В геометрии равносторонний треугольник — это треугольник , у которого все три стороны имеют одинаковую длину. В знакомой евклидовой геометрии равносторонний треугольник также является равноугольным ; то есть все три внутренних угла также конгруэнтны друг другу и составляют каждый по 60 °. Это также правильный многоугольник , поэтому его еще называют правильным треугольником .
Основные свойства
Обозначив общую длину сторон равностороннего треугольника как , мы можем определить с помощью теоремы Пифагора , что:
Обозначив радиус описанной окружности как R , мы можем определить с помощью тригонометрии , что:
Площадь треугольника равна
Многие из этих величин имеют простую связь с высотой («h») каждой вершины с противоположной стороны:
Район
Высота центра с каждой стороны, или апофемы , равна
Радиус окружности, описывающей три вершины, равен
Радиус вписанной окружности равен
В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, биссектрисы и медианы каждой стороны совпадают.
Характеристики
Треугольник , стороны которого , , , полупериметр , площадь , эксрадиусы , , (касательные к , , соответственно) и где и являются радиусами описанной и вписанной окружности соответственно, является равносторонним тогда и только тогда, когда любое из утверждений в следующие девять категорий верны. Таким образом, эти свойства уникальны для равносторонних треугольников, и знание того, что любое из них истинно, напрямую подразумевает, что мы имеем равносторонний треугольник.
Центр каждого треугольника равностороннего треугольника совпадает с его центроидом , что означает, что равносторонний треугольник — единственный треугольник, у которого нет линии Эйлера , соединяющей некоторые центры. Для некоторых пар центров треугольников того факта, что они совпадают, достаточно, чтобы треугольник был равносторонним. В частности:
Он также является равносторонним, если его центр описанной окружности совпадает с точкой Нагеля или если его центр совпадает с его девятиточечным центром . [6]
Шесть треугольников, образованных разделением медианами.
В любом треугольнике три медианы делят треугольник на шесть меньших треугольников.
Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда любые три меньших треугольника имеют одинаковый периметр или одинаковый радиус. [9] : Теорема 1
Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда центры любых трех меньших треугольников находятся на одинаковом расстоянии от центроида. [9] : Следствие 7.
Точки на плоскости
Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда для каждой точки плоскости с расстояниями , , и до сторон треугольника и расстояниями , , и до его вершин, [10] : с.178, #235.4
Теорема Наполеона гласит, что если на сторонах любого треугольника, либо полностью наружу, либо полностью внутрь, построить равносторонние треугольники, то центры этих равносторонних треугольников сами образуют равносторонний треугольник.
Версия изопериметрического неравенства для треугольников гласит, что треугольник наибольшей площади среди всех треугольников с данным периметром является равносторонним. [11]
Теорема Вивиани утверждает, что для любой внутренней точки равностороннего треугольника с расстояниями , , и от сторон и высоты ,
[12]
Теорема Помпейю утверждает, что если - произвольная точка в плоскости равностороннего треугольника, но не на его описанной окружности , то существует треугольник со сторонами длин , и . То есть , , и удовлетворяют неравенству треугольника , согласно которому сумма любых двух из них больше третьего. Если находится на описанной окружности, то сумма двух меньших равна самому длинному и треугольник выродился в прямую, этот случай известен как теорема Ван Скутена .
Геометрическая конструкция
Равносторонний треугольник легко построить с помощью линейки и циркуля , поскольку 3 — простое число Ферма . Нарисуйте прямую линию, поместите острие циркуля на один конец линии и проведите дугу от этой точки к другой точке отрезка линии. Повторите то же самое с другой стороной линии. Наконец, соедините точку пересечения двух дуг с каждым концом отрезка.
Альтернативный метод — нарисовать круг радиусом , поместить точку компаса на круг и нарисовать еще один круг того же радиуса. Две окружности пересекутся в двух точках. Равносторонний треугольник можно построить, взяв два центра окружностей и любую из точек пересечения.
В обоих методах побочным продуктом является образование vesica piscis .
Доказательство того, что получившаяся фигура представляет собой равносторонний треугольник, является первым утверждением в первой книге « Начал » Евклида .
Вывод формулы площади
Формулу площади через длину стороны можно вывести непосредственно с помощью теоремы Пифагора или с помощью тригонометрии.
Используя теорему Пифагора
Площадь треугольника равна половине произведения одной стороны на высоту этой стороны:
Катеты любого прямоугольного треугольника, образованные высотой равностороннего треугольника, составляют половину основания , а гипотенуза — сторона равностороннего треугольника. Высоту равностороннего треугольника можно найти по теореме Пифагора.
Подстановка в формулу площади дает формулу площади равностороннего треугольника:
Использование тригонометрии
Используя тригонометрию , площадь треугольника с любыми двумя сторонами и и углом между ними равна
Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°, поэтому
Синус 60° равен . Таким образом
Другие объекты недвижимости
Равносторонний треугольник — наиболее симметричный треугольник, имеющий 3 линии отражения и вращательную симметрию порядка 3 относительно своего центра, группа симметрии которого — группа диэдра порядка 6 , . Равносторонний треугольник с целыми сторонами — единственный треугольник с целыми сторонами и тремя рациональными углами, измеренными в градусах. [13] Это единственный остроугольный треугольник, похожий на свой прямоугольный треугольник (с вершинами в основании высот ) , [14] : с. 19 и единственный треугольник, эллипс Штейнера которого представляет собой круг (точнее, вписанную окружность). Треугольник наибольшей площади из всех, вписанных в данную окружность, является равносторонним, и треугольник наименьшей площади из всех, описанных вокруг данной окружности, также является равносторонним. [15] Это единственный правильный многоугольник, не считая квадрата , который можно вписать внутрь любого другого правильного многоугольника.
Согласно неравенству Эйлера , равносторонний треугольник имеет наименьшее отношение радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу любого треугольника, с [16] : стр.198.
Учитывая точку внутри равностороннего треугольника, отношение суммы ее расстояний от вершин к сумме ее расстояний от сторон больше или равно 2, равенство сохраняется, когда является центроидом. Ни в одном другом треугольнике нет точки, для которой это отношение было бы столь же мало, как 2. [17] Это неравенство Эрдеша – Морделла ; более сильным его вариантом является неравенство Барроу , которое заменяет перпендикулярные расстояния к сторонам расстояниями от до точек, где биссектрисы , , и пересекают стороны ( , , и являются вершинами) . Существует множество других неравенств треугольника , которые выполняются с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.
Для любой точки плоскости с расстояниями , , и от вершин , , и соответственно [18]
Для любой точки плоскости с расстояниями , и от вершин [19]
Для любой точки вписанной окружности равностороннего треугольника с расстояниями , и от вершин [20]
Для любой точки на малой дуге описанной окружности с расстояниями , , и от , , и соответственно [12]
При этом, если точка на стороне разбивается на отрезки и имеющие длину и имеющую длину , то [12] : 172
Отношение его площади к площади вписанного круга является наибольшим из всех треугольников. [21] : Теорема 4.1.
Отношение его площади к квадрату его периметра больше, чем у любого неравностороннего треугольника. [11]
Если отрезок разбивает равносторонний треугольник на две области с равными периметрами и площадями и , то [10] : с.151, #J26
Если треугольник помещен в комплексную плоскость с комплексными вершинами , , и , то для любого невещественного кубического корня из 1 треугольник равносторонний тогда и только тогда, когда [22] : Лемма 2
В трех измерениях равносторонние треугольники образуют грани правильных и однородных многогранников . Три из пяти Платоновых тел состоят из равносторонних треугольников: тетраэдра , октаэдра и икосаэдра . [24] : с.238 В частности, трёхмерным аналогом треугольника можно считать тетраэдр, имеющий четыре равносторонних треугольника вместо граней . Все Платоновы тела могут вписывать тетраэдры, а также быть вписанными внутрь тетраэдров. Равносторонние треугольники также образуют однородные антипризмы , а также однородные звездные антипризмы в трехмерном пространстве. В случае антипризм две (незеркальные) параллельные копии правильных многоугольников соединены чередующимися полосами равносторонних треугольников. [25] В частности, для звездных антипризм существуют прогрессивные и ретроградные (перекрещенные) решения, которые соединяют зеркальные и незеркальные параллельные звездчатые многоугольники . [26] [27] Платонов октаэдр также является треугольной антипризмой , которая является первым истинным членом бесконечного семейства антипризм (тетраэдр, как двуугольная антипризма, иногда считается первым). [24] : стр. 240
В качестве обобщения равносторонний треугольник принадлежит бесконечному семейству -симплексов с . [28]
В культуре и обществе
Равносторонние треугольники часто встречаются в искусственных конструкциях:
Форма встречается в современной архитектуре, например, в поперечном разрезе Арки Ворот . [29]
^ Бенце, Михай; У, Хуэй-Хуа; Ву, Шан-Хе (2008). «Эквивалентная форма фундаментального неравенства треугольника и ее приложения» (PDF) . Журнал неравенств в чистой и прикладной математике . 10 (1): 1–6 (статья № 16). ISSN 1443-5756. МР 2491926. S2CID 115305257. Збл 1163.26316.
^ Доспинеску, Г.; Ласку, М.; Похоата, К.; Летива, М. (2008). «Элементарное доказательство неравенства Бландона» (PDF) . Журнал неравенств в чистой и прикладной математике . 9 (4): 1-3 (Документ № 100). ISSN 1443-5756. S2CID 123965364. Збл 1162.51305.
^ Бландон, WJ (1963). «О некоторых полиномах, связанных с треугольником». Журнал «Математика» . Тейлор и Фрэнсис . 36 (4): 247–248. дои : 10.2307/2687913. JSTOR 2687913. S2CID 124726536. Збл 0116.12902.
^ аб Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2009). Когда меньше значит больше. Визуализация основных неравенств. Математические изложения Дольчиани. Том. 36. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . стр. 71, 155. doi : 10.5948/upo9781614442028. ISBN978-0-88385-342-9. МР 2498836. OCLC 775429168. S2CID 117769827. Збл 1163.00008.
^ аб Похоата, Космин (2010). «Новое доказательство неравенства Эйлера вписанного радиуса — описанного радиуса» (PDF) . Газета Математика Серия Б (3): 121–123. S2CID 124244932.
^ abc Андрееску, Титу; Андрика, Дориан (2006). Комплексные числа от А до... Я (1-е изд.). Бостон, Массачусетс: Биркхойзер . стр. 70, 113–115. дои : 10.1007/0-8176-4449-0. ISBN978-0-8176-4449-9. OCLC 871539199. S2CID 118951675.
^ Оуэн, Байер; Феликс, Лазебник; Дейдра, Смельцер (2010). Методы евклидовой геометрии . Ресурсы для классных комнат. Том. 37. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . стр. 36, 39. doi :10.5860/choice.48-3331. ISBN9780883857632. OCLC 501976971. S2CID 118179744.
^ Ю, Пол (1998). «Заметки по евклидовой геометрии» (PDF) . Атлантический университет Флориды, факультет математических наук (конспекты курса).
^ ab «Неравенства, предложенные в «Crux Mathematicorum»» (PDF) .
^ Аб Чакерян, Г.Д. «Искаженный взгляд на геометрию». Ч. 7 по «Математическим сливам» (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.
^ abc Посаментье, Альфред С.; Салкинд, Чарльз Т. (1996). Сложные задачи по геометрии . Дувр Пабл.
^ Конвей, Дж. Х., и Гай, Р. К., «Единственный рациональный треугольник», в « Книге чисел» , 1996, Springer-Verlag, стр. 201 и 228–239.
^ Леон Банкофф и Джек Гарфанкел, «Семиугольный треугольник», Mathematics Magazine 46 (1), январь 1973 г., 7–19,
^ Дорри, Генрих (1965). 100 великих задач элементарной математики . Дувр Пабл. стр. 379–380.
^ Свртан, Драгутин; Вельян, Дарко (2012). «Неевклидовы версии некоторых классических неравенств треугольника» (PDF) . Форум Геометрикорум . 12 : 197–209.
^ Кромвель, Питер Т. (1997). «Глава 2: Архимедовы тела» . Многогранники (1-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 85. ИСБН978-0521664059. МР 1458063. OCLC 41212721. Збл 0888.52012.
^ Клитцинг, Ричард. «n-антипризма с номером обмотки d». Многогранники и их матрицы инцидентности . Bendwavy.org (Антон Шервуд) . Проверено 9 марта 2023 г.
^ Уэбб, Роберт. «Многогранный словарь Стеллы». Стелла . Проверено 9 марта 2023 г.
^ Уайт, Стивен Ф.; Кальдерон, Эстела (2008). Культура и обычаи Никарагуа . Гринвуд Пресс. п. 3. ISBN978-0313339943.
^ Гильермо, Артемио Р. (2012). Исторический словарь Филиппин. Пугало Пресс. п. 161. ИСБН978-0810872462.
^ Райли, Майкл В.; Кокран, Дэвид Дж.; Баллард, Джон Л. (декабрь 1982 г.). «Исследование предпочтительных форм предупреждающих надписей». Человеческий фактор: Журнал Общества человеческого фактора и эргономики . 24 (6): 737–742. дои : 10.1177/001872088202400610. S2CID 109362577.