Окончательная топология

Наилучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными

В общей топологии и смежных областях математики окончательная топология ^[1] (или коиндуцированная , ^[2] сильная , копредельная или индуктивная ^[3] топология) на множестве относительно семейства функций из топологических пространств в является наилучшей топология , которая делает все эти функции непрерывными . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Фактортопология в факторпространстве является окончательной топологией относительно одной сюръективной функции, а именно фактор-отображения. Топология непересекающегося объединения является окончательной топологией по отношению к картам включения . Финальная топология — это также топология, которой наделен каждый прямой предел в категории топологических пространств , и именно в контексте прямых пределов часто появляется конечная топология. Топология когерентна с некоторым набором подпространств тогда и только тогда, когда она является конечной топологией, индуцированной естественными включениями.

Двойственное понятие — это исходная топология , которая для данного семейства функций из множества в топологические пространства является самой грубой топологией , которая делает эти функции непрерывными. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Определение

Дан набор и -индексированное семейство топологических пространств с ассоциированными функциями. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)}$

$${\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to X,}$$

топология на, индуцированная семейством функций, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}}$наилучшей топологией ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$$

является непрерывным для каждого . ${\displaystyle i\in I}$

Явно окончательную топологию можно описать следующим образом:

подмножество открыто в конечной топологии (то есть ) тогда и только тогда, когда открыто для каждого . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ ${\displaystyle U\in \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$ ${\displaystyle \left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$

Замкнутые подмножества имеют аналогичную характеристику:

подмножество замкнуто в окончательной топологии тогда и только тогда, когда замкнуто для каждого . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(C)}$ ${\displaystyle \left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$

Семейство функций, индуцирующее окончательную топологию, обычно представляет собой набор функций. Но ту же самую конструкцию можно выполнить, если — собственный класс функций, и результат все еще четко определен в теории множеств Цермело–Френкеля . В этом случае всегда существует подсемейство с множеством такое, что финальные топологии на индуцированные by и by совпадают. Подробнее об этом см., например, обсуждение здесь. ^[4] Например, широко используемый вариант понятия компактно порожденного пространства определяется как окончательная топология относительно надлежащего класса функций. ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Примеры

Важный частный случай, когда семейство карт состоит из одной сюръективной карты, может быть полностью охарактеризован с помощью понятия фактор-карты . Сюръективная функция между топологическими пространствами является фактор-отображением тогда и только тогда, когда топология на совпадает с конечной топологией, индуцированной семейством . В частности: фактор-топология — это конечная топология фактор-пространства, индуцированная фактор- отображением . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f:(Y,\upsilon )\to \left(X,\tau \right)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f\}}$

Окончательную топологию множества, индуцированного семейством -значных карт, можно рассматривать как далеко идущее обобщение фактор-топологии, где можно использовать несколько карт вместо одной и где эти карты не обязательно должны быть сюръекциями. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Для данных топологических пространств топология непересекающегося объединения в непересекающемся объединении является окончательной топологией в непересекающемся объединении, индуцированном естественными инъекциями. ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \coprod _{i}X_{i}}$

Для данного семейства топологий на фиксированном множестве окончательная топология относительно тождественных карт как диапазонов по вызову является нижней границей (или пересечением) этих топологий в решетке топологий на . То есть окончательная топология равна пересечение ${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{\tau _{i}}:\left(X,\tau _{i}\right)\to X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\textstyle \tau =\bigcap _{i\in I}\tau _{i}.}$

Учитывая топологическое пространство и семейство подмножеств , каждое из которых имеет топологию подпространства , окончательная топология, индуцированная всеми картами включения в, тоньше ( или равна) исходной топологии на Пространство называется когерентным с семейством подпространств если окончательная топология совпадает с исходной топологией . В этом случае подмножество будет открыто ровно тогда, когда для каждого из них открыто пересечение ( более подробную информацию об этом понятии и дополнительные примеры см. в статье о связной топологии ). В качестве частного случая: одно из понятий компактно порожденного пространства можно охарактеризовать как некоторую когерентную топологию. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{C_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap C_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Прямой предел любой прямой системы пространств и непрерывных отображений является теоретико-множественным прямым пределом вместе с конечной топологией, определяемой каноническими морфизмами. В явном виде это означает, что если является прямой системой в категории Top топологических пространств и если является прямым пределом в категории Set всех множеств , то путем наделения конечной топологией, индуцированной становится прямым пределом в категории Top . ${\displaystyle \operatorname {Sys} _{Y}=\left(Y_{i},f_{ji},I\right)}$ ${\displaystyle \left(X,\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sys} _{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\},}$ ${\displaystyle \left(\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right),\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sys} _{Y}}$

Этальное пространство пучка топологизируется финальной топологией.

Хаусдорфово пространство с первой счетностью локально линейно связно тогда и только тогда, когда оно равно конечной топологии на, индуцированной множеством всех непрерывных отображений , где любое такое отображение называется путем в ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\left([0,1];X\right)}$ ${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau ),}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Если локально выпуклое топологическое векторное пространство Хаусдорфа является пространством Фреше-Урысона, то оно равно конечной топологии на, индуцированной множеством всех дуг , в которых по определению являются непрерывными путями , которые также являются топологическими вложениями . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Arc} \left([0,1];X\right)}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau )}$

Характеристики

Характеристика с помощью непрерывных карт

Для заданных функций из топологических пространств в множество окончательная топология относительно этих функций удовлетворяет следующему свойству: ${\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to X,}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}}$

функция из в некоторое пространство непрерывна тогда и только тогда, когда непрерывна для каждого ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g\circ f_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Характерное свойство окончательной топологии

Это свойство характеризует окончательную топологию в том смысле, что если топология на удовлетворяет указанному выше свойству для всех пространств и всех функций , то топология на является окончательной топологией относительно ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g:X\to Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}.}$

Поведение в композиции

Предположим , что это семейство карт, и для каждого топология на является конечной топологией, индуцированной некоторым семейством карт со значением в . Тогда финальная топология на, индуцированная отображением, равна финальной топологии на, индуцированном отображениями ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:Y_{i}\to X\mid i\in I\right\}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \upsilon _{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\circ g~:~i\in I{\text{ and }}g\in {\cal {G_{i}}}\right\}.}$

Как следствие: если - конечная топология на, индуцированная семейством , и если любое сюръективное отображение имеет значение в некотором топологическом пространстве, то оно является фактор-отображением тогда и только тогда, когда имеет окончательную топологию, индуцированную отображениями. ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \pi :X\to (S,\sigma )}$ ${\displaystyle (S,\sigma ),}$ ${\displaystyle \pi :\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)\to (S,\sigma )}$ ${\displaystyle (S,\sigma )}$ ${\displaystyle \left\{\pi \circ f_{i}~:~i\in I\right\}.}$

Благодаря универсальному свойству топологии непересекающегося объединения мы знаем, что для любого семейства непрерывных отображений существует единственное непрерывное отображение. ${\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to X,}$

$${\displaystyle f:\coprod _{i}Y_{i}\to X}$$

покрываетфактор-отображением ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}.}$

Эффекты изменения семейства карт

Всюду далее пусть будет семейством -значных карт, каждое из которых имеет вид, и пусть обозначает конечную топологию на, индуцированную: Определение окончательной топологии гарантирует, что для каждого индекса отображение является непрерывным . ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$

Для любого подмножества окончательная топология будет тоньше ( и , возможно, равна) топологии ; то есть подразумевает , что равенство множеств может иметь место, даже если это правильное подмножество ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}\subseteq \tau _{\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

Если существует какая-либо топология на таком что и непрерывна для каждого индекса , то она должна быть строго грубее ( имеется в виду, что и это будет написано ) и более того, для любого подмножества топология также будет строго грубее конечной топологии , индуцирующей on (поскольку ); то есть, ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau \neq \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to (X,\tau )}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau \neq \tau _{\mathcal {F}};}$ ${\displaystyle \tau \subsetneq \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}\subseteq \tau _{\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \tau \subsetneq \tau _{\mathcal {S}}.}$

Предположим , что , кроме того, есть -индексированное семейство -значных карт , чьи области определения являются топологическими пространствами . «расширенным семейством» равна окончательной топологии, индуцированной исходным семейством. Однако если бы вместо этого существовало хотя бы одно отображение, не являющееся непрерывным , то окончательная топология , индуцированная «расширенным семейством», обязательно была бы строго более грубой. чем конечная топология , вызванная этим (см. пояснение в этой сноске ^{[примечание 1] ).} ${\displaystyle {\mathcal {G}}:=\left\{g_{a}:a\in A\right\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g_{a}:Z_{a}\to X}$ ${\displaystyle \left(Z_{a},\zeta _{a}\right).}$ ${\displaystyle g_{a}:\left(Z_{a},\zeta _{a}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\left\{f_{i}:i\in I\right\}.}$ ${\displaystyle g_{a_{0}}}$ ${\displaystyle g_{a_{0}}:\left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ ${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}};}$ ${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}\subsetneq \tau _{\mathcal {F}}}$

Окончательная топология прямого предела конечномерных евклидовых пространств

Позволять

$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }~:=~\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ all but finitely many }}x_{i}{\text{ are equal to }}0\right\},}$$

пространство конечных последовательностейпространство всех вещественных последовательностейнатурального числаевклидово пространствоевклидовой топологиейкарту включенияобраз ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)}$

$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\}=\mathbb {R} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$$

$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$$

Наполните набор окончательной топологией , индуцированной семейством всех карт включения. С этой топологией становится полным Хаусдорфовым локально выпуклым секвенциальным топологическим векторным пространством , которое не является пространством Фреше – Урысона . Топология строго тоньше , чем топология подпространства , индуцированная операторомwhere , наделенная своей обычной топологией произведения . Наделить изображение итоговой топологией, индуцированной на нем биекцией , т. е. оно наделено евклидовой топологией, переданной ему из через. Эта топология на равна топологии подпространства, индуцированной на нем А подмножество открыто (соответственно замкнуто) в том и только том случае, если для каждого множество является открытым (соответственно замкнутым) подмножеством Топология когерентна с семейством подпространств. Это превращается в LB-пространство . Следовательно, если и является последовательностью в, то в тогда и только тогда, когда существует такая последовательность, что и и содержатся в и в. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{\;\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right);}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right).}$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle S\cap \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} :=\left\{\;\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}.}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$

Часто для каждой карты включений используется ее изображение , элементы и идентифицируются вместе . При этой идентификации становится прямым пределом прямой системы , где для каждой карты есть карта включения, определяемая тем, где имеются конечные нули. ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty };}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$ ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{m\leq n{\text{ in }}\mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$ ${\displaystyle m\leq n,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right),}$ ${\displaystyle n-m}$

Категориальное описание

На языке теории категорий окончательную конструкцию топологии можно описать следующим образом. Пусть – функтор из дискретной категории в категорию топологических пространств Top , который выбирает пространства для Пусть – диагональный функтор из Top в категорию функторов Top ^J (этот функтор переводит каждое пространство в постоянный функтор в ). Категория запятой тогда является категорией коконусов, т. е. объекты в являются парами , где является семейством непрерывных отображений в Если - это функтор забывания из Top в Set , а Δ' - диагональный функтор из Set в Set ^J , то категория запятой - категория всех коконусов из . Окончательную конструкцию топологии можно тогда описать как функтор от до. Этот функтор слева сопряжен с соответствующим функтором забвения. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle i\in J.}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y\,\downarrow \,\Delta )}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle (Y\,\downarrow \,\Delta )}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle f=(f_{i}:Y_{i}\to X)_{i\in J}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left(UY\,\downarrow \,\Delta ^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle UY.}$ ${\displaystyle \left(UY\,\downarrow \,\Delta ^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle (Y\,\downarrow \,\Delta ).}$

Смотрите также

• Прямой предел  - частный случай копредела в теории категорий.
• Индуцированная топология  – Унаследованная топологияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Начальная топология  - самая грубая топология, делающая определенные функции непрерывными.
• LB-пространство
• LF-пространство  - топологическое векторное пространство, являющееся локально выпуклым индуктивным пределом счетной индуктивной системы пространств Фреше.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Примечания

1. По определению, отсутствие непрерывности карты означает, что существует хотя бы одно открытое множество, такое, что оно не открыто. Напротив, по определению окончательной топологии карта должна быть непрерывной. Таким образом, причина, по которой карта должна быть строго грубее, а не строго тоньше, заключается в том, что неспособность карты быть непрерывной приводит к необходимости «удаления» одного или нескольких открытых подмножеств, чтобы она стала непрерывной. Таким образом , лишь некоторые открытые множества «удалены» из ${\displaystyle g_{a_{0}}:\left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ ${\displaystyle U\in \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle g_{a_{0}}^{-1}(U)}$ ${\displaystyle \left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right).}$ ${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup \{g_{a_{0}}\}},}$ ${\displaystyle g_{a_{0}}:\left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right)\to \left(X,\tau _{{\mathcal {F}}\cup \{g_{a_{0}}\}}\right)}$ ${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle g_{a_{0}}:\left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle g_{a_{0}}}$ ${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup \{g_{a_{0}}\}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}.}$

Цитаты

1. Бурбаки, Николя (1989). Общая топология . Берлин: Springer-Verlag. п. 32. ISBN 978-3-540-64241-1.
2. Сингх, Тедж Бахадур (5 мая 2013 г.). Элементы топологии. ЦРК Пресс. ISBN 9781482215663. Проверено 21 июля 2020 г.
3. Часар, Акош (1978). Общая топология . Бристоль [Англия]: А. Хильгер. п. 317. ИСБН 0-85274-275-4.
4. «Теоретические вопросы определения k-пространства или окончательной топологии относительно надлежащего класса функций». Математический обмен стеками .
5. Браун 2006, раздел 5.9, с. 182.

Рекомендации

• Браун, Рональд (июнь 2006 г.). Топология и группоиды . Северный Чарльстон: CreateSpace. ISBN 1-4196-2722-8.
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Серия Аддисона-Уэсли по математике. Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 9780201087079. Збл  0205.26601.. (Приводится краткое общее введение в разделе 9 и упражнении 9H)
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. ОСЛК  115240.