В алгебре двойственные числа — это гиперкомплексная система счисления, впервые введенная в 19 веке. Это выражения вида a + bε , где a и b — действительные числа , а ε — символ, выбранный для удовлетворения .
Двойные числа можно складывать покомпонентно и умножать по формуле
которое следует из свойства ε2 = 0 и того, что умножение является билинейной операцией .
Двойственные числа образуют коммутативную алгебру размерности два над вещественными числами, а также артиново локальное кольцо . Это один из простейших примеров кольца, имеющего ненулевые нильпотентные элементы .
Двойные числа были введены в 1873 году Уильямом Клиффордом и использовались в начале двадцатого века немецким математиком Эдуардом Стюджем , который использовал их для обозначения двойного угла, который измеряет относительное положение двух наклонных линий в пространстве. Исследование определило двойной угол как θ + dε , где θ — угол между направлениями двух линий в трехмерном пространстве, а d — расстояние между ними. n - мерное обобщение, число Грассмана , было введено Германом Грассманом в конце 19 века.
В современной алгебре алгебра двойственных чисел часто определяется как фактор кольца многочленов по действительным числам по главному идеалу , порожденному квадратом неопределенного , то есть
Ее также можно определить как внешнюю алгебру одномерного векторного пространства с базисным элементом.
Деление двойственных чисел определяется, когда действительная часть знаменателя не равна нулю. Процесс деления аналогичен комплексному делению в том смысле, что знаменатель умножается на сопряженное ему число, чтобы исключить недействительные части.
Следовательно, чтобы разделить уравнение вида
умножаем числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю:
который определяется , когда c не равно нулю .
Если, с другой стороны, c равно нулю, а d нет, то уравнение
Это означает, что недействительная часть «частного» является произвольной, и поэтому деление не определено для чисто недействительных двойственных чисел. Действительно, они (тривиально) являются делителями нуля и, очевидно, образуют идеал ассоциативной алгебры (и, следовательно, кольца ) двойственных чисел.
Двойное число может быть представлено квадратной матрицей . В этом представлении матрица возводит в квадрат нулевую матрицу, соответствующую двойственному числу .
Существуют и другие способы представления двойственных чисел в виде квадратных матриц. Они состоят из представления двойственного числа единичной матрицей и любой матрицей, квадрат которой является нулевой матрицей; то есть в случае матриц 2×2 любая ненулевая матрица вида
с [1]
Одним из применений двойных чисел является автоматическое дифференцирование . Любой полином
с действительными коэффициентами можно расширить до функции двузначного аргумента,
где производная от
В более общем смысле, любая (аналитическая) действительная функция может быть расширена до двойственных чисел через ряд Тейлора :
поскольку все члены, включающие ε 2 или более высокие степени, тривиально равны 0 по определению ε .
Вычисляя композиции этих функций над двойственными числами и исследуя коэффициент при ε в результате, мы обнаруживаем, что автоматически вычислили производную композиции.
Подобный метод работает для полиномов от n переменных, используя внешнюю алгебру n - мерного векторного пространства.
«Единичный круг» двойственных чисел состоит из чисел с a = ±1 , поскольку они удовлетворяют условию zz * = 1 , где z * = a − bε . Однако обратите внимание, что
поэтому экспоненциальное отображение , примененное к оси ε , покрывает только половину «круга».
Пусть z = a + bε . Если а ≠ 0 и m =б/а, то z = a (1 + mε ) — полярное разложение двойственного числа z , а наклон m — его угловая часть. Понятие вращения в двойственной числовой плоскости эквивалентно отображению вертикального сдвига , поскольку (1 + pε )(1 + qε ) = 1 + ( p + q ) ε .
В абсолютном пространстве и времени преобразование Галилея
то есть
связывает систему координат покоя с движущейся системой отсчета со скоростью v . Если двойственные числа t + xε представляют события в одном измерении пространства и времени, то же преобразование выполняется при умножении на 1 + vε .
Учитывая два двойственных числа p и q , они определяют набор z так, что разница в наклонах («угол Галилея») между линиями от z до p и q является постоянной. Это множество представляет собой цикл в двойственной числовой плоскости; поскольку уравнение, приравнивающее разность наклонов линий к константе, является квадратным уравнением в действительной части z , цикл представляет собой параболу . «Циклическое вращение» дуальной числовой плоскости происходит как движение ее проективной линии. Согласно Исааку Яглому , [2] : 92–93 , цикл Z = { z : y = αx 2 } инвариантен относительно состава сдвига
Двойные числа находят применение в механике , особенно для кинематического синтеза. Например, двойственные числа позволяют преобразовать входные/выходные уравнения четырехзвенной сферической связи, включающей только ротоидные соединения, в четырехзвенный пространственный механизм (ротоидный, ротоидный, ротоидный, цилиндрический). Дуализированные углы состоят из примитивной части, углов, и двойственной части, имеющей единицы длины. [3] Дополнительную информацию см. в теории винтов .
В современной алгебраической геометрии двойственные числа над полем (под которыми мы подразумеваем кольцо ) могут использоваться для определения касательных векторов к точкам а - схемы . [4] Поскольку поле можно выбрать внутренне, можно говорить просто о касательных векторах к схеме. Это позволяет импортировать понятия дифференциальной геометрии в алгебраическую геометрию.
Подробно: Кольцо двойственных чисел можно рассматривать как кольцо функций в «окрестности точки первого порядка», а именно -схему . [4] Тогда, учитывая -схему , -точки схемы находятся в соответствии 1-1 с картами , а касательные векторы находятся в соответствии 1-1 с картами .
Поле выше может быть выбрано как поле вычетов . А именно: Учитывая точку на схеме , рассмотрим стебель . Заметим, что это локальное кольцо с единственным максимальным идеалом , который обозначается . Тогда просто позвольте .
Эту конструкцию можно осуществить в более общем смысле: для коммутативного кольца R можно определить двойственные числа над R как фактор кольца многочленов R [ X ] по идеалу ( X 2 ) : тогда образ X имеет квадрат, равный ноль и соответствует элементу ε сверху.
Существует более общая конструкция двойственных чисел. Учитывая коммутативное кольцо и модуль , существует кольцо , называемое кольцом двойственных чисел, которое имеет следующие структуры:
Это -модуль с умножением, определенным for и
Алгебра двойственных чисел — это частный случай, когда и
Двойные числа находят применение в физике , где они представляют собой один из простейших нетривиальных примеров суперпространства . Эквивалентно, это сверхчисла только с одним генератором; сверхчисла обобщают эту концепцию на n различных генераторов ε , каждый из которых антикоммутирует и, возможно, доводит n до бесконечности. Суперпространство слегка обобщает сверхчисла, допуская несколько коммутирующих измерений.
Мотивация введения двойственных чисел в физику вытекает из принципа Паули для фермионов. Направление вдоль ε называется «фермионным» направлением, а действительная компонента — «бозонным» направлением. Фермионное направление получило это название из-за того, что фермионы подчиняются принципу запрета Паули: при обмене координат квантово-механическая волновая функция меняет знак и, таким образом, исчезает, если две координаты сближаются; эта физическая идея отражается алгебраическим соотношением ε 2 = 0 .
Идею проективной прямой над двойственными числами выдвинули Грюнвальд [5] и Коррадо Сегре . [6]
Точно так же, как сфера Римана нуждается в точке северного полюса на бесконечности , чтобы замкнуть комплексную проективную линию , так и линия на бесконечности успешно замыкает плоскость двойственных чисел в цилиндр . [2] : 149–153.
Предположим, что D — кольцо двойственных чисел x + yε , а U — подмножество с x ≠ 0 . Тогда U — группа единиц D. Пусть B = {( a , b ) ∈ D × D : a ∈ U или b ∈ U} . Отношение определяется на B следующим образом: ( a , b ) ~ ( c , d ), когда существует u в U такое, что ua = c и ub = d . Это отношение фактически является отношением эквивалентности . Точки проективной прямой над D являются классами эквивалентности в B по этому отношению: P ( D ) = B /~ . Они представлены проективными координатами [ a , b ] .
Рассмотрим вложение D → P ( D ) посредством z → [ z , 1] . Тогда точки [1, n ] для n 2 = 0 находятся в P ( D ) , но не являются образом какой-либо точки при вложении. P ( D ) отображается на цилиндр посредством проекции : возьмем цилиндр, касательный к плоскости двойных чисел на прямой { yε : y ∈ } , ε 2 = 0 . Теперь примите противоположную линию на цилиндре за ось карандаша плоскостей . Плоскости, пересекающие двойственную числовую плоскость и цилиндр, обеспечивают соответствие точек между этими поверхностями. Плоскость, параллельная плоскости двойственных чисел, соответствует точкам [1, n ] , n 2 = 0 на проективной прямой над двойственными числами.