Кросс-корреляция

Ковариация и корреляция

Визуальное сравнение свертки , кросс-корреляции и автокорреляции . Для операций, включающих функцию f , и предполагая, что высота f равна 1,0, значение результата в 5 различных точках указано затененной областью под каждой точкой. Кроме того, причиной является вертикальная симметрия f , и они идентичны в этом примере. ${\displaystyle f*g}$ ${\displaystyle f\star g}$

В обработке сигналов кросс-корреляция является мерой сходства двух рядов как функции смещения одного относительно другого. Это также известно как скользящее скалярное произведение или скользящее внутреннее произведение . Обычно оно используется для поиска в длинном сигнале более короткого известного признака. Оно применяется в распознавании образов , анализе отдельных частиц , электронной томографии , усреднении , криптоанализе и нейрофизиологии . Кросс-корреляция по своей природе похожа на свертку двух функций. В автокорреляции , которая является кросс-корреляцией сигнала с самим собой, всегда будет пик при задержке, равной нулю, и его размер будет энергией сигнала.

В теории вероятности и статистики термин «взаимная корреляция» относится к корреляциям между записями двух случайных векторов и , в то время как корреляции случайного вектора являются корреляциями между записями самого себя, теми, которые образуют корреляционную матрицу . Если каждый из и является скалярной случайной величиной, которая реализуется многократно во временном ряду , то корреляции различных временных экземпляров известны как автокорреляции , а взаимные корреляции с во времени являются временными взаимными корреляциями. В теории вероятности и статистики определение корреляции всегда включает стандартизирующий фактор таким образом, что корреляции имеют значения между −1 и +1. ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

Если и являются двумя независимыми случайными величинами с функциями плотности вероятности и , соответственно, то плотность вероятности разности формально задается кросс-корреляцией (в смысле обработки сигналов) ; однако эта терминология не используется в вероятности и статистике. Напротив, свертка (эквивалентная кросс-корреляции и ) дает функцию плотности вероятности суммы . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Y-X}$ ${\displaystyle f\star g}$ ${\displaystyle f*g}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle g(-t)}$ ${\displaystyle X+Y}$

Взаимная корреляция детерминированных сигналов

Для непрерывных функций и взаимная корреляция определяется как: ^{[1] [2] [3]} что эквивалентно , где обозначает комплексное сопряжение , и называется смещением или задержкой. Для высококоррелированных и , которые имеют максимальную взаимную корреляцию при определенном , функция в при также появляется позже в при , следовательно, может быть описана как задержка на . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t)}}g(t+\tau )\,dt}$$ $${\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt}$$ ${\displaystyle {\overline {f(t)}}}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle t+\tau }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \tau }$

Если и являются непрерывными периодическими функциями периода , то интегрирование от до заменяется интегрированием по любому интервалу длины : что эквивалентно Аналогично, для дискретных функций взаимная корреляция определяется как: ^{[4] [5]} что эквивалентно: Для конечных дискретных функций (круговая) взаимная корреляция определяется как: ^[6] что эквивалентно: Для конечных дискретных функций , взаимная корреляция ядра определяется как: ^[7] где — вектор функций ядра , а — аффинное преобразование . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle [t_{0},t_{0}+T]}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t)}}g(t+\tau )\,dt}$$ $${\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt}$$ $${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m]}}g[m+n]}$$ $${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]}$$ ${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} ^{N}}$ $${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}g[(m+n)_{{\text{mod}}~N}]}$$ $${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]}$$ ${\displaystyle f\in \mathbb {C} ^{N}}$ ${\displaystyle g\in \mathbb {C} ^{M}}$ $${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}K_{g}[(m+n)_{{\text{mod}}~N}]}$$ ${\displaystyle K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]}$ ${\displaystyle k(\cdot ,\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\times \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T_{i}(\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {C} ^{M}}$

В частности, может быть преобразованием кругового переноса, преобразованием вращения или преобразованием масштаба и т. д. Ядерная кросс-корреляция расширяет кросс-корреляцию из линейного пространства в пространство ядра. Кросс-корреляция эквивариантна переносу; ядерная кросс-корреляция эквивариантна любым аффинным преобразованиям, включая перенос, поворот и масштаб и т. д. ${\displaystyle T_{i}(\cdot )}$

Объяснение

В качестве примера рассмотрим две функции с действительными значениями и , отличающиеся только неизвестным сдвигом по оси x. Можно использовать взаимную корреляцию, чтобы найти, насколько нужно сместить по оси x, чтобы она стала идентичной . Формула по сути скользит по оси x, вычисляя интеграл их произведения в каждой позиции. Когда функции совпадают, значение максимизируется. Это происходит потому, что когда пики (положительные области) выравниваются, они вносят большой вклад в интеграл. Аналогично, когда впадины (отрицательные области) выравниваются, они также вносят положительный вклад в интеграл, потому что произведение двух отрицательных чисел положительно. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (f\star g)}$

Анимация расчета кросс-корреляции. На левом графике показана зеленая функция G, сдвинутая по фазе относительно функции F на время смещения 𝜏. На среднем графике показаны функция F и сдвинутая по фазе G, представленные вместе в виде кривой Лиссажу . Интегрирование F, умноженной на сдвинутую по фазе G, дает правый график — кросс-корреляцию по всем значениям 𝜏.

В случае комплекснозначных функций и взятие сопряженного значения гарантирует, что выровненные пики (или выровненные впадины) с мнимыми компонентами внесут положительный вклад в интеграл. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

В эконометрике запаздывающую кросс-корреляцию иногда называют кросс-автокорреляцией. ^{[8] : стр. 74}

Характеристики

• Взаимная корреляция функций и эквивалентна свертке (обозначаемой ) функций и . То есть: ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle {\overline {f(-t)}}}$ ${\displaystyle g(t)}$

  ${\displaystyle [f(t)\star g(t)](t)=[{\overline {f(-t)}}*g(t)](t).}$

• ${\displaystyle [f(t)\star g(t)](t)=[{\overline {g(t)}}\star {\overline {f(t)}}](-t).}$
• Если — эрмитова функция , то ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\star g=f*g.}$
• Если оба и эрмитовы, то . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\star g=g\star f}$
• ${\displaystyle \left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)}$.
• Аналогично теореме о свертке , кросс-корреляция удовлетворяет условию
  ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{f\star g\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f\right\}}}\cdot {\mathcal {F}}\left\{g\right\},}$
  где обозначает преобразование Фурье , а снова обозначает комплексное сопряжение , поскольку . В сочетании с быстрыми алгоритмами преобразования Фурье это свойство часто используется для эффективного численного вычисления взаимных корреляций ^[9] (см. круговая взаимная корреляция ). ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\overline {f(-t)}}\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}}}}$
• Взаимная корреляция связана со спектральной плотностью (см. теорему Винера–Хинчина ).
• Взаимная корреляция свертки и с функцией — это свертка взаимной корреляции и с ядром : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$

  ${\displaystyle g\star \left(f*h\right)=\left(g\star f\right)*h}$.

Взаимная корреляция случайных векторов

Определение

Для случайных векторов и , каждый из которых содержит случайные элементы , чье ожидаемое значение и дисперсия существуют, матрица взаимной корреляции и определяется ^{[10] : стр.337} и имеет размерности . Записано покомпонентно: Случайные векторы и не обязательно должны иметь одинаковую размерность, и любой из них может быть скалярным значением. Где — ожидаемое значение . ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ $${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }\triangleq \ \operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {Y} \right]}$$ ${\displaystyle m\times n}$ $${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \operatorname {E} }$

Пример

Например, если и — случайные векторы, то — матрица, -й элемент которой равен . ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$ ${\displaystyle 3\times 2}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]}$

Определение для сложных случайных векторов

Если и являются сложными случайными векторами , каждый из которых содержит случайные величины, чье ожидаемое значение и дисперсия существуют, то матрица взаимной корреляции и определяется как , где обозначает эрмитово транспонирование . ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})}$ ${\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$ $${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]}$$ ${\displaystyle {}^{\rm {H}}}$

Взаимная корреляция случайных процессов

В анализе временных рядов и статистике взаимная корреляция пары случайных процессов — это корреляция между значениями процессов в разное время как функция двух времен. Пусть — пара случайных процессов, а — любая точка во времени ( может быть целым числом для дискретного процесса или действительным числом для непрерывного процесса). Тогда — это значение (или реализация ), произведенное заданным запуском процесса в момент времени . ${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle t}$

Функция взаимной корреляции

Предположим, что процесс имеет средние значения и и дисперсии и в момент времени , для каждого . Тогда определение кросс-корреляции между моментами времени и равно ^{[10] : стр.392,} где — оператор ожидаемого значения . Обратите внимание, что это выражение может быть не определено. ${\displaystyle \mu _{X}(t)}$ ${\displaystyle \mu _{Y}(t)}$ ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}(t)}$ ${\displaystyle \sigma _{Y}^{2}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ $${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(t_{1},t_{2})\triangleq \ \operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {Y_{t_{2}}}}\right]}$$ ${\displaystyle \operatorname {E} }$

Функция кросс-ковариации

Вычитание среднего значения перед умножением дает взаимную ковариацию между временами и : ^{[10] : стр.392} Обратите внимание, что это выражение не является четко определенным для всех временных рядов или процессов, поскольку среднее значение или дисперсия могут не существовать. ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ $${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})\triangleq \ \operatorname {E} \left[\left(X_{t_{1}}-\mu _{X}(t_{1})\right){\overline {(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))}}\right]}$$

Определение стационарного случайного процесса в широком смысле

Пусть представим пару случайных процессов , которые совместно являются стационарными в широком смысле . Тогда функция взаимной ковариации и функция взаимной корреляции задаются следующим образом. ${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$

Функция взаимной корреляции

$${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )\triangleq \ \operatorname {E} \left[X_{t}{\overline {Y_{t+\tau }}}\right]}$$или эквивалентно $${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[X_{t-\tau }{\overline {Y_{t}}}\right]}$$

Функция кросс-ковариации

$${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )\triangleq \ \operatorname {E} \left[\left(X_{t}-\mu _{X}\right){\overline {\left(Y_{t+\tau }-\mu _{Y}\right)}}\right]}$$или эквивалентно, где и являются средним и стандартным отклонением процесса , которые постоянны во времени из-за стационарности; и аналогично для , соответственно. указывает на ожидаемое значение . То, что кросс-ковариация и кросс-корреляция независимы от , как раз и является дополнительной информацией (помимо индивидуальной стационарности в широком смысле), передаваемой требованием, чтобы они были совместно стационарными в широком смысле. $${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[\left(X_{t-\tau }-\mu _{X}\right){\overline {\left(Y_{t}-\mu _{Y}\right)}}\right]}$$ ${\displaystyle \mu _{X}}$ ${\displaystyle \sigma _{X}}$ ${\displaystyle (X_{t})}$ ${\displaystyle (Y_{t})}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\ ]}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$

Взаимная корреляция пары совместно стационарных стохастических процессов в широком смысле может быть оценена путем усреднения произведения выборок, измеренных из одного процесса, и выборок, измеренных из другого (и его временных сдвигов). Выборки, включенные в усреднение, могут быть произвольным подмножеством всех выборок в сигнале (например, выборки в пределах конечного временного окна или подвыборка [ ^{какая ? ]} одного из сигналов). Для большого числа выборок среднее значение сходится к истинной взаимной корреляции.

Нормализация

В некоторых дисциплинах (например, в статистике и анализе временных рядов ) общепринятой практикой является нормализация функции взаимной корреляции для получения зависящего от времени коэффициента корреляции Пирсона . Однако в других дисциплинах (например, в инженерии) нормализация обычно опускается, и термины «взаимная корреляция» и «взаимная ковариация» используются взаимозаменяемо.

Определение нормализованной взаимной корреляции стохастического процесса: Если функция хорошо определена, ее значение должно лежать в диапазоне , где 1 указывает на идеальную корреляцию, а −1 указывает на идеальную антикорреляцию . $${\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{X}(t_{1})\sigma _{X}(t_{2})}}={\frac {\operatorname {E} \left[\left(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}\right){\overline {\left(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}}\right)}}\right]}{\sigma _{X}(t_{1})\sigma _{X}(t_{2})}}}$$ ${\displaystyle \rho _{XX}}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

Для совместно стационарных в широком смысле случайных процессов определение имеет вид Нормализация важна как потому, что интерпретация автокорреляции как корреляции обеспечивает не зависящую от масштаба меру силы статистической зависимости , так и потому, что нормализация влияет на статистические свойства оцененных автокорреляций. $${\displaystyle \rho _{XY}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XY}(\tau )}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}={\frac {\operatorname {E} \left[\left(X_{t}-\mu _{X}\right){\overline {\left(Y_{t+\tau }-\mu _{Y}\right)}}\right]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}}$$

Характеристики

Свойство симметрии

Для совместно стационарных в широком смысле стохастических процессов функция взаимной корреляции имеет следующее свойство симметрии: ^{[11] : стр.173} Соответственно для совместно WSS-процессов: $${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {R} _{YX}(t_{2},t_{1})}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )={\overline {\operatorname {R} _{YX}(-\tau )}}}$$

Анализ временной задержки

Взаимная корреляция полезна для определения временной задержки между двумя сигналами, например, для определения временных задержек распространения акустических сигналов через микрофонную решетку. ^{[12] [13] [ необходимо разъяснение ]} После вычисления взаимной корреляции между двумя сигналами максимум (или минимум, если сигналы отрицательно коррелированы) функции взаимной корреляции указывает на момент времени, когда сигналы наилучшим образом выровнены; т. е. временная задержка между двумя сигналами определяется аргументом максимума или arg max взаимной корреляции , как в Терминология в обработке изображений $${\displaystyle \tau _{\mathrm {delay} }={\underset {t\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}((f\star g)(t))}$$

Нулевая нормализованная кросс-корреляция (ZNCC)

Для приложений обработки изображений , в которых яркость изображения и шаблона может меняться из-за условий освещения и экспозиции, изображения можно сначала нормализовать. Обычно это делается на каждом шаге путем вычитания среднего значения и деления на стандартное отклонение . То есть, взаимная корреляция шаблона с подизображением равна ${\displaystyle t(x,y)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$

$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{x,y}{\frac {1}{\sigma _{f}\sigma _{t}}}\left(f(x,y)-\mu _{f}\right)\left(t(x,y)-\mu _{t}\right)}$$

где — количество пикселей в и , — среднее значение и — стандартное отклонение . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t(x,y)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma _{f}}$ ${\displaystyle f}$

В терминах функционального анализа это можно рассматривать как скалярное произведение двух нормализованных векторов . То есть, если и то указанная выше сумма равна где — скалярное произведение , а — норма L ² . Тогда Коши–Шварц подразумевает, что ZNCC имеет диапазон . $${\displaystyle F(x,y)=f(x,y)-\mu _{f}}$$ $${\displaystyle T(x,y)=t(x,y)-\mu _{t}}$$ $${\displaystyle \left\langle {\frac {F}{\|F\|}},{\frac {T}{\|T\|}}\right\rangle }$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

Таким образом, если и являются действительными матрицами, их нормализованная взаимная корреляция равна косинусу угла между единичными векторами и , причем тогда и только тогда, когда равен , умноженному на положительный скаляр. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$

Нормализованная корреляция — один из методов, используемых для сопоставления шаблонов , процесса, используемого для поиска экземпляров шаблона или объекта в изображении. Это также двумерная версия коэффициента корреляции Пирсона .

Нормализованная кросс-корреляция (NCC)

NCC аналогичен ZNCC с той лишь разницей, что не вычитается локальное среднее значение интенсивностей: $${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{x,y}{\frac {1}{\sigma _{f}\sigma _{t}}}f(x,y)t(x,y)}$$

Нелинейные системы

При использовании кросс-корреляции для нелинейных систем следует проявлять осторожность. В определенных обстоятельствах, которые зависят от свойств входа, кросс-корреляция между входом и выходом системы с нелинейной динамикой может быть полностью слепой к определенным нелинейным эффектам. ^[14] Эта проблема возникает из-за того, что некоторые квадратичные моменты могут быть равны нулю, и это может неверно предполагать, что существует небольшая «корреляция» (в смысле статистической зависимости) между двумя сигналами, когда на самом деле два сигнала сильно связаны нелинейной динамикой.

Смотрите также

• Автокорреляция
• Автоковариация
• Согласованность
• Свертка
• Корреляция
• Корреляционная функция
• Матрица взаимной корреляции
• Кросс-ковариация
• Кросс-спектр
• Цифровая корреляция изображений
• Фазовая корреляция
• Масштабированная корреляция
• Спектральная плотность
• Теорема Винера–Хинчина

Ссылки

1. Брейсвелл, Р. «Обозначение пентаграммы для кросс-корреляции». Преобразование Фурье и его применение. Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 46 и 243, 1965.
2. Папулис, А. Интеграл Фурье и его приложения. Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 244–245 и 252-253, 1962.
3. Weisstein, Eric W. "Cross-Correlation". Из MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cross-Correlation.html
4. Рабинер, Л.Р.; Шефер, Р.В. (1978). Цифровая обработка речевых сигналов . Серия «Обработка сигналов». Аппер Сэдл Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall. С. 147–148. ISBN 0132136031.
5. Рабинер, Лоуренс Р.; Голд, Бернард (1975). Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall. С. 401. ISBN 0139141014.
6. Ван, Чен (2019). Ядерное обучение для визуального восприятия, Глава 2.2.1 (Докторская диссертация). Наньянский технологический университет, Сингапур. С. 17–18. doi : 10.32657/10220/47835 . hdl : 10356/105527 .
7. Ван, Чэнь; Чжан, Ле; Юань, Цзюньсун; Се, Лихуа (2018). «Кросс-коррелятор ядра». Труды конференции AAAI по искусственному интеллекту . Тридцать вторая конференция AAAI по искусственному интеллекту. 32. Ассоциация по развитию искусственного интеллекта: 4179–4186. doi : 10.1609/aaai.v32i1.11710 . S2CID  3544911.
8. Кэмпбелл; Ло; МакКинли (1996). Эконометрика финансовых рынков . Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 0691043019.
9. Капинчев, Константин; Браду, Адриан; Барнс, Фредерик; Подолеану, Адриан (2015). «Реализация кросс-корреляции на GPU для генерации изображений в реальном времени». 2015 9-я Международная конференция по системам обработки сигналов и связи (ICSPCS) . С. 1–6. doi :10.1109/ICSPCS.2015.7391783. ISBN 978-1-4673-8118-5. S2CID  17108908.
10. Губнер, Джон А. (2006). Вероятность и случайные процессы для инженеров-электриков и компьютерщиков . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86470-1.
11. Кун Ил Пак, Основы теории вероятностей и стохастических процессов с приложениями к коммуникациям, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
12. Rhudy, Matthew; Brian Bucci; Jeffrey Vipperman; Jeffrey Allanach; Bruce Abraham (ноябрь 2009 г.). Методы анализа микрофонной решетки с использованием перекрестных корреляций . Труды Международного конгресса по машиностроению ASME 2009 г., Лейк-Буэна-Виста, Флорида. С. 281–288. doi :10.1115/IMECE2009-10798. ISBN 978-0-7918-4388-8.
13. Рауди, Мэтью (ноябрь 2009 г.). Реализация военного импульсного классификатора в реальном времени (диссертация на степень магистра). Университет Питтсбурга.
14. Биллингс, С.А. (2013). Нелинейная системная идентификация: методы NARMAX во временной, частотной и пространственно-временной областях . Wiley. ISBN 978-1-118-53556-1.

Дальнейшее чтение

• Tahmasebi, Pejman; Hezarkhani, Ardeshir; Sahimi, Muhammad (2012). «Многоточечное геостатистическое моделирование на основе функций взаимной корреляции». Computational Geosciences . 16 (3): 779–797. Bibcode :2012CmpGe..16..779T. doi :10.1007/s10596-012-9287-1. S2CID  62710397.

Внешние ссылки

• Кросс-корреляция из Mathworld
• http://scribblethink.org/Work/nvisionInterface/nip.html
• http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf