Детский рисунок

Графическое изображение, используемое для изучения римановых поверхностей

В математике детский рисунок — это тип вложения графов, используемый для изучения римановых поверхностей и для предоставления комбинаторных инвариантов для действия абсолютной группы Галуа рациональных чисел . Название этих вложений по-французски означает «детский рисунок»; его множественное число — dessins d'enfant , «детские рисунки», или dessins d'enfants , «детские рисунки».

Детский рисунок — это граф , вершины которого попеременно окрашены в черный и белый цвета, вложенный в ориентированную поверхность , которая во многих случаях является просто плоскостью . Для существования раскраски граф должен быть двудольным . Грани вложения должны быть топологическими дисками. Поверхность и вложение могут быть описаны комбинаторно с использованием системы вращения — циклического порядка ребер, окружающих каждую вершину графа, который описывает порядок, в котором ребра будут пересекаться путем, проходящим по часовой стрелке по поверхности в небольшой петле вокруг вершины.

Любой рисунок может предоставить поверхности, в которую он вложен, структуру в виде римановой поверхности. Естественно спросить, какие римановы поверхности возникают таким образом. Ответ дает теорема Белого , которая утверждает, что римановы поверхности, которые могут быть описаны рисунками, — это как раз те, которые могут быть определены как алгебраические кривые над полем алгебраических чисел . Абсолютная группа Галуа преобразует эти конкретные кривые друг в друга и тем самым преобразует также и базовые рисунки.

Более подробное рассмотрение этой темы см. в работах Шнепса (1994) или Ландо и Звонкина (2004).

История

19 век

Ранние протоформы детских рисунков появились ещё в 1856 году в икосианском исчислении Уильяма Роуэна Гамильтона ^[1] ; в современных терминах это гамильтоновы пути на икосаэдрическом графе.

Узнаваемые современные детские рисунки и функции Белого использовались Феликсом Клейном . ^[2] Клейн называл эти диаграммы Linienzüge (нем., множественное число от Linienzug «линия-дорожка», также использовалось как термин для многоугольника ); он использовал белый круг для прообраза 0 и «+» для прообраза 1, а не черный круг для 0 и белый круг для 1, как в современной нотации. ^[3] Он использовал эти диаграммы для построения 11-кратного покрытия сферы Римана само по себе с группой монодромии , следуя более ранним построениям 7-кратного покрытия с монодромией, связанной с квартикой Клейна . ^[4] Все они были связаны с его исследованиями геометрии уравнения пятой степени и группы , собранными в его знаменитых Лекциях по икосаэдру 1884/88 гг . Гораздо позже было показано, что три поверхности, построенные таким образом из этих трех групп, тесно связаны посредством явления троичности . ${\displaystyle PSL(2,11)}$ ${\displaystyle PSL(2,7)}$ ${\displaystyle A_{5}=PSL(2,5)}$

20 век

Детские рисунки в их современной форме были вновь открыты более века спустя и названы Александром Гротендиком в 1984 году в его «Эскизе одной программы» . ^[5] Заппони (2003) цитирует Гротендика относительно его открытия действия Галуа в детских рисунках:

Это открытие, которое технически так просто, произвело на меня очень сильное впечатление, и оно представляет собой решающий поворотный момент в ходе моих размышлений, смещение, в частности, моего центра интереса к математике, который внезапно оказался сильно сфокусированным. Я не думаю, что математический факт когда-либо поражал меня так сильно, как этот, и не имел сопоставимого психологического воздействия. Это, безусловно, из-за очень знакомой, нетехнической природы рассматриваемых объектов, совершенно явный пример которой дает любой детский рисунок, нацарапанный на клочке бумаги (по крайней мере, если рисунок сделан без отрыва карандаша). С таким рисунком мы находим связанные тонкие арифметические инварианты, которые полностью переворачиваются с ног на голову, как только мы добавляем еще один штрих.

Часть теории уже была разработана независимо Джонсом и Сингерманом (1978) за некоторое время до Гротендика. Они описывают соответствие между картами на топологических поверхностях, картами на римановых поверхностях и группами с определенными выделенными генераторами, но не рассматривают действие Галуа. Их понятие карты соответствует конкретному случаю детского рисунка. Более поздняя работа Брайанта и Сингермана (1985) распространяет эту трактовку на поверхности с границей.

Римановы поверхности и пары Белого

Комплексные числа вместе с особой точкой, обозначенной как , образуют топологическое пространство , известное как сфера Римана . Любой многочлен , и, в более общем смысле, любая рациональная функция , где и являются многочленами, преобразует сферу Римана, отображая ее на себя. Рассмотрим, например, ^[6] рациональную функцию ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle p(x)/q(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle f(x)=-{\frac {(x-1)^{3}(x-9)}{64x}}=1-{\frac {(x^{2}-6x-3)^{2}}{64x}}.}$$

Детский рисунок, возникающий из рациональной функции . Не в масштабе. ${\displaystyle f=-(x-1)^{3}(x-9)/64x}$

В большинстве точек сферы Римана это преобразование является локальным гомеоморфизмом : оно отображает небольшой диск с центром в любой точке взаимно-однозначным образом в другой диск. Однако в некоторых критических точках отображение более сложное и отображает диск с центром в точке взаимно -однозначным образом на его образ. Число известно как степень критической точки, а преобразованный образ критической точки известен как критическое значение . Приведенный выше пример, , имеет следующие критические точки и критические значения. (Некоторые точки сферы Римана, которые, хотя сами по себе не являются критическими, отображаются в одно из критических значений, также включены; они обозначены как имеющие степень один.) ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$

Можно сформировать детский рисунок, поместив черные точки в прообразы 0 (то есть в 1 и 9), белые точки в прообразы 1 (то есть в ), и дуги в прообразы отрезка [ 0, 1]. Этот отрезок имеет четыре прообраза, два вдоль отрезка от 1 до 9 и два, образующие простую замкнутую кривую , которая петляет от 1 к себе, окружая 0; полученный рисунок показан на рисунке. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 3\pm 2{\sqrt {3}}}$

Преобразование детского рисунка в схему склейки полупространств римановой поверхности путем включения бесконечно удаленных точек.

В другом направлении, из этого рисунка, описанного как комбинаторный объект без указания местоположений критических точек, можно сформировать компактную риманову поверхность и отображение этой поверхности на сферу Римана, эквивалентное отображению, из которого рисунок был изначально построен. Для этого поместите точку с меткой внутри каждой области рисунка (показано красными точками на втором рисунке) и триангулируйте каждую область, соединив эту точку с черными и белыми точками, образующими границу области, соединяясь несколько раз с той же черной или белой точкой, если она появляется несколько раз на границе области. Каждый треугольник в триангуляции имеет три вершины с метками 0 (для черных точек), 1 (для белых точек) или . Для каждого треугольника замените полуплоскость , либо верхнюю полуплоскость на треугольник, который имеет 0, 1 и в порядке против часовой стрелки, либо нижнюю полуплоскость на треугольник, который имеет их в порядке по часовой стрелке, и для каждой смежной пары треугольников склейте соответствующие полуплоскости вместе вдоль части их границ, обозначенных метками вершин. Полученная риманова поверхность может быть отображена на сферу Римана с помощью тождественного отображения внутри каждой полуплоскости. Таким образом, детский рисунок, образованный из , достаточен для описания себя с точностью до биголоморфизма . Однако эта конструкция идентифицирует риманову поверхность только как многообразие со сложной структурой; она не строит вложение этого многообразия как алгебраической кривой в комплексную проективную плоскость , хотя такое вложение всегда существует. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Та же конструкция применяется в более общем случае, когда — любая риманова поверхность и — функция Белого ; то есть голоморфная функция от до сферы Римана, имеющая только 0, 1 и в качестве критических значений. Пара такого типа известна как пара Белого . Из любой пары Белого можно образовать детский рисунок , нарисованный на поверхности , имеющий свои черные точки в прообразах 0, свои белые точки в прообразах 1 и свои края, расположенные вдоль прообразов отрезка прямой . Наоборот, любой детский рисунок на любой поверхности можно использовать для определения инструкций склеивания для набора полупространств, которые вместе образуют риманову поверхность, гомеоморфную ; отображение каждого полупространства тождеством на сферу Римана создает функцию Белого на , и, следовательно, приводит к паре Белого . Любые две пары Белого , которые приводят к комбинаторно эквивалентным детским рисункам, являются биголоморфными, и теорема Белого подразумевает, что для любой компактной римановой поверхности, определенной над алгебраическими числами , существуют функция Белого и детский рисунок, которые дают комбинаторное описание как , так и . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)}$ ${\displaystyle f^{-1}([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Карты и гиперкарты

Триангуляция сферы с группой треугольников (2,3,5), полученная с помощью правильного додекаэдра для построения чистого рисунка

Триангуляция гиперболической плоскости с группой треугольников (2,3,7), сгенерированная как универсальное покрытие квартики Клейна

Вершина в рисунке имеет графово-теоретическую степень , число инцидентных ребер, которая равна ее степени как критической точки функции Белого. В приведенном выше примере все белые точки имеют степень два; рисунки со свойством, что каждая белая точка имеет два ребра, называются чистыми , а соответствующие им функции Белого называются чистыми . Когда это происходит, можно описать рисунок более простым вложенным графом, который имеет только черные точки в качестве своих вершин и который имеет ребро для каждой белой точки с конечными точками в двух черных соседях белой точки. Например, рисунок, показанный на рисунке, можно нарисовать проще таким образом как пару черных точек с ребром между ними и самопетлей в одной из точек. Обычно рисуют только черные точки чистого рисунка и оставляют белые точки неотмеченными; можно восстановить полный рисунок, добавив белую точку в середину каждого ребра карты.

Таким образом, любое вложение графа в поверхность, в которой каждая грань является диском (то есть топологическая карта), приводит к получению рисунка, рассматривая вершины графа как черные точки рисунка и помещая белые точки в середину каждого вложенного ребра графа. Если карта соответствует функции Белого , ее двойственная карта (рисунок, образованный из прообразов отрезка прямой ) соответствует мультипликативной обратной функции . ^[7] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [1,\infty ]}$ ${\displaystyle 1/f}$

Рисунок, который не является чистым, можно преобразовать в чистый рисунок на той же поверхности, перекрасив все его точки в черный цвет и добавив новые белые точки на каждом из его ребер. Соответствующее преобразование пар Белого заключается в замене функции Белого на чистую функцию Белого . Можно вычислить критические точки непосредственно из этой формулы: , , и . Таким образом, является прообразом под средней точкой отрезка прямой , а ребра рисунка, образованного из , подразделяют ребра рисунка, образованного из . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma =4\beta (1-\beta )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma ^{-1}(0)=\beta ^{-1}(0)\cup \beta ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \gamma ^{-1}(\infty )=\beta ^{-1}(\infty )}$ ${\displaystyle \gamma ^{-1}(1)=\beta ^{-1}({\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle \gamma ^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \beta }$

При интерпретации чистого рисунка как карты произвольный рисунок представляет собой гиперкарту : то есть рисунок гиперграфа , в котором черные точки представляют вершины, а белые точки представляют гиперребра.

Регулярные карты и группы треугольников

Пять Платоновых тел — правильный тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр — рассматриваемые как двумерные поверхности, обладают тем свойством, что любой флаг (тройка вершины, ребра и грани, которые все встречаются друг с другом) может быть преобразован в любой другой флаг с помощью симметрии поверхности. В более общем смысле, карта, встроенная в поверхность с тем же свойством, что любой флаг может быть преобразован в любой другой флаг с помощью симметрии, называется регулярной картой .

Если регулярная карта используется для генерации чистого рисунка, а полученный рисунок используется для генерации триангулированной римановой поверхности, то ребра треугольников лежат вдоль линий симметрии поверхности, а отражения относительно этих линий порождают группу симметрии, называемую группой треугольников , для которой треугольники образуют фундаментальные области. Например, на рисунке показано множество треугольников, сгенерированных таким образом, начиная с правильного додекаэдра. Когда регулярная карта лежит на поверхности, род которой больше единицы, универсальным покрытием поверхности является гиперболическая плоскость , а группа треугольников в гиперболической плоскости, образованная из поднятой триангуляции, является (кокомпактной) фуксовой группой, представляющей дискретный набор изометрий гиперболической плоскости. В этом случае исходная поверхность является фактором гиперболической плоскости по подгруппе конечного индекса Γ в этой группе.

Наоборот, если задана риманова поверхность, которая является частным от разбиения (разбиения сферы, евклидовой плоскости или гиперболической плоскости треугольниками с углами , , и , то соответствующий рисунок является графом Кэли, заданным образующими порядка два и порядка три группы, или, что эквивалентно, разбиением той же поверхности -угольниками, встречающимися по три в каждой вершине. Вершины этого разбиения дают черные точки рисунка, центры ребер дают белые точки, а центры граней дают точки над бесконечностью. ${\displaystyle (2,3,n)}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{n}}}$ ${\displaystyle n}$

Деревья и многочлены Шабата

Детский рисунок, соответствующий секстическому моному . ${\displaystyle p(x)=x^{6}}$

Многочлены Чебышёва и соответствующие детские рисунки, попеременно раскрашенные графы путей .

Простейшими двудольными графами являются деревья . Любое вложение дерева имеет одну область, и поэтому по формуле Эйлера лежит на сферической поверхности. Соответствующая пара Белого образует преобразование сферы Римана, которое, если поместить полюс в , может быть представлено в виде полинома . Обратно, любой полином с 0 и 1 в качестве его конечных критических значений образует функцию Белого из сферы Римана в себя, имеющую одну бесконечнозначную критическую точку и соответствующую детскому рисунку, который является деревом. Степень полинома равна числу ребер в соответствующем дереве. Такая полиномиальная функция Белого известна как полином Шабата , ^[8] в честь Джорджа Шабата. ${\displaystyle \infty }$

Например, возьмем в качестве монома , имеющего только одну конечную критическую точку и критическое значение, оба равны нулю . Хотя 1 не является критическим значением для , его все равно можно интерпретировать как функцию Белого от сферы Римана к себе, поскольку все его критические значения лежат в множестве . Соответствующий детский рисунок представляет собой звезду, имеющую одну центральную черную вершину, соединенную с белыми листьями ( полный двудольный граф ). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(x)=x^{d}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K_{1,d}}$

В более общем смысле, полином, имеющий два критических значения , может быть назван полиномом Шабата. Такой полином может быть нормализован в функцию Белого с его критическими значениями 0 и 1 по формуле, но может быть удобнее оставить его в ненормализованном виде. ^[9] ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$ $${\displaystyle q(x)={\frac {p(x)-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}},}$$ ${\displaystyle p}$

Важное семейство примеров многочленов Шабата дается многочленами Чебышева первого рода, , которые имеют −1 и 1 в качестве критических значений. Соответствующие рисунки принимают форму графов путей , чередующихся между черными и белыми вершинами, с ребрами на пути. Из-за связи между многочленами Шабата и многочленами Чебышева, многочлены Шабата сами иногда называются обобщенными многочленами Чебышева. ^{[9] [10]} ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle n}$

Различные деревья, как правило, соответствуют различным многочленам Шабата, как и различные вложения или раскраски одного и того же дерева. С точностью до нормализации и линейных преобразований его аргумента многочлен Шабата однозначно определяется раскраской вложенного дерева, но не всегда просто найти многочлен Шабата, который имеет заданное вложенное дерево в качестве своего детского рисунка.

Абсолютная группа Галуа и ее инварианты

Два сопряженных детских рисунка

Полином может быть преобразован в полином Шабата путем выбора ^[11] Два выбора приводят к двум функциям Белого и . Эти функции, хотя и тесно связаны друг с другом, не эквивалентны, поскольку они описываются двумя неизоморфными деревьями, показанными на рисунке. $${\displaystyle p(x)=x^{3}(x^{2}-2x+a)^{2}\,}$$ $${\displaystyle a={\frac {34\pm 6{\sqrt {21}}}{7}}.}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

Однако, поскольку эти многочлены определены над полем алгебраических чисел , они могут быть преобразованы действием абсолютной группы Галуа рациональных чисел. Элемент из , который преобразуется в , преобразуется в и наоборот, и, таким образом, можно также сказать, что он преобразует каждое из двух деревьев, показанных на рисунке, в другое дерево. В более общем смысле, из-за того, что критические значения любой функции Белого являются чистыми рациональными числами 0, 1 и , эти критические значения не изменяются действием Галуа, поэтому это действие переводит пары Белого в другие пары Белого. Можно определить действие на любой детский рисунок соответствующим действием на пары Белого; это действие, например, переставляет два дерева, показанных на рисунке. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {21}})}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\sqrt {21}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {21}}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Благодаря теореме Белого действие на детские рисунки является точным (то есть каждые два элемента из определяют различные перестановки на множестве детских рисунков), ^[12], поэтому изучение детских рисунков может многое рассказать нам о себе. В этом свете очень интересно понять, какие рисунки могут быть преобразованы друг в друга действием , а какие нет. Например, можно заметить, что два показанных дерева имеют одинаковые последовательности степеней для своих черных узлов и белых узлов: оба имеют черный узел со степенью три, два черных узла со степенью два, два белых узла со степенью два и три белых узла со степенью один. Это равенство не является совпадением: всякий раз, когда преобразует один рисунок в другой, оба будут иметь одну и ту же последовательность степеней. Последовательность степеней является одним известным инвариантом действия Галуа, но не единственным инвариантом. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Стабилизатор рисунка — это подгруппа из , состоящая из групповых элементов, которые оставляют рисунок неизменным. Из-за соответствия Галуа между подгруппами и полями алгебраических чисел стабилизатор соответствует полю, полю модулей рисунка . Орбита рисунка — это множество всех других рисунков, в которые он может быть преобразован; из-за инварианта степени орбиты обязательно конечны, а стабилизаторы имеют конечный индекс . Аналогично можно определить стабилизатор орбиты (подгруппу, которая фиксирует все элементы орбиты) и соответствующее поле модулей орбиты, другой инвариант рисунка. Стабилизатор орбиты — это максимальная нормальная подгруппа из , содержащаяся в стабилизаторе рисунка, а поле модулей орбиты соответствует наименьшему нормальному расширению , содержащему поле модулей рисунка. Например, для двух сопряженных рисунков, рассматриваемых в этом разделе, поле модулей орбиты равно . Две функции Белого и этого примера определены над полем модулей, но существуют рисунки, для которых поле определения функции Белого должно быть больше поля модулей. ^[13] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {21}})}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

Примечания

1. Гамильтон (1856). См. также Джонс (1995).
2. Клейн (1879).
3. Ле Брюйн (2008).
4. Кляйн (1878–1879a); Кляйн (1878–1879б).
5. Гротендик (1984)
6. Этот пример был предложен Ландо и Звонкиным (2004), стр. 109–110.
7. Ландо и Звонкин (2004), стр. 120–121.
8. Жирондо и Гонсалес-Диес (2012), с. 252
9. Lando & Zvonkin (2004), с. 82.
10. Джонс, Г. и Штрайт, М. «Группы Галуа, группы монодромии и картографические группы», стр. 43 в Schneps & Lochak (2007) стр. 25–66. Zbl  0898.14012
11. Ландо и Звонкин (2004), стр. 90–91. Для целей этого примера проигнорируем паразитное решение . ${\displaystyle a={\tfrac {25}{21}}}$
12. действует точно, даже если ограничено рисунками, представляющими собой деревья; см. Lando & Zvonkin (2004), теорема 2.4.15, стр. 125–126. ${\displaystyle \Gamma }$
13. Ландо и Звонкин (2004), стр. 122–123.

Ссылки

• ле Брюйн, Ливен (2008), детские рисунки Кляйна и бакибол.
• Брайант, Робин П.; Сингерман, Дэвид (1985), «Основы теории отображений на поверхностях с границей», Quarterly Journal of Mathematics , Вторая серия, 36 (141): 17–41, doi :10.1093/qmath/36.1.17, MR  0780347.
• Жирондо, Эрнесто; Гонсалес-Диес, Габино (2012), Введение в компактные римановы поверхности и детские рисунки , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 79, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-74022-7, ЗБЛ  1253.30001.
• Гротендик, А. (1984), программа Esquisse d'un
• Гамильтон, WR (17 октября 1856 г.), Письмо Джону Т. Грейвсу «Об икосиане». Собрано в Halberstam, H.; Ingram, RE, ред. (1967), Mathematical papers, Vol. III, Algebra , Cambridge: Cambridge University Press, стр. 612–625.
• Джонс, Гарет (1995), «Dessins d'enfants: двудольные карты и группы Галуа», Séminaire Lotharingien de Combinatoire , B35d : 4, заархивировано из оригинала 8 апреля 2017 г. , получено 2 июня 2010 г..
• Джонс, Гарет; Сингерман, Дэвид (1978), «Теория отображений на ориентируемых поверхностях», Труды Лондонского математического общества , 37 (2): 273–307, doi :10.1112/plms/s3-37.2.273.
• Кляйн, Феликс (1878–79), «Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades (О преобразовании эллиптических функций и ...)», Mathematische Annalen , 14 : 13–75 (в Oeuvres, Tome 3), дои :10.1007/BF02297507, S2CID  121056952, заархивировано из оригинала 19 июля 2011 г. , получено 2 июня 2010 г..
• Кляйн, Феликс (1878–79), «Über die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen (О преобразовании эллиптических функций седьмого порядка)», Mathematische Annalen , 14 : 90–135 (в Oeuvres, Том 3), doi : 10.1007/ БФ01677143, S2CID  121407539, заархивировано из оригинала 24 февраля 2012 г. , получено 9 июля 2010 г..
• Кляйн, Феликс (1879), «Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (О преобразовании эллиптических функций одиннадцатого порядка)», Mathematische Annalen , 15 (3–4): 533–555, doi : 10.1007/BF02086276, S2CID  120316938, собрано на стр. 140–165 в Oeuvres, Tome 3 Архивировано 19 июля 2011 г. в Wayback Machine .
• Ландо, Сергей К.; Звонкин, Александр К. (2004), Графы на поверхностях и их приложения , Энциклопедия математических наук: топология нижних размерностей II, т. 141, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-00203-1, ЗБЛ  1040.05001. См. особенно главу 2 «Dessins d'Enfants», стр. 79–153.
• Шнепс, Лейла , ред. (1994), Теория детских рисунков Гротендика , Серия лекций Лондонского математического общества, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-47821-2.
• Schneps, Leila ; Lochak, Pierre, ред. (1997), Геометрические действия Галуа II. Обратная задача Галуа, пространства модулей и группы классов отображений. Труды конференции по геометрии и арифметике пространств модулей, Люмини, Франция, август 1995 г. , London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 243, Cambridge University Press , ISBN 0-521-59641-6, ЗБЛ  0868.00040.
• Шабат, Великобритания; Воеводский В.А. (2007) [1990], «Рисование кривых по числовым полям», в Картье, П .; Иллюзи, Л .; Кац, Нью-Мексико ; Лаумон, Г .; Манин, Ю.И. ; Рибет, К.А. (ред.), The Grothendieck Festschrift Volume III , Modern Birkhäuser Classics, Birkhäuser, стр. 199–227, ISBN 978-0-8176-4568-7, ЗБЛ  0790.14026.
• Сингерман, Дэвид; Сиддалл, Роберт И. (2003), «Риманова поверхность однородного рисунка», Beiträge zur Algebra und Geometrie , 44 (2): 413–430, MR  2017042, Zbl  1064.14030.
• Заппони, Леонардо (август 2003 г.), «Что такое детский рисунок» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 50 (7): 788–789, Zbl  1211.14001.