Эпиморфизм

Сюръективный гомоморфизм

В теории категорий эпиморфизм — это морфизм f  : X → Y , который является правосократимым в том смысле, что для всех объектов Z и всех морфизмов g ₁ , g ₂ : Y → Z ,

${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f\implies g_{1}=g_{2}.}$

Эпиморфизмы являются категориальными аналогами онто или сюръективных функций (а в категории множеств это понятие точно соответствует сюръективным функциям), но они могут не совпадать точно во всех контекстах; например, включение является кольцевым эпиморфизмом. Двойственный эпиморфизму является мономорфизмом ( т. е. эпиморфизм в категории C является мономорфизмом в двойственной категории C ^op ). ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }$

Многие авторы в абстрактной алгебре и универсальной алгебре определяют эпиморфизм просто как онто или сюръективный гомоморфизм . Каждый эпиморфизм в этом алгебраическом смысле является эпиморфизмом в смысле теории категорий, но обратное верно не во всех категориях. В этой статье термин «эпиморфизм» будет использоваться в смысле теории категорий, данном выше. Подробнее об этом см. § Терминология ниже.

Примеры

Каждый морфизм в конкретной категории, базовая функция которой сюръективна , является эпиморфизмом. Во многих конкретных категориях, представляющих интерес, обратное также верно. Например, в следующих категориях эпиморфизмы — это именно те морфизмы, которые сюръективны на базовых множествах:

• Set : множества и функции. Чтобы доказать, что каждый эпиморфизм f : X → Y в Set является сюръективным, мы компонуем его как с характеристической функцией g ₁ : Y → {0,1} образа f ( X ), так и с отображением g ₂ : Y → {0,1}, которое является константой 1.
• Rel : множества с бинарными отношениями и функциями сохранения отношений. Здесь мы можем использовать то же доказательство, что и для Set , оснащая {0,1} полным отношением {0,1}×{0,1}.
• Pos : частично упорядоченные множества и монотонные функции . Если f  : ( X , ≤) → ( Y , ≤) не является сюръективным, выберем y ₀ в Y \ f ( X ) и пусть g ₁  : Y → {0,1} будет характеристической функцией { y | y ₀ ≤ y } и g ₂  : Y → {0,1} будет характеристической функцией { y | y ₀ < y }. Эти отображения монотонны, если {0,1} задано стандартное упорядочение 0 < 1.
• Grp : группы и гомоморфизмы групп . Результат, что каждый эпиморфизм в Grp является сюръективным, принадлежит Отто Шрайеру (на самом деле он доказал больше, показав, что каждая подгруппа является уравнителем, используя свободное произведение с одной объединенной подгруппой); элементарное доказательство можно найти в (Linderholm 1970).
• FinGrp : конечные группы и групповые гомоморфизмы. Также принадлежит Шрайеру; доказательство, данное в (Linderholm 1970), устанавливает и этот случай.
• Ab : абелевы группы и гомоморфизмы групп.
• K -Vect :векторные пространстванадполем Kи K -линейные преобразования.
• Mod - R : правые модули над кольцом R и гомоморфизмы модулей . Это обобщает два предыдущих примера; чтобы доказать, что каждый эпиморфизм f : X → Y в Mod - R является сюръективным, мы компонуем его как с каноническим отображением факторизации g ₁ : Y → Y / f ( X ), так и с нулевым отображением g ₂ : Y → Y / f ( X ).
• Top : топологические пространства и непрерывные функции . Чтобы доказать, что каждый эпиморфизм в Top сюръективен, мы действуем точно так же, как в Set , задавая {0,1} недискретную топологию , которая гарантирует, что все рассматриваемые отображения непрерывны.
• HComp : компактные хаусдорфовы пространства и непрерывные функции. Если f : X → Y не сюръективно, пусть y  ∈  Y  −  fX . Поскольку fX замкнуто, по лемме Урысона существует непрерывная функция g ₁ : Y → [0,1] такая, что g ₁ равен 0 на fX и 1 на y . Мы компонуем f как с g ₁ , так и с нулевой функцией g ₂ : Y → [0,1].

Однако есть также много конкретных категорий интереса, где эпиморфизмы не могут быть сюръективными. Вот несколько примеров:

• В категории моноидов Mon отображение включения N → Z является несюръективным эпиморфизмом. Чтобы увидеть это, предположим, что g 1 _и g 2 _{являются двумя} различными отображениями из Z в некоторый моноид M . Тогда для некоторого n из Z g ₁ ( n ) ≠ g ₂ ( n ), поэтому g ₁ (− n ) ≠ g ₂ (− n ). Либо n, либо − n находится в N , поэтому ограничения g ₁ и g ₂ на N неравны.
• В категории алгебр над коммутативным кольцом R возьмем R [ N ] → R [ Z ], где R [ G ] — моноидное кольцо моноида G , а морфизм индуцируется включением N → Z, как в предыдущем примере. Это следует из наблюдения, что 1 порождает алгебру R [ Z ] (обратите внимание, что единица в R [ Z ] задается 0 из Z ), а обратный элемент к представленному n в Z — это просто элемент, представленный − n . Таким образом, любой гомоморфизм из R [ Z ] однозначно определяется своим значением на элементе, представленном 1 из Z .
• В категории колец Ring отображение включения Z → Q является несюръективным эпиморфизмом; чтобы увидеть это, заметим, что любой гомоморфизм колец на Q полностью определяется его действием на Z , аналогично предыдущему примеру. Аналогичное рассуждение показывает, что естественный гомоморфизм колец из любого коммутативного кольца R в любую из его локализаций является эпиморфизмом.
• В категории коммутативных колец конечно порождённый гомоморфизм колец f  : R → S является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда для всех простых идеалов P кольца R идеал Q , порождённый f ( P ), является либо S , либо простым, а если Q не является S , то индуцированное отображение Frac ( R / P ) → Frac ( S / Q ) является изоморфизмом ( EGA IV 17.2.6).
• В категории хаусдорфовых пространств, Haus , эпиморфизмы — это именно непрерывные функции с плотными образами. Например, отображение включения Q → R , является несюръективным эпиморфизмом.

Вышеизложенное отличается от случая мономорфизмов, где чаще всего оказывается, что мономорфизмы — это именно те, чьи базовые функции являются инъективными .

Что касается примеров эпиморфизмов в неконкретных категориях:

• Если моноид или кольцо рассматривать как категорию с одним объектом (композицией морфизмов, заданной умножением), то эпиморфизмы — это в точности сократимые справа элементы.
• Если рассматривать ориентированный граф как категорию (объекты — вершины, морфизмы — пути, композиция морфизмов — конкатенация путей), то каждый морфизм является эпиморфизмом.

Характеристики

Каждый изоморфизм является эпиморфизмом; на самом деле требуется только правосторонний обратный: если существует морфизм j  : Y → X такой, что fj = id _Y , то легко увидеть, что f : X → Y является эпиморфизмом. Отображение с таким правосторонним обратным называется расщепленным epi . В топосе отображение, которое является как моническим морфизмом , так и эпиморфизмом, является изоморфизмом.

Композиция двух эпиморфизмов снова является эпиморфизмом. Если композиция fg двух морфизмов является эпиморфизмом, то f должен быть эпиморфизмом.

Как показывают некоторые из приведенных выше примеров, свойство быть эпиморфизмом определяется не только морфизмом, но и категорией контекста. Если D является подкатегорией C , то каждый морфизм в D , который является эпиморфизмом, если рассматривать его как морфизм в C , также является эпиморфизмом в D . Однако обратное не обязательно; меньшая категория может (и часто будет) иметь больше эпиморфизмов.

Как и для большинства понятий в теории категорий, эпиморфизмы сохраняются при эквивалентностях категорий : при заданной эквивалентности F  : C → D морфизм f является эпиморфизмом в категории C тогда и только тогда, когда F ( f ) является эпиморфизмом в D. Двойственность между двумя категориями превращает эпиморфизмы в мономорфизмы, и наоборот.

Определение эпиморфизма можно переформулировать так, что f  : X → Y является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда индуцированные отображения

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gf\end{matrix}}}$

инъективны для любого выбора Z. Это , в свою очередь, эквивалентно индуцированному естественному преобразованию

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,-)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,-)\end{matrix}}}$

будучи мономорфизмом в категории функторов Set ^C.

Каждый коуравнитель является эпиморфизмом, что является следствием требования уникальности в определении коуравнителей. Из этого следует, в частности, что каждое коядро является эпиморфизмом. Обратное, а именно, что каждый эпиморфизм является коуравнителем, не верно во всех категориях.

Во многих категориях можно записать каждый морфизм как композицию эпиморфизма, за которым следует мономорфизм. Например, для заданного гомоморфизма групп f  : G → H , мы можем определить группу K = im( f ) и затем записать f как композицию сюръективного гомоморфизма G → K , который определен как f , за которым следует инъективный гомоморфизм K → H , который переводит каждый элемент в себя. Такая факторизация произвольного морфизма в эпиморфизм, за которым следует мономорфизм, может быть выполнена во всех абелевых категориях, а также во всех конкретных категориях, упомянутых выше в § Примеры (хотя и не во всех конкретных категориях).

Связанные концепции

Среди других полезных концепций — регулярный эпиморфизм , экстремальный эпиморфизм , немедленный эпиморфизм , сильный эпиморфизм и расщеплённый эпиморфизм .

• Эпиморфизм называется регулярным , если он является коуравнителем некоторой пары параллельных морфизмов.
• Эпиморфизм называется экстремальным ^[1], если в каждом представлении , где — мономорфизм , морфизм автоматически является изоморфизмом . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varphi }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$
• Эпиморфизм называется непосредственным , если в каждом представлении , где — мономорфизм , а — эпиморфизм, морфизм автоматически является изоморфизмом . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varepsilon '}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varepsilon '}$ ${\displaystyle \mu }$

• Эпиморфизм называется сильным ^{[1] [2],} если для любого мономорфизма и любых морфизмов и таких, что , существует морфизм такой, что и . ${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$ ${\displaystyle \mu :C\to D}$ ${\displaystyle \alpha :A\to C}$ ${\displaystyle \beta :B\to D}$ ${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$ ${\displaystyle \delta :B\to C}$ ${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$ ${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$
• Говорят, что эпиморфизм расщепляется , если существует морфизм такой, что (в этом случае называется правосторонним обратным для ). ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varepsilon \circ \mu =1}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

В теории колец также существует понятие гомологического эпиморфизма . Морфизм колец f : A → B является гомологическим эпиморфизмом, если он является эпиморфизмом и индуцирует полный и точный функтор на производных категориях : D( f ) : D( B ) → D( A ).

Морфизм, который является как мономорфизмом, так и эпиморфизмом, называется биморфизмом . Каждый изоморфизм является биморфизмом, но обратное в общем случае неверно. Например, отображение из полуоткрытого интервала [0,1) в единичную окружность S ¹ (рассматриваемую как подпространство комплексной плоскости ), которое переводит x в exp(2πi x ) (см. формулу Эйлера ), является непрерывным и биективным, но не гомеоморфизмом, поскольку обратное отображение не является непрерывным в точке 1, поэтому оно является примером биморфизма, который не является изоморфизмом в категории Top . Другим примером является вложение Q  → R в категорию Haus ; как отмечено выше, это биморфизм, но он не биективен и, следовательно, не изоморфизм. Аналогично, в категории колец отображение Z  → Q является биморфизмом, но не изоморфизмом.

Эпиморфизмы используются для определения абстрактных факторных объектов в общих категориях: два эпиморфизма f ₁  : X → Y ₁ и f ₂  : X → Y ₂ называются эквивалентными , если существует изоморфизм j  : Y ₁ → Y ₂ с j  f ₁ = f _2. Это отношение эквивалентности , а классы эквивалентности определяются как факторные объекты X.

Терминология

Сопутствующие термины эпиморфизм и мономорфизм были впервые введены Бурбаки . Бурбаки использует эпиморфизм как сокращение для сюръективной функции . Ранние теоретики категорий считали, что эпиморфизмы являются правильным аналогом сюръекций в произвольной категории, подобно тому, как мономорфизмы являются почти точным аналогом инъекций. К сожалению, это неверно; сильные или регулярные эпиморфизмы ведут себя гораздо ближе к сюръекциям, чем обычные эпиморфизмы. Сондерс Маклейн попытался создать различие между эпиморфизмами , которые были отображениями в конкретной категории, чьи базовые отображения множеств были сюръективными, и эпическими морфизмами , которые являются эпиморфизмами в современном смысле. Однако это различие так и не прижилось.

Распространенной ошибкой является мнение, что эпиморфизмы либо идентичны сюръекциям, либо являются лучшей концепцией. К сожалению, это редко бывает так; эпиморфизмы могут быть очень загадочными и иметь неожиданное поведение. Например, очень сложно классифицировать все эпиморфизмы колец. В целом, эпиморфизмы являются своей собственной уникальной концепцией, связанной с сюръекциями, но принципиально отличной.

Смотрите также

• Список тем теории категорий
• Мономорфизм

Примечания

1. Borceux 1994.
2. Цаленко и Шульгейфер 1974.

Ссылки

• Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6.
• Бергман, Джордж (2015). Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям. Springer. ISBN 978-3-319-11478-1.
• Борсо, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре. Том 1: Базовая теория категорий . Cambridge University Press. ISBN 978-0521061193.
• Риль, Эмили (2016). Теория категорий в контексте. Dover Publications, Inc. Минеола, Нью-Йорк. ISBN 9780486809038.
• Цаленко, М.С.; Шульгейфер, Э.Г. (1974). Основы теории категорий . Наука. ISBN 5-02-014427-4.
• «Эпиморфизм», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Ловер, Ф. Уильям; Роузбрю, Роберт (2015). Наборы для математики . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-80444-8.
• Линдерхольм, Карл (1970). «Групповой эпиморфизм сюръективен». American Mathematical Monthly . 77 (2): 176–177. doi :10.1080/00029890.1970.11992448.

Внешние ссылки

• эпиморфизм в n Lab
• Сильный эпиморфизм в n Lab