Расширение группы

Группа, для которой данная группа является нормальной подгруппой

В математике расширение группы — это общее средство описания группы в терминах конкретной нормальной подгруппы и факторгруппы . Если и — две группы, то — расширение группы , если существует короткая точная последовательность ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle 1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1.}$

Если является расширением по , то является группой, является нормальной подгруппой и факторгруппа изоморфна группе . Расширения групп возникают в контексте проблемы расширения , где группы и известны, а свойства должны быть определены. Обратите внимание , что фраза « является расширением по » также используется некоторыми. ^[1] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \iota (N)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/\iota (N)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Q}$

Поскольку любая конечная группа обладает максимальной нормальной подгруппой с простой фактор-группой , все конечные группы могут быть построены как ряд расширений с конечными простыми группами . Этот факт послужил мотивацией для завершения классификации конечных простых групп . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$

Расширение называется центральным расширением, если подгруппа лежит в центре . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Расширения в целом

Одно расширение, прямое произведение , сразу очевидно. Если требуется , чтобы и были абелевыми группами , то множество классов изоморфизма расширений заданной (абелевой) группой на самом деле является группой, которая изоморфна ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N);}$

ср. функтор Ext . Известно несколько других общих классов расширений, но не существует теории, которая рассматривала бы все возможные расширения одновременно. Расширение группы обычно описывается как сложная проблема; ее называют проблемой расширения .

Рассмотрим несколько примеров: если , то является расширением и , и . В более общем смысле, если является полупрямым произведением и , записанным как , то является расширением на , поэтому такие произведения, как сплетенное произведение, предоставляют дополнительные примеры расширений. ${\displaystyle G=K\times H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G=K\rtimes H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$

Проблема расширения

Вопрос о том, какие группы являются расширениями от называется проблемой расширения и интенсивно изучается с конца девятнадцатого века. Что касается его мотивации, то считайте, что композиционный ряд конечной группы представляет собой конечную последовательность подгрупп , где каждая является расширением от некоторой простой группы . Классификация конечных простых групп дает нам полный список конечных простых групп; поэтому решение проблемы расширения даст нам достаточно информации для построения и классификации всех конечных групп в целом. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ ${\displaystyle \{A_{i+1}\}}$ ${\displaystyle \{A_{i}\}}$

Классификация расширений

Решение проблемы расширения сводится к классификации всех расширений H по K ; или, что более практично, к выражению всех таких расширений в терминах математических объектов, которые легче понять и вычислить. В общем, эта проблема очень сложна, и все наиболее полезные результаты классифицируют расширения, которые удовлетворяют некоторому дополнительному условию.

Рисунок 1

Важно знать, когда два расширения эквивалентны или конгруэнтны. Мы говорим, что расширения

${\displaystyle 1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1}$

и

${\displaystyle 1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1}$

эквивалентны (или конгруэнтны), если существует групповой изоморфизм , делающий коммутативной диаграмму на рисунке 1. Фактически, достаточно иметь групповой гомоморфизм; из-за предполагаемой коммутативности диаграммы отображение принудительно становится изоморфизмом согласно короткой лемме о пяти . ${\displaystyle T:G\to G'}$ ${\displaystyle T}$

Предупреждение

Может случиться, что расширения и неэквивалентны, но G и G' изоморфны как группы. Например, существуют неэквивалентные расширения четверной группы Клейна с помощью , ^[2] но с точностью до изоморфизма групп существуют только четыре группы порядка , содержащие нормальную подгруппу порядка с факторгруппой , изоморфной четверной группе Клейна . ${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$ ${\displaystyle 1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle 2}$

Тривиальные расширения

Тривиальное расширение — это расширение

${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$

что эквивалентно расширению

${\displaystyle 1\to K\to K\times H\to H\to 1}$

где левая и правая стрелки представляют собой соответственно включение и проекцию каждого фактора . ${\displaystyle K\times H}$

Классификация разделенных расширений

Разделенное расширение — это расширение

${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$

с гомоморфизмом таким, что переход от H к G с помощью s , а затем обратно к H с помощью факторного отображения короткой точной последовательности индуцирует тождественное отображение на H , т.е. . В этой ситуации обычно говорят, что s разделяет указанную выше точную последовательность . ${\displaystyle s\colon H\to G}$ ${\displaystyle \pi \circ s=\mathrm {id} _{H}}$

Расщепляемые расширения очень легко классифицировать, поскольку расширение расщепляется тогда и только тогда, когда группа G является полупрямым произведением K и H. Сами полупрямые произведения легко классифицировать, поскольку они находятся во взаимно-однозначном соответствии с гомоморфизмами из , где Aut( K ) — группа автоморфизмов K . Для полного обсуждения того, почему это верно, см. полупрямое произведение . ${\displaystyle H\to \operatorname {Aut} (K)}$

Предупреждение о терминологии

В целом в математике расширение структуры K обычно рассматривается как структура L, подструктурой которой является K. См., например, расширение поля . Однако в теории групп закралась противоположная терминология, отчасти из-за обозначения , которое легко читается как расширение Q посредством N , и фокусируется на группе Q . ${\displaystyle \operatorname {Ext} (Q,N)}$

В статье Рональда Брауна и Тимоти Портера о теории неабелевых расширений Отто Шрайера используется терминология, согласно которой расширение K дает большую структуру. ^[3]

Центральное расширение

Центральное расширение группы G — это короткая точная последовательность групп

${\displaystyle 1\to A\to E\to G\to 1}$

такой, что A включен в , центр группы E. Множество классов изоморфизма центральных расширений G посредством A находится во взаимно однозначном соответствии с группой когомологий . ${\displaystyle Z(E)}$ ${\displaystyle H^{2}(G,A)}$

Примеры центральных расширений можно построить, взяв любую группу G и любую абелеву группу A и установив E равным . Этот вид примера расщепления соответствует элементу 0 в при указанном выше соответствии. Другой пример расщепления дан для нормальной подгруппы A с E , равным полупрямому произведению . Более серьезные примеры можно найти в теории проективных представлений , в случаях, когда проективное представление не может быть поднято до обычного линейного представления . ${\displaystyle A\times G}$ ${\displaystyle H^{2}(G,A)}$ ${\displaystyle A\rtimes G}$

В случае конечных совершенных групп существует универсальное совершенное центральное расширение .

Аналогично, центральное расширение алгебры Ли представляет собой точную последовательность ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}$

такой, что находится в центре . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$

Существует общая теория центральных расширений в многообразиях Мальцева . ^[4]

Обобщение до общих расширений

Существует похожая классификация всех расширений G с помощью A в терминах гомоморфизмов из , утомительное, но явно проверяемое условие существования, включающее и группу когомологий . ^[5] ${\displaystyle G\to \operatorname {Out} (A)}$ ${\displaystyle H^{3}(G,Z(A))}$ ${\displaystyle H^{2}(G,Z(A))}$

Группы Ли

В теории групп Ли центральные расширения возникают в связи с алгебраической топологией . Грубо говоря, центральные расширения групп Ли дискретными группами совпадают с покрывающими группами . Точнее, связное покрывающее пространство G ^∗ связной группы Ли G естественным образом является центральным расширением G , таким образом, что проекция

${\displaystyle \pi \colon G^{*}\to G}$

является гомоморфизмом групп и сюръективен. (Структура группы на G ^∗ зависит от выбора элемента тождества, отображающего тождество в G .) Например, когда G ∗ является универсальным покрытием G , ядро ​​π ^{является} фундаментальной группой G , которая , как известно , абелева (см. H-пространство ). Обратно, если заданы группа Ли G и дискретная центральная подгруппа Z , фактор-группа G / Z является группой Ли, а G является ее накрывающим пространством.

В более общем случае, когда группы A , E и G, встречающиеся в центральном расширении, являются группами Ли, а отображения между ними являются гомоморфизмами групп Ли, то если алгебра Ли группы G есть g , алгебра Ли группы A есть a , а алгебра Ли группы E есть e , то e является расширением центральной алгебры Ли группы g посредством a . В терминологии теоретической физики генераторы a называются центральными зарядами . Эти генераторы находятся в центре e ; по теореме Нётер генераторы групп симметрии соответствуют сохраняющимся величинам, называемым зарядами .

Основные примеры центральных расширений как покрывающих групп:

• спиновые группы , которые дважды покрывают специальные ортогональные группы , которые (в четной размерности) дважды покрывают проективную ортогональную группу .
• метаплектические группы , которые дважды накрывают симплектические группы .

Случай SL ₂ ( R ) включает в себя фундаментальную группу, которая является бесконечной циклической . Здесь задействованное центральное расширение хорошо известно в теории модулярных форм в случае форм веса ½ . Соответствующее проективное представление — это представление Вейля , построенное из преобразования Фурье , в этом случае на действительной прямой . Метаплектические группы также встречаются в квантовой механике .

Смотрите также

• Расширение алгебры Ли
• Алгебра Вирасоро
• расширение HNN
• Групповое сокращение
• Расширение топологической группы

Ссылки

1. группа+расширение#Определение в n Лабораторное замечание 2.2.
2. стр. № 830, Даммит, Дэвид С., Фут, Ричард М., Абстрактная алгебра (третье издание), John Wiley & Sons, Inc., Хобокен, Нью-Джерси (2004).
3. Браун, Рональд ; Портер, Тимоти (1996). «О теории Шрайера неабелевых расширений: обобщения и вычисления». Труды Королевской Ирландской Академии, раздел A. 96 ( 2): 213–227. MR  1641218.
4. Джанелидзе, Джордж; Келли, Грегори Максвелл (2000). «Центральные расширения в многообразиях Мальцева». Теория и приложения категорий . 7 (10): 219–226. MR  1774075.
5. PJ Morandi, Group Extensions and H3 Архивировано 17.05.2018 в Wayback Machine . Из его коллекции коротких математических заметок.

• Mac Lane, Saunders (1975), Гомология , Классика математики, Springer Verlag , ISBN 3-540-58662-8
• Р. Л. Тейлор, Покрывающие группы несвязных топологических групп, Труды Американского математического общества , т. 5 (1954), 753–768.
• Р. Браун и О. Мукук, Повторное рассмотрение групп покрытия несвязных топологических групп, Математические труды Кембриджского философского общества , т. 115 (1994), 97–110.