Противопоставление

Концепция математической логики

В логике и математике контрапозиция или транспозиция относится к выводу, заключающемуся в переходе от условного утверждения к его логически эквивалентному контрапозитиву , и связанному с ним методу доказательства , известному как § Доказательство контрапозитивом. Контрапозитив утверждения имеет инвертированные и перевернутые антецедент и консеквент .

Условное утверждение . В формулах : контрапозитивесть. ^[1] ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$

Если P , то Q. — Если не Q , то не P. « Если идет дождь, то я надеваю пальто» — «Если я не надеваю пальто, то дождя не идет».

Закон противопоставления гласит, что условное утверждение истинно тогда и только тогда, когда истинно его контрапозитивное утверждение. ^[2]

Противопоставление ( ) можно сравнить с тремя другими операциями: ${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$

Инверсия ( обратная ), ${\displaystyle \neg P\rightarrow \neg Q}$

«Если не идет дождь, то я не ношу пальто ». В отличие от контрапозиции истинностное значение обратного высказывания вообще не зависит от того, было ли исходное высказывание истинным или нет, как это и показано здесь.

Конверсия ( обратная ), ${\displaystyle Q\rightarrow P}$

«Если я надену пальто, то пойдет дождь ». Обратное утверждение на самом деле является контрапозицией обратного утверждения и поэтому всегда имеет то же истинностное значение, что и обратное утверждение (которое, как было сказано ранее, не всегда имеет то же истинностное значение, что и исходное утверждение).

Отрицание ( логическое дополнение ), ${\displaystyle \neg (P\rightarrow Q)}$

« Неправильно, что если идет дождь, то я ношу пальто », или, что то же самое, « Иногда, когда идет дождь, я не ношу пальто ». Если отрицание истинно, то исходное суждение (и, следовательно, контрапозитив) ложно.

Обратите внимание, что если истинно и дано одно, что ложно (т.е. ), то можно логически заключить, что должно быть также ложно (т.е. ). Это часто называют законом контрапозиции или правилом вывода modus tollens . ^[3] ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \neg Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \neg P}$

Интуитивное объяснение

На показанной диаграмме Эйлера , если что-то находится в A, оно должно быть и в B. Таким образом, мы можем интерпретировать «все A находится в B» как:

${\displaystyle A\to B}$

Также ясно, что все, что не находится внутри B (синяя область), не может находиться и внутри A. Это утверждение, которое можно выразить как:

${\displaystyle \neg B\to \neg A}$

является контрапозицией вышеприведенного утверждения. Поэтому можно сказать, что

${\displaystyle (A\to B)\leftrightarrow (\neg B\to \neg A).}$

На практике эта эквивалентность может быть использована для упрощения доказательства утверждения. Например, если кто-то хочет доказать, что у каждой девушки в Соединенных Штатах (A) каштановые волосы (B), он может либо попытаться доказать это напрямую, проверив, что у всех девушек в Соединенных Штатах действительно каштановые волосы, либо попытаться доказать это , проверив, что все девушки без каштановых волос действительно находятся за пределами США. В частности, если бы кто-то нашел хотя бы одну девушку без каштановых волос в США, то он бы опроверг и, что эквивалентно , . ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle \neg B\to \neg A}$ ${\displaystyle \neg B\to \neg A}$ ${\displaystyle A\to B}$

В общем случае, для любого утверждения, где A подразумевает B , не B всегда подразумевает не A. В результате доказательство или опровержение любого из этих утверждений автоматически доказывает или опровергает другое, поскольку они логически эквивалентны друг другу.

Формальное определение

Предложение Q подразумевается предложением P, когда выполняется следующее соотношение:

${\displaystyle (P\to Q)}$

Это утверждает, что, "если , то ", или, "если Сократ - человек , то Сократ - человек ". В таком условном предложении, является антецедентом , а является следствием . Одно утверждение является контрапозитивом другого только тогда, когда его антецедент является отрицательным следствием другого, и наоборот. Таким образом, контрапозитив обычно принимает форму: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle (\neg Q\to \neg P).}$

То есть, «Если не- , то не- », или, более ясно, «Если это не так, то P не так». Используя наш пример, это передается как «Если Сократ не человек , то Сократ не человек ». Это утверждение считается противопоставленным оригиналу и логически эквивалентным ему. Из-за их логической эквивалентности утверждение одного фактически утверждает другое; когда одно истинно , другое также истинно, а когда одно ложно, другое также ложно. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Строго говоря, противопоставление может существовать только в двух простых условных предложениях. Однако противопоставление может существовать и в двух сложных, универсальных условных предложениях, если они похожи. Таким образом, , или "All s are s," противопоставляется , или "All non- s are non- s." ^[4] ${\displaystyle \forall {x}(P{x}\to Q{x})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \forall {x}(\neg Q{x}\to \neg P{x})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Последовательная нотация

Правило транспонирования можно выразить как последовательность :

${\displaystyle (P\to Q)\vdash (\neg Q\to \neg P),}$

где — металогический символ, значение которого является синтаксическим следствием в некоторой логической системе; или как правило вывода: ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle (\neg Q\to \neg P)}$ ${\displaystyle (P\to Q)}$

${\displaystyle {\frac {P\to Q}{\therefore \neg Q\to \neg P}},}$

где правило заключается в том, что всякий раз, когда в строке доказательства появляется экземпляр " ", его можно заменить на " "; или как утверждение истинностно-функциональной тавтологии или теоремы пропозициональной логики. Принцип был сформулирован как теорема пропозициональной логики Расселом и Уайтхедом в Principia Mathematica как ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$

${\displaystyle (P\to Q)\to (\neg Q\to \neg P),}$

где и — предложения, выраженные в некоторой формальной системе . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Доказательства

Простое доказательство по определению условного

В логике первого порядка условное выражение определяется как:

${\displaystyle A\to B\,\leftrightarrow \,\neg A\lor B}$

который можно сделать эквивалентным его контрапозиции следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg A\lor B\,&\,\leftrightarrow B\lor \neg A\\\,&\,\leftrightarrow \neg B\to \neg A\end{aligned}}}$

Простое доказательство от противного

Позволять:

${\displaystyle (A\to B)\land \neg B}$

Дано, что если A истинно, то B истинно, и также дано, что B не истинно. Затем мы можем показать, что A не должно быть истинным от противного. Ведь если бы A было истинным, то B также должно было бы быть истинным (по Modus Ponens ). Однако дано, что B не истинно, так что у нас есть противоречие. Следовательно, A не истинно (предполагая, что мы имеем дело с двузначными утверждениями , которые либо истинны, либо ложны):

${\displaystyle (A\to B)\to (\neg B\to \neg A)}$

Мы можем применить тот же процесс наоборот, исходя из предположений, что:

${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\land A}$

Здесь мы также знаем, что B либо истинно, либо не истинно. Если B не истинно, то A также не истинно. Однако дано, что A истинно, поэтому предположение, что B не истинно, приводит к противоречию, что означает, что B не является истинным. Следовательно, B должно быть истинным:

${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\to (A\to B)}$

Объединяя два доказанных утверждения вместе, мы получаем искомую логическую эквивалентность между условным предложением и его контрапозицией:

${\displaystyle (A\to B)\equiv (\neg B\to \neg A)}$

Более строгое доказательство эквивалентности контрапозитов

Логическая эквивалентность между двумя предложениями означает, что они истинны вместе или ложны вместе. Чтобы доказать, что контрапозитивы логически эквивалентны , нам нужно понять, когда материальная импликация истинна или ложна.

${\displaystyle P\to Q}$

Это ложно только тогда, когда является истинным и является ложным. Поэтому мы можем свести это предложение к утверждению «Ложно, когда и не- » (т.е. «Истинно, когда это не так, что и не- »): ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \neg (P\land \neg Q)}$

Элементы конъюнкции можно менять местами без какого-либо эффекта (по принципу коммутативности ):

${\displaystyle \neg (\neg Q\land P)}$

Мы определяем как равное " ", и как равное (отсюда, равное , что равно просто ): ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \neg Q}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle \neg S}$ ${\displaystyle \neg \neg P}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \neg (R\land \neg S)}$

Это читается как "Это не тот случай, когда ( R истинно, а S ложно)", что является определением материального условного предложения. Затем мы можем сделать такую ​​замену:

${\displaystyle R\to S}$

Возвращая R и S обратно в и , мы получаем искомое противопоставление: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$

В классической системе исчисления высказываний

В дедуктивных системах Гильберта для пропозициональной логики только одна сторона транспозиции принимается как аксиома, а другая — как теорема. Мы описываем доказательство этой теоремы в системе трех аксиом, предложенных Яном Лукасевичем :

А1. ${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

А2. ${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

А3. ${\displaystyle \left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)}$

(A3) уже дает одно из направлений транспонирования. Другая сторона, , доказывается ниже, с использованием следующих лемм, доказанных здесь : ${\displaystyle (\psi \to \phi )\to (\neg \phi \to \neg \psi )}$

(DN1) - Двойное отрицание (в одном направлении) ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$

(DN2) - Двойное отрицание (другое направление) ${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

(HS1) - одна из форм гипотетического силлогизма ${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))}$

(HS2) — еще одна форма гипотетического силлогизма. ${\displaystyle (p\to q)\to ((q\to r)\to (p\to r))}$

Мы также используем метод метатеоремы гипотетического силлогизма как сокращенную запись для нескольких шагов доказательства.

Доказательство следующее:

1. ${\displaystyle q\to \neg \neg q}$       (пример (DN2))
2. ${\displaystyle (q\to \neg \neg q)\to ((p\to q)\to (p\to \neg \neg q))}$       (пример (HS1)
3. ${\displaystyle (p\to q)\to (p\to \neg \neg q)}$       (из (1) и (2) по modus ponens)
4. ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$       (экземпляр (DN1))
5. ${\displaystyle (\neg \neg p\to p)\to ((p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q))}$       (пример (HS2))
6. ${\displaystyle (p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)}$       (из (4) и (5) по modus ponens)
7. ${\displaystyle (p\to q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)}$       (из (3) и (6) с использованием метатеоремы гипотетического силлогизма)
8. ${\displaystyle (\neg \neg p\to \neg \neg q)\to (\neg q\to \neg p)}$       (пример (A3))
9. ${\displaystyle (p\to q)\to (\neg q\to \neg p)}$       (из (7) и (8) с использованием метатеоремы гипотетического силлогизма)

Сравнения

Примеры

Возьмем утверждение « Все красные объекты имеют цвет ». Его можно эквивалентно выразить так: « Если объект красный, то он имеет цвет » .

• Контрапозитив : « Если объект не имеет цвета, то он не красный ». Это логически следует из нашего первоначального утверждения и, как и оно, очевидно, верно.
• Обратное утверждение : « Если объект не красный, то он не имеет цвета ». Объект, который синий, не красный, но все равно имеет цвет. Поэтому в этом случае обратное утверждение ложно.
• Обратное утверждение : « Если объект имеет цвет, то он красный ». Объекты могут иметь и другие цвета, поэтому обратное утверждение ложно.
• Отрицание : « Существует красный объект, не имеющий цвета ». Это утверждение ложно, потому что исходное утверждение, которое оно отрицает, истинно.

Другими словами, контрапозитив логически эквивалентен данному условному утверждению, хотя и недостаточен для биусловного .

Аналогично возьмем утверждение « Все четырехугольники имеют четыре стороны » или эквивалентно выраженное « Если многоугольник является четырехугольником, то он имеет четыре стороны » .

• Контрапозитив : « Если многоугольник не имеет четырех сторон, то он не является четырехугольником ». Это логически следует из утверждения, и, как правило, контрапозитивы разделяют истинностное значение своего условного предложения.
• Обратное утверждение : « Если многоугольник не является четырехугольником, то он не имеет четырех сторон ». В этом случае, в отличие от последнего примера, обратное утверждение верно.
• Обратное утверждение : « Если многоугольник имеет четыре стороны, то он является четырехугольником ». Опять же, в этом случае, в отличие от последнего примера, обратное утверждение верно.
• Отрицание : « Существует по крайней мере один четырехугольник, не имеющий четырех сторон ». Это утверждение явно ложно.

Поскольку и то, и другое утверждение верны, оно называется двусторонним и может быть выражено как « Многоугольник является четырехугольником тогда и только тогда, когда он имеет четыре стороны ». (Фраза «если и только тогда» иногда сокращается до «если и только тогда» ). То есть наличие четырех сторон необходимо для того, чтобы быть четырехугольником, и одного этого достаточно, чтобы считать его четырехугольником.

Правда

• Если утверждение истинно, то и его контрапозитив также истинен (и наоборот).
• Если утверждение ложно, то и его контрапозитив также ложный (и наоборот).
• Если обратное утверждение истинно, то и обратное ему утверждение также истинно (и наоборот).
• Если обратное утверждение ложно, то и обратное ему утверждение ложно (и наоборот).
• Если отрицание утверждения ложно, то утверждение истинно (и наоборот).
• Если утверждение (или его контрапозитив) и обратное ему (или обратное ему) оба истинны или оба ложны, то оно называется логическим двуусловным утверждением .

Традиционная логика

В традиционной логике противопоставление — это форма непосредственного вывода , в которой одно предложение выводится из другого, и первое имеет в качестве субъекта противоречащий предикату исходного логического предложения . В некоторых случаях противопоставление подразумевает изменение качества первого (т. е. утверждение или отрицание). [ ^5] Для его символического выражения в современной логике см. правило транспозиции . Противопоставление также имеет философское применение, отличное от других традиционных процессов вывода преобразования и обверсии , где двусмысленность варьируется в зависимости от различных типов предложений.

В традиционной логике процесс противопоставления представляет собой схему, состоящую из нескольких шагов вывода, включающих категорические суждения и классы . ^[6] Категорическое суждение содержит субъект и предикат , где экзистенциальное воздействие связки подразумевает , что суждение относится к классу, содержащему по крайней мере одного члена , в отличие от условной формы гипотетических или материально импликационных суждений, которые являются соединениями других суждений, например, «Если P, то Q» (P и Q являются суждениями), и их экзистенциальное воздействие зависит от дальнейших суждений, где квантификация существования подтверждается (экзистенциальная конкретизация), а не от самих гипотетических или материально импликационных суждений.

Полная контрапозиция — это одновременная замена и отрицание субъекта и предиката, и она действительна только для предложений типа «A» и типа «O» аристотелевской логики , в то время как она условно действительна для предложений типа «E», если сделано изменение количества с всеобщего на частное ( частичная контрапозиция ). Поскольку действительная аверсия получается для всех четырех типов (типы A, E, I и O) традиционных предложений, что дает предложения с противоречием исходного предиката, (полная) контрапозиция получается путем преобразования аверса исходного предложения. Для утверждений «E» частичная контрапозиция может быть получена путем дополнительного изменения количества. Поскольку в определении контрапозиции ничего не сказано относительно предиката выводимого предложения , это может быть либо исходный субъект, либо его противоречие, что приводит к двум контрапозитивам, которые являются аверсами друг друга в предложениях типов «A», «O» и «E». ^[7]

Например: из исходного категорического суждения типа «А»

Все жители являются избирателями .

что предполагает, что все классы имеют членов и что экзистенциальный смысл предполагается в форме категорических предложений, можно сначала вывести путем обверсии предложение типа «E»,

Ни один житель не имеет права голоса .

Контрапозитив исходного предложения затем выводится путем преобразования в другое предложение типа «Е»,

Ни один из не имеющих права голоса не является резидентом .

Процесс завершается дальнейшей перестановкой, в результате чего получается предложение типа «А», которое является перевернутым контрапозитивом исходного предложения,

Все лица, не имеющие права голоса, являются нерезидентами .

Схема противопоставления: ^[8]

Обратите внимание, что контрапозиция является допустимой формой непосредственного вывода только при применении к предложениям "A" и "O". Она недопустима для предложений "I", где обратная сторона является предложением "O", не имеющим допустимой обратной стороны . Контрапозиция предложения "E" допустима только с ограничениями ( per accidens ). Это происходит потому, что обратная сторона предложения "E" является предложением "A", которое не может быть допустимо преобразовано, кроме как с помощью ограничения, то есть контрапозиции плюс изменения количества предложения с всеобщего на частное .

Также обратите внимание, что противопоставление — это метод вывода, который может потребовать использования других правил вывода. Контрапозитив — это продукт метода противопоставления, с разными результатами в зависимости от того, является ли противопоставление полным или частичным. Последовательные применения конверсии и обверсии в процессе противопоставления могут быть даны различными именами.

Процесс логической эквивалентности утверждения и его контрапозиции, как определено в традиционной логике классов, не является одной из аксиом пропозициональной логики . В традиционной логике из каждого исходного утверждения выводится более одного контрапозиции. Что касается утверждения «A», то это обходит символику современной логики правилом транспозиции или законом контрапозиции. В своем техническом использовании в области философской логики термин «контрапозиция» может быть ограничен логиками (например, Ирвингом Копи , Сьюзан Стеббинг ) традиционной логикой и категорическими суждениями. В этом смысле использование термина «контрапозиция» обычно обозначается «транспозицией» при применении к гипотетическим суждениям или материальным импликациям.

Форма транспозиции

В выведенном предложении консеквент является противоречащим антецеденту в исходном предложении, а антецедент выведенного предложения является противоречащим консеквенту исходного предложения. Символ материальной импликации обозначает предложение как гипотетическую или форму «если–то», например, «если P , то Q ».

Двуусловное утверждение правила транспозиции (↔) относится к отношению между гипотетическими (→) предложениями , причем каждое предложение включает антецедент и консеквент. В качестве логического вывода, транспонирование или преобразование терминов одного предложения требует преобразования терминов предложений с обеих сторон двуусловного отношения, что означает, что транспонирование или преобразование ( P → Q ) в ( Q → P ) требует, чтобы другое предложение, (¬ Q → ¬ P ), было транспонировано или преобразовано в (¬ P → ¬ Q ). В противном случае преобразование терминов одного предложения, а не другого, делает правило недействительным, нарушая достаточное условие и необходимое условие терминов предложений, где нарушение заключается в том, что измененное предложение совершает ошибку отрицания антецедента или утверждения консеквента посредством незаконного преобразования .

Истинность правила транспозиции зависит от отношений достаточного условия и необходимого условия в логике.

Достаточное условие

В предложении «Если P , то Q » возникновение P является достаточным основанием для возникновения Q. P , как индивид или класс, материально подразумевает Q , но отношение Q к P таково, что обратное предложение «Если Q , то P » не обязательно имеет достаточное условие. Правилом вывода для достаточного условия является modus ponens , что является аргументом для условной импликации:

1. Предпосылка (1): Если P , то Q
2. Посылка (2): P
3. Вывод: Следовательно, Q

Необходимое условие

Поскольку обратное утверждение к посылке (1) неверно, все, что можно сказать об отношении P и Q , это то, что при отсутствии Q P не происходит, что означает, что Q является необходимым условием для P. Правило вывода для необходимого условия — modus tollens :

1. Предпосылка (1): Если P , то Q
2. Предпосылка (2): не Q
3. Вывод: Следовательно, не P

Пример необходимости и достаточности

Примером, традиционно используемым логиками для противопоставления достаточных и необходимых условий, является утверждение «Если есть огонь, то есть кислород». Кислородсодержащая среда необходима для огня или горения, но просто наличие кислородсодержащей среды не обязательно означает, что происходит огонь или горение. Хотя можно сделать вывод, что огонь обуславливает наличие кислорода, из наличия кислорода нельзя вывести обратное: «Если есть кислород, то есть огонь». Все, что можно вывести из исходного предложения, это то, что «Если кислорода нет, то огня быть не может».

Взаимосвязь предложений

Символ для двусмысленного предложения («↔») означает, что связь между предложениями является как необходимой, так и достаточной, и выражается словами « если и только если », или, согласно примеру, «если P , то Q , «если и только если», если не Q , то не P ».

Необходимые и достаточные условия можно объяснить по аналогии в терминах понятий и правил непосредственного вывода традиционной логики. В категорическом предложении «Все S есть P » субъектный термин S считается распределенным, то есть все члены его класса исчерпаны в его выражении. Наоборот, предикатный термин P нельзя назвать распределенным или исчерпанным в его выражении, поскольку неопределенно, является ли каждый экземпляр члена P как класса также членом S как класса. Все, что можно обоснованно вывести, это то, что «Некоторые P есть S ». Таким образом, предложение типа «A» «Все P есть S » не может быть выведено путем преобразования из исходного предложения типа «A» «Все S есть P ». Все, что можно вывести, это предложение типа «A» «Все не- P есть не- S » (обратите внимание, что ( P → Q ) и (¬ Q → ¬ P ) оба являются предложениями типа «A»). Грамматически нельзя вывести «все смертные — мужчины» из «Все мужчины смертны». Предложение типа «А» может быть немедленно выведено только путем преобразования, когда и подлежащее, и сказуемое распределены, как в выводе «Все холостяки — неженатые мужчины» из «Все неженатые мужчины — холостяки».

Отличается от транспозиции

В то время как большинство авторов используют термины для одного и того же, некоторые авторы различают транспозицию и контрапозицию. В традиционной логике процесс рассуждения транспозиции как правило вывода применяется к категорическим предложениям через контрапозицию и обверсию [ ^{9] —} серию непосредственных выводов, где правило обверсии сначала применяется к исходному категорическому предложению «Все S есть P »; получая обратное «Ни одно S не есть не- P ». При обверсии исходного предложения в предложение типа «E» оба термина становятся распределенными. Затем обратное преобразуется, в результате чего получается «Ни одно не- P не есть S », сохраняя распределение обоих терминов. «Ни одно не- P не есть S » снова переворачивается, в результате чего получается [контрапозитив] «Все не- P не есть не- S ». Поскольку в определении контрапозиции ничего не сказано относительно предиката выводимого предложения, допустимо, что это может быть исходный субъект или его противоречие, и предикатный термин результирующего предложения типа «А» снова нераспределен. Это приводит к двум контрапозитивам, один из которых распределен, а другой — нераспределен. ^[10]

Противопоставление — это тип непосредственного вывода , в котором из данного категорического суждения выводится другое категорическое суждение, имеющее в качестве субъекта противоречащее исходному предикату. Поскольку в определении противопоставления ничего не сказано относительно предиката выведенного суждения, допустимо, что это может быть исходный субъект или его противоречащее. Это противоречит форме предложений транспозиции, которая может быть материальной импликацией или гипотетическим утверждением. Разница в том, что в его применении к категорическим суждениям результатом противопоставления являются два контрапозитива, каждый из которых является обратной стороной другого, ^[11] т. е. «Никакое не- P есть S » и «Все не- P есть не- S ». Различие между двумя контрапозитивами поглощается и устраняется в принципе транспозиции, который предполагает «опосредованные выводы» ^[12] контрапозиции и также называется «законом контрапозиции». ^[13]

Доказательство контрапозиции

Поскольку контрапозитив утверждения всегда имеет то же значение истинности (истина или ложь), что и само утверждение, он может быть мощным инструментом для доказательства математических теорем (особенно если истинность контрапозитивного утверждения легче установить, чем истинность самого утверждения). Доказательство контрапозитивом является прямым доказательством контрапозитивного утверждения. ^[14] Однако косвенные методы, такие как доказательство от противного, также могут использоваться с контрапозицией, как, например, в доказательстве иррациональности квадратного корня из 2. По определению рационального числа можно сделать утверждение, что « Если является рациональным, то его можно выразить как несократимую дробь ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ». Это утверждение истинно, потому что оно является переформулировкой определения. Контрапозитив этого утверждения — « Если нельзя выразить как несократимую дробь, то оно не рационально ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ». Это контрапозитивное утверждение, как и исходное утверждение, также истинно. Следовательно, если можно доказать, что не может быть выражено в виде несократимой дроби, то это должно быть так, что не является рациональным числом. Последнее можно доказать от противного. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

В предыдущем примере использовалось контрапозитивное определение для доказательства теоремы. Можно также доказать теорему, доказав контрапозитивное утверждение теоремы. Чтобы доказать, что если положительное целое число N является неквадратным числом , то его квадратный корень иррационален , мы можем эквивалентно доказать его контрапозитивное утверждение, что если положительное целое число N имеет квадратный корень, который является рациональным, то N является квадратным числом. Это можно показать, приравняв √ N рациональному выражению a/b , где a и b являются положительными целыми числами без общего простого множителя, и возведя в квадрат, чтобы получить N = a ² / b ² , и заметив, что поскольку N является положительным целым числом b = 1, то N = a ² , является квадратным числом.

В математике доказательство от противного или доказательство от противного — это правило вывода, используемое в доказательствах , где условное утверждение выводится из его контрапозиции. ^[15] Другими словами , вывод «если A , то B » выводится путем построения доказательства утверждения «если не B , то не A ». Чаще всего этот подход предпочтительнее, если контрапозицию доказать легче, чем само исходное условное утверждение.

Логически, справедливость доказательства от противного может быть продемонстрирована с помощью следующей таблицы истинности , где показано, что p → q и q → p имеют одинаковые значения истинности во всех сценариях: ${\displaystyle \lnot }$ ${\displaystyle \lnot }$

Разница с доказательством от противного

Доказательство от противного : Предположим (для отступления от истины), чтоэто правда. Используйте это предположение, чтобы доказать противоречие . Из этого следует, чтоэто ложно, поэтомуэто правда. ${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle A}$

Доказательство от противного : Чтобы доказать , докажите его контрапозитивное утверждение, то есть . ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle \neg B\to \neg A}$

Пример

Пусть будет целым числом. ${\displaystyle x}$

Доказать: Если четно, то четно. ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$

Хотя прямое доказательство может быть дано, мы решили доказать это утверждение контрапозицией. Контрапозицией приведенного выше утверждения является:

Если нечетно, то нечетно. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}}$

Последнее утверждение можно доказать следующим образом: предположим, что x нечетно, тогда x нечетно. Произведение двух нечетных чисел нечетно, следовательно, нечетно. Таким образом , нечетно. ${\displaystyle x^{2}=x\cdot x}$ ${\displaystyle x^{2}}$

Доказав контрапозицию, мы можем затем сделать вывод, что исходное утверждение истинно. ^[16]

В неклассических логиках

Интуиционистская логика

В интуиционистской логике утверждение не может быть доказано как эквивалентное . Мы можем доказать, что подразумевает (см. ниже), но обратная импликация, от к , требует закона исключенного третьего или эквивалентной аксиомы. ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$ ${\displaystyle P\to Q}$

Предположим (первоначальное предположение) ${\displaystyle P\to Q}$

Предполагать ${\displaystyle Q\to \bot }$

Из и , заключаем ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle Q\to \bot }$ ${\displaystyle P\to \bot }$

Предположение о выписке; заключение ${\displaystyle (Q\to \bot )\to (P\to \bot )}$

Превращаясь в , заключать ${\displaystyle (A\to \bot )}$ ${\displaystyle \lnot A}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

Предположение о выписке; заключение . ${\displaystyle (P\to Q)\to (\lnot Q\to \lnot P)}$

Субъективная логика

Противопоставление представляет собой пример субъективной теоремы Байеса в субъективной логике, выраженной как:

${\displaystyle (\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\,{\widetilde {\phi \,}}\,a_{P}\,,}$

где обозначает пару биномиальных условных мнений, заданных источником . Параметр обозначает базовую ставку (иначе говоря, априорную вероятность ) . Пара производных инвертированных условных мнений обозначается . Условное мнение обобщает логическое утверждение , т. е. в дополнение к назначению ИСТИНА или ЛОЖЬ источник может назначить любое субъективное мнение утверждению. Случай, когда является абсолютно ИСТИННЫМ мнением, эквивалентен утверждению источника, что ИСТИНА, а случай, когда является абсолютно ЛОЖНЫМ мнением, эквивалентен утверждению источника, что ЛОЖЬ. В случае, когда условное мнение является абсолютно ИСТИННЫМ, оператор субъективной теоремы Байеса субъективной логики производит абсолютно ЛОЖНОЕ производное условное мнение и, таким образом, абсолютно ИСТИННОЕ производное условное мнение , которое эквивалентно ИСТИННОМУ. Следовательно, субъективная теорема Байеса представляет собой обобщение как контрапозиции , так и теоремы Байеса . ^[17] ${\displaystyle (\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega _{Q\mid P}^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \omega _{Q\mid P}^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\phi \,}}}$ ${\displaystyle \omega _{P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{\lnot P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

В теории вероятностей

Противопоставление представляет собой пример теоремы Байеса , которая в конкретной форме может быть выражена как:

${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}{\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)+\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}}.}$

В уравнении выше условная вероятность обобщает логическое утверждение , т.е. в дополнение к назначению ИСТИНА или ЛОЖЬ мы также можем назначить любую вероятность утверждению. Термин обозначает базовую ставку (иначе говоря, априорную вероятность ) . Предположим, что эквивалентно ИСТИНА, а это эквивалентно ЛОЖЬ. Тогда легко увидеть, что когда то есть когда ИСТИНА. Это потому, что так что дробь в правой части уравнения выше равна 1, и, следовательно, что эквивалентно ИСТИНА. Следовательно, теорема Байеса представляет собой обобщение контрапозиции . ^[18] ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)}$ ${\displaystyle P\to \lnot Q}$ ${\displaystyle a(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1}$ ${\displaystyle P\to \lnot Q}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=0}$ ${\displaystyle P\to \lnot Q}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1}$ ${\displaystyle \Pr(Q\mid P)=1}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

Смотрите также

• Доведение до абсурда
• Логическая эквивалентность

Ссылки

1. "Определение КОНТРАПОЗИТИВА". www.merriam-webster.com . Получено 26.11.2019 .
2. "Закон противопоставления". beisecker.faculty.unlv.edu . Получено 2019-11-26 .
3. «Modus ponens и modus tollens | логика» . Британская энциклопедия . Проверено 26 ноября 2019 г.
4. "Предикаты и количественные утверждения II". www.csm.ornl.gov . Получено 26.11.2019 .
5. Броди, Бобух А. «Словарь логических терминов». Энциклопедия философии . Т. 5-6, стр. 61. Macmillan, 1973. Также, Стеббинг, Л. Сьюзен. Современное введение в логику . Седьмое издание, стр. 65-66. Харпер, 1961, и Введение в логику Ирвинга Копи , стр. 141, Macmillan, 1953. Все источники дают практически идентичные определения.
6. Введение в логику Ирвинга Копи , стр. 123-157, Macmillan, 1953.
7. Броди, стр. 61. Macmillan, 1973. Также, Стеббинг, стр. 65-66, Харпер, 1961, и Копи, стр. 141-143, Macmillan, 1953.
8. Стеббинг, Л. Сьюзен. Современное введение в логику . Седьмое издание, стр. 66. Харпер, 1961.
9. Stebbing 1961, стр. 65–66. Для ссылки на начальный шаг противопоставления как обверсию и конверсию см. Copi 1953, стр. 141.
10. См. Stebbing 1961, стр. 65–66. Также, для ссылки на непосредственные выводы обверсии, конверсии и снова обверсии, см. Copi 1953, стр. 141.
11. См. Стеббинг 1961, стр. 66.
12. Для объяснения усвоения обверсии и конверсии как «опосредованных выводов» см.: Copi 1979, стр. 171–174.
13. До 1973 г.
14. Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Сент-Андре, Ричард (2001), Переход к высшей математике (5-е изд.), Brooks/Cole, стр. 37, ISBN 0-534-38214-2
15. Касик, Ларри. «Доказательства контрапозитивом». zimmer.csufresno.edu . Получено 26.10.2019 .
16. Франклин, Дж .; А. Дауд (2011). Доказательство в математике: Введение. Сидней: Kew Books. ISBN 978-0-646-54509-7.(стр. 50).
17. Аудун Йосанг 2016:92
18. Аудун Йосанг 2016:2

• Броди, Бобух А. (1973). «Словарь логических терминов». Энциклопедия философии . Т. 5–6. Macmillan. С. 61 и далее.
• Копи, Ирвинг М. (1953). Введение в логику. Macmillan.
• Копи, Ирвинг М.; Коэн, Карл (2005). Введение в логику . Prentice Hall.
• Копи, Ирвинг М.; Коэн, Карл; Родич, Виктор (2016). Введение в логику. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-315-51087-3.
• Копи, Ирвинг М. (1979). Символическая логика (5-е изд.). MacMillan.
• Херли, Патрик Дж. (2011). Краткое введение в логику (11-е изд.). Cengage Learning. ISBN 9780840034175.
• Мур, Брук Ноэль; Паркер, Ричард Берл (2020) [1986]. Критическое мышление (13-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill Education. ISBN 978-1-260-80787-5. OCLC  1122695276.
• Прайор, Артур Норман (1973). «Логика, традиционная». Энциклопедия философии . Т. 5. Macmillan.
• Стеббинг, Л. Сьюзен (1961). Современное введение в логику (7-е изд.). Харпер.

Источники

• Аудун Йосанг, 2016, Субъективная логика; Формализм рассуждений в условиях неопределенности Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1 
• Блумберг, Альберт Э. «Логика, современная». Энциклопедия философии , т. 5, Macmillan, 1973.
• Броди, Бобух А. «Словарь логических терминов». Энциклопедия философии. Т. 5-6, стр. 61. Macmillan, 1973.
• Копи, Ирвинг. Введение в логику . Макмиллан, 1953.
• Копи, Ирвинг. Символическая логика . MacMillan, 1979, пятое издание.
• Прайор, А. Н. «Логика, традиционная». Энциклопедия философии , т. 5, Macmillan, 1973.
• Стеббинг, Сьюзен. Современное введение в логику . Компания Cromwell, 1931.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Противопоставление на Wikimedia Commons
• Неправильная транспозиция (файлы ошибок)