Фундаментальная группа

Математическая группа гомотопических классов петель в топологическом пространстве.

В математической области алгебраической топологии фундаментальной группой топологического пространства является группа классов эквивалентности при гомотопии петель, содержащихся в пространстве. Он записывает информацию об основной форме или дырах топологического пространства. Фундаментальная группа — это первая и простейшая гомотопическая группа . Фундаментальная группа является гомотопически инвариантным — топологические пространства, гомотопически эквивалентные (или в более сильном случае гомеоморфных ), имеют изоморфные фундаментальные группы. Фундаментальную группу топологического пространства обозначают . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Интуиция

Начинаем с пространства (например, поверхности ) и какой-то точки в нем, а также всех циклов, как начинающихся, так и заканчивающихся в этой точке — путей , которые начинаются в этой точке, блуждают и в конечном итоге возвращаются в начальную точку. Две петли можно объединить очевидным образом: проехать по первой петле, затем по второй. Две петли считаются эквивалентными, если одну можно деформировать в другую, не разрывая ее. Совокупность всех таких петель с таким способом объединения и этой эквивалентностью между ними является фундаментальной группой для данного конкретного пространства.

История

Анри Пуанкаре определил фундаментальную группу в 1895 году в своей статье « Анализ места ». ^[1] Понятие возникло в теории римановых поверхностей , в работах Бернхарда Римана , Пуанкаре и Феликса Клейна . Он описывает свойства монодромии комплекснозначных функций, а также обеспечивает полную топологическую классификацию замкнутых поверхностей .

Определение

В этой статье X является топологическим пространством. Типичным примером является поверхность, подобная той, что изображена справа. Более того, есть точка в X , называемая базовой точкой . (Как поясняется ниже, ее роль скорее вспомогательная.) Идея определения гомотопической группы состоит в том, чтобы измерить, сколько (вообще говоря) кривых на X можно деформировать друг в друга. Точное определение зависит от понятия гомотопии петель, которое объясняется первым. ${\displaystyle x_{0}}$

Гомотопия петель

Учитывая топологическое пространство X , цикл , основанный на at ${\displaystyle x_{0}}$ , определяется как непрерывная функция (также известная как непрерывное отображение).

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$

так, что начальная и конечная точки равны . ${\displaystyle \gamma (0)}$ ${\displaystyle \gamma (1)}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Гомотопия петель

Гомотопия — это непрерывная интерполяция между двумя циклами. Точнее, гомотопия между двумя петлями (основанными в одной и той же точке ) — это непрерывное отображение ${\displaystyle \gamma ,\gamma '\colon [0,1]\to X}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle h\colon [0,1]\times [0,1]\to X,}$

такой, что

• ${\displaystyle h(0,t)=x_{0}}$в любом случае отправной точкой гомотопии является все t (которое часто считают параметром времени). ${\displaystyle t\in [0,1],}$ ${\displaystyle x_{0}}$
• ${\displaystyle h(1,t)=x_{0}}$при всем при этом конечная точка остается равной для всех t . ${\displaystyle t\in [0,1],}$ ${\displaystyle x_{0}}$
• ${\displaystyle h(r,0)=\gamma (r),\,h(r,1)=\gamma '(r)}$для всех . ${\displaystyle r\in [0,1]}$

Если такая гомотопия h существует и называется гомотопной . Отношение « гомотопно » является отношением эквивалентности , так что можно рассматривать множество классов эквивалентности: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma '}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma '}$

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}):=\{{\text{all loops }}\gamma {\text{ based at }}x_{0}\}/{\text{homotopy}}}$.

Это множество (со структурой группы, описанной ниже) называется фундаментальной группой топологического пространства X в базовой точке . Цель рассмотрения классов эквивалентности петель с точностью до гомотопии, в отличие от множества всех петель (так называемого пространства петель X ), состоит в том, что последнее, хотя и полезно для различных целей, представляет собой довольно большой и громоздкий объект . . Напротив, приведенный выше коэффициент во многих случаях более управляем и вычислим. ${\displaystyle x_{0}}$

Структура группы

Прибавление петель

Согласно приведенному выше определению, это просто набор. Она становится группой (и поэтому заслуживает названия фундаментальной группы ) с помощью конкатенации циклов. Точнее, учитывая два цикла , их произведение определяется как цикл ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}\colon [0,1]\to X}$

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})(t)={\begin{cases}\gamma _{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{cases}}}$

Таким образом, цикл сначала следует за циклом с «удвоенной скоростью», а затем следует с «удвоенной скоростью». ${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$

Произведение двух гомотопических классов петель и тогда определяется как . Можно показать, что это произведение не зависит от выбора представителей и поэтому дает вполне определенную операцию на множестве . Эта операция превращается в группу. Его нейтральным элементом является постоянный цикл, который остается неизменным все время t . Обратной петлей (гомотопического класса a) является та же петля, но пройденная в противоположном направлении . Более формально, ${\displaystyle [\gamma _{0}]}$ ${\displaystyle [\gamma _{1}]}$ ${\displaystyle [\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}]}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t)}$.

Учитывая три основанных цикла, произведение ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},}$

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})\cdot \gamma _{2}}$

представляет собой конкатенацию этих петель, перемещающихся затем с учетверенной скоростью, а затем с двойной скоростью. По сравнению, ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot (\gamma _{1}\cdot \gamma _{2})}$

проходит те же пути (в том же порядке), но с удвоенной и с учетверенной скоростью. Таким образом, из-за разных скоростей эти два пути не идентичны. Аксиома ассоциативности _ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$

${\displaystyle [\gamma _{0}]\cdot \left([\gamma _{1}]\cdot [\gamma _{2}]\right)=\left([\gamma _{0}]\cdot [\gamma _{1}]\right)\cdot [\gamma _{2}]}$

поэтому решающим образом зависит от того факта, что пути рассматриваются с точностью до гомотопии. Действительно, обе рассмотренные выше композиции гомотопны, например, петле, проходящей по всем трем петлям с тройной скоростью. Таким образом, множество базовых циклов с точностью до гомотопии, снабженное указанной операцией, действительно превращается в группу. ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$

Зависимость базовой точки

Хотя фундаментальная группа вообще зависит от выбора базовой точки, оказывается, что с точностью до изоморфизма (фактически даже с точностью до внутреннего изоморфизма) этот выбор не имеет никакого значения, пока пространство X линейно связно . Поэтому для пространств с линейной связностью многие авторы пишут вместо ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}).}$

Конкретные примеры

Звездчатый домен является просто связным, поскольку любую петлю можно стянуть в центр домена, обозначаемый . ${\displaystyle x_{0}}$

В этом разделе перечислены некоторые основные примеры фундаментальных групп. Начнем с того, что в евклидовом пространстве ( ) или любом его выпуклом подмножестве существует только один гомотопический класс петель, и поэтому фундаментальной группой является тривиальная группа с одним элементом. В более общем смысле, любая звездная область – и, еще шире, любое сжимаемое пространство – имеет тривиальную фундаментальную группу. Таким образом, фундаментальная группа не делает различия между такими пространствами. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

2-сфера

Петля на двумерной сфере (поверхности шара), стягивающаяся в точку

Линейно-связное пространство, фундаментальная группа которого тривиальна, называется односвязным . Например, 2-сфера, изображенная справа, а также все сферы более высокой размерности односвязны. На рисунке показана гомотопия, сжимающая одну конкретную петлю до постоянной. Эту идею можно адаптировать ко всем петлям таким, что есть точка , которой нет на изображении Однако, поскольку существуют такие петли (построенные, например, по кривой Пеано ), полное доказательство требует более тщательного анализа с помощью инструментов из алгебраическая топология, такая как теорема Зейферта-ван Кампена или теорема клеточной аппроксимации . ${\displaystyle S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (x,y,z)\in S^{2}}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle \gamma ([0,1])=S^{2}}$

Круг

Элементы гомотопической группы окружности

Круг (также известный как 1-сфера)

${\displaystyle S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$

не просто связано. Вместо этого каждый гомотопический класс состоит из всех петель, которые обвивают окружность заданное количество раз (которое может быть положительным или отрицательным, в зависимости от направления намотки). Произведение цикла, который повторяется m раз, и другого, который повторяется n раз, представляет собой цикл, который повторяется m + n раз. Следовательно, фундаментальная группа круга изоморфна аддитивной группе целых чисел . Этот факт можно использовать для доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке ^[2] и теоремы Борсука–Улама в размерности 2. ^[3] ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+),}$

Цифра восемь

Фундаментальная группа восьмерки — это свободная группа двух образующих a и b .

Основная группа восьмерки — это свободная группа из двух букв. Идея доказать это заключается в следующем: выбрав в качестве базовой точки точку пересечения двух кругов (отмечена черными точками на рисунке справа), любую петлю можно разложить как ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}\cdots a^{n_{k}}b^{m_{k}}}$

где a и b — две петли, обвивающие каждую половину фигуры, как показано, а показатели степени — целые числа. В отличие от основной группы восьмерка не является абелевой : два способа составления a и b не гомотопны друг другу: ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k},m_{1},\dots ,m_{k}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1}),}$

${\displaystyle [a]\cdot [b]\neq [b]\cdot [a].}$

В более общем смысле, основная группа букета из r кругов — это свободная группа из r букв.

Фундаментальная группа клиновой суммы двух путевых пространств X и Y может быть вычислена как свободное произведение отдельных фундаментальных групп:

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).}$

Это обобщает приведенные выше наблюдения, поскольку восьмерка представляет собой сумму клина двух кругов.

Фундаментальная группа плоскости, проколотой в n точках, также является свободной группой с n образующими. i - й генератор — это класс цикла, который обходит i -й прокол, не обходя другие проколы.

Графики

Фундаментальную группу можно определить и для дискретных структур. В частности , рассмотрим связный граф G = ( V , E ) с обозначенной _{вершиной} v0 в V. Циклы в G — это циклы , которые начинаются и заканчиваются в v ₀ . ^[4] Пусть T — остовное дерево G . Каждая простая петля в G содержит ровно одно ребро в E \ T ; каждый цикл в G является конкатенацией таких простых циклов. Следовательно, фундаментальная группа графа — это свободная группа , в которой количество образующих равно числу ребер в E \ T . Это число равно | Е | − | В | + 1 . ^[5]

Например, предположим, что G имеет 16 вершин, расположенных в 4 ряда по 4 вершины в каждом, причем ребра соединяют вершины, соседние по горизонтали или вертикали. Тогда G имеет всего 24 ребра, а количество ребер в каждом остовном дереве равно 16 − 1 = 15 , поэтому фундаментальная группа G — это свободная группа с 9 образующими. ^[6] Обратите внимание, что G имеет 9 «дырок», аналогично букету из 9 кругов, который имеет ту же фундаментальную группу.

Группы узлов

Узел трилистник .

Группы узлов по определению являются фундаментальной группой дополнения к узлу K , вложенному в. Например, группа узлов узла- трилистника , как известно, является группой кос , что дает еще один пример неабелевой фундаментальной группы. Представление Виртингера явноописывает группы узлов в терминах генераторов и отношений, основанных на диаграмме узла. Следовательно, группы узлов имеют некоторое применение в теории узлов для различения узлов: еслиона не изоморфна какой-либо другой группе узловдругого узла K' , то K не может быть преобразована в K' . Таким образом, узел-трилистник не может непрерывно трансформироваться в круг (также известный как неузел ), поскольку последний имеет группу узлов. Существуют, однако, узлы, которые не могут деформироваться друг в друга, но имеют изоморфные группы узлов. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle B_{3},}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K')}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Ориентированные поверхности

Фундаментальную группу ориентируемой поверхности рода n можно вычислить с помощью образующих и соотношений как

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1},\ldots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .}$

Сюда входит тор , являющийся случаем рода 1, фундаментальная группа которого равна

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\right.\right\rangle \cong \mathbb {Z} ^{2}.}$

Топологические группы

Фундаментальная группа топологической группы X (по отношению к базовой точке, являющейся нейтральным элементом) всегда коммутативна. В частности, фундаментальная группа группы Ли коммутативна. Фактически, групповая структура на X наделяется другой групповой структурой: учитывая два цикла и в X , другой цикл может быть определен с помощью группового умножения в X : ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma '}$ ${\displaystyle \gamma \star \gamma '}$

${\displaystyle (\gamma \star \gamma ')(x)=\gamma (x)\cdot \gamma '(x).}$

Эта бинарная операция над множеством всех циклов априори независима от описанной выше. Однако аргумент Экмана-Хилтона показывает, что он действительно согласуется с вышеупомянутым объединением петель и, более того, что полученная групповая структура является абелевой. ^{[7] [8]} ${\displaystyle \star }$

Анализ доказательства показывает, что, в более общем смысле, оно является абелевым для любого H-пространства X , т. е. умножение не обязательно должно иметь обратное и не должно быть ассоциативным. Например, это показывает, что фундаментальная группа пространства петель другого топологического пространства Y является абелевой. Связанные идеи привели к вычислению Хайнцем Хопфом когомологий группы Ли . ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X=\Omega (Y),}$

Функциональность

Если — непрерывное отображение и with , то каждый цикл in с базовой точкой можно составить с , чтобы получить цикл in с базовой точкой. Эта операция совместима с отношением гомотопической эквивалентности и с композицией циклов. Результирующий групповой гомоморфизм , называемый индуцированным гомоморфизмом , записывается как или, чаще, ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle y_{0}\in Y}$ ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y_{0}.}$ ${\displaystyle \pi (f)}$

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0}).}$

Это отображение непрерывных отображений на гомоморфизмы групп совместимо с композицией отображений и тождественными морфизмами . На языке теории категорий формирование, связывающее топологическое пространство с его фундаментальной группой, является, следовательно, функтором .

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}\colon \mathbf {Top} _{*}&\to \mathbf {Grp} \\(X,x_{0})&\mapsto \pi _{1}(X,x_{0})\end{aligned}}}$

из категории топологических пространств вместе с базовой точкой в ​​категорию групп . Оказывается, этот функтор не различает отображения, гомотопные относительно базовой точки: если являются непрерывными отображениями с , а f и g гомотопны относительно { x ₀ }, то f _∗ = g _∗ . Как следствие, два гомотопически эквивалентных линейно-связных пространства имеют изоморфные фундаментальные группы: ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ ${\displaystyle f(x_{0})=g(x_{0})=y_{0}}$

${\displaystyle X\simeq Y\implies \pi _{1}(X,x_{0})\cong \pi _{1}(Y,y_{0}).}$

Например, включение окружности в проколотую плоскость

${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}}$

является гомотопической эквивалентностью и, следовательно, дает изоморфизм их фундаментальных групп.

Фундаментальный групповой функтор переводит продукты в продукты , а сопутствующие произведения в сопутствующие произведения . То есть, если X и Y связаны путями, то

${\displaystyle \pi _{1}(X\times Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi _{1}(X,x_{0})\times \pi _{1}(Y,y_{0})}$

и если они еще и локально стягиваемы , то

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).}$

(В последней формуле обозначает клиновую сумму заостренных топологических пространств и свободное произведение групп.) Последняя формула представляет собой частный случай теоремы Зейферта – Ван Кампена , которая утверждает, что фундаментальный групповой функтор переводит выталкивания вдоль включений в отжимания. ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle *}$

Абстрактные результаты

Как упоминалось выше, вычисление фундаментальной группы даже относительно простых топологических пространств, как правило, не совсем тривиально, но требует некоторых методов алгебраической топологии .

Связь с первой группой гомологии

Абелианизацию фундаментальной группы можно отождествить с первой группой гомологии пространства.

Частный случай теоремы Гуревича утверждает, что первая сингулярная группа гомологии , говоря в просторечии, является ближайшим приближением к фундаментальной группе с помощью абелевой группы. Более подробно, отображение гомотопического класса каждой петли в класс гомологий петли дает групповой гомоморфизм ${\displaystyle H_{1}(X)}$

${\displaystyle \pi _{1}(X)\to H_{1}(X)}$

от фундаментальной группы топологического пространства X к его первой особой группе гомологий. Этот гомоморфизм, вообще говоря, не является изоморфизмом, поскольку фундаментальная группа может быть неабелевой, но группа гомологий по определению всегда абелева. Это отличие, однако, единственное: если X линейно связен, этот гомоморфизм сюръективен и его ядро ​​является коммутантом фундаментальной группы, так что оно изоморфно абелианизации фундаментальной группы. ^[9] ${\displaystyle H_{1}(X).}$ ${\displaystyle H_{1}(X)}$

Склеивание топологических пространств

Обобщая приведенное выше утверждение, для семейства пространств, связных путями, фундаментальная группа является свободным произведением фундаментальных групп из ^[10]. Этот факт является частным случаем теоремы Зейферта – Ван Кампена , которая позволяет вычислить, в более общем смысле, фундаментальные группы пространств, склеенные из других пространств. Например, 2-сферу можно получить, склеив две копии слегка перекрывающихся полусфер вдоль окрестности экватора . В этом случае теорема тривиальна, поскольку две полусферы сжимаемы и, следовательно, имеют тривиальную фундаментальную группу. Фундаментальные группы поверхностей, как упоминалось выше, также можно вычислить с помощью этой теоремы. ${\displaystyle X_{i},}$ ${\textstyle \pi _{1}\left(\bigvee _{i\in I}X_{i}\right)}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(S^{2})}$

На языке теории категорий теорему можно кратко сформулировать, сказав, что фундаментальный групповой функтор переводит выталкивания (в категории топологических пространств) вдоль включений в выталкивания (в категории групп). ^[11]

Покрытия

Карта является покрытием: прообраз U (выделен серым цветом) представляет собой непересекающееся объединение копий U . Более того, оно является универсальным накрытием, поскольку стягиваемо и, следовательно, односвязно. ${\displaystyle \mathbb {R} \times [0,1]\to S^{1}\times [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times [0,1]}$

Учитывая топологическое пространство B , непрерывное отображение

${\displaystyle f:E\to B}$

называется покрытием , а E называется покрывающим пространством B , если каждая точка b в B допускает открытую окрестность U такую , что существует гомеоморфизм между прообразом U и несвязным объединением копий U (индексированных некоторым множеством I ) ,

${\displaystyle \varphi :\bigsqcup _{i\in I}U\to f^{-1}(U)}$

таким образом, что это стандартная карта проекции ^[12] ${\displaystyle \pi \circ \varphi }$ ${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}U\to U.}$

Универсальное покрытие

Покрытие называется универсальным, если E , помимо предыдущего условия, односвязно. ^[13] Оно универсально в том смысле, что все остальные покрытия могут быть построены путем подходящего определения точек в E . Зная универсальное покрытие

${\displaystyle p:{\widetilde {X}}\to X}$

Топологического пространства X полезно понять его фундаментальную группу несколькими способами: во-первых, он отождествляется с группой преобразований колоды , т. е. с группой гомеоморфизмов , которые коммутируют с отображением в X , т. е. Другое отношение к фундаментальной группе состоит в том, что можно отождествить с волокном. Например, карта ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \varphi :{\widetilde {X}}\to {\widetilde {X}}}$ ${\displaystyle p\circ \varphi =p.}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle p^{-1}(x).}$

${\displaystyle p:\mathbb {R} \to S^{1},\,t\mapsto \exp(2\pi it)}$

(или, что то же самое, ) является универсальным накрытием. Преобразования колоды являются картами для Это соответствует идентификации, в частности, это доказывает приведенное выше утверждение. ${\displaystyle \pi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,\ t\mapsto [t]}$ ${\displaystyle t\mapsto t+n}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle p^{-1}(1)=\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} .}$

Любое линейно-связное, локально-путное и локально односвязное топологическое пространство X допускает универсальное накрытие. ^[14] Абстрактная конструкция аналогична фундаментальной группе, беря пары ( x , γ), где x — точка в X , а γ — гомотопический класс путей от x ₀ до x . Переход от топологического пространства к его универсальному накрытию можно использовать для понимания геометрии X. Например, теорема униформизации показывает, что любая односвязная риманова поверхность (изоморфна) либо верхней полуплоскости , либо верхней полуплоскости . ^[15] Общие римановы поверхности тогда возникают как факторы групповых действий на этих трех поверхностях. ${\displaystyle S^{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Фактор свободного действия дискретной группы G на односвязном пространстве Y имеет фундаментальную группу

${\displaystyle \pi _{1}(Y/G)\cong G.}$

Например, реальное n -мерное реальное проективное пространство получается как фактор n -мерной единичной сферы по антиподальному действию группы, отправляющей в As односвязное для n ≥ 2, оно является универсальным покрытием в этих случаях, что означает для n ≥ 2. ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle x\in S^{n}}$ ${\displaystyle -x.}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n})\cong \mathbb {Z} /2}$

Группы лжи

Пусть G — связная односвязная компактная группа Ли , например специальная унитарная группа SU( n ) , и пусть Γ — конечная подгруппа в G. Тогда однородное пространство X  =  G /Γ имеет фундаментальную группу Γ, действующую умножением справа на универсальное накрывающее пространство G . Среди множества вариантов этой конструкции один из наиболее важных дают локально-симметрические пространства X  = Γ \ G / K , где

• G — некомпактная односвязная связная группа Ли (часто полупростая ),
• K — максимальная компактная подгруппа группы G
• Γ — дискретная счетная подгруппа без кручения в G .

В этом случае фундаментальной группой является Γ, а универсальное накрывающее пространство G / K фактически стягиваемо (по разложению Картана для групп Ли).

В качестве примера возьмем G  = SL(2, R ), K  = SO(2) и Γ любую конгруэнтную подгруппу без кручения модулярной группы SL(2, Z ).

Из явной реализации также следует, что универсальное накрытие линейно связной топологической группы H снова является линейно связной топологической группой G . Более того, накрывающее отображение представляет собой непрерывный открытый гомоморфизм группы G на H с ядром Γ — замкнутой дискретной нормальной подгруппой группы G :

${\displaystyle 1\to \Gamma \to G\to H\to 1.}$

Поскольку G — связная группа с непрерывным действием сопряжением на дискретной группе Γ, она должна действовать тривиально, так что Γ должна быть подгруппой центра группы G . В частности, π ₁ ( H ) = Γ — абелева группа ; это также можно легко увидеть непосредственно, не используя перекрывающие пространства. Группа G называется универсальной накрывающей группой H. 

Как предполагает универсальная покрывающая группа, существует аналогия между фундаментальной группой топологической группы и центром группы; это разработано в Решетке покрывающих групп .

Расслоения

Расслоения предоставляют очень мощное средство для вычисления гомотопических групп. Расслоениетак называемого тотального пространства и базового пространства B обладает, в частности, тем свойством, что все его слоигомотопически эквивалентны и, следовательно, не могут быть различены с помощью фундаментальных групп (и высших гомотопических групп), при условии, что B является путем -связанный. ^[16] Следовательно, пространство E можно рассматривать как « скрученное произведение» базового пространства B и слоя. Большое значение расслоений для вычисления гомотопических групп проистекает из длинной точной последовательности ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ ${\displaystyle F=f^{-1}(b).}$

${\displaystyle \dots \to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E)}$

при условии, что B является связным по пути. ^[17] Этот термин представляет собой вторую гомотопическую группу B , которая определяется как набор гомотопических классов отображений из в B , по прямой аналогии с определением ${\displaystyle \pi _{2}(B)}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}.}$

Если E оказывается линейно-связным и односвязным, эта последовательность сводится к изоморфизму

${\displaystyle \pi _{1}(B)\cong \pi _{0}(F)}$

что обобщает приведенный выше факт об универсальном накрытии (что соответствует случаю, когда слой F также дискретен). Если вместо этого F оказывается связным и односвязным, оно сводится к изоморфизму.

${\displaystyle \pi _{1}(E)\cong \pi _{1}(B).}$

Более того, последовательность можно продолжить слева с высшими гомотопическими группами трех пространств, что дает некоторый доступ к вычислению таких групп в том же духе. ${\displaystyle \pi _{n}}$

Классические группы Ли

Такие последовательности слоев можно использовать для индуктивного вычисления фундаментальных групп компактных классических групп Ли, таких как специальная унитарная группа с Эта группа действует транзитивно на единичной сфере внутри . Стабилизатор точки в сфере изоморфен Ему, тогда можно показать ^[18 ] ^] что это дает последовательность волокон ${\displaystyle \mathrm {SU} (n),}$ ${\displaystyle n\geq 2.}$ ${\displaystyle S^{2n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}.}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n-1).}$

${\displaystyle \mathrm {SU} (n-1)\to \mathrm {SU} (n)\to S^{2n-1}.}$

Так как сфера имеет размерность не менее 3, откуда следует ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle S^{2n-1}}$

${\displaystyle \pi _{1}(S^{2n-1})\cong \pi _{2}(S^{2n-1})=1.}$

Тогда длинная точная последовательность демонстрирует изоморфизм

${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SU} (n))\cong \pi _{1}(\mathrm {SU} (n-1)).}$

Поскольку это одна точка, так что это тривиально, это показывает, что она просто связна для всех ${\displaystyle \mathrm {SU} (1)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SU} (1))}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ ${\displaystyle n.}$

Фундаментальную группу некомпактных групп Ли можно свести к компактному случаю, поскольку такая группа гомотопна своей максимальной компактной подгруппе. ^[19] Эти методы дают следующие результаты: ^[20]

Второй метод вычисления фундаментальных групп применим ко всем связным компактным группам Ли и использует аппарат максимального тора и связанную с ним систему корней . В частности, пусть – максимальный тор в связной компактной группе Ли , а – алгебра Ли экспоненциального отображения . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle T.}$

${\displaystyle \exp :{\mathfrak {t}}\to T}$

является расслоением, и поэтому его ядро ​​отождествляется с отображением ${\displaystyle \Gamma \subset {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(T).}$

${\displaystyle \pi _{1}(T)\to \pi _{1}(K)}$

можно показать, что оно сюръективно ^[21] с ядром, заданным множеством I целочисленной линейной комбинации кокорней . Это приводит к вычислению

${\displaystyle \pi _{1}(K)\cong \Gamma /I.}$^[22]

Этот метод показывает, например, что любая связная компактная группа Ли, для которой соответствующая корневая система имеет тип ${\displaystyle G_{2}}$ , является односвязной. ^[23] Таким образом, существует (с точностью до изоморфизма) только одна связная компактная группа Ли, имеющая алгебру Ли типа ; эта группа односвязна и имеет тривиальный центр. ${\displaystyle G_{2}}$

Группа ребер-путей симплициального комплекса

Когда топологическое пространство гомеоморфно симплициальному комплексу , его фундаментальная группа может быть описана явно в терминах образующих и отношений .

Если X — связный симплициальный комплекс, путь ребра в X определяется как цепочка вершин, соединенных ребрами в X . Два реберных пути называются реберно-эквивалентными , если один можно получить из другого путем последовательного переключения между ребром и двумя противоположными ребрами треугольника в X . Если v — фиксированная вершина в X , петля ребер в v — это путь ребра, начинающийся и заканчивающийся в v . Группа реберных путей E ( X ,  v ) определяется как набор классов эквивалентности ребер реберных петель в точке v , с произведением и обратным значением, определяемым конкатенацией и обращением реберных петель.

Группа ребер-путей естественно изоморфна π ₁ (| X  |,  v ), фундаментальной группе геометрической реализации | Х  | из Х. _ ^[24] Поскольку он зависит только от 2-остова X ² множества X (т. е. от вершин, ребер и треугольников X ), группы π ₁ (| X  |, v ) и π ₁ (| X ² | ,  v ) изоморфны.

Группу ребер-путей можно явно описать с помощью генераторов и отношений . Если T — максимальное остовное дерево в 1-скелете X , то E ( X ,  v ) канонически изоморфно группе с генераторами (ориентированные реберные пути X , не встречающиеся в T ) и отношениями (реберные эквивалентности соответствующие треугольникам в X ). Аналогичный результат имеет место, если T заменить любым односвязным , в частности стягиваемым, подкомплексом X . Это часто дает практический способ вычисления фундаментальных групп и может быть использовано, чтобы показать, что каждая конечно представленная группа возникает как фундаментальная группа конечного симплициального комплекса. Это также один из классических методов, используемых для топологических поверхностей , которые классифицируются по их фундаментальным группам.

Универсальное накрывающее пространство конечного связного симплициального комплекса X также можно описать непосредственно как симплициальный комплекс с использованием реберных путей. Его вершинами являются пары ( w ,γ), где w — вершина X , а γ — класс рёберной эквивалентности путей из v в w . k -симплексы, содержащие ( w ,γ) , естественным образом соответствуют k -симплексам, содержащим w . Каждая новая вершина u k -симплекса дает ребро wu и, следовательно, посредством конкатенации новый путь γ _u из v в u . Точки ( w ,γ) и ( u ,γu ₎ являются вершинами «переносимого» симплекса в универсальном накрывающем пространстве. Группа ребер-путей действует естественным путем путем конкатенации, сохраняя симплициальную структуру, а факторпространство — это просто X .

Хорошо известно, что этот метод можно использовать и для вычисления фундаментальной группы произвольного топологического пространства. Это, несомненно, было известно Эдуарду Чеху и Жану Лере и явно появилось как замечание в статье Андре Вейля ; ^[25] различные другие авторы, такие как Лоренцо Калаби, У Вэнь-цюн и Нодар Берикашвили, также опубликовали доказательства. В простейшем случае компакта X с конечным открытым покрытием, в котором все непустые конечные пересечения открытых множеств в покрытии стягиваемы, фундаментальную группу можно отождествить с группой путей ребер симплициального комплекса, соответствующей нерв покрова .

Реализуемость

• Каждую группу можно реализовать как фундаментальную группу связного CW -комплекса размерности 2 (или выше). Однако, как отмечалось выше, в качестве фундаментальных групп одномерных CW-комплексов (то есть графов) могут выступать только свободные группы .
• Любая конечно определенная группа может быть реализована как фундаментальная группа компактного связного гладкого многообразия размерности 4 (или выше). Но существуют строгие ограничения на то, какие группы могут выступать в качестве фундаментальных групп маломерных многообразий. Например, никакая свободная абелева группа ранга 4 или выше не может быть реализована как фундаментальная группа многообразия размерности 3 или меньше. Можно доказать, что каждая группа может быть реализована как фундаментальная группа компакта Хаусдорфа тогда и только тогда, когда не существует измеримого кардинала . ^[26]

Связанные понятия

Высшие гомотопические группы

Грубо говоря, фундаментальная группа обнаруживает одномерную дырочную структуру пространства, но не дыры в более высоких измерениях, например, в двухмерной сфере. Такие «дыры более высокой размерности» можно обнаружить с помощью групп высших гомотопий , которые определяются как состоящие из гомотопических классов (сохраняющих базовую точку) отображений от до X. Например, из теоремы Гуревича следует, что для всех n -я гомотопическая группа n -сферы равна ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \pi _{n}(S^{n})=\mathbb {Z} .}$^[27]

Как упоминалось выше при вычислении классических групп Ли, высшие гомотопические группы могут быть полезны даже для вычисления фундаментальных групп. ${\displaystyle \pi _{1}}$

Циклическое пространство

Набор базовых петель (как есть, т.е. не доведенных до гомотопии) в точечном пространстве X , наделенном компактной открытой топологией , известен как пространство петель , обозначаемое Фундаментальная группа X находится в биекции с множеством путей компоненты его пространства петель: ^[28] ${\displaystyle \Omega X.}$

${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \pi _{0}(\Omega X).}$

Фундаментальный группоид

Фундаментальный группоид — это вариант фундаментальной группы, который полезен в ситуациях, когда выбор базовой точки нежелателен. Он определяется путем сначала рассмотрения категории путей , т . е. непрерывных функций ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \gamma \colon [0,r]\to X}$,

где r — произвольное неотрицательное действительное число. Поскольку в этом подходе длина r является переменной, такие пути могут быть объединены как есть (т. е. не с точностью до гомотопии) и, следовательно, дать категорию. ^[29] Два таких пути с одинаковыми конечными точками и длиной r , соответственно. r' считаются эквивалентными, если существуют такие действительные числа, что и гомотопны относительно своих концов, где ^{[30] [31]} ${\displaystyle \gamma ,\gamma '}$ ${\displaystyle u,v\geqslant 0}$ ${\displaystyle r+u=r'+v}$ ${\displaystyle \gamma _{u},\gamma '_{v}\colon [0,r+u]\to X}$ ${\displaystyle \gamma _{u}(t)={\begin{cases}\gamma (t),&t\in [0,r]\\\gamma (r),&t\in [r,r+u].\end{cases}}}$

Категория путей до этого отношения эквивалентности обозначается. Каждый морфизм в является изоморфизмом с обратным, заданным тем же путем, пройденным в противоположном направлении. Такая категория называется группоидом . Он воспроизводит фундаментальную группу, поскольку ${\displaystyle \Pi (X).}$ ${\displaystyle \Pi (X)}$

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\mathrm {Hom} _{\Pi (X)}(x_{0},x_{0})}$.

В более общем плане можно рассматривать фундаментальный группоид на множестве A базовых точек, выбранных в соответствии с геометрией ситуации; например, в случае круга, который можно представить как объединение двух связанных открытых множеств, пересечение которых имеет два компонента, можно выбрать одну базовую точку в каждом компоненте. Теорема Ван Кампена допускает версию для фундаментальных группоидов, которая дает, например, другой способ вычисления фундаментальной группы (оида) из ^[32] ${\displaystyle S^{1}.}$

Локальные системы

Вообще говоря, представления могут служить для демонстрации особенностей группы путем ее воздействия на другие математические объекты, часто векторные пространства . Представления фундаментальной группы имеют весьма геометрическое значение: любая локальная система (т. е. пучок на X со свойством, что локально в достаточно малой окрестности U любой точки на X ограничение F является постоянным пучком вида ) порождает так называемое представление монодромии — представление фундаментальной группы в n - мерном векторном пространстве. И наоборот , любое такое представление в линейно-связном пространстве X возникает таким образом. ^[33] Эта эквивалентность категорий между представлениями и локальными системами используется, например, при изучении дифференциальных уравнений , таких как уравнения Книжника–Замолодчикова . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}=\mathbb {Q} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Этальная фундаментальная группа

В алгебраической геометрии в качестве замены фундаментальной группы используется так называемая этальная фундаментальная группа. ^[34] Поскольку топология Зарисского на алгебраическом многообразии или схеме X гораздо грубее , чем, скажем, топология открытых подмножеств в ней, уже нет смысла рассматривать непрерывные отображения интервала в X . Вместо этого подход, развитый Гротендиком , состоит в построении с учетом всех конечных этальных накрытий X . Они служат алгебро-геометрическим аналогом покрытий с конечными слоями. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{\text{et}}}$

Это дает теорию, применимую в ситуации, когда классическая топологическая интуиция большой общности недоступна, например, для многообразий, определенных над конечным полем . Кроме того, этальная фундаментальная группа поля — это его ( абсолютная ) группа Галуа . С другой стороны, для гладких многообразий X над комплексными числами этальная фундаментальная группа сохраняет большую часть информации, присущей классической фундаментальной группе: первая является проконечным пополнением второй. ^[35]

Фундаментальная группа алгебраических групп

Фундаментальная группа корневой системы определяется аналогично вычислению групп Ли. ^[36] Это позволяет определить и использовать фундаментальную группу полупростой линейной алгебраической группы G , которая является полезным основным инструментом в классификации линейных алгебраических групп. ^[37]

Фундаментальная группа симплициальных множеств

Отношение гомотопии между 1-симплексами симплициального множества X является отношением эквивалентности, если X является комплексом Кана , но в общем случае это не обязательно так. ^[38] Таким образом, комплекс Кана можно определить как множество гомотопических классов 1-симплексов. Фундаментальная группа произвольного симплициального множества X определяется как гомотопическая группа его топологической реализации, т. е. топологическое пространство, полученное путем склейки топологических симплексов, как предписано структурой симплициального множества X . ^[39] ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle |X|,}$

Смотрите также

• Фундаментальная группа орбифолда
• Фундаментальная групповая схема

Примечания

1. Пуанкаре, Анри (1895). «Анализ места». Журнал Политехнической школы . (2) (на французском языке). 1 :1–123.Переведено Пуанкаре, Анри (2009). «Анализ места» (PDF) . Статьи по топологии: анализ ситуации и пять дополнений к нему . Перевод Джона Стиллвелла . стр. 18–99. Архивировано (PDF) из оригинала 27 марта 2012 г.
2. Май (1999, глава 1, §6)
3. Мэсси (1991, глава V, §9)
4. «Значение фундаментальной группы графа». Математический обмен стеками . Проверено 28 июля 2020 г.
5. Саймон, Дж (2008). «Пример расчета фундаментальной группы графа G» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 28 июля 2020 г.
6. "Фундаментальные группы связанных графов - Matonline" . mathonline.wikidot.com . Проверено 28 июля 2020 г.
7. Стром (2011, задача 9.30, 9.31), Холл (2015, упражнение 13.7)
8. Доказательство: учитывая два цикла в, определите отображение путем поточечного умножения в. Рассмотрим гомотопическое семейство путей в прямоугольнике от до , которое начинается с горизонтального, затем вертикального пути, движется по различным диагональным путям и заканчивается вертикальным, затем вертикальным путем. горизонтальный путь. Составление этого семейства с дает гомотопию , которая показывает, что фундаментальная группа абелева. ${\displaystyle \alpha ,\beta :[0,1]\to G}$ ${\displaystyle \pi _{1}(G),}$ ${\displaystyle A\colon [0,1]\times [0,1]\to G}$ ${\displaystyle A(s,t)=\alpha (s)\cdot \beta (t),}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle (s,t)=(0,0)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha *\beta \sim \beta *\alpha ,}$
9. Фултон (1995, предложение 12.22)
10. Май (1999, Глава 2, §8, Предложение)
11. Май (1999, гл. 2, §7)
12. Хэтчер (2002, §1.3)
13. Хэтчер (2002, стр. 65)
14. Хэтчер (2002, предложение 1.36)
15. Форстер (1981, теорема 27.9)
16. Хэтчер (2002, предложение 4.61)
17. Хэтчер (2002, теорема 4.41)
18. Холл (2015, предложение 13.8)
19. Холл (2015, раздел 13.3)
20. Холл (2015, предложение 13.10)
21. Бамп (2013, пункт 23.7)
22. Холл (2015, следствие 13.18)
23. Холл (2015, пример 13.45)
24. Певец, Исадор ; Торп, Джон А. (1967). Конспект лекций по элементарной топологии и геометрии . Спрингер-Верлаг. п. 98. ИСБН 0-387-90202-3.
25. Андре Вейль , О дискретных подгруппах групп Ли , Annals of Mathematics 72 (1960), 369-384.
26. Адам Пшездецки, Измеримые кардиналы и фундаментальные группы компактных пространств, Fundamenta Mathematicae 192 (2006), 87-92 [1]
27. Хэтчер (2002, §4.1)
28. Адамс (1978, стр. 5)
29. Браун (2006, §6.1)
30. Браун (2006, §6.2)
31. Кроуэлл и Фокс (1963) используют другое определение, изменяя параметры путей до длины 1 .
32. Браун (2006, §6.7)
33. Эль Зейн и др. (2010, стр. 117, п. 1.7)
34. Гротендик и Рейно (2003).
35. Гротендик и Рейно (2003, Exposé XII, Cor. 5.2).
36. Хамфрис (1972, §13.1)
37. Хамфрис (2004, §31.1)
38. Гёрсс и Жардин (1999, §I.7)
39. Гёрсс и Жардин (1999, §I.11)

Рекомендации

• Адамс, Джон Франк (1978), Пространства бесконечных петель , Анналы математических исследований, том. 90, Издательство Принстонского университета , ISBN 978-0-691-08207-3, МР  0505692
• Браун, Рональд (2006), Топология и группоиды, Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8
• Бамп, Дэниел (2013), Группы лжи , Тексты для выпускников по математике, том. 225 (2-е изд.), Springer, номер документа : 10.1007/978-1-4614-8024-2, ISBN. 978-1-4614-8023-5
• Кроуэлл, Ричард Х.; Фокс, Ральф (1963), Введение в теорию узлов , Спрингер
• Эль Зейн, Фуад; Сучу, Александр И.; Тосун, Мерал; Улудаг, Мухаммед; Юзвинский, Сергей (2010), Расположение, локальные системы и особенности: Летняя школа CIMPA, Университет Галатасарай, Стамбул, 2007 , ISBN 978-3-0346-0208-2
• Форстер, Отто (1981), Лекции о римановых поверхностях , ISBN 0-387-90617-7
• Фултон, Уильям (1995), Алгебраическая топология: первый курс , Springer, ISBN 9780387943275
• Гёрсс, Пол Г.; Джардин, Джон Ф. (1999), Симплициальная теория гомотопии , Progress in Mathematics, vol. 174, Базель, Бостон, Берлин: Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-6064-1
• Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe Fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) , Париж: Société Mathématique de France , стр. xviii+327 , см. Эксп. V, IX, X, arXiv : math.AG/0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
• Хэтчер, Аллен (2002), алгебраическая топология, издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79540-0
• Питер Хилтон и Шон Уайли , Теория гомологии , издательство Кембриджского университета (1967) [предупреждение: эти авторы используют контрагомологии для когомологий ]
• Хамфрис, Джеймс Э. (2004), Линейные алгебраические группы , Тексты для выпускников по математике, Springer, ISBN 9780387901084
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , ISBN 0-387-90052-7
• Маундер, CRF (январь 1996 г.), Алгебраическая топология , Dover Publications , ISBN 0-486-69131-4
• Мэсси, Уильям С. (1991), Базовый курс алгебраической топологии , Springer, ISBN 038797430X
• Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии , ISBN 9780226511832
• Дин Монтгомери и Лео Зиппин, Группы топологических преобразований , Interscience Publishers (1955)
• Манкрес, Джеймс Р. (2000), Топология , Прентис Холл , ISBN 0-13-181629-2
• Ротман, Джозеф (22 июля 1998 г.), Введение в алгебраическую топологию , Springer-Verlag , ISBN 0-387-96678-1
• Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь , Берлин/Бостон: Уолтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3
• Зайферт, Герберт ; Трелфолл, Уильям (1980), Учебник топологии , перевод Хайля, Вольфганга, Academic Press , ISBN 0-12-634850-2
• Певец, Айседор. М .; Торп, Дж. А. (10 декабря 1976 г.), Конспекты лекций по элементарной топологии и геометрии , ISBN 0-387-90202-3
• Спэньер, Эдвин Х. (1989), Алгебраическая топология , Springer, ISBN 0-387-94426-5
• Стром, Джеффри (2011), Современная классическая теория гомотопии , AMS, ISBN 9780821852866

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Фундаментальная группа». Математический мир .
• Дилан Г.Л. Аллегретти, Симплициальные множества и теорема Ван Кампена: обсуждение фундаментального группоида топологического пространства и фундаментального группоида симплициального множества
• Анимации Николя Делану, знакомящие с фундаментальной группой.
• Наборы базовых точек и фундаментальные группоиды: обсуждение mathoverflow
• Группоиды в математике