Фильтры в топологии

Use of filters to describe and characterize all basic topological notions and results.

Решетка набора мощности набора с верхним набором , окрашенным в темно-зеленый цвет. Это фильтр , и даже главный фильтр . Это не ультрафильтр , так как его можно расширить до большего собственного фильтра, включив также светло-зеленые элементы. Поскольку его нельзя расширить дальше, это ультрафильтр. ${\displaystyle X:=\{1,2,3,4\},}$ ${\displaystyle \{1,4\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \{1\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \{1\}^{\uparrow X}}$

Фильтры в топологии , подразделе математики , могут использоваться для изучения топологических пространств и определения всех основных топологических понятий , таких как сходимость , непрерывность , компактность и т. д. Фильтры , которые являются особыми семействами подмножеств некоторого заданного множества, также предоставляют общую основу для определения различных типов пределов функций, таких как пределы слева/справа, до бесконечности, до точки или множества и многих других. Специальные типы фильтров, называемые ультрафильтрами, обладают множеством полезных технических свойств, и их часто можно использовать вместо произвольных фильтров.

Фильтры имеют обобщения, называемые предварительными фильтрами (также известные как базы фильтров ) и подбазы фильтров , все из которых естественным образом и многократно появляются в топологии. Примерами являются соседние фильтры / базы / подбазы и однородности . Каждый фильтр является предварительным фильтром, и оба являются подбазами фильтров. Каждый предварительный фильтр и подбаза фильтров содержатся в уникальном наименьшем фильтре, который, как говорят, они генерируют . Это устанавливает связь между фильтрами и предварительными фильтрами, которая часто может использоваться, чтобы позволить использовать любое из этих двух понятий, которое более удобно с технической точки зрения. Существует определенный предварительный порядок для семейств множеств, обозначаемый как , который помогает точно определить, когда и как одно понятие (фильтр, предварительный фильтр и т. д.) может или не может использоваться вместо другого. Важность этого предпорядка усиливается тем фактом, что он также определяет понятие сходимости фильтров, где по определению фильтр (или предварительный фильтр) сходится к точке тогда и только тогда, когда , где находится соседний фильтр этой точки . Следовательно, подчинение также играет важную роль во многих концепциях, связанных с конвергенцией, таких как точки кластера и пределы функций. Кроме того, отношение , которое обозначает и выражается тем, что является подчиненным, также устанавливает отношение, в котором является как подпоследовательность является последовательности (то есть отношение, которое называется подчинением , является для фильтров аналогом «является подпоследовательностью»). ${\displaystyle \,\leq ,\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\leq {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\geq {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \geq ,}$

Фильтры были введены Анри Картаном в 1937 году ^[1] и впоследствии использовались Бурбаки в его книге Topologie Générale в качестве альтернативы похожему понятию сети , разработанному в 1922 году Э. Х. Муром и Х. Л. Смитом . Фильтры также могут быть использованы для характеристики понятий последовательной и сетевой сходимости. Но в отличие от ^{[примечание 1]} последовательной и сетевой сходимости, сходимость фильтров определяется полностью в терминах подмножеств топологического пространства и, таким образом, она обеспечивает понятие сходимости, которое полностью присуще топологическому пространству; действительно, категория топологических пространств может быть эквивалентно определена полностью в терминах фильтров . Каждая сеть индуцирует канонический фильтр и, дуально, каждый фильтр индуцирует каноническую сеть, где эта индуцированная сеть (соответственно индуцированный фильтр) сходится к точке тогда и только тогда, когда то же самое верно для исходного фильтра (соответственно сети). Эта характеристика также справедлива для многих других определений, таких как точки кластера. Эти отношения позволяют переключаться между фильтрами и сетями, и они часто также позволяют выбирать, какое из этих двух понятий (фильтр или сеть) более удобно для рассматриваемой проблемы. Однако, если предположить, что « подсеть » определяется с использованием одного из самых популярных определений (которые даны Уиллардом и Келли), то в общем случае это отношение не распространяется на подчиненные фильтры и подсети, поскольку, как подробно описано ниже, существуют подчиненные фильтры, чье отношение фильтр/подчиненный-фильтр не может быть описано в терминах соответствующего отношения сеть/подсеть; однако эта проблема может быть решена с помощью менее распространенного определения «подсети», которое является определением AA-подсети. ${\displaystyle X}$

Таким образом, фильтры/предфильтры и этот единый предварительный порядок обеспечивают структуру, которая бесшовно связывает воедино фундаментальные топологические концепции, такие как топологические пространства ( через фильтры соседства ), базы соседства , сходимость, различные пределы функций, непрерывность, компактность , последовательности (через последовательные фильтры), эквивалент фильтра «подпоследовательности» (подчинение), однородные пространства и многое другое; концепции, которые в противном случае кажутся относительно разрозненными и чьи отношения менее ясны. ${\displaystyle \,\leq \,}$

Мотивация

Архетипический пример фильтра

Типичным примером фильтра является фильтр соседства в точке топологического пространства , представляющий собой семейство множеств, состоящее из всех окрестностей По определению, окрестность некоторой заданной точки — это любое подмножество , топологическая внутренность которого содержит эту точку; то есть такое, что Важно отметить, что окрестности не обязаны быть открытыми множествами; они называются открытыми окрестностями . Ниже перечислены те фундаментальные свойства фильтров соседства, которые в конечном итоге стали определением «фильтра». Фильтр на — это множество подмножеств , удовлетворяющее всем следующим условиям: ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Int} _{X}B.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. Непусто :    – так же, как и всегда является окрестностью (и всего, что оно содержит); ${\displaystyle X\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {N}}(x),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$
2. Не содержит пустого множества :    – так же, как ни одна окрестность не является пустой; ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$
3. Замкнуто относительно конечных пересечений : Если  – так же, как пересечение любых двух окрестностей снова является окрестностью ; ${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}}{\text{ then }}B\cap C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
4. Замкнуто вверх : Если тогда  – так же, как и любое подмножество , включающее окрестность, обязательно будет окрестностью (это следует из и определения «окрестности »). ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}B\subseteq S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}B\subseteq \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle x}$

Обобщение сходимости последовательностей с использованием множеств − определение сходимости последовательностей без последовательности

Последовательность в по определению является отображением из натуральных чисел в пространство Первоначальное понятие сходимости в топологическом ${\displaystyle X}$ пространстве было понятием последовательности, сходящейся к некоторой заданной точке в пространстве, таком как метрическое пространство . В метризуемых пространствах (или, в более общем смысле, пространствах с первой счетностью или пространствах Фреше–Урысона ) последовательностей обычно достаточно, чтобы характеризовать или «описать» большинство топологических свойств, таких как замыкания подмножеств или непрерывность функций. Но существует много пространств, где последовательности не могут быть использованы для описания даже основных топологических свойств, таких как замыкание или непрерывность. Эта неудача последовательностей была мотивацией для определения таких понятий, как сети и фильтры, которые никогда не перестают характеризовать топологические свойства. ${\displaystyle \mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle X.}$

Сети напрямую обобщают понятие последовательности, поскольку сети по определению являются отображениями произвольного направленного множества в пространство Последовательность — это просто сеть, область определения которой имеет естественный порядок. Сети имеют собственное понятие сходимости , которое является прямым обобщением сходимости последовательностей. ${\displaystyle I\to X}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$

Фильтры обобщают сходимость последовательностей другим способом, рассматривая только значения последовательности. Чтобы увидеть, как это делается, рассмотрим последовательность, которая по определению является просто функцией , значение которой в обозначается с помощью , а не с помощью обычной записи в скобках , которая обычно используется для произвольных функций. Знания только образа ( иногда называемого «диапазоном») последовательности недостаточно для характеристики ее сходимости; необходимо несколько наборов. Оказывается, что нужны следующие наборы, ^{[примечание 2],} которые называются хвостами последовательности : ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }(i)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}=\left\{x_{1},x_{2},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}x_{\geq 1}=\;&\{&&x_{1},&&x_{2},&&x_{3},&&x_{4},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]x_{\geq 2}=\;&\{&&x_{2},&&x_{3},&&x_{4},&&x_{5},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]x_{\geq 3}=\;&\{&&x_{3},&&x_{4},&&x_{5},&&x_{6},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]&&&&&&&\;\,\vdots &&&&&&\\[0.3ex]x_{\geq n}=\;&\{&&x_{n},\;\;\,&&x_{n+1},\;&&x_{n+2},\;&&x_{n+3},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]&&&&&&&\;\,\vdots &&&&&&\\[0.3ex]\end{alignedat}}}$$

Эти множества полностью определяют сходимость (или несходимость) этой последовательности, поскольку для любой заданной точки эта последовательность сходится к ней тогда и только тогда, когда для каждой окрестности (этой точки) существует некоторое целое число, такое, что содержит все точки. Это можно перефразировать так: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{n},x_{n+1},\ldots .}$

     каждая окрестность должна содержать некоторое множество формы в качестве подмножества. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{x_{n},x_{n+1},\ldots \}}$

Или, короче: каждая окрестность должна содержать некоторый хвост в качестве подмножества. Именно эта характеристика может быть использована с указанным выше семейством хвостов для определения сходимости (или несходимости) последовательности. В частности, имея в руках семейство множеств , функция больше не нужна для определения сходимости этой последовательности (независимо от того, какая топология накладывается на ). Обобщая это наблюдение, понятие «сходимости» можно распространить с последовательностей/функций на семейства множеств. ${\displaystyle x_{\geq n}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X.}$ ${\displaystyle \{x_{\geq 1},x_{\geq 2},\ldots \}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle X}$

Вышеуказанный набор хвостов последовательности в общем случае не является фильтром, но он " генерирует " фильтр, используя свое замыкание вверх (которое состоит из всех надмножеств всех хвостов). То же самое относится и к другим важным семействам множеств, таким как любой базис соседства в заданной точке, который в общем случае также не является фильтром, но генерирует фильтр через свое замыкание вверх (в частности, он генерирует фильтр соседства в этой точке). Свойства, которыми обладают эти семейства, привели к понятию базы фильтра , также называемой предфильтром , который по определению является любым семейством, имеющим минимальные свойства, необходимые и достаточные для того, чтобы сгенерировать фильтр, используя свое замыкание вверх .

Сетки против фильтров — преимущества и недостатки

Фильтры и сети имеют свои собственные преимущества и недостатки, и нет причин использовать одно понятие исключительно над другим. ^{[примечание 3]} В зависимости от того, что доказывается, доказательство может быть значительно упрощено, если использовать одно из этих понятий вместо другого. ^[2] Как фильтры, так и сети могут использоваться для полной характеристики любой заданной топологии . Сети являются прямыми обобщениями последовательностей и часто могут использоваться аналогично последовательностям, поэтому кривая обучения для сетей, как правило, гораздо менее крутая, чем для фильтров. Однако фильтры, и особенно ультрафильтры , имеют гораздо больше применений за пределами топологии, например, в теории множеств , математической логике , теории моделей ( например, ультрапроизведениях ), абстрактной алгебре , ^[3] комбинаторике , ^[4] динамике , ^[4] теории порядка , обобщенных пространствах сходимости , пространствах Коши и в определении и использовании гипердействительных чисел .

Как и последовательности, сети являются функциями , и поэтому они обладают преимуществами функций . Например, как и последовательности, сети могут быть «включены» в другие функции, где «включение» — это просто композиция функций . Теоремы, связанные с функциями и композицией функций, могут затем применяться к сетям. Одним из примеров является универсальное свойство обратных пределов , которое определяется в терминах композиции функций, а не множеств, и его легче применять к функциям, таким как сети, чем к множествам, таким как фильтры (ярким примером обратного предела является декартово произведение ). Фильтры могут быть неудобны в использовании в определенных ситуациях, например, при переключении между фильтром в пространстве и фильтром в плотном подпространстве ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$

В отличие от сетей, фильтры (и предфильтры) являются семействами множеств и поэтому обладают преимуществами множеств . Например, если является сюръективным, то изображение под произвольным фильтром или предфильтром легко определяется и гарантированно является предфильтром в области определения , тогда как менее ясно, как вытянуть (однозначно/без выбора ) произвольную последовательность (или сеть) , чтобы получить последовательность или сеть в области определения (если только не является также инъективным и, следовательно, биекцией, что является строгим требованием). Аналогично, пересечение любой коллекции фильтров снова является фильтром, тогда как неясно, что это может означать для последовательностей или сетей. Поскольку фильтры состоят из подмножеств самого топологического пространства , которое рассматривается, топологические операции над множествами (такие как замыкание или внутреннее ) могут быть применены к множествам, которые составляют фильтр. Взятие замыкания всех множеств в фильтре иногда полезно , например, в функциональном анализе . Теоремы и результаты об образах или прообразах множеств под функцией также могут быть применены к множествам, составляющим фильтр; примером такого результата может быть одна из характеристик непрерывности в терминах прообразов открытых/замкнутых множеств или в терминах операторов внутренности/замыкания. Специальные типы фильтров, называемые ультрафильтрами, обладают многими полезными свойствами, которые могут существенно помочь в доказательстве результатов. Одним из недостатков сетей является их зависимость от направленных множеств, составляющих их домены, которые в общем случае могут быть совершенно не связаны с пространством Фактически, класс сетей в данном множестве слишком велик, чтобы даже быть множеством (это правильный класс ); это потому, что сети в могут иметь домены любой мощности . Напротив, совокупность всех фильтров (и всех предварительных фильтров) на представляет собой множество, мощность которого не больше, чем у Аналогично топологии на фильтр на является «внутренним » в том смысле, что обе структуры полностью состоят из подмножеств и ни одно из определений не требует какого-либо множества, которое не может быть построено из (например, или других направленных множеств, которые требуются последовательностям и сетям). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}):=\left\{f^{-1}(B)~:~B\in {\mathcal {B}}\right\}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y_{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)).}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Предварительные сведения, обозначения и основные понятия

В этой статье заглавные латинские буквы, такие как и обозначают множества (но не семейства, если не указано иное) и будут обозначать множество мощности Подмножество множества мощности называется семейством множеств (или просто семейством ), где оно является подмножеством Семейства множеств будут обозначаться заглавными каллиграфическими буквами, такими как , , и . Всякий раз, когда требуются эти предположения, следует предполагать, что непусто и что и т. д. являются семействами множеств над ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle X.}$

Термины «предварительный фильтр» и «база фильтра» являются синонимами и будут использоваться взаимозаменяемо.

Предупреждение о конкурирующих определениях и обозначениях

К сожалению, в теории фильтров есть несколько терминов, которые разные авторы определяют по-разному. К ним относятся некоторые из наиболее важных терминов, такие как «фильтр». Хотя различные определения одного и того же термина обычно имеют значительное совпадение, из-за очень технической природы фильтров (и топологии «точка-множество»), эти различия в определениях, тем не менее, часто имеют важные последствия. При чтении математической литературы рекомендуется, чтобы читатели проверяли, как терминология, связанная с фильтрами, определяется автором. По этой причине в этой статье будут четко изложены все определения по мере их использования. К сожалению, не все обозначения, связанные с фильтрами, устоялись, и некоторые обозначения сильно различаются в литературе (например, обозначения для множества всех предварительных фильтров на множестве), поэтому в таких случаях в этой статье используются любые обозначения, которые являются наиболее самоописывающими или легко запоминающимися.

Теория фильтров и предфильтров хорошо разработана и имеет множество определений и обозначений, многие из которых теперь бесцеремонно перечислены, чтобы не допустить, чтобы эта статья стала длинной, и чтобы облегчить поиск обозначений и определений. Их важные свойства описаны ниже.

Операции над множествами

Theзамыкание вверх илиизотонизацияв^[6][7]семействамножествесть ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}:=\{S\subseteq X~:~B\subseteq S{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\,\}={\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\{S~:~B\subseteq S\subseteq X\}}$

и аналогично закрытие вниз является ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\}={\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\wp (B).}$

Для любых двух семейств заявляют, что тогда и только тогда, когда для каждого существует некоторое , в этом случае говорят, что грубее, чем и что мельче , чем (или подчинено ) ^{[10] [11] [12]} Обозначение также может использоваться вместо ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}{\text{ such that }}F\subseteq C,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}}{\text{ or }}{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}.}$

Если и тогда говорят, что ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$эквивалент (в отношении подчинения).

Два семейства сцепляются , ^[8] записано , если ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.}$

Везде есть карта. ${\displaystyle f}$

Топологическая нотация

Обозначим множество всех топологий на множестве Предположим, что — любое подмножество, а — любая точка. ${\displaystyle X{\text{ by }}\operatorname {Top} (X).}$ ${\displaystyle \tau \in \operatorname {Top} (X),}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X}$

Если тогда ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq X}$ ${\displaystyle \tau (S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}\tau (s){\text{ and }}{\mathcal {N}}_{\tau }(S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}{\mathcal {N}}_{\tau }(s).}$

Сети и их хвосты

Направленный набор — это набор вместе с предпорядком , который будет обозначаться (если явно не указано иное), что делает его ( восходящим ) направленным набором ; ^[15] это означает, что для всех существует некоторое такое, что Для любых индексов обозначение определено как означающее , в то время как определено как означающее , что выполняется , но неверно , что (если является антисимметричным , то это эквивалентно ). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle i,j\in I,}$ ${\displaystyle k\in I}$ ${\displaystyle i\leq k{\text{ and }}j\leq k.}$ ${\displaystyle i{\text{ and }}j,}$ ${\displaystyle j\geq i}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle j\leq i}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle i\leq j{\text{ and }}i\neq j}$

Сеть в ${\displaystyle X}$ ^{[15] представляет} собой отображение непустого направленного множества в Обозначение будет использоваться для обозначения сети с областью определения ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I.}$

Предупреждение об использовании строгого сравнения

Если является сетью, то множество , называемое хвостом после , может быть пустым (например, это происходит, если является верхней границей направленного множества ). В этом случае семейство будет содержать пустой набор, что не позволит ему быть предварительным фильтром (определенным позже). Это (важная) причина для определения как , а не или даже , и именно по этой причине в общем случае при работе с предварительным фильтром хвостов сети строгое неравенство не может использоваться взаимозаменяемо с неравенством ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle x_{>i}=\left\{x_{j}~:~j>i{\text{ and }}j\in I\right\},}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}\cup \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \,\leq .}$

Фильтры и предварительные фильтры

Ниже приведен список свойств, которыми может обладать семейство множеств, и они формируют определяющие свойства фильтров, предварительных фильтров и подбаз фильтров. Всякий раз, когда это необходимо, следует предполагать, что ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X).}$

Семейство множеств : ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. Правильный илиневырожденным ,еслито он называетсянесобственным^[17]иливырожденным. ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}},}$
2. Направлено вниз ^[15],если всякий раз, когда существует такое, что ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\subseteq A\cap B.}$
   • Это свойство можно охарактеризовать в терминах направленности , что объясняет слово «направленный»: Бинарное отношение на называется (вверх) направленным, если для любых двух существует некоторое удовлетворяющее Использование вместо дает определение направленного вниз, тогда как использование вместо дает определение направленного вверх . Явно, направлено вниз (соответственно, направлено вверх ) тогда и только тогда, когда для всех существует некоторый «больший» такой, что (соответственно, такой, что ) − где «больший» элемент всегда находится справа, − что можно переписать как (соответственно, как ). ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\preceq C{\text{ and }}B\preceq C.}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\supseteq C{\text{ and }}B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq C{\text{ and }}B\subseteq C}$ ${\displaystyle A\cap B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$
3. Замкнут относительно конечных пересечений (соответственнообъединений), если пересечение (соответственно объединение) любых двух элементовявляется элементом ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
   • Если замкнуто относительно конечных пересечений, то обязательно направлено вниз. Обратное, как правило, неверно. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
4. Замкнутый вверх илиизотоническийв^[6],еслиили, что эквивалентно, если всякий раз, когдаи некоторое множествоудовлетворяетАналогично,замкнутвниз,еслиЗамкнутый вверх (соответственно, вниз) набор также называетсяверхним наборомилирасстройством(соответственно,нижним наборомилинижним набором). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B\subseteq C\subseteq X,{\text{ then }}C\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\downarrow }.}$
   • Семейство , которое является замыканием вверх, является единственным наименьшим (относительно ) изотонной семьей множеств над , имеющей в качестве подмножества. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle \,\subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Многие свойства определенных выше и ниже, такие как «собственный» и «направленный вниз», не зависят от, поэтому при использовании таких терминов упоминание набора необязательно. Определения, включающие «закрытый вверх в », такие как «фильтровать по », зависят от, поэтому набор следует упомянуть, если это неясно из контекста. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Семья — это: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. Идеал ^[17][18],еслизамкнут вниз и замкнут относительно конечных объединений. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$
2. Двойственный идеал на^[19],еслизамкнут вверх ви также замкнут относительно конечных пересечений. Эквивалентно,является двойственным идеалом, если для всех^[20] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cap S\in {\mathcal {B}}\;{\text{ if and only if }}\;R,S\in {\mathcal {B}}.}$
   • Объяснение слова «дуальный»: Семья является дуальным идеалом (соотв. идеалом) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$дуальный ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X,}$ которого является семейство является идеалом (соотв. дуальный идеал) на Другими словами, дуальный идеал означает " дуальный идеал " . Дуальный дуального является исходным семейством, что означает ^[17] $${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B~:~B\in {\mathcal {B}}\},}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X\setminus (X\setminus {\mathcal {B}})={\mathcal {B}}.}$
3. Фильтр на^[19][8]если— собственный двойственный идеал наТо есть фильтр на— это непустое подмножество, замкнутое относительно конечных пересечений и замкнутое вверх вЭквивалентно, это предфильтр, замкнутый вверх вДругими словами, фильтр на— это семейство множеств над, которое (1) не пусто (или, что эквивалентно, содержит), (2) замкнуто относительно конечных пересечений, (3) замкнуто вверх ви (4) не имеет пустого множества в качестве элемента. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)\setminus \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$
   • Предупреждение : Некоторые авторы, особенно алгебристы, используют «фильтр» для обозначения дуального идеала; другие, особенно топологи, используют «фильтр» для обозначения правильного / невырожденного дуального идеала. ^[21] Читателям рекомендуется всегда проверять, как определяется «фильтр» при чтении математической литературы. Однако определения «ультрафильтр», «предфильтр» и «подбаза фильтра» всегда требуют невырожденности. В этой статье используется оригинальное определение «фильтра» Анри Картана ^{[1] [22]} , которое требовало невырожденности.
   • Набор степеней — единственный дуальный идеал , который не является также фильтром. Исключение из определения «фильтра» в топологии имеет то же преимущество, что и исключение из определения « простого числа »: оно устраняет необходимость указывать «невырожденный» (аналог «неунитального » или «не- ») во многих важных результатах, тем самым делая их утверждения менее неуклюжими. ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$
4. Предварительный фильтр илибаза фильтра^[8][23],еслиявляется собственным и направленным вниз. Эквивалентно,называется предварительным фильтром, если его восходящее замыканиеявляется фильтром. Его также можно определить как любое семейство, эквивалентноенекоторомуфильтру.^[9] Собственное семействоявляется предварительным фильтром тогда и только тогда, когда^[9]Семейство является предварительным фильтром тогда и только тогда, когда то же самое верно для его восходящего замыкания. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}.}$
   • Если является предварительным фильтром, то его восходящее замыкание является уникальным наименьшим (относительно ) фильтром по содержащему и называется фильтром, сгенерированным фильтром. Фильтр считается сгенерированным предварительным фильтром, если в , который называется базой фильтра для ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
   • В отличие от фильтра, предварительный фильтр не обязательно замкнут относительно конечных пересечений.
5. π -система , еслизамкнута относительно конечных пересечений. Каждое непустое семействосодержится в единственной наименьшейπ-системе, называемой π -системой, порожденной, которая иногда обозначаетсяОна равна пересечению всехπ-систем, содержащих, а также множеству всех возможных конечных пересечений множеств из: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})=\left\{B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}~:~n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}\right\}.}$$
   • π -система является предфильтром тогда и только тогда, когда она является правильной. Каждый фильтр является правильной π -системой, а каждая правильная π -система является предфильтром , но обратные утверждения в общем случае не выполняются.
   • Предварительный фильтр эквивалентен π -системе, которую он генерирует, и оба эти семейства генерируют один и тот же фильтр на ${\displaystyle X.}$
6. Фильтровать подоснову ^[8][24]ицентрировать^[9],еслииудовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$имеет свойство конечного пересечения , что означает, что пересечение любого конечного семейства (одного или более) множеств в непусто; явно, это означает, что всякий раз, когда то ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \neq B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}.}$
   2. π - система , созданная с помощью , является правильной; то есть, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in \pi ({\mathcal {B}}).}$
   3. Генерируемая π - система является предварительным фильтром. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является подмножеством некоторого предварительного фильтра.
   5. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является подмножеством некоторого фильтра. ^[10]
   • Предположим, что есть подбаза фильтра. Тогда существует уникальный наименьший (относительно ) фильтр, содержащий называемый ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$фильтр, сгенерированный ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ , иназываетсяподбазой фильтра дляэтого фильтра. Этот фильтр равен пересечению всех фильтров на ,которые являются надмножествамиπ-системы, сгенерированнойобозначенной ,будет предфильтром и подмножеством Более того, фильтр, сгенерированный ,равен восходящему замыканиюзначения^[9]Однако,тогдаи только тогда, когдаявляется предфильтром (хотявсегда является восходящей закрытой подбазой фильтрадля). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$
   • Наименьший  (то есть наименьший относительно  ) предварительный фильтр, содержащий подбазу фильтра , будет существовать только при определенных обстоятельствах. Он существует, например, если подбаза фильтра также является предварительным фильтром. Он также существует, если фильтр (или, что эквивалентно, π -система), сгенерированный является главным, в этом случае является уникальным наименьшим предварительным фильтром, содержащим В противном случае, в общем случае,  наименьший предварительный фильтр, содержащий, может не существовать. По этой причине некоторые авторы могут называть π -систему, сгенерированную как ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup \{\ker {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$предварительный фильтр, сгенерированный ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ Однако, если наименьший предварительный фильтр существует (скажем, он обозначен как), то вопреки обычным ожиданиям, оннеобязательно равен "предварительному фильтру, сгенерированному B {\displaystyle {\mathcal {B}}} " (то есть,возможен). И если подбаза фильтратакже является предварительным фильтром, но неπ-системой, то, к сожалению, "предварительный фильтр, сгенерированный этим предварительным фильтром" (то есть) не будет(то есть,возможен, даже когдаявляется предварительным фильтром), поэтому в этой статье будет предпочтительнее точная и недвусмысленная терминология " π -система,сгенерированная". ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \operatorname {minPre} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {minPre} {\mathcal {B}}\neq \pi ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {minPre} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})\neq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
7. Подфильтр фильтра, иэто ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$суперфильтр ^[17][25]еслифильтромигде для фильтров, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.}$
   • Важно отметить, что выражение «является суперфильтром » для фильтров является аналогом выражения «является подпоследовательностью ». Таким образом, несмотря на наличие префикса «под», выражение «является подфильтром» на самом деле является обратным выражению «является подпоследовательностью » . Однако его также можно записать так: « является подчиненным ». С этой терминологией выражение «является подчиненным » становится для фильтров (а также для предварительных фильтров) аналогом выражения «является подпоследовательностью » [ ^26] , что делает эту ситуацию единственной, в которой использование термина «подчиненный» и символа может быть полезным. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \,\vdash \,}$

В , нет никаких предварительных фильтров (и нет никаких сеток, оцененных в ), поэтому в этой статье, как и у большинства авторов, будет автоматически предполагаться без комментариев всякий раз, когда это предположение необходимо. ${\displaystyle X=\varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X\neq \varnothing }$

Простые примеры

Названные примеры

• Одноэлементный набор называется недискретным или ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{X\}}$тривиальный фильтр на ${\displaystyle X.}$^[27][28]Это уникальныйминимальныйфильтр на ,поскольку он является подмножеством каждого фильтра на; однако, он не обязательно должен быть подмножеством каждого предварительного фильтра на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Двойственный идеал также называется вырожденным фильтром на ^[20] (несмотря на то, что на самом деле он не является фильтром). Это единственный двойственный идеал на , который не является фильтром на ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Если является топологическим пространством и тогда фильтр соседства в является фильтром на По определению семейство называется базисом соседства (соответственно, подбазой соседства ) в тогда и только тогда, когда является предфильтром (соответственно, является подбазой фильтра), а фильтр на , который порождает , равен фильтру соседства Подсемейство открытых окрестностей является базисом фильтра для Оба предфильтра также образуют базисы для топологий на , причем генерируемая топология является более грубой , чем Этот пример немедленно обобщает окрестности точек на окрестности непустых подмножеств ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle x{\text{ for }}(X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle \tau (x)\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}\tau (x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau (x)}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$этоэлементарный предварительный фильтр ^[29],еслидля некоторой последовательности точек ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$этоэлементарный фильтр илипоследовательный фильтр на^[30],еслиявляется фильтром на ,сгенерированным некоторым элементарным предфильтром. Фильтр хвостов, сгенерированный последовательностью, которая в конечном счете не является константой, обязательноне являетсяультрафильтром.^[31]Каждый главный фильтр на счетном множестве последователен, как и каждый коконечный фильтр на счетно бесконечном множестве.^[20]Пересечение конечного числа последовательных фильтров снова последовательно.^[20] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$
• Множество всех кофинитных подмножеств ( то есть тех множеств, дополнение которых в конечно) является собственным тогда и только тогда, когда является бесконечным (или, что эквивалентно, является бесконечным), и в этом случае является фильтром, известным как фильтр Фреше или ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$кофинитный фильтр на^[28][27]Есликонечен, торавен двойственному идеалу, который не является фильтром. Еслибесконечен, то семействодополнений одноэлементных множеств является подбазой фильтров, которая порождает фильтр Фреше наКак и в случае с любым семейством множеств над, содержащимядро ​​фильтра Фреше на ,является пустым множеством: ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \wp (X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}=\varnothing .}$
• Пересечение всех элементов в любом непустом семействе само по себе является фильтром на , называемым инфимумом или наилучшей нижней границей , поэтому его можно обозначить как Сказано иначе, поскольку каждый фильтр на имеет в качестве подмножества, это пересечение никогда не бывает пустым. По определению, инфимум является наилучшим/наибольшим (относительно ) фильтром, содержащимся в качестве подмножества каждого члена ^[28] ${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \ker \mathbb {F} ={\textstyle \bigcap \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,{\text{ and }}\,\leq \,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$
  • Если являются фильтрами, то их инфимум по является фильтром ^[9] Если являются предварительными фильтрами, то является предварительным фильтром, который грубее обоих (то есть, ); на самом деле, это один из лучших таких предварительных фильтров , что означает, что если является предварительным фильтром, таким что то обязательно ^[9] В более общем смысле, если являются непустыми семействами, и если , то и является наибольшим элементом [ ^9] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} :=\{{\mathcal {S}}\subseteq \wp (X)~:~{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\in \mathbb {S} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (\mathbb {S} ,\leq ).}$
• Пусть и пусть Супремум или наименьшая верхняя граница для обозначается как является наименьшим (относительно ) дуальным идеалом на , содержащим каждый элемент из как подмножество; то есть, это наименьший (относительно ) дуальный идеал на , содержащим как подмножество. Этот дуальный идеал есть где является π -системой, порожденной Как и в случае с любым непустым семейством множеств, содержится в некотором фильтре на тогда и только тогда, когда он является подбазой фильтра, или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда является фильтром на в этом случае это семейство является наименьшим (относительно ) фильтром на , содержащим каждый элемент из как подмножество и обязательно ${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {DualIdeals} (X)}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} ={\textstyle \bigcup \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {DualIdeals} (X),}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right):=\left\{F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}~:~n\in \mathbb {N} {\text{ and every }}F_{i}{\text{ belongs to some }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} \right\}}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X).}$
• Пусть и пусть Супремум или наименьшая верхняя граница обозначается как , если он существует, по определению является наименьшим (относительно ) фильтром на , содержащим каждый элемент из как подмножество. Если он существует, то обязательно ^[28] (как определено выше) и также будет равен пересечению всех фильтров на , содержащих Этот супремум существует тогда и только тогда, когда двойственный идеал является фильтром на Наименьшая верхняя граница семейства фильтров может не быть фильтром. ^[28] Действительно, если содержит по крайней мере два различных элемента, то существуют фильтры, для которых не существует фильтра , содержащего оба Если не является подбазой фильтра, то супремум не существует, и то же самое верно для его супремума в , но их супремум в множестве всех двойственных идеалов на будет существовать (это вырожденный фильтр ). ^[20] ${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} ={\textstyle \bigcup \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$
  • Если являются предварительными фильтрами (соответственно фильтрами на ), то является предварительным фильтром (соответственно фильтром) тогда и только тогда, когда он невырожден (или, говоря иначе, тогда и только тогда, когда сетка ), в этом случае он является одним из самых грубых предварительных фильтров (соответственно самым грубым фильтром) на , который тоньше (по отношению к ), чем оба это означает, что если является любым предварительным фильтром (соответственно любым фильтром) таким, что то обязательно ^[9] в этом случае он обозначается как ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}};}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vee {\mathcal {F}}.}$

Другие примеры

• Пусть и пусть что делает предфильтр и подбазу фильтра, которая не замкнута относительно конечных пересечений. Поскольку является предфильтром, наименьший предфильтр, содержащий является π -система, сгенерированная является В частности, наименьший предфильтр, содержащий подбазу фильтра, не равен множеству всех конечных пересечений множеств в Фильтр на сгенерированном является Все три π -системы порождают, и являются примерами фиксированных, главных, ультра предфильтров , которые являются главными в точке также является ультрафильтром на ${\displaystyle X=\{p,1,2,3\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\{p\},\{p,1,2\},\{p,1,3\}\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{\{p,1\}\}\cup {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}=\{S\subseteq X:p\in S\}=\{\{p\}\cup T~:~T\subseteq \{1,2,3\}\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle p;{\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X.}$
• Пусть будет топологическим пространством, и определите, где обязательно тоньше, чем ^[32] Если непусто (соответственно, невырождено, является подбазой фильтров, предфильтром, замкнуто относительно конечных объединений), то то же самое верно для Если является фильтром на , то является предфильтром, но не обязательно является фильтром на , хотя является фильтром на эквивалентно ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}:=\left\{\operatorname {cl} _{X}B~:~B\in {\mathcal {B}}\right\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left({\overline {\mathcal {B}}}\right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$
• Множество всех плотных открытых подмножеств (непустого) топологического пространства является собственной π -системой и, следовательно, также предфильтром. Если пространство является пространством Бэра , то множество всех счетных пересечений плотных открытых подмножеств является π -системой и предфильтром , который тоньше, чем Если (с ), то множество всех таких, что имеет конечную меру Лебега , является собственной π -системой и свободным предфильтром, который также является собственным подмножеством Предфильтры и эквивалентны и, следовательно, порождают тот же фильтр на Предфильтр надлежащим образом содержится в предфильтре, состоящем из всех плотных открытых подмножеств , и не эквивалентен ему Поскольку является пространством Бэра , каждое счетное пересечение множеств в плотно в (а также коэгре и нетощее), поэтому множество всех счетных пересечений элементов из является предфильтром и π -системой; оно также тоньше, и не эквивалентно ему ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 1\leq n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }.}$

Ультрафильтры

Существует множество других характеристик «ультрафильтра» и «ультрапредфильтра», которые перечислены в статье об ультрафильтрах . Важные свойства ультрафильтров также описаны в этой статье.

Непустое семейство множеств — это: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

8. Ультра ^{[8] [33],} есливыполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$
   1. Для каждого множества существует некоторое множество такое, что (или, что эквивалентно, такое, что ). ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq S{\text{ or }}B\subseteq X\setminus S}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing }$
   2. Для каждого множества существует некоторое множество такое, что ${\displaystyle S\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}B}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .}$
      • Эта характеристика « ультра» не зависит от набора , поэтому упоминание набора необязательно при использовании термина «ультра». ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$
   3. Для каждого множества (не обязательно даже подмножества ) существует некоторое множество такое, что ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .}$
9. Ultra prefilter ^{[8] [33]} если это prefilter, который также является ultra. Эквивалентно, это filter subbase, который является ultra. Prefilter является ultra тогда и только тогда, когда он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является максимальным по отношению к , что означает, что ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle \,\leq ,\,}$ $${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Prefilters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$$
   2. ${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$
      • Хотя это утверждение идентично приведенному ниже для ультрафильтров, здесь просто предполагается, что это предварительный фильтр; это не обязательно должен быть фильтр. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$является ультра (и, следовательно, ультрафильтром).
   4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$эквивалентно некоторому ультрафильтру.
   • Фильтрующая подбаза, которая является ультра, обязательно является предфильтром. Фильтрующая подбаза является ультра, если и только если она является максимальной фильтрующей подбазой относительно (как выше). ^[17] ${\displaystyle \,\leq \,}$
10. Ультрафильтр на ${\displaystyle X}$^{[8] [33]} если это фильтр на, который является ультра. Эквивалентно, ультрафильтр на— это фильтр, который удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$
    1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$генерируется ультрафильтром предварительной очистки.
    2. Для любого ^[17] ${\displaystyle S\subseteq X,S\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}X\setminus S\in {\mathcal {B}}.}$
    3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup (X\setminus {\mathcal {B}})=\wp (X).}$Это условие можно переформулировать так: разделяется и его двойственным ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}.}$
    4. Для любого если то (фильтр с таким свойством называется простым фильтром ). ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}}$
       • Это свойство распространяется на любое конечное объединение двух или более множеств.
    5. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является максимальным фильтром на ; это означает, что если является фильтром на , таким что , то обязательно (это равенство можно заменить на ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}{\text{ or by }}{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}}$
       • Если закрыто вверх, то Таким образом, эту характеристику ультрафильтров как максимальных фильтров можно переформулировать следующим образом: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}.}$ $${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$$
       • Поскольку подчинение для фильтров является аналогом «является подсетью/подпоследовательностью» (в частности, «подсеть» должна означать «AA-подсеть», что определено ниже), эта характеристика ультрафильтра как «максимально подчиненного фильтра» предполагает, что ультрафильтр можно интерпретировать как аналог некоторой «максимально глубокой сети» (что может, например, означать, что «если смотреть только из » в некотором смысле, он неотличим от своих подсетей, как в случае с любой сетью, оцененной в синглтонном множестве, например), ^{[примечание 5],} что является идеей, которая фактически сделана строгой ультрасетями . Лемма об ультрафильтре тогда является утверждением, что каждый фильтр («сеть») имеет некоторый подчиненный фильтр («подсеть»), который является «максимально подчиненным» («максимально глубоким»). ${\displaystyle \,\geq \,}$ ${\displaystyle X}$

Лемма об ультрафильтре

Следующая важная теорема принадлежит Альфреду Тарскому (1930). ^[34]

Лемма/принцип/теорема об ультрафильтре ^[28]  ( Тарский )  —  Каждый фильтр на множествеявляется подмножеством некоторого ультрафильтра на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Следствием леммы об ультрафильтре является то, что каждый фильтр равен пересечению всех ультрафильтров, содержащих его. ^[28] Предполагая аксиомы Цермело–Френкеля (ZF) , лемма об ультрафильтре следует из аксиомы выбора (в частности, из леммы Цорна ), но строго слабее ее. Лемма об ультрафильтре подразумевает аксиому выбора для конечных множеств. Если иметь дело только с хаусдорфовыми пространствами, то большинство основных результатов (встречающихся во вводных курсах) в топологии (таких как теорема Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств и теорема Александера о предбазе ) и в функциональном анализе (таких как теорема Хана–Банаха ) можно доказать, используя только лемму об ультрафильтре; полная сила аксиомы выбора может не потребоваться.

Ядра

Ядро полезно для классификации свойств предварительных фильтров и других семейств множеств.

Ядро ^[6] семейства множеств — это пересечение всех множеств, являющихся элементами ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:}$ $${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B}$$

Если то и этот набор также равен ядру π -системы, которая генерируется В частности, если является подбазой фильтра, то ядра всех следующих наборов равны: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle \ker \left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right)=\ker {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

(1) (2) π -система, сгенерированная и (3) фильтр, сгенерированный ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Если — это карта, то Эквивалентные семейства имеют равные ядра. Два главных семейства эквивалентны тогда и только тогда, когда их ядра равны. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\ker {\mathcal {B}})\subseteq \ker f({\mathcal {B}}){\text{ and }}f^{-1}(\ker {\mathcal {B}})=\ker f^{-1}({\mathcal {B}}).}$

Классификация семей по их ядрам

Семейство множеств — это: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

2. Бесплатно ^[7],еслиили, что эквивалентно, еслиэто можно переформулировать как ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\varnothing ,}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\subseteq {\mathcal {B}}^{\uparrow X};}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\leq {\mathcal {B}}.}$
   • Фильтр свободен тогда и только тогда, когда он бесконечен и включает фильтр Фреше в качестве подмножества. ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$
3. Фиксирован , еслив этом случаеговорят, что онфиксированлюбой точкой ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in \ker {\mathcal {B}}.}$
   • Любое фиксированное семейство обязательно является подбазой фильтра.
4. Принципал ^[7]если ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}.}$
   • Правильное главное семейство множеств обязательно является предварительным фильтром.
5. Дискретный илиглавный в ^[27],если ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}=\ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}.}$
   • Главный фильтр в ${\displaystyle x{\text{ on }}X}$ является фильтром Фильтр является главным в тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{x\}^{\uparrow X}.}$
6. Счетно глубоко , если всякий раз, когда есть счетное подмножество, то ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {C}}\in {\mathcal {B}}.}$

Если — главный фильтр, то и — также наименьший предварительный фильтр, который генерирует ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\ker {\mathcal {B}}\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \{\ker {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Семейство примеров: Для любого непустого семейство свободно, но является подбазой фильтра тогда и только тогда, когда никакое конечное объединение вида не покрывает , в этом случае фильтр, который он генерирует, также будет свободным. В частности, является подбазой фильтра, если является счетным (например, простые числа), тощим множеством в множестве конечной меры или ограниченным подмножеством Если является одноэлементным множеством, то является подбазой для фильтра Фреше на ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}=\{\mathbb {R} \setminus (r+C)~:~r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \left(r_{1}+C\right)\cup \cdots \cup \left(r_{n}+C\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Характеристика фиксированных ультрафильтров предварительной очистки

Если семейство множеств фиксировано (то есть ), то является ультра тогда и только тогда, когда некоторый элемент является синглтонным множеством, в этом случае обязательно будет предфильтром. Каждый главный предфильтр фиксирован, поэтому главный предфильтр является ультра тогда и только тогда, когда является синглтонным множеством. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}}$

Каждый фильтр на , который является главным в одной точке, является ультрафильтром, а если вдобавок является конечным, то нет никаких ультрафильтров на , кроме этих. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Следующая теорема показывает, что каждый ультрафильтр попадает в одну из двух категорий: либо он свободен, либо это главный фильтр, порожденный одной точкой.

Предложение  —  Если является ультрафильтром, то следующие утверждения эквивалентны: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$фиксировано или, что то же самое, не свободно, то есть ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$является главным, то есть ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}\in {\mathcal {F}}.}$
3. Некоторый элемент представляет собой конечное множество. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
4. Некоторый элемент представляет собой одноэлементное множество. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
5. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$является главным в какой-то момент, что означает для некоторых ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}=\{x\}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in X.}$
6. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$не содержит фильтр Фреше на ${\displaystyle X.}$
7. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$последовательный. ^[20]

Более тонкий/грубый, подчинение и сцепка

Предварительный порядок , который определяется ниже, имеет фундаментальное значение для использования предварительных фильтров (и фильтров) в топологии. Например, этот предварительный порядок используется для определения эквивалента предфильтра "подпоследовательности", ^[26] , где " " можно интерпретировать как " является подпоследовательностью " (поэтому "подчиненный" является предварительным эквивалентом "подпоследовательности"). Он также используется для определения сходимости предфильтра в топологическом пространстве. Определение сеток, с которыми тесно связано предварительный порядок, используется в топологии для определения точек кластера. ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle \,\leq ,}$

Два семейства наборов ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ сетка ^[8]исовместимы, что обозначается записью,еслиеслине сцепляются, то онидиссоциированы. Еслитоговорят, чтосцепляютсяеслисцепляются, или, что эквивалентно, если ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S\subseteq X{\text{ and }}{\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}\{S\}}$след которогоявляется семейством не содержит пустого множества, где след также называется ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S,}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}=\{B\cap S~:~B\in {\mathcal {B}}\},}$$ограничение​ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ to }}S.}$

Объявить, что указанное как является более грубым, чем и является более тонким, чем (или подчиненным ) ^{[28] [11] [12] [9] [20],} если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}},{\text{ and }}{\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$

1. Определение: Каждый включает в себя некоторые Явно это означает, что для каждого существует такой , что (таким образом, выполняется). ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\subseteq C}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\ni C\supseteq F\in {\mathcal {F}}}$
   • Говоря короче, если каждое множество в больше некоторого множества в Здесь «большее множество» означает надмножество. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
2. ${\displaystyle \{C\}\leq {\mathcal {F}}{\text{ for every }}C\in {\mathcal {C}}.}$
   • На словах утверждается, что оно больше некоторого множества в Эквивалентность (а) и (б) следует немедленно. ${\displaystyle \{C\}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$что эквивалентно ; ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}}$;
5. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$что эквивалентно ; ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}}$

и если вдобавок закрыто вверх, это означает, что тогда этот список можно расширить, включив: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$

6. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}.}$^[6]
   • Таким образом, в этом случае определение « тоньше , чем » было бы идентично топологическому определению «тоньше», если бы топологии были на ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$

Если замкнутое вверх семейство тоньше (то есть ), но тогда говорят, что оно строго тоньше и строго грубее ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\neq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

Два семейства сравнимы , если одно из них лучше другого. ^[28]

Пример : Если является подпоследовательностью , то подчиняется в символах: и также Говоря простым языком, предварительный фильтр хвостов подпоследовательности всегда подчиняется таковому исходной последовательности. Чтобы увидеть это, пусть будет произвольным (или, что эквивалентно, пусть будет произвольным), и остается показать, что этот набор содержит некоторые Для того, чтобы набор содержал его, достаточно иметь Поскольку являются строго возрастающими целыми числами, существует такое, что и поэтому выполняется, как и требовалось. Следовательно, Левая часть будет строгим/собственным подмножеством правой части, если (например) каждая точка уникальна (то есть когда является инъективной) и является четно-индексированной подпоследовательностью , потому что при этих условиях каждый хвост (для каждого ) подпоследовательности будет принадлежать фильтру правой стороны, но не фильтру левой стороны. ${\displaystyle x_{i_{\bullet }}=\left(x_{i_{n}}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right);}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)\vdash \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle C:=x_{\geq i}\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle F:=x_{i_{\geq n}}\in \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle x_{\geq i}=\left\{x_{i},x_{i+1},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{i_{n}},x_{i_{n+1}},\ldots \right\},}$ ${\displaystyle i\leq i_{n}.}$ ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle i_{n}\geq i,}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\supseteq x_{i_{\geq n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {TailsFilter} \left(x_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle x_{i_{\bullet }}}$ ${\displaystyle \left(x_{2},x_{4},x_{6},\ldots \right)}$ ${\displaystyle x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{2n},x_{2n+2},x_{2n+4},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Другой пример: если есть какое-либо семейство, то всегда выполняется и, кроме того, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}\leq \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\leq {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}\varnothing \in {\mathcal {B}}.}$

Непустое семейство, которое грубее подбазы фильтра, само должно быть подбазой фильтра. ^[9] Каждая подбаза фильтра грубее как π -системы, которую она порождает, так и фильтра, который она порождает. ^[9]

Если есть такие семьи, что семья является ультра, то есть обязательно ультра. Из этого следует, что любая семья, эквивалентная ультрасемейству, обязательно будет ультра . В частности, если есть предварительный фильтр, то либо обе и фильтр, который он генерирует, являются ультра, либо ни одна из них не является ультра. ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}}$

Отношение рефлексивно и транзитивно , что делает его предпорядком на [ ^35]. Отношение антисимметрично , но если имеет более одной точки, то оно не симметрично . ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)).}$ ${\displaystyle \,\leq \,{\text{ on }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle X}$

Эквивалентные семейства множеств

Предпорядок индуцирует свое каноническое отношение эквивалентности , где для всех эквивалентно , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ^{[9] [6]} ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}.}$
2. Закрытия вверх равны. ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$

Два замкнутых вверх (в ) подмножества эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны. ^[9] Если , то обязательно и эквивалентно Каждый класс эквивалентности, отличный от , содержит уникального представителя (то есть элемент класса эквивалентности), который замкнут вверх в ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle \varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$

Сохранение собственности между эквивалентными семьями

Пусть будет произвольным и пусть будет любым семейством множеств. Если эквивалентны (что подразумевает, что ), то для каждого из перечисленных ниже утверждений/свойств либо это верно для обоих , либо это ложно для обоих : ^[35] ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$

1. Не пусто
2. Правильный (то есть не является элементом) ${\displaystyle \varnothing }$
   • Более того, любые два вырожденных семейства обязательно эквивалентны.
3. Фильтр подосновы
4. Предварительный фильтр
   • В этом случае генерируется тот же фильтр (то есть их восходящие замыкания равны). ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
5. Бесплатно
6. Главный
7. Ультра
8. Равнозначен тривиальному фильтру ${\displaystyle \{X\}}$
   • На словах это означает, что единственное подмножество , эквивалентное тривиальному фильтру , — это тривиальный фильтр. В общем случае этот вывод о равенстве не распространяется на нетривиальные фильтры (исключение — когда оба семейства являются фильтрами). ${\displaystyle \wp (X)}$
9. Сетки с ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
10. Тоньше, чем ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
11. Грубее, чем ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
12. Эквивалентно ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

В приведенном выше списке отсутствует слово «фильтр», поскольку это свойство не сохраняется эквивалентностью. Однако, если есть фильтры, то они эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны; эта характеристика не распространяется на предварительные фильтры. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X,}$

Эквивалентность предварительных фильтров и подбаз фильтров

Если включен предварительный фильтр , то следующие семейства всегда эквивалентны друг другу: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$;
2. π - система , сгенерированная ; ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. фильтр, созданный ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

и более того, все эти три семейства генерируют один и тот же фильтр (то есть восходящие замыкания в этих семействах равны). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В частности, каждый предварительный фильтр эквивалентен фильтру, который он генерирует. По транзитивности два предварительных фильтра эквивалентны тогда и только тогда, когда они генерируют один и тот же фильтр. ^[9] Каждый предварительный фильтр эквивалентен ровно одному фильтру, на котором находится фильтр, который он генерирует (то есть восходящее замыкание предфильтра). Другими словами, каждый класс эквивалентности предварительных фильтров содержит ровно одного представителя, который является фильтром. Таким образом, фильтры можно рассматривать как просто различающиеся элементы этих классов эквивалентности предварительных фильтров. ^[9] ${\displaystyle X,}$

Подбаза фильтра, которая не является также предварительным фильтром, не может быть эквивалентна предварительному фильтру (или фильтру), который она генерирует. Напротив, каждый предварительный фильтр эквивалентен фильтру, который он генерирует. Вот почему предварительные фильтры могут, в общем и целом, использоваться взаимозаменяемо с фильтрами, которые они генерируют, тогда как подбазы фильтра не могут.

Теоретико-множественные свойства и конструкции, имеющие отношение к топологии

Трассировка и построение сетки

Если является предварительным фильтром (соотв. фильтром) на , то след которого является семейством является предварительным фильтром (соотв. фильтром) тогда и только тогда, когда сетка (то есть ^[28] ), в этом случае след называется индуцированным . След всегда тоньше исходного семейства; то есть, Если является ультра и если сетка , то след является ультра. Если является ультрафильтром на , то след является фильтром на , тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ and }}S\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}:={\mathcal {B}}(\cap )\{S\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap )\{S\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}.}$

Например, предположим, что фильтр на таков, что Тогда сетка и генерирует фильтр на , который строго тоньше, чем ^[28] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ and }}S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\neq X{\text{ and }}X\setminus S\not \in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup \{S\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Когда предварительные фильтры сцепляются

При наличии непустых семейств семейство удовлетворяет и Если является собственным (соответственно предварительным фильтром, подбазой фильтра), то это также верно для обоих Для того чтобы сделать какие-либо осмысленные выводы о том, что из должно быть собственным (то есть, что является мотивацией для определения «сетки»). В этом случае является предварительным фильтром (соответственно подбазой фильтра) тогда и только тогда, когда это верно для обоих. Иными словами, если являются предварительными фильтрами, то они сцепляются тогда и только тогда, когда является предварительным фильтром. Обобщение дает хорошо известную характеристику «сетки» исключительно в терминах подчинения (то есть, ): ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}:=\{B\cap C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},{\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

     Два предварительных фильтра (соответственно, подбазы фильтров) сцепляются тогда и только тогда, когда существует предварительный фильтр (соответственно, подбаза фильтров) такой, что и ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.}$

Если наименьшая верхняя граница двух фильтров существует, то эта наименьшая верхняя граница равна ^[36] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.}$

Образы и прообразы под функциями

Везде будут карты между непустыми множествами. ${\displaystyle f:X\to Y{\text{ and }}g:Y\to Z}$

Изображения предварительных фильтров

Пусть Многие из свойств, которые могут иметься, сохраняются при отображении карт; заметными исключениями являются замкнутость вверх, замкнутость при конечных пересечениях и фильтрация, которые не обязательно сохраняются. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Явно, если одно из следующих свойств верно для, то оно обязательно будет верно и для (хотя, возможно, не для области значений, если только не является сюръективным): ^{[28] [13] [37] [38] [ 39 ] [34]} ультра, ультрафильтр, фильтр, предфильтр, подбаза фильтра, дуальный идеал, замкнутый вверх, собственный/невырожденный, идеальный, замкнутый относительно конечных объединений, замкнутый вниз, направленный вверх. Более того, если является предфильтром, то и оба являются ^[28] Изображение под картой ультрамножества снова является ультра, а если является предфильтром, то и ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}Y,}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ on }}g(Y)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y)}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ and }}g^{-1}(g({\mathcal {B}})).}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}}).}$

Если является фильтром, то является фильтром на диапазоне , но является фильтром на области значений, если и только если является сюръективным. ^[37] В противном случае это просто предварительный фильтр на и его замыкание вверх должно быть принято для получения фильтра. Замыкание вверх есть, где если является замкнутым вверх в (то есть фильтром), то это упрощается до: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle g(Y),}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ in }}Z}$ $${\displaystyle g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~B\subseteq g^{-1}(S){\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\right\}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~g^{-1}(S)\in {\mathcal {B}}\right\}.}$$

Если тогда взять в качестве карты включения, то будет показано, что любой предварительный фильтр (соответственно, ультрапредварительный фильтр, подбаза фильтров) на также является предварительным фильтром (соответственно, ультрапредварительный фильтр, подбаза фильтров) на ^[28] ${\displaystyle X\subseteq Y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Прообразы предварительных фильтров

Пусть При предположении, что является сюръективным : ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

      ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$является предфильтром (соответственно подбазой фильтров, π -системой, замкнутой относительно конечных объединений, собственной) тогда и только тогда, когда это верно для ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Однако, если является ультрафильтром на , то даже если является сюръективным (что создало бы предварительный фильтр), тем не менее, предварительный фильтр все еще может не быть ни ультрафильтром, ни фильтром на ^[38] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X.}$ 

Если не сюръективно, то обозначим след через , где в этом частном случае след удовлетворяет: и, следовательно, также: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}f(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}=f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right)}$$ $${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})=f^{-1}\left({\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}\right).}$$

Последнее равенство и тот факт, что след представляет собой семейство множеств над означает, что для вывода выводов о следе можно использовать вместо , а сюръекцию можно использовать вместо Например: ^{[13] [28] [39]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y.}$

      ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$является предварительным фильтром (соответственно подбазой фильтра, π -системой, собственно) тогда и только тогда, когда это верно для ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}.}$

Таким образом, случай, когда не является (обязательно) сюръективным, можно свести к случаю сюръективной функции (что является случаем, описанным в начале этого подраздела). ${\displaystyle f}$

Даже если является ультрафильтром на , если не является сюръективным, то тем не менее возможно, что также сделает вырожденным. Следующая характеристика показывает, что вырождение является единственным препятствием. Если является предфильтром, то следующие эквивалентны: ^{[13] [28] [39]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$является предварительным фильтром;
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$является предварительным фильтром;
3. ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$;
4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$сетка с ${\displaystyle f(X)}$

и более того, если это предварительный фильтр, то это также ^{[13] [28]} ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right).}$

Если и если обозначает отображение включения, то след равен ^[28] Это наблюдение позволяет применить результаты этого подраздела к исследованию следа на множестве. ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle \operatorname {In} :S\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle \operatorname {In} ^{-1}({\mathcal {B}}).}$

Подчинение сохраняется посредством образов и прообразов.

Отношение сохраняется как относительно образов, так и относительно прообразов семейств множеств. ^[28] Это означает, что для любых семейств ^[39] ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}\quad {\text{ implies }}\quad g({\mathcal {C}})\leq g({\mathcal {F}})\quad {\text{ and }}\quad f^{-1}({\mathcal {C}})\leq f^{-1}({\mathcal {F}}).}$$

Более того, для любого семейства множеств всегда выполняются следующие соотношения : ^[39] где равенство будет выполняться, если является сюръективным. ^[39] Кроме того, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {C}})=f^{-1}\left(f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)\right)\quad {\text{ and }}\quad g({\mathcal {C}})=g\left(g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\right).}$$

Если то ^[20] и ^[39] где равенство будет иметь место, если является инъективным. ^[39] ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {C}}\subseteq \wp (Y)}$ $${\displaystyle f({\mathcal {B}})\leq {\mathcal {C}}\quad {\text{ if and only if }}\quad {\mathcal {B}}\leq f^{-1}({\mathcal {C}})}$$ ${\displaystyle g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g}$

Продукция предварительных фильтров

Предположим, что есть семейство из одного или нескольких непустых множеств, произведение которых будет обозначаться как и для каждого индекса пусть обозначает каноническую проекцию. Пусть будут непустыми семействами, также индексированными как , так что для каждого Произведение семейств ^[28] определяется идентично тому, как определяются базовые открытые подмножества топологии произведения (если бы все они были топологиями). То есть, обе нотации обозначают семейство всех цилиндрических подмножеств таких, что для всех, кроме конечного числа и где для любого из этих конечного числа исключений (то есть для любого такого, что обязательно ). Когда каждое является подбазой фильтров, то семейство является подбазой фильтров для фильтра на , сгенерированного ^[28] Если является подбазой фильтров, то фильтр на , который он генерирует, называется фильтром, сгенерированным . ^[28] Если каждый является предварительным фильтром для , то будет предварительным фильтром для и, более того, этот предварительный фильтр равен самому грубому предварительному фильтру, такому что для каждого ^[28] Однако может не быть фильтром для , даже если каждый является фильтром для ^[28] ${\displaystyle X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod _{}}X_{\bullet }:={\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i},}$ ${\displaystyle i\in I,}$ $${\displaystyle \Pr {}_{X_{i}}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }:=\left({\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}\subseteq \wp \left(X_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ $${\displaystyle \prod _{}{\mathcal {B}}_{\bullet }=\prod _{i\in I}{\mathcal {B}}_{i}}$$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}S_{i}\subseteq {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle S_{i}=X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S_{i}\neq X_{i},}$ ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}\Pr {}_{X_{i}}^{-1}\left({\mathcal {B}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }.}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }{\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }{\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}{\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle \Pr {}_{X_{i}}({\mathcal {F}})={\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }{\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$

Конвергенция, пределы и точки кластеризации

Везде есть топологическое пространство . ${\displaystyle (X,\tau )}$

Предварительные фильтры против фильтров

Что касается карт и подмножеств, свойство быть предфильтром в целом лучше себя ведет и лучше сохраняется, чем свойство быть фильтром. Например, образ предфильтра при некотором отображении снова является предфильтром; но образ фильтра при не сюръективном отображении никогда не является фильтром в области значений, хотя он будет предфильтром. То же самое касается и предобразов при не инъективных отображениях (даже если отображение сюръективно). Если является собственным подмножеством, то любой фильтр на не будет фильтром на , хотя он будет предфильтром. ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$

Одним из преимуществ фильтров является то, что они являются выделенными представителями своего класса эквивалентности (относительно ), что означает, что любой класс эквивалентности предфильтров содержит уникальный фильтр. Это свойство может быть полезным при работе с классами эквивалентности предфильтров (например, они полезны при построении пополнений равномерных пространств с помощью фильтров Коши). Многие свойства, характеризующие ультрафильтры, также часто полезны. Они используются, например, для построения компактификации Стоуна–Чеха . Использование ультрафильтров обычно требует предположения леммы об ультрафильтрах. Но во многих областях, где предполагается аксиома выбора (или теорема Хана–Банаха ), лемма об ультрафильтрах обязательно выполняется и не требует дополнительного предположения. ${\displaystyle \,\leq }$

Заметка об интуиции

Предположим, что неглавный фильтр на бесконечном множестве имеет одно свойство «вверх» (то есть быть замкнутым вверх) и одно свойство «вниз» (то есть быть направленным вниз). Начиная с любого всегда существует некоторое , которое является собственным подмножеством ; это можно продолжать до бесконечности, чтобы получить последовательность множеств в , каждое из которых является собственным подмножеством . То же самое неверно при движении «вверх», поскольку если тогда нет множества в , которое содержит в качестве собственного подмножества. Таким образом, когда дело доходит до ограничения поведения (что является центральной темой в области топологии), движение «вверх» приводит к тупику, в то время как движение «вниз» обычно плодотворно. Таким образом, чтобы получить понимание и интуицию о том, как фильтры (и предварительный фильтр) связаны с концепциями в топологии, обычно следует сосредоточиться на свойстве «вниз». Вот почему так много топологических свойств можно описать, используя только предварительные фильтры, а не требуя фильтров (которые отличаются от предварительных фильтров только тем, что они также замкнуты вверх). Свойство "вверх" фильтров менее важно для топологической интуиции, но иногда полезно иметь его по техническим причинам. Например, в отношении каждого фильтра подбаза содержится в уникальном наименьшем фильтре, но может не существовать уникального наименьшего предварительного фильтра, содержащего его. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{0}\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle F_{1}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle F_{0}\supsetneq F_{1}\supsetneq \cdots }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{i+1}}$ ${\displaystyle F_{i}.}$ ${\displaystyle F_{0}=X\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\subseteq ,}$

Пределы и конвергенция

Говорят, что      семья ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$сходятся в ${\displaystyle (X,\tau )}$точке^[8],еслиЯвноозначает, что каждая окрестностьсодержит некоторуюв качестве подмножества (то есть); таким образом, тогда выполняется следующее:На словах семейство сходится к точке или подмножествутогда и только тогда, когда онотоньшефильтра окрестности в Семейство,сходящееся к точке,можно обозначить, написав^[32]и сказав, чтоявляется ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\geq {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\leq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N{\text{ of }}x}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq N}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\ni N\supseteq B\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ or }}\lim {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle x}$предел ,если этот пределявляется точкой (а не подмножеством), тотакже называется ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X;}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$предельная точка .^[40]Как обычно,определяется как означающая, чтоиявляетсяединственнойпредельной точкой ,которая есть, если также^[32] (Если бы обозначение "" также не требовало, чтобы предельная точкабыла уникальной, тознак равенства= больше не гарантировал бытранзитивность). Множество всех предельных точекобозначается как^[8] ${\displaystyle \lim {\mathcal {B}}=x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}};}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to z{\text{ then }}z=x.}$ ${\displaystyle \lim {\mathcal {B}}=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \lim {}_{X}{\mathcal {B}}{\text{ or }}\lim {\mathcal {B}}.}$

В приведенных выше определениях достаточно проверить, что тоньше некоторой (или, что эквивалентно, тоньше любой) окрестности точки (например, такой как или когда ). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau (x)=\{U\in \tau :x\in U\}}$ ${\displaystyle \tau (S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}\tau (s)}$ ${\displaystyle S\neq \varnothing }$

Примеры

Если — евклидово пространство и обозначает евклидову норму (которая является расстоянием от начала координат, определяемым как обычно), то все следующие семейства сходятся к началу координат: ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \|x\|}$

1. предварительный фильтр всех открытых шаров с центром в начале координат, где ${\displaystyle \{B_{r}(0):0<r\leq 1\}}$ ${\displaystyle B_{r}(z)=\{x:\|x-z\|<r\}.}$
2. предварительный фильтр всех замкнутых шаров с центром в начале координат, где Этот предварительный фильтр эквивалентен предыдущему. ${\displaystyle \{B_{\leq r}(0):0<r\leq 1\}}$ ${\displaystyle B_{\leq r}(z)=\{x:\|x-z\|\leq r\}.}$
3. предварительный фильтр , где представляет собой объединение сфер с центром в начале координат, имеющих постепенно уменьшающиеся радиусы. Это семейство состоит из множеств как диапазонов по положительным целым числам. ${\displaystyle \{R\cap B_{\leq r}(0):0<r\leq 1\}}$ ${\displaystyle R=S_{1}\cup S_{1/2}\cup S_{1/3}\cup \cdots }$ ${\displaystyle S_{r}=\{x:\|x\|=r\}}$ ${\displaystyle S_{1/n}\cup S_{1/(n+1)}\cup S_{1/(n+2)}\cup \cdots }$ ${\displaystyle n}$
4. любое из семейств, приведенных выше, но с радиусом, изменяющимся по (или по любой другой положительной убывающей последовательности), а не по всем положительным действительным числам. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1,\,1/2,\,1/3,\,1/4,\ldots }$
   • Рисование или представление любой из этих последовательностей множеств, когда имеет размерность, предполагает, что интуитивно эти множества «должны» сходиться к началу координат (и действительно так и происходит). Это интуиция, которую приведенное выше определение «сходящегося предварительного фильтра» делает строгой. ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle n=2}$

Хотя предполагалось, что это евклидова норма , пример выше остается справедливым для любой другой нормы на ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Единственная предельная точка в свободного предварительного фильтра — это , поскольку каждый открытый шар вокруг начала координат содержит некоторый открытый интервал этой формы. Фиксированный предварительный фильтр не сходится в ни к какой точке и, таким образом , хотя сходится к множеству , поскольку Однако не каждый фиксированный предварительный фильтр сходится к своему ядру. Например, фиксированный предварительный фильтр также имеет ядро , но не сходится (в ) к нему. ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(0,r):r>0\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{[0,1+r):r>0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lim {\mathcal {B}}=\varnothing ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=[0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}([0,1])\leq {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \{[0,1+r)\cup (1+1/r,\infty ):r>0\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Свободный предфильтр интервалов не сходится (в ) ни к какой точке. То же самое относится и к предфильтру, поскольку он эквивалентен и эквивалентные семейства имеют те же пределы. Фактически, если — любой предфильтр в любом топологическом пространстве , то для каждого Более обобщенно, поскольку единственная окрестность — это он сам (то есть ), каждое непустое семейство (включая каждую подбазу фильтра) сходится к ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty ):=\{(r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [\mathbb {R} ,\infty ):=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to S.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)=\{X\}}$ ${\displaystyle X.}$

Для любой точки его соседний фильтр всегда сходится к Более обобщенно, любой соседний базис в сходится к Точка всегда является предельной точкой принципиального ультрапредфильтра и ультрафильтра, который он генерирует. Пустое семейство не сходится ни к какой точке. ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\to x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{\{x\}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\varnothing }$

Основные свойства

Если сходится к точке, то то же самое верно для любого семейства, более тонкого, чем Это имеет много важных последствий. Одним из следствий является то, что предельные точки семейства совпадают с предельными точками его восходящего замыкания: В частности, предельные точки предфильтра совпадают с предельными точками фильтра, который он генерирует. Другое следствие заключается в том, что если семейство сходится к точке, то то же самое верно для следа/ограничения семейства для любого заданного подмножества Если является предфильтром и затем сходится к точке тогда и только тогда, когда это верно для следа ^[41] Если подбаза фильтра сходится к точке, то выполните фильтр и π -систему, которую он генерирует, хотя обратное не гарантируется. Например, подбаза фильтра не сходится к в, хотя (принцип ультра)фильтр, который он генерирует, сходится. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}~=~\operatorname {lim} _{X}\left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right).}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{B}.}$ ${\displaystyle \{(-\infty ,0],[0,\infty )\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$

Учитывая, что следующие условия эквивалентны для предварительного фильтра ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$сходится к ${\displaystyle x.}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$сходится к ${\displaystyle x.}$
3. Существует эквивалентное семейство , которое сходится к ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$

Поскольку подчинение транзитивно, если и более того, для каждого и максимального/ультрафильтра сходятся к Таким образом, каждое топологическое пространство индуцирует каноническую сходимость, определяемую с помощью С другой стороны, фильтр соседства является наименьшим (то есть самым грубым) фильтром на , который сходится к , то есть любой фильтр, сходящийся к , должен содержать в качестве подмножества. Иными словами, семейство фильтров, которые сходятся к , состоит в точности из тех фильтров на , которые содержат в качестве подмножества. Следовательно, чем тоньше топология на , тем меньше существует предварительных фильтров, которые имеют какие-либо предельные точки в ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}{\text{ then }}\lim {}_{X}{\mathcal {B}}\subseteq \lim {}_{X}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \xi \subseteq X\times \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle (x,{\mathcal {B}})\in \xi {\text{ if and only if }}x\in \lim {}_{(X,\tau )}{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Точки кластера

Говорят, что семейство кластеризуется в точке , если оно соответствует фильтру соседства , то есть, если Явно это означает, что и каждое соседство , В частности, точка является ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle B\cap N\neq \varnothing {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x\in X}$точка кластера илиточка накопления семейства^[8],еслиона совпадает с фильтром соседства вМножество всех точек кластераобозначается как, где нижний индекс может быть опущен, если он не нужен. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x:\ {\mathcal {B}}\#{\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}},}$

В приведенных выше определениях достаточно проверить, что сцепляется с некоторой (или, что эквивалентно, сцепляется с каждой) соседней базой в из Когда является предварительным фильтром, то определение « сетки» можно охарактеризовать полностью в терминах предпорядка подчинения ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x{\text{ or }}S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \,\leq \,.}$

Два эквивалентных семейства множеств имеют точно такие же предельные точки, а также одинаковые точки кластера. Независимо от топологии, для каждого и главного кластера ультрафильтра в Если кластеризуется в точку, то то же самое верно для любого семейства, более грубого, чем Следовательно, точки кластера семейства совпадают с точками кластера его восходящего замыкания: В частности, точки кластера предварительного фильтра совпадают с точками кластера фильтра, который он генерирует. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}~=~\operatorname {cl} _{X}\left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right).}$$

Для предварительного фильтра эквивалентны следующие условия : ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$кластеры в ${\displaystyle x.}$
2. Семейство, созданное кластерами в ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$
3. Существует эквивалент семейства, которое группируется в ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$
4. ${\displaystyle x\in {\textstyle \bigcap \limits _{F\in {\mathcal {B}}}}\operatorname {cl} _{X}F.}$^[42]
5. ${\displaystyle X\setminus N\not \in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$для каждого района ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x.}$
   • Если фильтр включен , то для каждого района ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}X\setminus N\not \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N{\text{ of }}x.}$
6. Существует предварительный фильтр, подчиненный (то есть ), который сходится к ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$
   • Это эквивалент фильтра « является точкой кластера последовательности тогда и только тогда, когда существует подпоследовательность, сходящаяся к ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
   • В частности, если является точкой кластера предварительного фильтра , то является подчиненным предварительным фильтром , который сходится к ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$

Множество всех точек кластера предфильтра удовлетворяет Следовательно, множество всех точек кластера любого предфильтра является замкнутым подмножеством ^{[43] [8]} Это также оправдывает обозначение для множества точек кластера. ^[8] В частности, если непусто (так что является предфильтром), то поскольку обе стороны равны ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\operatorname {cl} _{X}B.}$$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{K\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{K\}=\operatorname {cl} _{X}K}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\operatorname {cl} _{X}B.}$

Свойства и отношения

Подобно последовательностям и сетям, предварительный фильтр в топологическом пространстве бесконечной мощности может не иметь точек кластеризации или предельных точек. ^[43]

Если является предельной точкой , то обязательно является предельной точкой любого семейства, более мелкого , чем (то есть, если , то ). ^[43] Напротив, если является точкой скопления , то обязательно является точкой скопления любого семейства, более грубого , чем (то есть, если сетка и то сетка). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}{\mathcal {C}}}$

Эквивалентные семьи и подчинение

Любые два эквивалентных семейства могут быть использованы взаимозаменяемо в определениях «предела» и «кластера в», поскольку их эквивалентность гарантирует, что если и только если и также, что если и только если По сути, предпорядок неспособен различать эквивалентные семейства. Если даны два предварительных фильтра, то независимо от того, сцепляются ли они или нет, их можно охарактеризовать исключительно в терминах подчинения. Таким образом, два самых фундаментальных понятия, связанных с (пред)фильтрами в топологии (то есть предельные и кластерные точки), могут быть определены исключительно в терминах отношения подчинения. Вот почему предпорядок имеет такое большое значение в применении (пред)фильтров в топологии. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\leq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\leq {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\#{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\#{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

Предельные и кластерные точечные соотношения и достаточные условия

Каждая предельная точка невырожденного семейства также является точкой кластера; в символах: Это происходит потому, что если является предельной точкой то сетки, ^{[19] [43]} что делает точку кластера ^[8] Но в общем случае точка кластера не обязательно должна быть предельной точкой. Например, каждая точка в любом заданном непустом подмножестве является точкой кластера главного предварительного фильтра (независимо от топологии ), но если является Хаусдорфовым и имеет более одной точки, то этот предварительный фильтр не имеет предельных точек; то же самое верно для фильтра, который генерирует этот предварительный фильтр. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{K\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{K\}^{\uparrow X}}$

Однако каждая точка кластера ультра предварительного фильтра является предельной точкой. Следовательно, предельные точки ультра предварительного фильтра совпадают с его точками кластера: то есть заданная точка является точкой кластера ультра предварительного фильтра тогда и только тогда, когда сходится к этой точке. ^{[33] [44]} Хотя точка кластера фильтра не обязательно должна быть предельной точкой, всегда будет существовать более тонкий фильтр, который сходится к ней; в частности, если кластеры в то есть подбаза фильтра, сгенерированный фильтр которой сходится к ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}=\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}};}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {N}}(x)=\{B\cap N:B\in {\mathcal {B}},N\in {\mathcal {N}}(x)\}}$ ${\displaystyle x.}$

Если — подбаза фильтра, такая что то В частности, любая предельная точка подбазы фильтра, подчиненная, обязательно является также точкой кластеризации Если — точка кластеризации предфильтра , то — предфильтр, подчиненный , который сходится к ${\displaystyle \varnothing \neq {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {S}}\geq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\to x{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x{\text{ in }}X.}$

Если и если является предварительным фильтром на , то каждая точка кластера принадлежит и любая точка в является предельной точкой фильтра на ^[43] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S.}$

Примитивные множества

Подмножество называется ${\displaystyle P\subseteq X}$примитивно ^[45],если оно является множеством предельных точек некоторого ультрафильтра (или, что эквивалентно, некоторого ультрапредфильтра). То есть, если существует ультрафильтртакой, чторавен, который обозначает множество предельных точекПоскольку предельные точки совпадают с точками кластера для ультрапредфильтров, подмножество является примитивным тогда и только тогда, когда оно равно множествуточек кластера некоторого ультрапредфильтра Например, каждое замкнутое одноэлементное подмножество является примитивным.^[45]Изображение примитивного подмножествапри непрерывном отображениисодержится в примитивном подмножестве^[45] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y.}$

Предположим, что есть два примитивных подмножества Если есть открытое подмножество , которое пересекается , то для любого ультрафильтра такого, что ^[45] Кроме того, если различны, то существуют некоторые и некоторые ультрафильтры такие, что и ^[45] ${\displaystyle P,Q\subseteq X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle P=\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle P{\text{ and }}Q}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{P}{\text{ and }}{\mathcal {B}}_{Q}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle P=\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}_{P},Q=\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}_{Q},S\in {\mathcal {B}}_{P},}$ ${\displaystyle X\setminus S\in {\mathcal {B}}_{Q}.}$

Другие результаты

Если — полная решетка , то: ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle X}$

• Нижний предел — это нижняя грань множества всех точек кластера ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B.}$
• Верхний предел — это верхняя граница множества всех точек кластера ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B.}$
• ${\displaystyle B}$является сходящимся предварительным фильтром тогда и только тогда, когда его нижний и верхний пределы совпадают; в этом случае значение, по которому они совпадают, является пределом предварительного фильтра.

Пределы функций, определяемые как пределы предварительных фильтров

Предположим, что есть отображение множества в топологическое пространство и Если есть предельная точка (соответственно, точка скопления) для , то называется предельной точкой или пределом (соответственно, точкой скопления ) для относительно ^[43] Явно, есть предел относительно , ​​если и только если , который можно записать как (по определению этой нотации) и указать как стремящийся к вдоль ^[46] Если предел уникален, то стрелку можно заменить знаком равенства ^[32] Фильтр соседства можно заменить любым эквивалентным ему семейством, и то же самое верно для ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle y\in Y.}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}}){\text{ in }}Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(y)\leq f({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to y{\text{ or }}\lim f({\mathcal {B}})\to y{\text{ in }}Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle =.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Определение сходящейся сети является частным случаем приведенного выше определения предела функции. В частности, если есть сеть, то где левая часть утверждает, что есть предел сети, а правая часть утверждает, что есть предел функции относительно (как только что определено выше). ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}\chi :(I,\leq )\to X}$ $${\displaystyle \chi \to x{\text{ in }}X\quad {\text{ if and only if }}\quad \chi (\operatorname {Tails} (I,\leq ))\to x{\text{ in }}X,}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\operatorname {Tails} (I,\leq )}$

В таблице ниже показано, как различные типы пределов, встречающиеся в анализе и топологии, могут быть определены в терминах сходимости изображений (при ) конкретных предварительных фильтров в области. Это показывает, что предварительные фильтры обеспечивают общую структуру, в которую вписываются многие из различных определений пределов. ^[41] Пределы в крайнем левом столбце определены обычным образом с помощью их очевидных определений. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$

Пусть повсюду будет отображением между топологическими пространствами, Если является хаусдорфовым, то все стрелки " " в таблице можно заменить знаками равенства " " , а " " можно заменить на " ". ^[32] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{0}\in X,{\text{ and }}y\in Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \to y}$ ${\displaystyle =y}$ ${\displaystyle \lim f({\mathcal {B}})\to y}$ ${\displaystyle \lim f({\mathcal {B}})=y}$

Определяя различные предварительные фильтры, можно определить множество других понятий пределов, например: ${\displaystyle \lim _{\stackrel {|x|\to |x_{0}|}{|x|\neq |x_{0}|}}f(x)\to y.}$

Расходимость в бесконечность

Расходимость действительной функции к бесконечности можно определить/охарактеризовать с помощью предварительных фильтров , где вдоль тогда и только тогда, когда и аналогично, вдоль тогда и только тогда, когда Семейство можно заменить любым эквивалентным ему семейством, например, таким как (в реальном анализе это соответствовало бы замене строгого неравенства " " в определении на " "), и то же самое верно для и $${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty ):=\{(r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}~~{\text{ and }}~~(-\infty ,\mathbb {R} ):=\{(-\infty ,r):r\in \mathbb {R} \},}$$ ${\displaystyle f\to \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty )\leq f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f\to -\infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (-\infty ,\mathbb {R} )\leq f({\mathcal {B}}).}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty )}$ ${\displaystyle [\mathbb {R} ,\infty ):=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle f(x)>r}$ ${\displaystyle f(x)\geq r}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (-\infty ,\mathbb {R} ).}$

Так, например, если тогда и только тогда, когда выполняется. Аналогично, если и только тогда, когда или, что эквивалентно, если и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,:=\,{\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)\to \infty }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty )\leq f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)\to -\infty }$ ${\displaystyle (-\infty ,\mathbb {R} )\leq f\left({\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right),}$ ${\displaystyle (-\infty ,\mathbb {R} ]\leq f\left({\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right).}$

В более общем случае, если имеет значение в (или некотором другом полунормированном векторном пространстве ), и если то тогда и только тогда, когда выполняется, где ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{n}{\text{ or }}Y=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle B_{\geq r}:=\{y\in Y:|y|\geq r\}=Y\setminus B_{<r}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}|f(x)|\to \infty }$ ${\displaystyle B_{\geq \mathbb {R} }\leq f\left({\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right)}$ ${\displaystyle B_{\geq \mathbb {R} }:=\left\{B_{\geq r}:r\in \mathbb {R} \right\}.}$

Фильтры и сетки

В этом разделе будут подробно описаны взаимоотношения между предварительными фильтрами и сетями, поскольку эти детали важны при применении фильтров к топологии, особенно при переходе от использования сетей к использованию фильтров и наоборот.

Сетки для предварительных фильтров

В определениях ниже первое утверждение представляет собой стандартное определение предельной точки сети (соответственно, точки кластера сети), и оно постепенно переформулируется до тех пор, пока не будет достигнута соответствующая концепция фильтра.

Говорят, что сеть ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$сходится к точке,записаннойиназывается пределом или предельной точкой [ ^47], если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet },}$

1. Определение: Для каждого существует такое , что если ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x),}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle i\leq j\in I{\text{ then }}x_{j}\in N.}$
2. Для каждого существует такое , что хвост, начинающийся с , содержится в (то есть такое, что ). ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x),}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq N}$
3. Для каждого существует такое , что ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x),}$ ${\displaystyle B\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle B\subseteq N.}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(x)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$
5. ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\to x{\text{ in }}X;}$то есть предварительный фильтр сходится к ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle x.}$

Как обычно, определяется так, что и является единственной предельной точкой того, что есть, если также ^[47] ${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet };}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to z{\text{ then }}z=x.}$

Точка называется ${\displaystyle x\in X}$кластер или точка накопления сети,если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}{\text{ in }}(X,\tau )}$

1. Определение: Для каждого и каждого существует такое , что ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle i\leq j\in I}$ ${\displaystyle x_{j}\in N.}$
2. Для каждого и каждого хвост начала в пересекается (то есть, ). ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\cap N\neq \varnothing }$
3. Для каждого и каждого ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle B\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right),B\cap N\neq \varnothing .}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(x){\text{ and }}\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$сетка (по определению «сетка»).
5. ${\displaystyle x}$является точкой скопления ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$

Если — карта и — сеть, то ^[3] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(f\left(x_{\bullet }\right)\right)=f\left(\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\right).}$

Предварительные фильтры для сетей

Пунктирное множество — это пара, состоящая из непустого множества и элемента. Для любого семейства пусть ${\displaystyle (S,s)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ $${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}):=\{(B,b)~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}b\in B\}.}$$

Определите канонический предварительный порядок на указанных множествах, объявив ${\displaystyle \,\leq \,}$ $${\displaystyle (R,r)\leq (S,s)\quad {\text{ if and only if }}\quad R\supseteq S.}$$

Существует каноническое отображение, определенное следующим образом: Если тогда хвост присваивания, начинающегося с, равен ${\displaystyle \operatorname {Point} _{\mathcal {B}}~:~\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b.}$ ${\displaystyle i_{0}=\left(B_{0},b_{0}\right)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Point} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle \left\{c~:~(C,c)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}){\text{ and }}\left(B_{0},b_{0}\right)\leq (C,c)\right\}=B_{0}.}$

Хотя в общем случае это не частично упорядоченный набор, это направленный набор, если (и только если) является предфильтром. Поэтому наиболее непосредственным выбором для определения "сети, индуцированной предфильтром ", является назначение из в ${\displaystyle (\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X.}$

Если включен предварительный фильтр , то сеть, связанная с ним, является картой ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}:\;&&(\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )&&\,\to \;&X\\&&(B,b)&&\,\mapsto \;&b\\\end{alignedat}}}$$

то есть, ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}(B,b):=b.}$

Если это предварительный фильтр на является сетью в и предварительный фильтр, связанный с является ; то есть: ^{[примечание 6]} Это не обязательно было бы верно, если бы было определено на надлежащем подмножестве ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}.}$$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}).}$

Если — сеть в , то в общем случае неверно, что равно , поскольку, например, область определения может иметь совершенно иную мощность, чем область определения (поскольку в отличие от области определения область определения произвольной сети в может иметь любую мощность). ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)},}$ ${\displaystyle X}$

Предложение  —  Если есть предварительный фильтр и тогда ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ if and only if }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\to x.}$
2. ${\displaystyle x}$является точкой кластера тогда и только тогда, когда является точкой кластера ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Доказательство

Напомним, что и что если является сетью в то (1) и (2) является точкой скопления тогда и только тогда, когда является точкой скопления Из этого следует, что Также следует, что является точкой скопления тогда и только тогда, когда является точкой скопления тогда и только тогда, когда является точкой скопления ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x{\text{ if and only if }}\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\to x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:=\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right),}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)\to x\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\to x.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Частично упорядоченная сеть

Область канонической сети в общем случае не является частично упорядоченной. Однако в 1955 году Брунс и Шмидт открыли ^[48] конструкцию (подробно описанную здесь: Фильтр (теория множеств)#Частично упорядоченная сеть ), которая позволяет канонической сети иметь область, которая является как частично упорядоченной, так и направленной; это было независимо переоткрыто Альбертом Вилански в 1970 году. ^[3] Поскольку хвосты этой частично упорядоченной сети идентичны хвостам (поскольку оба равны предварительному фильтру ), обычно ничего не теряется, если предположить, что область сети, связанная с предварительным фильтром, является как направленной , так и частично упорядоченной. ^[3] Если далее предположить, что частично упорядоченная область также является плотным порядком . ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Подчиненные фильтры и подсети

Понятие « подчиняется » (пишется ) для фильтров и предфильтров то же, что « является подпоследовательностью » для последовательностей. ^[26] Например, если обозначает множество хвостов и если обозначает множество хвостов подпоследовательности ( где ) то (что по определению означает ) является истинным, но в общем случае ложным. Если — сеть в топологическом пространстве , а если — фильтр соседства в точке , то ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{n_{\bullet }}=\left(x_{n_{i}}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)=\left\{x_{\geq i}:i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)=\left\{x_{n_{\geq i}}:i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle x_{n_{\bullet }}}$ ${\displaystyle x_{n_{\geq i}}:=\left\{x_{n_{j}}~:~j\geq i{\text{ and }}j\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x{\text{ if and only if }}{\mathcal {N}}(x)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$

Если — сюръективное открытое отображение, а — предварительный фильтр на , который сходится к , то существует предварительный фильтр на , такой что и эквивалентен (то есть, ). ^[49] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq f({\mathcal {B}})\leq {\mathcal {C}}}$

Подчинительные аналоги результатов, включающие подпоследовательности

Следующие результаты являются аналогами предфильтра для утверждений, включающих подпоследовательности. ^[50] Условие " ", которое также записывается, является аналогом " является подпоследовательностью " Таким образом, "точнее, чем" и "подчиненный" являются аналогом предфильтра "подпоследовательности". Некоторые люди предпочитают говорить "подчиненный" вместо "точнее, чем", потому что это больше напоминает "подпоследовательность". ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\vdash {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Предложение ^{[50] [43]}  —  Пусть будет предварительным фильтром на и пусть ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X.}$

1. Предположим, что есть предварительный фильтр, такой что ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}.}$
   1. Если тогда ^{[доказательство 1]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to x.}$
      • Это аналог фразы «если последовательность сходится к , то так же сходится и каждая подпоследовательность». ${\displaystyle x}$
   2. Если это точка кластера, то это точка кластера ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
      • Это аналог выражения «если является точкой скопления некоторой подпоследовательности, то является точкой скопления исходной последовательности». ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$тогда и только тогда, когда для любого более тонкого предварительного фильтра существует еще более тонкий предварительный фильтр, такой что ^[43] ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x.}$
   • Это аналог фразы «последовательность сходится к тогда и только тогда, когда каждая подпоследовательность имеет подподпоследовательность, которая сходится к ». ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
3. ${\displaystyle x}$является точкой кластера тогда и только тогда, когда существует более тонкий предварительный фильтр, такой что ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to x.}$
   • Это аналог следующего ложного утверждения: « является точкой скопления последовательности тогда и только тогда, когда она имеет подпоследовательность, которая сходится к » (то есть тогда и только тогда, когда является конечным пределом ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
   • Аналог для последовательностей ложен, поскольку существует топология Хаусдорфа на и последовательность в этом пространстве (обе определены здесь ^{[примечание 7] [51]} ), которая кластеризуется в , но также не имеет подпоследовательности, которая сходится к ^[52] ${\displaystyle X:=[\mathbb {N} \times \mathbb {N} ]\cup \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (0,0).}$

Неэквивалентность подсетей и подчиненных фильтров

Подсети в смысле Уилларда и подсети в смысле Келли являются наиболее часто используемыми определениями « подсети ». ^[53] Первое определение подсети («Kelley-subnet») было введено Джоном Л. Келли в 1955 году. ^[53] Стивен Уиллард ввел в 1970 году свой собственный вариант («Willard-subnet») определения подсети Келли. ^[53] AA-подсети были введены независимо Смайли (1957), Аарнесом и Анденаесом (1972) и Мурдешваром (1983); AA-подсети были подробно изучены Аарнесом и Анденаесом, но они нечасто используются. ^[53]

Подмножество предупорядоченного пространства — это ${\displaystyle R\subseteq I}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$частый или конфинальный в ,если для каждогосуществует такой, чтоЕслисодержит хвост, тоговорят , что ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle i\leq r.}$ ${\displaystyle R\subseteq I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$конечный в}}; явно, это означает, что существует некоторыйтакой, что(то есть,для всехудовлетворяющих). Подмножество является конечным тогда и только тогда, когда его дополнение не является частым (что называется ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle I_{\geq i}\subseteq R}$ ${\displaystyle j\in R}$ ${\displaystyle j\in I}$ ${\displaystyle i\leq j}$нечасто ).^[53] Картамежду двумя предупорядоченными наборами — это ${\displaystyle h:A\to I}$сохранение порядка если когда-либоудовлетворяеттогда ${\displaystyle a,b\in A}$ ${\displaystyle a\leq b,}$ ${\displaystyle h(a)\leq h(b).}$

Определения : Пусть будут сети. Тогда ^[53] ${\displaystyle S=S_{\bullet }~:~(A,\leq )\to X{\text{ and }}N=N_{\bullet }~:~(I,\leq )\to X}$

1. ${\displaystyle S_{\bullet }}$этоПодсеть Уилларда илиподсеть в смысле Уилларда,если существует сохраняющее порядок отображениетакое, чтоявляется конфинальным в ${\displaystyle N_{\bullet }}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle S=N\circ h{\text{ and }}h(A)}$ ${\displaystyle I.}$
2. ${\displaystyle S_{\bullet }}$этоКелли-подсеть илиподсетьв смысле Келли,если существует отображениетакое, чтои всякий раз, когдаявляется конечным в, тоявляется конечным в ${\displaystyle N_{\bullet }}$ ${\displaystyle h~:~A\to I}$ ${\displaystyle S=N\circ h}$ ${\displaystyle E\subseteq I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle h^{-1}(E)}$ ${\displaystyle A.}$
3. ${\displaystyle S_{\bullet }}$этоAA-подсеть илиподсетьв смысле Аарнеса и Анденаеса,если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle N_{\bullet }}$
   1. ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right).}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {TailsFilter} \left(N_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(S_{\bullet }\right).}$
   3. Если это возможно в, это возможно в ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I{\text{ then }}S^{-1}(N(J))}$ ${\displaystyle A.}$
   4. Для любой сетки подмножества, то же самое сделайте ${\displaystyle R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}.}$
   5. Для любого подмножества ${\displaystyle R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right)\leq \{R\}{\text{ then }}\operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \{R\}.}$

Келли не требовал, чтобы отображение сохраняло порядок, в то время как определение AA-подсети полностью устраняет любое отображение между доменами двух сетей и вместо этого фокусируется исключительно на − общем кодомене сетей. Каждая подсеть Уилларда является подсетью Келли, и обе являются AA-подсетями. ^[53] В частности, если является подсетью Уилларда или подсетью Келли, то ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(y_{\bullet }\right).}$

Пример: Если и — постоянная последовательность, а если и — то — AA-подсеть, но она не является ни подсетью Уилларда, ни подсетью Келли. ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle A=\{1\}}$ ${\displaystyle s_{1}:=x_{1}}$ ${\displaystyle \left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Подсети AA имеют определяющую характеристику, которая сразу показывает, что они полностью взаимозаменяемы с под(ординатными)фильтрами. ^{[53] [54]} Явно подразумевается, что следующее утверждение верно для подсетей AA:

     Если есть предварительные фильтры, то тогда и только тогда, когда есть АА-подсеть ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Если "AA-subnet" заменить на "Willard-subnet" или "Kelley-subnet", то приведенное выше утверждение становится ложным . В частности, как показывает этот контрпример , проблема в том, что следующее утверждение в общем случае ложно:

     Ложное утверждение: Еслиесть предварительные фильтры, такие, чтоесть подсеть Келли ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Поскольку каждая подсеть Уилларда является подсетью Келли, это утверждение остается ложным, если слово «подсеть Келли» заменить на «подсеть Уилларда».

Если «подсеть» определяется как подсеть Уилларда или подсеть Келли, то сети и фильтры не являются полностью взаимозаменяемыми, поскольку существуют отношения фильтр–под(ординатный)фильтр, которые не могут быть выражены в терминах отношения сеть–подсеть между двумя индуцированными сетями. В частности, проблема заключается в том, что подсети Келли и подсети Уилларда не являются полностью взаимозаменяемыми с подчиненными фильтрами. Если понятие «подсети» не используется или если «подсеть» определяется как подсеть АА, то это перестает быть проблемой, и поэтому становится правильным сказать, что сети и фильтры являются взаимозаменяемыми. Несмотря на то, что подсети АА не имеют проблемы, которая есть у подсетей Уилларда и Келли, они не используются широко и о них не знают. ^{[53] [54]}

Топологии и предварительные фильтры

Везде есть топологическое пространство . ${\displaystyle (X,\tau )}$

Примеры взаимосвязей между фильтрами и топологиями

Базы и предварительные фильтры

Пусть будет семейством множеств, которое покрывает и определяет для каждого Определение базы для некоторой топологии можно сразу перефразировать как: является базой для некоторой топологии на тогда и только тогда, когда является базой фильтра для каждого Если является топологией на и тогда определения является базой (соответственно, подбазой ) для можно перефразировать как: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}=\{B\in {\mathcal {B}}~:~x\in B\}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$

      ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является базой (соответственно подбазой) для тогда и только тогда, когда для каждого является базой фильтра (соответственно подбазой фильтра), которая генерирует фильтр соседства для ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle x\in X,{\mathcal {B}}_{x}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x.}$

Фильтры по окрестностям

Архетипичным примером фильтра является множество всех окрестностей точки в топологическом пространстве. Любая база окрестностей точки в (или подмножества) топологического пространства является предфильтром. Фактически, определение базы окрестностей можно эквивалентно переформулировать так: «база окрестностей — это любой предфильтр, который эквивалентен фильтру окрестностей».

Базы соседства в точках являются примерами предфильтров, которые фиксированы, но могут быть или не быть главными. Если имеет свою обычную топологию и если то любая база фильтра соседства фиксирована ( на самом деле, даже верно, что ), но не является главным, так как Напротив, топологическое пространство имеет дискретную топологию тогда и только тогда, когда фильтр соседства каждой точки является главным фильтром, порожденным ровно одной точкой. Это показывает, что неглавный фильтр на бесконечном множестве не обязательно свободен. ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\{x\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{x\}\not \in {\mathcal {B}}.}$

Фильтр соседства каждой точки в топологическом пространстве фиксирован, поскольку его ядро ​​содержит (и, возможно, другие точки, если, например, не является пространством T 1 ). Это также верно для любого базиса соседства в Для любой точки в пространстве T 1 (например, пространстве Хаусдорфа ) ядро ​​фильтра соседства равно одноэлементному множеству ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}.}$

Однако возможно, что фильтр соседства в точке будет главным, но не дискретным (то есть не главным в одной точке). Базис соседства точки в топологическом пространстве является главным тогда и только тогда, когда ядро ​​является открытым множеством. Если, кроме того, пространство является T 1 , то этот базис является главным тогда и только тогда, когда является открытым множеством. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\{x\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{x\}}$

Генерация топологий из фильтров и предварительных фильтров

Предположим, что не пусто (и ). Если является фильтром на , то является топологией на , но обратное в общем случае неверно. Это показывает, что в некотором смысле фильтры являются почти топологиями. Топологии вида , где является ультрафильтром на , являются еще более специализированным подклассом таких топологий; они обладают тем свойством, что каждое собственное подмножество либо открыто , либо закрыто, но (в отличие от дискретной топологии ) никогда не является обоими одновременно. Эти пространства являются, в частности, примерами пространств дверей . ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq X}$

Если является предфильтром (соотв. подбазой фильтра, π -системой, собственно) на , то то же самое верно для обоих и множество всех возможных объединений одного или нескольких элементов из Если замкнуто относительно конечных пересечений, то множество является топологией на , и оба являются для него базами . Если π -система покрывает , то оба также являются базами для Если является топологией на , то является предфильтром (или, что эквивалентно, π -системой) тогда и только тогда, когда он обладает свойством конечного пересечения (то есть является подбазой фильтра), в этом случае подмножество будет базой для , если и только тогда, когда эквивалентно , в этом случае будет предфильтром. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}\cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\cup }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {B}}=\{\varnothing ,X\}\cup {\mathcal {B}}_{\cup }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}\cup {\mathcal {B}}_{\cup }{\text{ and }}\{X\}\cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\cup }{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau \setminus \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\setminus \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle \tau \setminus \{\varnothing \},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\setminus \{\varnothing \}}$

Топологические свойства и предварительные фильтры

Окрестности и топологии

The neighborhood filter of a nonempty subset ${\displaystyle S\subseteq X}$ in a topological space ${\displaystyle X}$ is equal to the intersection of all neighborhood filters of all points in ${\displaystyle S.}$^[55] A subset ${\displaystyle S\subseteq X}$ is open in ${\displaystyle X}$ if and only if whenever ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is a filter on ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle s\in S,}$ then ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to s{\text{ in }}X{\text{ implies }}S\in {\mathcal {F}}.}$

Suppose ${\displaystyle \sigma {\text{ and }}\tau }$ are topologies on ${\displaystyle X.}$ Then ${\displaystyle \tau }$ is finer than ${\displaystyle \sigma }$ (that is, ${\displaystyle \sigma \subseteq \tau }$) if and only if whenever ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ is a filter on ${\displaystyle X,}$ if ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\tau )}$ then ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\sigma ).}$^[45] Consequently, ${\displaystyle \sigma =\tau }$ if and only if for every filter ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ and every ${\displaystyle x\in X,{\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\sigma )}$ if and only if ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\tau ).}$^[32] However, it is possible that ${\displaystyle \sigma \neq \tau }$ while also for every filter ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X,{\mathcal {B}}}$ converges to some point of ${\displaystyle X{\text{ in }}(X,\sigma )}$ if and only if ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ converges to some point of ${\displaystyle X{\text{ in }}(X,\tau ).}$^[32]

Closure

If ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a prefilter on a subset ${\displaystyle S\subseteq X}$ then every cluster point of ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X}$ belongs to ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S.}$^[44]

If ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}S\subseteq X}$ is a non-empty subset, then the following are equivalent:

1. ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S}$
2. ${\displaystyle x}$ is a limit point of a prefilter on ${\displaystyle S.}$ Explicitly: there exists a prefilter ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (S){\text{ on }}S}$ such that ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X.}$^[50]
3. ${\displaystyle x}$ is a limit point of a filter on ${\displaystyle S.}$^[44]
4. There exists a prefilter ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ such that ${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X.}$
5. The prefilter ${\displaystyle \{S\}}$ meshes with the neighborhood filter ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ Said differently, ${\displaystyle x}$ is a cluster point of the prefilter ${\displaystyle \{S\}.}$
6. The prefilter ${\displaystyle \{S\}}$ meshes with some (or equivalently, with every) filter base for ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ (that is, with every neighborhood basis at ${\displaystyle x}$).

The following are equivalent:

1. ${\displaystyle x}$ is a limit points of ${\displaystyle S{\text{ in }}X.}$
2. There exists a prefilter ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (S){\text{ on }}\{S\}\setminus \{x\}}$ such that ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X.}$^[50]

Closed sets

If ${\displaystyle S\subseteq X}$ is not empty then the following are equivalent:

1. ${\displaystyle S}$ is a closed subset of ${\displaystyle X.}$
2. If ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}{\mathcal {F}}\subseteq \wp (S)}$ is a prefilter on ${\displaystyle S}$ such that ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X,}$ then ${\displaystyle x\in S.}$
3. If ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}{\mathcal {F}}\subseteq \wp (S)}$ is a prefilter on ${\displaystyle S}$ such that ${\displaystyle x}$ is an accumulation points of ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ in }}X,}$ then ${\displaystyle x\in S.}$^[50]
4. If ${\displaystyle x\in X}$ is such that the neighborhood filter ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ meshes with ${\displaystyle \{S\}}$ then ${\displaystyle x\in S.}$

Hausdorffness

The following are equivalent:

1. ${\displaystyle X}$ is a Hausdorff space.
2. Every prefilter on ${\displaystyle X}$ converges to at most one point in ${\displaystyle X.}$^[8]
3. The above statement but with the word "prefilter" replaced by any one of the following: filter, ultra prefilter, ultrafilter.^[8]

Compactness

As discussed in this article, the Ultrafilter Lemma is closely related to many important theorems involving compactness.

The following are equivalent:

1. ${\displaystyle (X,\tau )}$ is a compact space.
2. Every ultrafilter on ${\displaystyle X}$ converges to at least one point in ${\displaystyle X.}$^[56]
   • That this condition implies compactness can be proven by using only the ultrafilter lemma. That compactness implies this condition can be proven without the ultrafilter lemma (or even the axiom of choice).
3. The above statement but with the word "ultrafilter" replaced by "ultra prefilter".^[8]
4. For every filter ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ on }}X}$ there exists a filter ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ such that ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ converges to some point of ${\displaystyle X.}$
5. The above statement but with each instance of the word "filter" replaced by: prefilter.
6. Every filter on ${\displaystyle X}$ has at least one cluster point in ${\displaystyle X.}$^[56]
   • That this condition is equivalent to compactness can be proven by using only the ultrafilter lemma.
7. The above statement but with the word "filter" replaced by "prefilter".^[8]
8. Alexander subbase theorem: There exists a subbase ${\displaystyle {\mathcal {S}}{\text{ for }}\tau }$ such that every cover of ${\displaystyle X}$ by sets in ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ has a finite subcover.
   • That this condition is equivalent to compactness can be proven by using only the ultrafilter lemma.

If ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is the set of all complements of compact subsets of a given topological space ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is a filter on ${\displaystyle X}$ if and only if ${\displaystyle X}$ is not compact.

Theorem^[57] — If ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a filter on a compact space and ${\displaystyle C}$ is the set of cluster points of ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ then every neighborhood of ${\displaystyle C}$ belongs to ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ Thus a filter on a compact Hausdorff space converges if and only if it has a single cluster point.

Continuity

Let ${\displaystyle f:X\to Y}$ be a map between topological spaces ${\displaystyle (X,\tau ){\text{ and }}(Y,\upsilon ).}$

Given ${\displaystyle x\in X,}$ the following are equivalent:

1. ${\displaystyle f:X\to Y}$ is continuous at ${\displaystyle x.}$
2. Definition: For every neighborhood ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle f(x){\text{ in }}Y}$ there exists some neighborhood ${\displaystyle N}$ of ${\displaystyle x{\text{ in }}X}$ such that ${\displaystyle f(N)\subseteq V.}$
3. ${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))\to f(x){\text{ in }}Y.}$^[52]
4. If ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a filter on ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}X}$ then ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x){\text{ in }}Y.}$
5. The above statement but with the word "filter" replaced by "prefilter".

The following are equivalent:

1. ${\displaystyle f:X\to Y}$ is continuous.
2. If ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ is a prefilter on ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}X}$ then ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x){\text{ in }}Y.}$^[52]
3. If ${\displaystyle x\in X}$ is a limit point of a prefilter ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ then ${\displaystyle f(x)}$ is a limit point of ${\displaystyle f({\mathcal {B}}){\text{ in }}Y.}$
4. Any one of the above two statements but with the word "prefilter" replaced by "filter".

If ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a prefilter on ${\displaystyle X,x\in X}$ is a cluster point of ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\text{ and }}f:X\to Y}$ is continuous, then ${\displaystyle f(x)}$ is a cluster point in ${\displaystyle Y}$ of the prefilter ${\displaystyle f({\mathcal {B}}).}$^[45]

A subset ${\displaystyle D}$ of a topological space ${\displaystyle X}$ is dense in ${\displaystyle X}$ if and only if for every ${\displaystyle x\in X,}$ the trace ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(x){\big \vert }_{D}}$ of the neighborhood filter ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(x)}$ along ${\displaystyle D}$ does not contain the empty set (in which case it will be a filter on ${\displaystyle D}$).

Suppose ${\displaystyle f:D\to Y}$ is a continuous map into a Hausdorff regular space ${\displaystyle Y}$ and that ${\displaystyle D}$ is a dense subset of a topological space ${\displaystyle X.}$ Then ${\displaystyle f}$ has a continuous extension ${\displaystyle F:X\to Y}$ if and only if for every ${\displaystyle x\in X,}$ the prefilter ${\displaystyle f\left({\mathcal {N}}_{X}(x){\big \vert }_{D}\right)}$ converges to some point in ${\displaystyle Y.}$ Furthermore, this continuous extension will be unique whenever it exists.^[58]

Products

Suppose ${\displaystyle X_{\bullet }:=\left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ is a non-empty family of non-empty topological spaces and that is a family of prefilters where each ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ is a prefilter on ${\displaystyle X_{i}.}$ Then the product ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ of these prefilters (defined above) is a prefilter on the product space ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet },}$ which as usual, is endowed with the product topology.

If ${\displaystyle x_{\bullet }:=\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in {\textstyle \prod }X_{\bullet },}$ then ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }\to x_{\bullet }{\text{ in }}{\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ if and only if ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}\to x_{i}{\text{ in }}X_{i}{\text{ for every }}i\in I.}$

Suppose ${\displaystyle X{\text{ and }}Y}$ are topological spaces, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a prefilter on ${\displaystyle X}$ having ${\displaystyle x\in X}$ as a cluster point, and ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ is a prefilter on ${\displaystyle Y}$ having ${\displaystyle y\in Y}$ as a cluster point. Then ${\displaystyle (x,y)}$ is a cluster point of ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times {\mathcal {C}}}$ in the product space ${\displaystyle X\times Y.}$^[45] However, if ${\displaystyle X=Y=\mathbb {Q} }$ then there exist sequences ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq X{\text{ and }}\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq Y}$ such that both of these sequences have a cluster point in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ but the sequence ${\displaystyle \left(x_{i},y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq X\times Y}$ does not have a cluster point in ${\displaystyle X\times Y.}$^[45]

Example application: The ultrafilter lemma along with the axioms of ZF imply Tychonoff's theorem for compact Hausdorff spaces:

Examples of applications of prefilters

Uniformities and Cauchy prefilters

A uniform space is a set ${\displaystyle X}$ equipped with a filter on ${\displaystyle X\times X}$ that has certain properties. A base or fundamental system of entourages is a prefilter on ${\displaystyle X\times X}$ whose upward closure is a uniform space. A prefilter ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ on a uniform space ${\displaystyle X}$ with uniformity ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is called a Cauchy prefilter if for every entourage ${\displaystyle N\in {\mathcal {F}},}$ there exists some ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ that is ${\displaystyle N}$-small, which means that ${\displaystyle B\times B\subseteq N.}$ A minimal Cauchy filter is a minimal element (with respect to ${\displaystyle \,\leq \,}$ or equivalently, to ${\displaystyle \,\subseteq }$) of the set of all Cauchy filters on ${\displaystyle X.}$ Examples of minimal Cauchy filters include the neighborhood filter ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(x)}$ of any point ${\displaystyle x\in X.}$ Every convergent filter on a uniform space is Cauchy. Moreover, every cluster point of a Cauchy filter is a limit point.

A uniform space ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ is called complete (resp. sequentially complete) if every Cauchy prefilter (resp. every elementary Cauchy prefilter) on ${\displaystyle X}$ converges to at least one point of ${\displaystyle X}$ (replacing all instance of the word "prefilter" with "filter" results in equivalent statement). Every compact uniform space is complete because any Cauchy filter has a cluster point (by compactness), which is necessarily also a limit point (since the filter is Cauchy).

Uniform spaces were the result of attempts to generalize notions such as "uniform continuity" and "uniform convergence" that are present in metric spaces. Every topological vector space, and more generally, every topological group can be made into a uniform space in a canonical way. Every uniformity also generates a canonical induced topology. Filters and prefilters play an important role in the theory of uniform spaces. For example, the completion of a Hausdorff uniform space (even if it is not metrizable) is typically constructed by using minimal Cauchy filters. Nets are less ideal for this construction because their domains are extremely varied (for example, the class of all Cauchy nets is not a set); sequences cannot be used in the general case because the topology might not be metrizable, first-countable, or even sequential. The set of all minimal Cauchy filters on a Hausdorff topological vector space (TVS) ${\displaystyle X}$ can made into a vector space and topologized in such a way that it becomes a completion of ${\displaystyle X}$ (with the assignment ${\displaystyle x\mapsto {\mathcal {N}}_{X}(x)}$ becoming a linear topological embedding that identifies ${\displaystyle X}$ as a dense vector subspace of this completion).

More generally, a Cauchy space is a pair ${\displaystyle (X,{\mathfrak {C}})}$ consisting of a set ${\displaystyle X}$ together a family ${\displaystyle {\mathfrak {C}}\subseteq \wp (\wp (X))}$ of (proper) filters, whose members are declared to be "Cauchy filters", having all of the following properties:

1. For each ${\displaystyle x\in X,}$ the discrete ultrafilter at ${\displaystyle x}$ is an element of ${\displaystyle {\mathfrak {C}}.}$
2. If ${\displaystyle F\in {\mathfrak {C}}}$ is a subset of a proper filter ${\displaystyle G,}$ then ${\displaystyle G\in {\mathfrak {C}}.}$
3. If ${\displaystyle F,G\in {\mathfrak {C}}}$ and if each member of ${\displaystyle F}$ intersects each member of ${\displaystyle G,}$ then ${\displaystyle F\cap G\in {\mathfrak {C}}.}$

The set of all Cauchy filters on a uniform space forms a Cauchy space. Every Cauchy space is also a convergence space. A map ${\displaystyle f:X\to Y}$ between two Cauchy spaces is called Cauchy continuous if the image of every Cauchy filter in ${\displaystyle X}$ is a Cauchy filter in ${\displaystyle Y.}$ Unlike the category of topological spaces, the category of Cauchy spaces and Cauchy continuous maps is Cartesian closed, and contains the category of proximity spaces.

Topologizing the set of prefilters

Starting with nothing more than a set ${\displaystyle X,}$ it is possible to topologize the set $${\displaystyle \mathbb {P} :=\operatorname {Prefilters} (X)}$$of all filter bases on ${\displaystyle X}$ with the Stone topology, which is named after Marshall Harvey Stone.

To reduce confusion, this article will adhere to the following notational conventions:

• Lower case letters for elements ${\displaystyle x\in X.}$
• Upper case letters for subsets ${\displaystyle S\subseteq X.}$
• Upper case calligraphy letters for subsets ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ (or equivalently, for elements ${\displaystyle {\mathcal {B}}\in \wp (\wp (X)),}$ such as prefilters).
• Upper case double-struck letters for subsets ${\displaystyle \mathbb {P} \subseteq \wp (\wp (X)).}$

For every ${\displaystyle S\subseteq X,}$ let $${\displaystyle \mathbb {O} (S):=\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {P} ~:~S\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}}$$where ${\displaystyle \mathbb {O} (X)=\mathbb {P} {\text{ and }}\mathbb {O} (\varnothing )=\varnothing .}$^{[note 8]} These sets will be the basic open subsets of the Stone topology. If ${\displaystyle R\subseteq S\subseteq X}$ then $${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}\in \wp (\wp (X))~:~R\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}~\subseteq ~\left\{{\mathcal {B}}\in \wp (\wp (X))~:~S\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}.}$$

From this inclusion, it is possible to deduce all of the subset inclusions displayed below with the exception of ${\displaystyle \mathbb {O} (R\cap S)~\supseteq ~\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S).}$^{[note 9]} For all ${\displaystyle R\subseteq S\subseteq X,}$ $${\displaystyle \mathbb {O} (R\cap S)~=~\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S)~\subseteq ~\mathbb {O} (R)\cup \mathbb {O} (S)~\subseteq ~\mathbb {O} (R\cup S)}$$where in particular, the equality ${\displaystyle \mathbb {O} (R\cap S)=\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S)}$ shows that the family ${\displaystyle \{\mathbb {O} (S)~:~S\subseteq X\}}$ is a ${\displaystyle \pi }$-system that forms a basis for a topology on ${\displaystyle \mathbb {P} }$ called the Stone topology. It is henceforth assumed that ${\displaystyle \mathbb {P} }$ carries this topology and that any subset of ${\displaystyle \mathbb {P} }$ carries the induced subspace topology.

In contrast to most other general constructions of topologies (for example, the product, quotient, subspace topologies, etc.), this topology on ${\displaystyle \mathbb {P} }$ was defined without using anything other than the set ${\displaystyle X;}$ there were no preexisting structures or assumptions on ${\displaystyle X}$ so this topology is completely independent of everything other than ${\displaystyle X}$ (and its subsets).

The following criteria can be used for checking for points of closure and neighborhoods. If ${\displaystyle \mathbb {B} \subseteq \mathbb {P} {\text{ and }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {P} }$ then:

• Closure in ${\displaystyle \mathbb {P} }$: ${\displaystyle \ {\mathcal {F}}}$ belongs to the closure of ${\displaystyle \mathbb {B} {\text{ in }}\mathbb {P} }$ if and only if ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{{\mathcal {B}}\in \mathbb {B} }}{\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$
• Neighborhoods in ${\displaystyle \mathbb {P} }$: ${\displaystyle \ \mathbb {B} }$ is a neighborhood of ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ in }}\mathbb {P} }$ if and only if there exists some ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ such that ${\displaystyle \mathbb {O} (F)=\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {P} ~:~F\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}\subseteq \mathbb {B} }$ (that is, such that for all ${\displaystyle {\mathcal {B}}\in \mathbb {P} ,{\text{ if }}F\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}{\text{ then }}{\mathcal {B}}\in \mathbb {B} }$).

It will be henceforth assumed that ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ because otherwise ${\displaystyle \mathbb {P} =\varnothing }$ and the topology is ${\displaystyle \{\varnothing \},}$ which is uninteresting.

Subspace of ultrafilters

The set of ultrafilters on ${\displaystyle X}$ (with the subspace topology) is a Stone space, meaning that it is compact, Hausdorff, and totally disconnected. If ${\displaystyle X}$ has the discrete topology then the map ${\displaystyle \beta :X\to \operatorname {UltraFilters} (X),}$ defined by sending ${\displaystyle x\in X}$ to the principal ultrafilter at ${\displaystyle x,}$ is a topological embedding whose image is a dense subset of ${\displaystyle \operatorname {UltraFilters} (X)}$ (see the article Stone–Čech compactification for more details).

Relationships between topologies on ${\displaystyle X}$ and the Stone topology on ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Every ${\displaystyle \tau \in \operatorname {Top} (X)}$ induces a canonical map ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }:X\to \operatorname {Filters} (X)}$ defined by ${\displaystyle x\mapsto {\mathcal {N}}_{\tau }(x),}$ which sends ${\displaystyle x\in X}$ to the neighborhood filter of ${\displaystyle x{\text{ in }}(X,\tau ).}$ If ${\displaystyle \tau ,\sigma \in \operatorname {Top} (X)}$ then ${\displaystyle \tau =\sigma }$ if and only if ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }={\mathcal {N}}_{\sigma }.}$ Thus every topology ${\displaystyle \tau \in \operatorname {Top} (X)}$ can be identified with the canonical map ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }\in \operatorname {Func} (X;\mathbb {P} ),}$ which allows ${\displaystyle \operatorname {Top} (X)}$ to be canonically identified as a subset of ${\displaystyle \operatorname {Func} (X;\mathbb {P} )}$ (as a side note, it is now possible to place on ${\displaystyle \operatorname {Func} (X;\mathbb {P} ),}$ and thus also on ${\displaystyle \operatorname {Top} (X),}$ the topology of pointwise convergence on ${\displaystyle X}$ so that it now makes sense to talk about things such as sequences of topologies on ${\displaystyle X}$ converging pointwise). For every ${\displaystyle \tau \in \operatorname {Top} (X),}$ the surjection ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }:(X,\tau )\to \operatorname {image} {\mathcal {N}}_{\tau }}$ is always continuous, closed, and open, but it is injective if and only if ${\displaystyle \tau {\text{ is }}T_{0}}$ (that is, a Kolmogorov space). In particular, for every ${\displaystyle T_{0}}$ topology ${\displaystyle \tau {\text{ on }}X,}$ the map ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }:(X,\tau )\to \mathbb {P} }$ is a topological embedding (said differently, every Kolmogorov space is a topological subspace of the space of prefilters).

In addition, if ${\displaystyle {\mathfrak {F}}:X\to \operatorname {Filters} (X)}$ is a map such that ${\displaystyle x\in \ker {\mathfrak {F}}(x):={\textstyle \bigcap \limits _{F\in {\mathfrak {F}}(x)}}F{\text{ for every }}x\in X}$ (which is true of ${\displaystyle {\mathfrak {F}}:={\mathcal {N}}_{\tau },}$ for instance), then for every ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}F\in {\mathfrak {F}}(x),}$ the set ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(F)=\{{\mathfrak {F}}(f):f\in F\}}$ is a neighborhood (in the subspace topology) of ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(x){\text{ in }}\operatorname {image} {\mathfrak {F}}.}$

See also

• Characterizations of the category of topological spaces
• Convergence space – Generalization of the notion of convergence that is found in general topology
• Filtration (mathematics) – Indexed set in mathematics
• Filtration (probability theory) – Model of information available at a given point of a random process
• Filtration (abstract algebra)
• Fréchet filter – frechet filterPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Generic filter – in set theory, given a collection of dense open subsets of a poset, a filter that meets all sets in that collectionPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Ideal (set theory) – Non-empty family of sets that is closed under finite unions and subsets
• Stone–Čech compactification#Construction using ultrafilters – Concept in topology
• The fundamental theorem of ultraproducts – Mathematical constructionPages displaying short descriptions of redirect targets

Notes

1. Sequences and nets in a space ${\displaystyle X}$ are maps from directed sets like the natural numbers, which in general maybe entirely unrelated to the set ${\displaystyle X}$ and so they, and consequently also their notions of convergence, are not intrinsic to ${\displaystyle X.}$
2. Technically, any infinite subfamily of this set of tails is enough to characterize this sequence's convergence. But in general, unless indicated otherwise, the set of all tails is taken unless there is some reason to do otherwise.
3. Indeed, net convergence is defined using neighborhood filters while (pre)filters are directed sets with respect to ${\displaystyle \,\supseteq \,,}$ so it is difficult to keep these notions completely separate.
4. The terms "Filter base" and "Filter" are used if and only if ${\displaystyle S\neq \varnothing .}$
5. For instance, one sense in which a net ${\displaystyle u_{\bullet }}$ could be interpreted as being "maximally deep" is if all important properties related to ${\displaystyle X}$ (such as convergence for example) of any subnet is completely determined by ${\displaystyle u_{\bullet }}$ in all topologies on ${\displaystyle X.}$ In this case ${\displaystyle u_{\bullet }}$ and its subnet become effectively indistinguishable (at least topologically) if one's information about them is limited to only that which can be described in solely in terms of ${\displaystyle X}$ and directly related sets (such as its subsets).
6. The set equality ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}}$ holds more generally: if the family of sets ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing {\text{ satisfies }}\varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$ then the family of tails of the map ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X}$ (defined by ${\displaystyle (B,b)\mapsto b}$) is equal to ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
7. The topology on ${\displaystyle X:=[\mathbb {N} \times \mathbb {N} ]\cup \{(0,0)\}}$ is defined as follows: Every subset of ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ is open in this topology and the neighborhoods of ${\displaystyle (0,0)}$ are all those subsets ${\displaystyle U\subseteq X}$ containing ${\displaystyle (0,0)}$ for which there exists some positive integer ${\displaystyle N>0}$ such that for every integer ${\displaystyle n\geq N,}$ ${\displaystyle U}$ contains all but at most finitely many points of ${\displaystyle \{n\}\times \mathbb {N} .}$ For example, the set ${\displaystyle W:=[\{2,3,\ldots \}\times \mathbb {N} ]\cup \{(0,0)\}}$ is a neighborhood of ${\displaystyle (0,0).}$ Any diagonal enumeration of ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ furnishes a sequence that clusters at ${\displaystyle (0,0)}$ but possess not convergent subsequence. An explicit example is the inverse of the bijective Hopcroft and Ullman pairing function ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} ,}$ which is defined by ${\displaystyle (p,q)\mapsto p+{\tfrac {1}{2}}(p+q-1)(p+q-2).}$
8. As a side note, had the definitions of "filter" and "prefilter" not required propriety then the degenerate dual ideal ${\displaystyle \wp (X)}$ would have been a prefilter on ${\displaystyle X}$ so that in particular, ${\displaystyle \mathbb {O} (\varnothing )=\{\wp (X)\}\neq \varnothing }$ with ${\displaystyle \wp (X)\in \mathbb {O} (S){\text{ for every }}S\subseteq X.}$
9. This is because the inclusion ${\displaystyle \mathbb {O} (R\cap S)~\supseteq ~\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S)}$ is the only one in the sequence below whose proof uses the defining assumption that ${\displaystyle \mathbb {O} (S)\subseteq \mathbb {P} .}$

Proofs

1. By definition, ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ if and only if ${\displaystyle {\mathcal {B}}\geq {\mathcal {N}}(x).}$ Since ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {B}}\geq {\mathcal {N}}(x),}$ transitivity implies ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {N}}(x).\blacksquare }$

Citations

1. Cartan 1937a.
2. Wilansky 2013, p. 44.
3. Schechter 1996, pp. 155–171.
4. Fernández-Bretón, David J. (2021-12-22). "Using Ultrafilters to Prove Ramsey-type Theorems". The American Mathematical Monthly. 129 (2). Informa UK Limited: 116–131. arXiv:1711.01304. doi:10.1080/00029890.2022.2004848. ISSN 0002-9890. S2CID 231592954.
5. Howes 1995, pp. 83–92.
6. Dolecki & Mynard 2016, pp. 27–29.
7. Dolecki & Mynard 2016, pp. 33–35.
8. Narici & Beckenstein 2011, pp. 2–7.
9. Császár 1978, pp. 53–65.
10. Bourbaki 1989, p. 58.
11. Schubert 1968, pp. 48–71.
12. Narici & Beckenstein 2011, pp. 3–4.
13. Dugundji 1966, pp. 215–221.
14. Dugundji 1966, p. 215.
15. Wilansky 2013, p. 5.
16. Dolecki & Mynard 2016, p. 10.
17. Schechter 1996, pp. 100–130.
18. Császár 1978, pp. 82–91.
19. Dugundji 1966, pp. 211–213.
20. Dolecki & Mynard 2016, pp. 27–54.
21. Schechter 1996, p. 100.
22. Cartan 1937b.
23. Császár 1978, pp. 53–65, 82–91.
24. Arkhangel'skii & Ponomarev 1984, pp. 7–8.
25. Joshi 1983, p. 244.
26. Dugundji 1966, p. 212.
27. Wilansky 2013, pp. 44–46.
28. Bourbaki 1989, pp. 57–68.
29. Castillo, Jesus M. F.; Montalvo, Francisco (January 1990), "A Counterexample in Semimetric Spaces" (PDF), Extracta Mathematicae, 5 (1): 38–40
30. Schaefer & Wolff 1999, pp. 1–11.
31. Bourbaki 1989, pp. 129–133.
32. Wilansky 2008, pp. 32–35.
33. Dugundji 1966, pp. 219–221.
34. Jech 2006, pp. 73–89.
35. Császár 1978, pp. 53–65, 82–91, 102–120.
36. Dolecki & Mynard 2016, pp. 31–32.
37. Dolecki & Mynard 2016, pp. 37–39.
38. Arkhangel'skii & Ponomarev 1984, pp. 20–22.
39. Császár 1978, pp. 102–120.
40. Bourbaki 1989, pp. 68–83.
41. Dixmier 1984, pp. 13–18.
42. Bourbaki 1989, pp. 69.
43. Bourbaki 1989, pp. 68–74.
44. Bourbaki 1989, p. 70.
45. Bourbaki 1989, pp. 132–133.
46. Dixmier 1984, pp. 14–17.
47. Kelley 1975, pp. 65–72.
48. Bruns G., Schmidt J.,Zur Aquivalenz von Moore-Smith-Folgen und Filtern, Math. Nachr. 13 (1955), 169-186.
49. Dugundji 1966, p. 220–221.
50. Dugundji 1966, pp. 211–221.
51. Dugundji 1966, p. 60.
52. Dugundji 1966, pp. 215–216.
53. Schechter 1996, pp. 157–168.
54. Clark, Pete L. (18 October 2016). "Convergence" (PDF). math.uga.edu/. Retrieved 18 August 2020.
55. Bourbaki 1989, p. 129.
56. Bourbaki 1989, p. 83.
57. Bourbaki 1989, pp. 83–84.
58. Dugundji 1966, pp. 216.

References

• Adams, Colin; Franzosa, Robert (2009). Introduction to Topology: Pure and Applied. New Delhi: Pearson Education. ISBN 978-81-317-2692-1. OCLC 789880519.
• Arkhangel'skii, Alexander Vladimirovich; Ponomarev, V.I. (1984). Fundamentals of General Topology: Problems and Exercises. Mathematics and Its Applications. Vol. 13. Dordrecht Boston: D. Reidel. ISBN 978-90-277-1355-1. OCLC 9944489.
• Berberian, Sterling K. (1974). Lectures in Functional Analysis and Operator Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 15. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401.
• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
• Bourbaki, Nicolas (1989) [1967]. General Topology 2: Chapters 5–10 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Vol. 4. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063.
• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topological Vector Spaces: Chapters 1–5. Éléments de mathématique. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190.
• Burris, Stanley; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (2012). A Course in Universal Algebra (PDF). Springer-Verlag. ISBN 978-0-9880552-0-9. Archived from the original on 1 April 2022.
• Cartan, Henri (1937a). "Théorie des filtres". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 205: 595–598.
• Cartan, Henri (1937b). "Filtres et ultrafiltres". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 205: 777–779.
• Comfort, William Wistar; Negrepontis, Stylianos (1974). The Theory of Ultrafilters. Vol. 211. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-06604-2. OCLC 1205452.
• Császár, Ákos (1978). General topology. Translated by Császár, Klára. Bristol England: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC 4146011.
• Dixmier, Jacques (1984). General Topology. Undergraduate Texts in Mathematics. Translated by Berberian, S. K. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303.
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
• Dugundji, James (1966). Topology. Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1988). Linear Operators. Pure and applied mathematics. Vol. 1. New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC 18412261.
• Edwards, Robert E. (1995). Functional Analysis: Theory and Applications. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
• Howes, Norman R. (23 June 1995). Modern Analysis and Topology. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC 31969970. OL 1272666M.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Jech, Thomas (2006). Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC 50422939.
• Joshi, K. D. (1983). Introduction to General Topology. New York: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750.
• Kelley, John L. (1975). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 27. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 338047.
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topological Vector Spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 159. Translated by Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
• MacIver R., David (1 July 2004). "Filters in Analysis and Topology" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2007-10-09. (Provides an introductory review of filters in topology and in metric spaces.)
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
• Schubert, Horst (1968). Topology. London: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.
• Wilansky, Albert (17 October 2008) [1970]. Topology for Analysis. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.