значной 1-формы η, определенной на P (см. ниже). ${\mathfrak {g}}$

Определение через абсолютный параллелизм

Пусть P — главное H- расслоение над M. Тогда связность Картана ^[9] — это -значная 1-форма η на P такая, что ${\mathfrak {g}}$

для всех h в H , Ad( h ) R _h^*η = η
для всех ξ в , η ( X _ξ ) = ξ ${\mathfrak {h}}$
для всех p из P ограничение η определяет линейный изоморфизм из касательного пространства T _p P в . ${\mathfrak {g}}$

Последнее условие иногда называют условием Картана : оно означает, что η определяет абсолютный параллелизм на P . Второе условие подразумевает, что η уже инъективно на вертикальных векторах и что 1-форма η mod со значениями в является горизонтальной. Векторным пространством является представление H с использованием сопряженного представления H на , а первое условие подразумевает, что η mod является эквивариантным. Следовательно, оно определяет гомоморфизм расслоений из T M в ассоциированное расслоение . Условие Картана эквивалентно тому , что этот гомоморфизм расслоений является изоморфизмом, так что η mod является формой припоя . ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h}}$ $P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}$

Кривизна связности Картана — это -значная 2-форма Ω, определяемая формулой ${\mathfrak {g}}$

\Omega =d\eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta \wedge \eta ].

Обратите внимание, что это определение связности Картана выглядит очень похоже на определение главной связности . Однако есть несколько важных отличий. Во-первых, 1-форма η принимает значения в , но является эквивариантной только относительно действия H . Действительно, она не может быть эквивариантной относительно полной группы G , поскольку нет расслоения G и нет действия G . Во-вторых, 1-форма является абсолютным параллелизмом, что интуитивно означает, что η дает информацию о поведении дополнительных направлений в главной связке (а не просто является оператором проекции на вертикальное пространство). Конкретно, существование формы припоя связывает (или припаивает) связность Картана с базовой дифференциальной топологией многообразия. ${\mathfrak {g}}$

Интуитивная интерпретация связности Картана в этой форме заключается в том, что она определяет дробление тавтологического главного расслоения, связанного с геометрией Клейна. Таким образом, геометрии Картана являются деформированными аналогами геометрий Клейна. Эта деформация является, грубо говоря, предписанием для присоединения копии модельного пространства G / H к каждой точке M и представления этого модельного пространства как касательного (и бесконечно мало тождественного ) к многообразию в точке контакта. Затем волокно тавтологического расслоения G → G / H геометрии Клейна в точке контакта отождествляется с волокном расслоения P. Каждое такое волокно (в G ) несет форму Маурера-Картана для G , и связность Картана является способом сборки этих форм Маурера-Картана, собранных из точек контакта, в когерентную 1-форму η , определенную на всем расслоении. Тот факт, что только элементы H вносят вклад в уравнение Маурера-Картана Ad( h ) R _h^*η = η, имеет интуитивное толкование, что любые другие элементы G отодвинут модельное пространство от точки контакта и, таким образом, больше не будут касаться многообразия.

Из связности Картана, определенной в этих терминах, можно восстановить связность Картана как систему 1-форм на многообразии (как в определении калибровки), взяв набор локальных тривиализаций P , заданных как сечения s _U : U → P, и позволив θ _U = s ^* η быть обратными образами связности Картана вдоль сечений.

В качестве основных соединений

Другой способ определения связности Картана — это как главная связность на определенном главном G -расслоении. С этой точки зрения связность Картана состоит из

главное G -расслоение Q над M
главная G -связность α на Q (связность Картана)
главное H -подрасслоение P из Q (т.е. редукция структурной группы)

таким образом, что обратный ход η от α к P удовлетворяет условию Картана.

Основная связность α на Q может быть восстановлена из формы η, если взять Q в качестве ассоциированного расслоения P × _H G. Наоборот, форма η может быть восстановлена из α, если провести обратно вдоль включения P ⊂ Q.

Так как α является главной связностью, она индуцирует связность на любом ассоциированном расслоении с Q. В частности, расслоение Q × _G G / H однородных пространств над M , чьи слои являются копиями модельного пространства G / H , имеет связность. Редукция структурной группы к H эквивалентно задается сечением s множества E = Q × _G G / H. Слой над x в M можно рассматривать как касательное пространство в точке s ( x ) к слою Q × _G G / H над x . Следовательно, условие Картана имеет интуитивную интерпретацию, что модельные пространства касаются M вдоль сечения s . Поскольку эта идентификация касательных пространств индуцируется связностью, отмеченные точки, заданные s, всегда движутся при параллельном переносе. $P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$

Определение с помощью связи Эресмана

Еще один способ определения связности Картана — это связность Эресмана на расслоении E = Q × _G G / H из предыдущего раздела. ^[10] Связность Картана тогда состоит из

Расслоение π : E → M со слоем G / H и вертикальным пространством V E ⊂ T E .
Сечение s : M → E.
G -связь θ : T E → V E такая, что

s ^* θ _x : T _xM → V _{s ( x )}E является линейным изоморфизмом векторных пространств для всех x ∈ M .

Это определение делает строгими интуитивные идеи, представленные во введении. Во-первых, предпочтительную секцию s можно рассматривать как идентифицирующую точку контакта между многообразием и касательным пространством. Последнее условие, в частности, означает, что касательное пространство M в точке x изоморфно касательному пространству модельного пространства в точке контакта. Таким образом, модельные пространства являются, таким образом, касательными к многообразию.

Это определение также выдвигает на первый план идею развёртки . Если x _t — кривая в M , то связность Эресмана на E предоставляет связанное параллельное транспортное отображение τ _t : E _{x _t} → E _{x ₀} из волокна над конечной точкой кривой в волокно над начальной точкой. В частности, поскольку E снабжено предпочтительным сечением s , точки s ( x _t ) переносятся обратно в волокно над x ₀ и вычерчивают кривую в E _{x ₀} . Эта кривая затем называется развёрткой кривой x _t .

Чтобы показать, что это определение эквивалентно другим вышеприведенным, необходимо ввести подходящее понятие подвижного фрейма для расслоения E. В общем случае это возможно для любой G -связности на расслоенном пространстве со структурной группой G. Более подробную информацию см. в разделе Связность Эресмана#Ассоциированные расслоения .

Специальные соединения Картана

Восстановительные соединения Картана

Пусть P — главное H -расслоение на M , снабженное связностью Картана η : T P → . Если — редуктивный модуль для H , то есть допускающий Ad ( H )-инвариантное разбиение векторных пространств , то -компонента η обобщает форму припоя для аффинной связности . ^[11] Подробно, η распадается на и компоненты: ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}$ ${\mathfrak {m}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {m}}$

η = η + η ._{${\mathfrak {h}}$}_{${\mathfrak {m}}$}

Заметим, что 1-форма η является главной H -связностью на исходном расслоении Картана P. Более того, 1-форма η удовлетворяет:_{${\mathfrak {h}}$}_{${\mathfrak {m}}$}

η ( X ) = 0 для любого вертикального вектора X ∈ T P . (η является горизонтальным .)_{${\mathfrak {m}}$}_{${\mathfrak {m}}$}

R _h^* η = Ad ( h ⁻¹ )η для каждого h ∈ H . (η эквивариантно относительно правого H -действия.)_{${\mathfrak {m}}$}_{${\mathfrak {m}}$}_{${\mathfrak {m}}$}

Другими словами, η является формой припоя для пучка P.

Следовательно, P, снабженный формой η, определяет (первого порядка) H -структуру на M. Форма η определяет связь на H -структуре._{${\mathfrak {m}}$}_{${\mathfrak {h}}$}

Параболические соединения Картана

Если — полупростая алгебра Ли с параболической подалгеброй (т.е. содержит максимальную разрешимую подалгебру ) , а G и P — ассоциированные группы Ли, то связность Картана, смоделированная на ( G , P , , ), называется параболической геометрией Картана или просто параболической геометрией . Отличительной чертой параболических геометрий является структура алгебры Ли на ее кокасательных пространствах : это возникает из-за того, что перпендикулярное подпространство ^⊥ в относительно формы Киллинга является подалгеброй , а форма Киллинга индуцирует естественную двойственность между ^⊥ и . Таким образом, расслоение, ассоциированное с ^⊥, изоморфно кокасательному расслоению . ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$

Параболические геометрии включают в себя многие из тех, которые представляют интерес для исследования и применения связей Картана, например, следующие примеры:

Конформные связи : Здесь G = SO ( p +1, q +1), а P — стабилизатор нулевого луча в Rn ⁺² .
Проективные связи : Здесь G = PGL (n+1), а P — стабилизатор точки в RP ⁿ .
Структуры CR и связности Картана-Черна-Танаки: G = PSU ( p +1, q +1), P = стабилизатор точки на проективной нулевой гиперквадрике .
Контактные проективные связности: ^[12] Здесь G = SP (2n+2), а P — стабилизатор луча, порожденного первым стандартным базисным вектором в R ⁿ⁺² .
Общие распределения ранга 2 на 5-многообразиях: Здесь G = Aut ( O _s ) — группа автоморфизмов алгебры O _s расщепленных октонионов, замкнутая подгруппа SO ( 3,4), а P — пересечение G со стабилизатором изотропной линии, натянутой на первый стандартный базисный вектор в R ^{7 ,} рассматриваемый как чисто мнимые расщепленные октонионы (ортогональное дополнение единичного элемента в O _s ). ^[13]

Ассоциированные дифференциальные операторы

Ковариантная дифференциация

Предположим, что M — геометрия Картана, смоделированная на G / H , и пусть ( Q , α ) — главное G -расслоение со связностью, а ( P , η ) — соответствующая редукция к H с η, равным обратному пути α . Пусть V — представление G , и образует векторное расслоение V = Q × _G V над M. Тогда главное G -связность α на Q индуцирует ковариантную производную на V , которая является линейным дифференциальным оператором первого порядка

\nabla \colon \Omega _{M}^{0}(\mathbf {V} )\to \Omega _{M}^{1}(\mathbf {V} ),

где обозначает пространство k -форм на M со значениями в V так, что — пространство сечений V и — пространство сечений Hom(T M , V ). Для любого сечения v из V свертка ковариантной производной ∇ v с векторным полем X на M обозначается ∇ _X v и удовлетворяет следующему правилу Лейбница: $\Omega _{M}^{k}(\mathbf {V} )$ $\Omega _{M}^{0}(\mathbf {V} )$ $\Omega _{M}^{1}(\mathbf {V} )$

\nabla _{X}(fv)=df(X)v+f\nabla _{X}v

для любой гладкой функции f на M.

Ковариантную производную можно также построить из связности Картана η на P . Фактически, построение ее таким образом немного более общее, поскольку V не обязательно должно быть полноценным представлением G . ^[14] Предположим вместо этого, что V является ( , H )-модулем: представлением группы H с совместимым представлением алгебры Ли . Напомним, что сечение v индуцированного векторного расслоения V над M можно рассматривать как H -эквивариантное отображение P → V . Это точка зрения, которую мы примем. Пусть X будет векторным полем на M . Выберем любой правоинвариантный лифт в касательное расслоение P . Определим ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\bar {X}}$

\nabla _{X}v=dv({\bar {X}})+\eta ({\bar {X}})\cdot v

Чтобы показать, что ∇ v корректно определено, необходимо:

быть независимым от выбранного лифта ${\bar {X}}$
быть эквивариантным , так что он спускается к сечению расслоения V.

Для (1) неоднозначность в выборе правоинвариантного лифта X представляет собой преобразование вида , где — правоинвариантное вертикальное векторное поле, индуцированное из . Таким образом, вычисляя ковариантную производную в терминах нового лифта , имеем $X\mapsto X+X_{\xi }$ $X_{\xi }$ $\xi \in {\mathfrak {h}}$ ${\bar {X}}+X_{\xi }$

\nabla _{X}v=dv({\bar {X}}+X_{\xi })+\eta ({\bar {X}}+X_{\xi }))\cdot v

=dv({\bar {X}})+dv(X_{\xi })+\eta ({\bar {X}})\cdot v+\xi \cdot v

=dv({\bar {X}})+\eta ({\bar {X}})\cdot v

поскольку, взяв дифференциал свойства эквивариантности в точке h равным единичному элементу. $\xi \cdot v+dv(X_{\xi })=0$ $h\cdot R_{h}^{*}v=v$

Для (2) заметьте, что поскольку v эквивариантно и правоинвариантно, является эквивариантным. С другой стороны, поскольку η также эквивариантно, то следует, что также является эквивариантным. ${\bar {X}}$ $dv({\bar {X}})$ $\eta ({\bar {X}})\cdot v$

Фундаментальная или универсальная производная

Предположим, что V — это только представление подгруппы H и не обязательно большей группы G. Пусть — пространство V -значных дифференциальных k -форм на P. При наличии связности Картана существует канонический изоморфизм $\Omega ^{k}(P,V)$

\varphi \colon \Omega ^{k}(P,V)\cong \Omega ^{0}(P,V\otimes \bigwedge \nolimits ^{k}{\mathfrak {g}}^{*})

дается выражением , где и . $\varphi (\beta )(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{k})=\beta (\eta ^{-1}(\xi _{1}),\dots ,\eta ^{-1}(\xi _{k}))$ $\beta \in \Omega ^{k}(P,V)$ $\xi _{j}\in {\mathfrak {g}}$

Для каждого k внешняя производная является оператором дифференциального оператора первого порядка

d\colon \Omega ^{k}(P,V)\rightarrow \Omega ^{k+1}(P,V)\,

и поэтому при k =0 он определяет дифференциальный оператор

\varphi \circ d\colon \Omega ^{0}(P,V)\rightarrow \Omega ^{0}(P,V\otimes {\mathfrak {g}}^{*}).\,

Поскольку η эквивариантно, если v эквивариантно, то и Dv := φ (d v ). Из этого следует, что эта композиция спускается к дифференциальному оператору первого порядка D от сечений V = P × _H V к сечениям расслоения . Это называется фундаментальной или универсальной производной, или фундаментальным D-оператором. $P\times _{H}(\mathbf {V} \otimes {\mathfrak {g}}^{*})$

Примечания

^ Хотя Картан только начал формализовать эту теорию в частных случаях в 1920-х годах (Cartan 1926), он много использовал общую идею гораздо раньше. Кульминацией его замечательной статьи 1910 года о пфаффовых системах с пятью переменными является построение связности Картана, смоделированной на 5-мерном однородном пространстве для исключительной группы Ли G 2 , которую он и Энгельс независимо открыли в 1894 году.
↑ Шевалье 1946, стр. 110.
↑ См. Р. Германн (1983), Приложение 1–3 к Картану (1951).
^ Похоже, Картан так видит соединение. См. Картан 1923, с. 362; Картан 1924, с. 208 особенно ..un repere définissant un systeme de coordonnées projectives... ; Картан 1951, с. 34. Современные читатели могут прийти к различным толкованиям этих утверждений, ср. Заметки Германа 1983 года в Cartan 1951, стр. 384–385, 477.
^ Точнее, h _p должен находиться в группе изотропии φ _p ( p ), которая является группой в G, изоморфной H .
^ В целом, это не та скользящая карта, которая описана в мотивировке, хотя и связана с ней.
^ Шарп 1997.
^ Лумисте 2001а.
^ Это стандартное определение. Ср. Германн (1983), Приложение 2 к Картану 1951; Кобаяши 1970, стр. 127; Шарп 1997; Словак 1997.
^ Эресманн 1950, Кобаяши 1957, Лумисте 2001b.
^ Для изучения аффинных связей с этой точки зрения см. Kobayashi & Nomizu (1996, том 1).
^ См., например, Фокс (2005).
^ Сагершниг 2006; Чап и Сагершниг 2009.
^ См., например, Чап и Говер (2002, определение 2.4).

Ссылки

Чап, Андреас; Говер, А. Род (2002), «Исчисление трактора для параболических геометрий», Труды Американского математического общества , 354 (4): 1511–1548, doi : 10.1090/S0002-9947-01-02909-9.
Чап, А.; Сагершниг, К. (2009), «О конформной структуре Нуровского, связанной с общим распределением ранга два в размерности пять», Журнал геометрии и физики , 59 (7): 901–912, arXiv : 0710.2208 , Bibcode : 2007arXiv0710.2208C, doi : 10.1016/j.geomphys.2009.04.001, S2CID 12850650.
Картан, Эли (1910), «Системы Пфаффа с пятью переменными и уравнениями aux dérivées partielles du второго порядка», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 27 : 109–192, doi : 10.24033/asens.618.
Картан, Эли (1923), «Sur les variétés à connexion affine et la theorie de la relativité généralisée (première party)», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325–412, doi : 10.24033/asens.751.
Картан, Эли (1924), «Sur les variétés à connexion projective», Bulletin de la Société Mathématique de France , 52 : 205–241, doi : 10.24033/bsmf.1053.
Картан, Эли (1926), «Les groupes d'holonomie des espaces généralisés», Acta Mathematica , 48 (1–2): 1–42, doi : 10.1007/BF02629755.
Картан, Эли (1951), с приложениями Роберта Германа (редактор), Геометрия римановых пространств (перевод Джеймса Глейзбрука из Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann , 2-е изд.), Math Sci Press, Массачусетс (опубликовано в 1983 г.) , ISBN 978-0-915692-34-7.
Шевалли, К. (1946), Теория групп Ли , Princeton University Press, ISBN 0-691-08052-6.
Эресманн, К. (1950), «Бесконечные связи в различном пространстве волокон», Colloque de Topologie, Брюссель : 29–55, MR 0042768.
Фокс, DJF (2005), «Контактные проективные структуры», Журнал математики Университета Индианы , 54 (6): 1547–1598, arXiv : math/0402332 , doi : 10.1512/iumj.2005.54.2603, S2CID 17061926.
Гриффитс, Филлип (1974), «О методе Картана групп Ли и подвижных фреймов в применении к вопросам единственности и существования в дифференциальной геометрии», Duke Mathematical Journal , 41 (4): 775–814, doi :10.1215/S0012-7094-74-04180-5, S2CID 12966544.
Кобаяси, Сёсичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, т. 1 и 2 (новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
Кобаяси, Сёсичи (1970), Группы преобразований в дифференциальной геометрии (1-е изд.), Springer, ISBN 3-540-05848-6.
Кобаяши, Шошичи (1957), «Теория связей», Annali di Matematica Pura ed Applicata , Series 4, 43 : 119–194, doi : 10.1007/BF02411907 , S2CID 120972987.
Лумисте, Ю. (2001a) [1994], «Конформная связь», в Хазевинкеле, Михеле (редактор), Энциклопедия математики , Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4.
Лумисте, Ю. (2001b) [1994], «Связи на многообразии», в Хазевинкель, Михил (ред.), Энциклопедия математики , Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4.
Sagerschnig, K. (2006), «Расщепленные октонионы и общие распределения ранга два в размерности пять», Archivum Mathematicum , 42 (Suppl): 329–339.
Шарп, RW (1997), Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN 0-387-94732-9.
Словак, Ян (1997), Параболические геометрии (PDF) , Конспект научных лекций, Часть докторской диссертации, Университет Масарика, архивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2022 г..

Книги

Кобаяси, Сёсичи (1972), Группы преобразований в дифференциальной геометрии (Классика по математике, изд. 1995 г.), Springer-Verlag, Берлин, ISBN 978-3-540-58659-3.

Раздел 3. Связи Картана [страницы 127–130] рассматривает конформные и проективные связи единым образом.

Внешние ссылки

Ю. Лумисте (2001) [1994], "Аффинная связность", Энциклопедия математики , EMS Press