Абсолютная конвергенция

Способ сходимости бесконечного ряда

В математике говорят , что бесконечный ряд чисел абсолютно сходится (или абсолютно сходится ), если сумма абсолютных значений слагаемых конечна. Точнее, говорят , что действительный или комплексный ряд сходится абсолютно, если для некоторого действительного числа. Аналогично, несобственный интеграл функции называется сходящимся абсолютно , если интеграл от абсолютного значения подынтегральной функции конечен, то есть если ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L}$ ${\displaystyle \textstyle L.}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx,}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|dx=L.}$

Абсолютная сходимость важна для изучения бесконечных рядов, поскольку ее определение достаточно сильное, чтобы иметь свойства конечных сумм, которыми обладают не все сходящиеся ряды - сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся, называется условно сходящимся , в то время как абсолютно сходящиеся ряды ведут себя «хорошо». . Например, перестановки не меняют значения суммы. Это неверно для условно сходящихся рядов: знакопеременный гармонический ряд сходится к , а его перестановка (в которой повторяющийся образец знаков представляет собой два положительных члена, за которыми следует один отрицательный член) сходится к ${\textstyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots }$ ${\displaystyle \ln 2,}$ ${\textstyle 1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{4}}+\cdots }$ ${\textstyle {\frac {3}{2}}\ln 2.}$

Фон

В конечных суммах порядок добавления членов является одновременно ассоциативным и коммутативным , а это означает, что группировка и перестановка не имеют значения. (1 + 2) + 3 — то же самое, что 1 + (2 + 3), и оба — то же самое, что (3 + 2) + 1. Однако это неверно при сложении бесконечного числа чисел и ошибочном предположении, что это Это правда, может привести к очевидным парадоксам. Классический пример — знакопеременная сумма

${\displaystyle S=1-1+1-1+1-1...}$

члены которого чередуются между +1 и -1. Какова стоимость С? Один из способов оценить S — сгруппировать первый и второй член, третий и четвертый и т. д.:

${\displaystyle S_{1}=(1-1)+(1-1)+(1-1)....=0+0+0...=0}$

Но другой способ оценить S — оставить первый член в покое и сгруппировать второй и третий член, затем четвертый и пятый член и так далее:

${\displaystyle S_{2}=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)....=1+0+0+0...=1}$

Это приводит к очевидному парадоксу: делает или ? ${\displaystyle S=0}$ ${\displaystyle S=1}$

Ответ заключается в том, что, поскольку S не является абсолютно сходящимся, группировка или перестановка ее членов изменяет значение суммы. Это значит и не равны. На самом деле ряд не сходится , поэтому у S вообще нет значения, которое можно было бы найти. Абсолютно сходящийся ряд не имеет этой проблемы: группировка или перестановка его членов не меняет значения суммы. ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle 1-1+1-1+...}$

Определение действительных и комплексных чисел

Сумма действительных чисел или комплексных чисел абсолютно сходится, если сходится сумма абсолютных значений слагаемых . ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$

Суммы более общих элементов

То же определение можно использовать для рядов , членами которых являются не числа, а элементы произвольной абелевой топологической группы . В этом случае вместо использования абсолютного значения определение требует, чтобы группа имела норму , которая является положительной действительной функцией на абелевой группе (записанной аддитивно , с единичным элементом 0), такой что: ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle \|\cdot \|:G\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle G}$

1. Норма единичного элемента равна нулю: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \|0\|=0.}$
2. Ибо каждое подразумевает ${\displaystyle x\in G,}$ ${\displaystyle \|x\|=0}$ ${\displaystyle x=0.}$
3. Для каждого ${\displaystyle x\in G,}$ ${\displaystyle \|-x\|=\|x\|.}$
4. Для каждого ${\displaystyle x,y\in G,}$ ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$

В этом случае функция индуцирует структуру метрического пространства (разновидность топологии ) на ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$ ${\displaystyle G.}$

Тогда -значный ряд абсолютно сходится, если ${\displaystyle G}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .}$

В частности, эти утверждения применимы с использованием нормы ( абсолютной величины ) в пространстве действительных чисел или комплексных чисел. ${\displaystyle |x|}$

В топологических векторных пространствах

Если — топологическое векторное пространство (ТВП) и семейство (возможно, несчетное ), то это семейство абсолютно суммируемо, если ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$суммируема в (то есть, если предел сети сходится в где - направленное множество всех конечных подмножеств направленных включением и ), и ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}$ ${\displaystyle \left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}}$
2. для каждой непрерывной полунормы семейства суммируема в ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \left(p\left(x_{\alpha }\right)\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Если — нормируемое пространство и если — абсолютно суммируемое семейство, то обязательно все числа, кроме счетного, равны 0. ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{\alpha }}$

Абсолютно суммируемые семейства играют важную роль в теории ядерных пространств .

Отношение к конвергенции

Если полно по метрике, то всякий абсолютно сходящийся ряд сходится. Доказательство такое же, как и для комплексных рядов: используйте полноту, чтобы вывести критерий сходимости Коши (ряд сходится тогда и только тогда, когда его хвосты можно сделать сколь угодно малыми по норме), и примените неравенство треугольника. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle d,}$

В частности, для рядов со значениями в любом банаховом пространстве абсолютная сходимость влечет за собой сходимость. Верно и обратное: если абсолютная сходимость влечет сходимость в нормированном пространстве, то это пространство является банаховым.

Если ряд сходится, но не абсолютно сходится, его называют условно сходящимся . Примером условно сходящегося ряда является знакопеременный гармонический ряд . Многие стандартные тесты на дивергенцию и конвергенцию, в первую очередь, включая тест на соотношение и тест на корень , демонстрируют абсолютную сходимость. Это связано с тем, что степенной ряд абсолютно сходится внутри своего диска сходимости. ^[а]

Доказательство того, что любой абсолютно сходящийся ряд комплексных чисел сходится.

Предположим, что это сходится. Тогда, что эквивалентно, сходится, что означает, что и сходятся путем почленного сравнения неотрицательных членов. Достаточно показать, что из сходимости этих рядов следует сходимость и тогда сходимость будет следовать по определению сходимости комплекснозначных рядов. ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {C} }$ ${\textstyle \sum \left[\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)^{2}+\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)^{2}\right]^{1/2}}$ ${\textstyle \sum \left|\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)\right|}$ ${\textstyle \sum \left|\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)\right|}$ ${\textstyle \sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)}$ ${\textstyle \sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right),}$ ${\textstyle \sum a_{k}=\sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)+i\sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right)}$

Предыдущее обсуждение показывает, что нам нужно только доказать, что сходимость влечет за собой сходимость ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle \sum a_{k}.}$

Пусть сходятся. Поскольку у нас есть ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0\leq a_{k}+\left|a_{k}\right|\leq 2\left|a_{k}\right|,}$

$${\displaystyle 0\leq \sum _{k=1}^{n}(a_{k}+\left|a_{k}\right|)\leq \sum _{k=1}^{n}2\left|a_{k}\right|.}$$

ограниченную монотонную последовательность ${\textstyle \sum 2\left|a_{k}\right|}$ ${\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$ ${\textstyle \sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$ ${\textstyle \sum a_{k}=\sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)-\sum \left|a_{k}\right|}$

Альтернативное доказательство с использованием критерия Коши и неравенства треугольника

Применяя критерий Коши сходимости комплексного ряда, мы также можем доказать этот факт как простое следствие неравенства треугольника . ^[2] По критерию Коши сходится тогда и только тогда, когда для любого существует такое, что для любого Но из неравенства треугольника следует, что так, что для любого это в точности критерий Коши для ${\textstyle \sum |a_{i}|}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}\left|a_{i}\right|\right|=\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|<\varepsilon }$ ${\displaystyle n>m\geq N.}$ ${\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}\leq \sum _{i=m}^{n}|a_{i}|,}$ ${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}a_{i}\right|<\varepsilon }$ ${\displaystyle n>m\geq N,}$ ${\textstyle \sum a_{i}.}$

Доказательство сходимости любого абсолютно сходящегося ряда в банаховом пространстве.

Приведенный выше результат можно легко обобщить на любое банахово пространство. Пусть — абсолютно сходящийся ряд в As — последовательность Коши действительных чисел, для любых и достаточно больших натуральных чисел она выполняется: ${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|).}$ ${\textstyle \sum x_{n}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle m>n}$

$${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{m}\|x_{k}\|-\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|\right|=\sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon .}$$

По неравенству треугольника для нормы Ɓ⋅ρ сразу получаем:

$${\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}-\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon ,}$$

^[3] ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

Перестановки и безусловная конвергенция

Действительные и комплексные числа

Когда ряд действительных или комплексных чисел абсолютно сходится, любая перестановка или изменение порядка членов этого ряда все равно будет сходиться к одному и тому же значению. Этот факт является одной из причин, по которой абсолютно сходящиеся ряды полезны: демонстрация абсолютной сходимости ряда позволяет объединять члены в пары или переставлять их удобными способами без изменения значения суммы.

Теорема о перестановке Римана показывает, что верно и обратное: любой действительный или комплекснозначный ряд, члены которого нельзя переупорядочить, чтобы дать другое значение, абсолютно сходится.

Ряд с коэффициентами в более общем пространстве

Термин «безусловная сходимость» используется для обозначения ряда, в котором любая перестановка его членов по-прежнему сходится к одному и тому же значению. Для любого ряда со значениями в нормированной абелевой группе , пока он полон, каждый ряд, который сходится абсолютно, сходится и безусловно. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Более формально:

Теорема . Пусть  —  нормированная абелева группа. Предполагать ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=A\in G,\quad \sum _{i=1}^{\infty }\|a_{i}\|<\infty .}$$

Если есть какая-либо перестановка, то ${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.}$$

Для рядов с более общими коэффициентами обратный процесс сложнее. Как говорилось в предыдущем разделе, для вещественных и комплексных рядов безусловная сходимость всегда подразумевает абсолютную сходимость. Однако в более общем случае ряда со значениями в любой нормированной абелевой группе обратное не всегда справедливо: могут существовать ряды, не абсолютно сходящиеся, но сходящиеся безусловно. ${\displaystyle G}$

Например, в банаховом пространстве ℓ ^∞ один ряд, который является безусловно сходящимся, но не абсолютно сходящимся:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{n}}e_{n},}$$

где – ортонормированный базис. Теорема А. Дворецкого и К. А. Роджерса утверждает, что каждое бесконечномерное банахово пространство имеет безусловно сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся. ^[4] ${\displaystyle \{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

Доказательство теоремы

Для любого мы можем выбрать такие, что: ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ for all }}N>\kappa _{\varepsilon }&\quad \sum _{n=N}^{\infty }\|a_{n}\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\\{\text{ for all }}N>\lambda _{\varepsilon }&\quad \left\|\sum _{n=1}^{N}a_{n}-A\right\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}$$

Позволять

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\varepsilon }&=\max \left\{\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\right\}\\M_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\right\}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)=\left\{\sigma ^{-1}(1),\ldots ,\sigma ^{-1}\left(N_{\varepsilon }\right)\right\}}$ ${\displaystyle M_{\sigma ,\varepsilon }}$ ${\displaystyle a_{\sigma (1)},\ldots ,a_{\sigma \left(M_{\sigma ,\varepsilon }\right)}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{N_{\varepsilon }}}$

Наконец, для любого целого числа пусть ${\displaystyle N>M_{\sigma ,\varepsilon }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\sigma ,\varepsilon }&=\left\{1,\ldots ,N\right\}\setminus \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\\S_{\sigma ,\varepsilon }&=\min \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\min \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\L_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\max \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|&\leq \sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \sum _{j=S_{\sigma ,\varepsilon }}^{L_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}I_{\sigma ,\varepsilon }\subseteq \left\{S_{\sigma ,\varepsilon },S_{\sigma ,\varepsilon }+1,\ldots ,L_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\&\leq \sum _{j=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}S_{\sigma ,\varepsilon }\geq N_{\varepsilon }+1\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|&=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&<\left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}}$$

Это показывает, что

$${\displaystyle {\text{ for all }}\varepsilon >0,{\text{ there exists }}M_{\sigma ,\varepsilon },{\text{ for all }}N>M_{\sigma ,\varepsilon }\quad \left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|<\varepsilon ,}$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.}$$

КЭД

Продукты серии

Произведение Коши двух рядов сходится к произведению сумм, если хотя бы один из рядов сходится абсолютно. То есть предположим, что

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\quad {\text{ and }}\quad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B.}$$

Произведение Коши определяется как сумма членов, где: ${\displaystyle c_{n}}$

$${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}$$

Если либо сумма , либо сходится абсолютно, то ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=AB.}$$

Абсолютная сходимость по множествам

Обобщением абсолютной сходимости ряда является абсолютная сходимость суммы функции по множеству. Сначала мы можем рассмотреть счетное множество и функцию. Ниже мы дадим определение суммы переписанных как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x).}$

Прежде всего отметим, что, поскольку конкретное перечисление (или «индексирование») пока не указано, серию невозможно понять с помощью более простого определения серии. Фактически, для некоторых примеров сумма и может вообще не определяться, поскольку некоторая индексация может дать условно сходящийся ряд . ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Поэтому мы определяем только в том случае, когда существует некоторая биекция, абсолютно сходящаяся. Обратите внимание, что здесь термин «абсолютно сходящийся» использует более простое определение, применяемое к индексированному ряду. В этом случае значение суммы по [ ^5] определяется выражением ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$ ${\displaystyle g:\mathbb {Z} ^{+}\to X}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$$

Обратите внимание: поскольку ряд абсолютно сходится, каждая перестановка идентична другому выбору биекции. Поскольку все эти суммы имеют одно и то же значение, то сумма over четко определена. ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

В более общем смысле мы можем определить сумму, когда она неисчислима. Но сначала мы определим, что означает сходимость суммы. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Пусть — любое множество, счетное или несчетное, и функция. Будем говорить, что сумма по абсолютно сходится, если ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \sup \left\{\sum _{x\in A}|f(x)|:A\subseteq X,A{\text{ is finite }}\right\}<\infty .}$$

Существует теорема, которая утверждает, что если сумма over абсолютно сходится, то принимает ненулевые значения на множестве, которое не более чем счетно. Таким образом, следующее является последовательным определением суммы over , когда сумма абсолютно сходится. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{x\in X:f(x)\neq 0}f(x).}$$

Обратите внимание, что в последней серии используется определение серии по счетному множеству.

Некоторые авторы определяют повторную сумму как абсолютно сходящуюся, если повторный ряд ^[6] Это фактически эквивалентно абсолютной сходимости То есть, если сумма по абсолютно сходится , как определено выше, то повторная сумма сходится абсолютно , и наоборот. ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$ ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }|a_{m,n}|<\infty .}$ ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n},}$ ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$

Абсолютная сходимость интегралов

Говорят, что интеграл действительной или комплекснозначной функции сходится абсолютно, если также говорят, что он абсолютно интегрируем . Вопрос об абсолютной интегрируемости сложен и зависит от того, рассматривается ли интеграл Римана , Лебега или Курцвейла-Хенстока (калибровочный); для интеграла Римана это также зависит от того, рассматриваем ли мы интегрируемость только в ее собственном смысле ( и обе ограниченные ) или допускаем более общий случай несобственных интегралов. ${\textstyle \int _{A}f(x)\,dx}$ ${\textstyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$

Как стандартное свойство интеграла Римана, когда - ограниченный интервал , каждая непрерывная функция ограничена и интегрируема (по Риману), и поскольку непрерывность подразумевает непрерывную, каждая непрерывная функция абсолютно интегрируема. Фактически, поскольку интегрируема по Риману, если (собственно) интегрируема и непрерывна, отсюда следует, что она интегрируема по Риману, если есть. Однако это импликация не выполняется в случае несобственных интегралов. Например, функция несобственно интегрируема по Риману в своей неограниченной области определения, но не является абсолютно интегрируемой: ${\displaystyle A=[a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |f|=|\cdot |\circ f}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}}$

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl [}\pi -2\,\mathrm {Si} (1){\bigr ]}\approx 0.62,{\text{ but }}\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx=\infty .}$$

ступенчатую функцию ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle f_{a}:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{a}([n,n+1))=a_{n}.}$ ${\textstyle \int _{0}^{\infty }f_{a}\,dx}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$

Иная ситуация с интегралом Лебега, который не обрабатывает отдельно ограниченные и неограниченные области интегрирования ( см. ниже ). Тот факт, что интеграл в приведенных выше примерах неограничен, означает, что он также не интегрируем в смысле Лебега. Фактически, в теории Лебега интегрирование, если оно измеримо , является (Лебегом) интегрируемым тогда и только тогда, когда оно (Лебега) интегрируемо. Однако решающее значение имеет измеримая гипотеза ; вообще говоря, неверно, что абсолютно интегрируемые функции на интегрируемы (просто потому, что они могут оказаться неизмеримыми): пусть это неизмеримое подмножество и рассмотрим, где - характеристическая функция Тогда не измерима по Лебегу и, следовательно, не интегрируема, но является константой функциональны и явно интегрируемы. ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle S\subset [a,b]}$ ${\displaystyle f=\chi _{S}-1/2,}$ ${\displaystyle \chi _{S}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|\equiv 1/2}$

С другой стороны, функция может быть интегрируемой по Курцвейлю-Хенстоку (калибровочно интегрируемой), а не интегрируемой. Сюда входит случай функций, несобственно интегрируемых по Риману. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$

В общем смысле в любом пространстве с мерой интеграл Лебега вещественнозначной функции определяется через ее положительную и отрицательную части, поэтому факты: ${\displaystyle A,}$

1. ${\displaystyle f}$интегрируемое подразумевает интегрируемое ${\displaystyle |f|}$
2. ${\displaystyle f}$измеримое, интегрируемое подразумевает интегрируемое ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$

по существу встроены в определение интеграла Лебега. В частности, применяя теорию к счетной мере на множестве , восстанавливается понятие неупорядоченного суммирования рядов, разработанное Муром-Смитом с использованием сетей (то, что сейчас называется). Когда множество натуральных чисел, интегрируемость по Лебегу, неупорядоченная суммируемость и абсолютная сходимость совпадают. ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S=\mathbb {N} }$

Наконец, все вышесказанное справедливо для интегралов со значениями в банаховом пространстве. Определение банаховозначного интеграла Римана является очевидной модификацией обычного определения. Для получения интеграла Лебега необходимо обойти разложение на положительную и отрицательную части с помощью более функционального аналитического подхода Даниэля, получив интеграл Бохнера .

Смотрите также

• Главное значение Коши  - метод присвоения значений некоторым неправильным интегралам, которые в противном случае были бы неопределенными.
• Условная сходимость  – свойство бесконечных рядовPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Сходимость ряда Фурье
• Теорема Фубини  - Условия переключения порядка интегрирования в исчислении
• Режимы конвергенции (аннотированный указатель)  – Аннотированный указатель различных режимов конвергенции.
• Радиус сходимости  - Область сходимости степенных рядов.
• Теорема о рядах Римана  - Безусловные ряды сходятся абсолютно.
• Безусловная сходимость  - независимая от порядка сходимость последовательности.
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·  – математический бесконечный рядPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·  – Математический бесконечный рядPages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. Здесь диск сходимости используется для обозначения всех точек, расстояние от которых до центра ряда меньше радиуса сходимости. То есть диск сходимости состоит из всех точек, в которых сходится степенной ряд.

Рекомендации

1. Шефер и Вольф 1999, стр. 179–180.
2. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 71–72. ISBN 0-07-054235-Х.
3. Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банахового пространства , Тексты для аспирантов по математике, том. 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, с. 20, ISBN 0-387-98431-3(Теорема 1.3.9)
4. Дворецкий, А.; Роджерс, Калифорния (1950), «Абсолютная и безусловная сходимость в нормированных линейных пространствах», Proc. Натл. акад. наук. США 36 : 192–197.
5. Тао, Терренс (2016). Анализ И. Нью-Дели: Книжное агентство Индостан. стр. 188–191. ISBN 978-9380250649.
6. Стрихарц, Роберт (2000). Путь анализа . Джонс и Бартлетт Обучение. стр. 259, 260. ISBN. 978-0763714970.

Цитируемые работы

• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.

Общие ссылки

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Уолтер Рудин, Принципы математического анализа (McGraw-Hill: Нью-Йорк, 1964).
• Питч, Альбрехт (1979). Ядерные локально выпуклые пространства . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Том. 66 (Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9. ОСЛК  539541.
• Робертсон, AP (1973). Топологические векторные пространства . Кембридж, Англия: Университетское издательство. ISBN 0-521-29882-2. ОСЛК  589250.
• Райан, Раймонд А. (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Монографии Спрингера по математике. Лондон Нью-Йорк: Спрингер . ISBN 978-1-85233-437-6. ОСЛК  48092184.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вонг, Яу-Чуэн (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Конспект лекций по математике . Том. 726. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09513-2. ОСЛК  5126158.