Удвоение куба

Древняя задача геометрического построения

Единичный куб (сторона = 1) и куб с удвоенным объёмом (сторона = = 1,2599210498948732... OEIS : A002580 ). ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

Удвоение куба , также известное как проблема Делоса , — древняя геометрическая задача ^{[a] [1] :9} . Учитывая ребро куба , задача требует построения ребра второго куба, объем которого в два раза превышает объем первого. Как и в случае с аналогичными задачами о квадратуре круга и трисекции угла , сейчас известно, что удвоение куба невозможно построить, используя только циркуль и линейку , но даже в древние времена были известны решения, в которых использовались другие методы.

Египтяне , индийцы и особенно греки ^[2] знали об этой проблеме и предприняли множество тщетных попыток решить то, что они считали упрямой, но разрешимой проблемой . ^{[3] [b]} Однако отсутствие решения с помощью циркуля и линейки было окончательно доказано Пьером Ванцелем в 1837 году.

В алгебраических терминах удвоение единичного куба требует построения отрезка длины x , где x ³ = 2 ; другими словами, x = ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ кубический корень из двух . Это связано с тем, что куб с длиной стороны 1 имеет объем 1 ³ = 1 , а куб с удвоенным объемом (объем 2) имеет длину стороны, равную кубическому корню 2. Следовательно, невозможность удвоения куба равна эквивалентно утверждению, что это неконструктивное число . Это следствие того, что координаты новой точки, построенной с помощью циркуля и линейки, являются корнями многочленов над полем, порожденным координатами предыдущих точек, степени не большей , чем квадратичная . Это означает, что степень расширения поля , порожденного конструктивной точкой, должна быть степенью 2. Расширение поля, порожденное , однако, имеет степень 3. ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

Доказательство невозможности

Начнем с сегмента единичной прямой, определяемого точками (0,0) и (1,0) на плоскости . Нам необходимо построить отрезок, определяемый двумя точками, разделенными расстоянием . Легко показать, что конструкции циркуля и линейки позволяют свободно перемещать такой отрезок, чтобы он коснулся начала координат , параллельного единичному отрезку - поэтому эквивалентно мы можем рассмотреть задачу построения отрезка от (0,0) до ( , 0), что влечет за собой построение точки ( , 0). ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

Соответственно, инструменты циркуля и линейки позволяют нам создавать окружности с центром в одной заранее определенной точке и проходящие через другую, а также создавать линии, проходящие через две заранее определенные точки. Любая вновь определенная точка либо возникает в результате пересечения двух таких окружностей, как пересечение окружности и прямой, либо как пересечение двух прямых. Упражнение элементарной аналитической геометрии показывает, что во всех трех случаях координаты x и y вновь определенной точки удовлетворяют многочлену степени не выше квадратичной с коэффициентами , представляющими собой сложение, вычитание, умножение и деление, включающее в себя координаты ранее определенных точек (и рациональные числа). Перефразируя в более абстрактной терминологии, новые координаты x и y имеют минимальные полиномы степени не выше 2 над подполем , порожденным предыдущими координатами. Следовательно, степень расширения поля , соответствующая каждой новой координате, равна 2 или 1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Итак, зная координату любой построенной точки, мы можем индуктивно двигаться назад по координатам x и y точек в том порядке, в котором они были определены, пока не достигнем исходной пары точек (0,0) и (1, 0). Поскольку каждое расширение поля имеет степень 2 или 1, а расширение поля по координатам исходной пары точек явно имеет степень 1, из правила башни следует , что степень расширения поля по любой координате построенная точка является степенью 2 . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Теперь легко увидеть, что p ( x ) = x ³ − 2 = 0 неприводимо – любая факторизация будет включать линейный множитель ( x − k ) для некоторого k ∈ , и поэтому k должен быть корнем p ( x ) ; но также k должно делить 2 (по теореме о рациональном корне ); то есть k = 1, 2, −1 или −2 , и ни один из них не является корнем p ( x ) . По лемме Гаусса p ( x ) также неприводимо над и, таким образом , является минимальным многочленом над для . Таким образом , расширение поля имеет степень 3. Но это не степень 2, поэтому, согласно вышесказанному, это не координата конструктивной точки, и, следовательно, отрезок прямой невозможно построить, а куб нельзя удвоить. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

История

Проблема получила свое название от истории о жителях Делоса , которые обратились к оракулу в Дельфах , чтобы узнать, как победить чуму, посланную Аполлоном . ^{[4] [1] : 9} Согласно Плутарху , ^[5] однако граждане Делоса консультировались с оракулом в Дельфах , чтобы найти решение своих внутриполитических проблем в то время, что привело к обострению отношений между гражданами. Оракул ответил, что они должны удвоить размер жертвенника Аполлона, который представлял собой правильный куб. Ответ показался делийцам странным, и они обратились к Платону , который смог истолковать оракул как математическую задачу удвоения объема данного куба, объяснив таким образом оракул как совет Аполлона гражданам Делоса заняться собой. с изучением геометрии и математики, чтобы утихомирить свои страсти. ^[6]

По мнению Плутарха , Платон передал задачу Евдоксу , Архиту и Менехму , которые решили задачу механическими средствами, заслужив упрек со стороны Платона за то, что она не решила задачу с помощью чистой геометрии . ^[7] Возможно, именно поэтому проблема упоминается в 350-х годах до н.э. автором псевдоплатонического Сизифа (388e) как все еще нерешенная. ^[8] Однако другая версия истории (приписанная Эратосфену Евтоцием Аскалонским ) гласит, что все трое нашли решения, но они были слишком абстрактными, чтобы иметь практическую ценность. ^[9]

Важным достижением в поиске решения проблемы стало открытие Гиппократом Хиосским того, что это эквивалентно нахождению двух средних пропорциональных между отрезком прямой и другим отрезком, длина которого вдвое больше. ^[10] В современных обозначениях это означает, что для данных сегментов длин a и 2 a дублирование куба эквивалентно нахождению сегментов длин r и s так, что

${\displaystyle {\frac {a}{r}}={\frac {r}{s}}={\frac {s}{2a}}.}$

В свою очередь, это означает, что

${\displaystyle r=a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}.}$

Но Пьер Ванцель доказал в 1837 году, что кубический корень из 2 невозможно построить ; то есть его нельзя построить с помощью линейки и циркуля . ^[11]

Решения с помощью других средств, кроме циркуля и линейки

Первоначальное решение Менехма предполагает пересечение двух конических кривых. Другие, более сложные методы удвоения куба включают неузис , циссоиду Диокла , раковину Никомеда или линию Филона . Пандросион , вероятно, женщина-математик из древней Греции, нашла численно точное приближенное решение, используя плоскости в трех измерениях, но подверглась резкой критике со стороны Паппа Александрийского за отсутствие надлежащего математического доказательства . ^[12] Архит решил задачу в 4 веке до нашей эры, используя геометрическое построение в трех измерениях, определяя определенную точку как пересечение трех поверхностей вращения.

Теория Декарта геометрического решения уравнений использует параболу для введения кубических уравнений, таким образом можно составить уравнение, решение которого является кубическим корнем из двух. Обратите внимание, что саму параболу можно построить только трехмерными методами.

Ложные заявления об удвоении куба с помощью циркуля и линейки изобилуют математической литературой ( псевдоматематикой ).

Оригами также можно использовать для получения кубического корня из двух, сложив бумагу .

Использование размеченной линейки

Существует простая конструкция neusis , в которой используется размеченная линейка для длины, которая является кубическим корнем из 2 другой длины. ^[13]

1. Отметьте линейку заданной длины; в конечном итоге это будет GH.
2. Постройте равносторонний треугольник ABC со стороной заданной длины.
3. Продлите AB еще раз на такую ​​же величину до D.
4. Продлите линию BC, образуя линию CE.
5. Продлите линию DC, образуя линию CF.
6. Поместите отмеченную линейку так, чтобы она проходила через точку A и один конец G отмеченной длины попадал на луч CF, а другой конец отмеченной длины H падал на луч CE. Таким образом, GH — заданная длина.

Тогда AG — заданная длина, умноженная на . ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

В теории музыки

В теории музыки естественным аналогом удвоения является октава ( музыкальный интервал, обусловленный удвоением частоты тона), а естественным аналогом куба — деление октавы на три части, каждая из которых имеет одинаковый интервал . В этом смысле задача удвоения куба решается большой терцией равнотемперированной . Это музыкальный интервал, равный ровно одной трети октавы. Он умножает частоту тона на длину стороны куба Делоса. ^[14] ${\displaystyle 2^{4/12}=2^{1/3}={\sqrt[{3}]{2}}}$

Заметки с пояснениями

1. Делосская проблема появляется в «Республике » Платона ( ок.  380 г. до н. э. ) VII.530.
2. Республика Платона , Книга VII, утверждает, что «если какой-либо целый город будет относиться к этим вещам с уважением, брать на себя единое руководство и контролировать, они подчинятся, и решение, к которому постоянно и серьезно стремятся, станет ясным».

Рекомендации

1. Керн, Уиллис Ф.; Бланд, Джеймс Р. (1934). Твердые измерения с доказательствами . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья.
2. Гильбо, Люси (1930). «История решения кубического уравнения». Новостной бюллетень по математике . 5 (4): 8–12. дои : 10.2307/3027812. JSTOR  3027812.
3. Стюарт, Ян. Теория Галуа . п. 75.
4. Л. Жмудь. Происхождение истории науки в классической античности, стр.84, цитирование Плутарха и Теона Смирнского.
5. Плутарх , De E apud Delphos 386.E.4
6. Плутарх , De genio Socratis 579.B
7. (Plut., Quaestiones convivales VIII.ii, 718ef)
8. Карл Вернер Мюллер, Die Kurzdialoge der Приложение Platonica , Мюнхен: Вильгельм Финк, 1975, стр. 105–106.
9. Норр, Уилбур Ричард (1986), Древняя традиция решения геометрических задач , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 4, ISBN 9780486675329.
10. TL Heath История греческой математики , Vol. 1
11. Лютцен, Йеспер (24 января 2010 г.). «Алгебра геометрической невозможности: Декарт и Монтукла о невозможности удвоения куба и трисекции угла». Центавр . 52 (1): 4–37. дои : 10.1111/j.1600-0498.2009.00160.x.
12. Норр, Уилбур Ричард (1989). «Тексты Паппа о дублировании куба». Текстуальные исследования в древней и средневековой геометрии . Бостон: Биркхойзер. стр. 63–76. дои : 10.1007/978-1-4612-3690-0_5. ISBN 9780817633875.
13. Дорри, Генрих (1965). 100 великих задач элементарной математики . Дувр. п. 171. ИСБН 0486-61348-8.
14. Филлипс, RC (октябрь 1905 г.), «Равномерная гамма», Musical Opinion and Music Trade Review , 29 (337): 41–42, ProQuest  7191936

Внешние ссылки

• Фредерик Беатрикс, Питер Кацлингер: Довольно точное решение делосской проблемы . В: Parabola Volume 59 (2023), выпуск 1, онлайн-журнал (ISSN 1446-9723), изданный Школой математики и статистики Университета Нового Южного Уэльса.

• Удвоение куба, построение близости как анимация (сторона = 1,259921049894873) — Wikimedia Commons
• «Дублирование куба», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Удвоение куба. Джей Джей О'Коннор и Э. Ф. Робертсон в архиве истории математики MacTutor.
• Удвоить куб – решение Архита. Отрывок из «Истории греческой математики» сэра Томаса Хита .
• Делосская проблема решена. Или это? при разрезании узла .
• Видео Матолога: «2000 лет неразгаданы: почему невозможно удвоение кубов и квадратура круга?»