В математике , в частности в абстрактной алгебре , градуированное кольцо — это кольцо такое, что основная аддитивная группа является прямой суммой абелевых групп таких, что . Набор индексов обычно представляет собой набор неотрицательных целых чисел или набор целых чисел, но может быть любым моноидом . Разложение в прямую сумму обычно называют градацией или градуировкой .
Градуированный модуль определяется аналогично (точное определение см. ниже). Он обобщает градуированные векторные пространства . Градуированный модуль, который также является градуированным кольцом, называется градуированной алгеброй . Градуированное кольцо также можно рассматривать как градуированную -алгебру.
Ассоциативность не важна (фактически вообще не используется) в определении градуированного кольца ; следовательно, это понятие применимо и к неассоциативным алгебрам ; например, можно рассмотреть градуированную алгебру Ли .
Первые объекты
Обычно предполагается, что набор индексов градуированного кольца представляет собой набор неотрицательных целых чисел, если явно не указано иное. Именно об этом говорится в этой статье.
Градуированное кольцо — это кольцо , разложенное в прямую сумму
аддитивных групп таких, что
для всех неотрицательных целых чисел и .
Ненулевой элемент называется однородным степени . По определению прямой суммы каждый ненулевой элемент можно однозначно записать в виде суммы , где каждый равен 0 или однороден степени . Ненулевые являются однородными компонентами .
Некоторые основные свойства:
- является подкольцом ; в частности, мультипликативное тождество представляет собой однородный элемент нулевой степени.
- Для любого , является двусторонним -модулем , а разложение в прямую сумму - прямой суммой -модулей .
- является ассоциативной -алгеброй .
Идеал однороден , если для каждого однородные компоненты также принадлежат . (Точно, если это градуированный подмодуль ; см . § Градуированный модуль .) Пересечение однородного идеала с - подмодулем называется однородной частью степени . Однородный идеал — это прямая сумма его однородных частей.
Если – двусторонний однородный идеал в , то – также градуированное кольцо, разлагаемое как
где – однородная часть степени .
Основные примеры
- Любому (неградуированному) кольцу R можно присвоить градуировку, полагая , и при i ≠ 0. Это называется тривиальной градуировкой на R .
- Кольцо многочленов градуировано по степени : оно представляет собой прямую сумму состоящих из однородных многочленов степени i .
- Пусть S — множество всех ненулевых однородных элементов в градуированной области целостности R. Тогда локализация R относительно S является -градуированным кольцом.
- Если I — идеал в коммутативном кольце R , то это градуированное кольцо, называемое ассоциированным градуированным кольцом R вдоль I ; геометрически это координатное кольцо нормального конуса вдоль подмногообразия , определенного I .
- Пусть X — топологическое пространство , H i ( X ; R ) — i-я группа когомологий с коэффициентами в кольце R. Тогда H * ( X ; R ), кольцо когомологий X с коэффициентами из R , является градуированным кольцом, основная группа которого имеет мультипликативную структуру, заданную произведением чашки .
Градуированный модуль
Соответствующая идея в теории модулей — это идея градуированного модуля , а именно левого модуля M над градуированным кольцом R такого, что также
и
Пример : градуированное векторное пространство является примером градуированного модуля над полем (поле имеет тривиальную градуировку).
Пример : градуированное кольцо — это градуированный модуль над самим собой. Идеал в градуированном кольце однороден тогда и только тогда, когда он является градуированным подмодулем. Аннулятор градуированного модуля — однородный идеал .
Пример : Для идеала I в коммутативном кольце R и R -модуля M прямая сумма является градуированным модулем над соответствующим градуированным кольцом .
Морфизм между градуированными модулями, называемый градуированным морфизмом , — это морфизм базовых модулей, который учитывает градуировку; то есть, . Градуированный подмодуль — это подмодуль, который сам по себе является градуированным модулем и такой, что теоретико-множественное включение является морфизмом градуированных модулей. Явно, градуированный модуль N является градуированным подмодулем M тогда и только тогда, когда он является подмодулем M и удовлетворяет условиям . Ядро и образ морфизма градуированных модулей являются градуированными подмодулями.
Замечание: Придать градуированный морфизм градуированного кольца другому градуированному кольцу с образом, лежащим в центре, — то же самое, что придать последнему кольцу структуру градуированной алгебры.
Для данного градуированного модуля -твист является градуированным модулем, определяемым ( ср. скручивающий пучок Серра в алгебраической геометрии ).
Пусть M и N — градуированные модули. Если – морфизм модулей, то говорят, что f имеет степень d, если . Внешняя производная дифференциальных форм в дифференциальной геометрии является примером такого морфизма, имеющего степень 1.
Инварианты градуированных модулей
Учитывая градуированный модуль M над коммутативным градуированным кольцом R , можно связать формальный степенной ряд :
(при условии, что они конечны.) Это называется рядом Гильберта – Пуанкаре M .
Градуированный модуль называется конечно порожденным, если базовый модуль конечно порожден . Генераторы можно считать однородными (заменив генераторы их однородными частями).
Предположим, что R — кольцо полиномов , k — поле, а M — конечно порожденный градуированный модуль над ним. Тогда функция называется функцией Гильберта M. Функция совпадает с целочисленным полиномом для больших n, называемым полиномом Гильберта M .
Градуированная алгебра
Алгебра A над кольцом R называется градуированной алгеброй, если она градуирована как кольцо.
В обычном случае, когда кольцо R не градуировано (в частности, если R — поле), ему присваивается тривиальная градуировка (каждый элемент кольца R имеет степень 0). Таким образом, и градуированные куски являются R -модулями.
В случае, когда кольцо R также является градуированным кольцом, требуется, чтобы
Другими словами, мы требуем, чтобы A был градуированным левым модулем над R.
Примеры градуированных алгебр распространены в математике:
- Полиномиальные кольца . Однородные элементы степени n — это в точности однородные многочлены степени n .
- Тензорная алгебра векторного пространства V . Однородными элементами степени n являются тензоры порядка n , .
- Внешняя алгебра и симметрическая алгебра также являются градуированными алгебрами.
- Кольцо когомологий в любой теории когомологий также градуировано, будучи прямой суммой групп когомологий .
Градуированные алгебры широко используются в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии , гомологической алгебре и алгебраической топологии . Одним из примеров является тесная связь между однородными многочленами и проективными многообразиями (ср. Однородное координатное кольцо ).
G -градуированные кольца и алгебры
Приведенные выше определения были обобщены на кольца, градуированные с использованием любого моноида G в качестве набора индексов. G -градуированное кольцо R — это кольцо с разложением в прямую сумму
такой, что
Элементы R , лежащие внутри некоторых , называются однородными степени i .
Определенное ранее понятие «градуированного кольца» теперь становится тем же самым, что и --градуированное кольцо, где складывается моноид натуральных чисел . Определения градуированных модулей и алгебр также можно расширить таким образом, заменив набор индексов любым моноидом G .
Примечания:
- Если мы не требуем, чтобы кольцо имело единицу, полугруппы могут заменить моноиды.
Примеры:
Антикоммутативность
Некоторые градуированные кольца (или алгебры) наделены антикоммутативной структурой. Это понятие требует гомоморфизма моноида градации в аддитивный моноид поля с двумя элементами. В частности, подписанный моноид состоит из пары где – моноид и – гомоморфизм аддитивных моноидов. Антикоммутативное градуированное кольцо — это кольцо А , градуированное относительно такого , что:
для всех однородных элементов x и y .
Примеры
- Внешняя алгебра является примером антикоммутативной алгебры, градуированной по структуре где – фактор-отображение.
- Суперкоммутативная алгебра (иногда называемая косокоммутативным ассоциативным кольцом ) — это то же самое, что и антикоммутативная -градуированная алгебра, где — тождественное отображение аддитивной структуры .
Градуированный моноид
Интуитивно понятно, что градуированный моноид — это подмножество градуированного кольца , порожденного буквами 's, без использования аддитивной части. То есть набор элементов градуированного моноида равен .
Формально градуированный моноид [1] — это моноид с функцией градации такой, что . Обратите внимание, что градация обязательно равна 0. Некоторые авторы, кроме того, требуют,
чтобы m не было тождественным.
Предполагая, что градации неединичных элементов ненулевые, количество элементов градации n не превышает где g - мощность порождающего множества G моноида. Поэтому число элементов градации n или меньше не более (при ) или иначе. Действительно, каждый такой элемент является произведением не более чем n элементов G и существуют только такие произведения. Аналогично, единичный элемент не может быть записан как произведение двух неидентичных элементов. То есть в таком градуированном моноиде нет единичного делителя .
Степенной ряд, индексированный градуированным моноидом
Эти понятия позволяют расширить понятие кольца степенных рядов . Вместо семейства индексов, равного , семейство индексирования может быть любым градуированным моноидом, предполагая, что число элементов степени n конечно, для каждого целого числа n .
Более формально, пусть – произвольное полукольцо и градуированный моноид. Затем обозначает полукольцо степенных рядов с коэффициентами из K , индексированными R . Его элементами являются функции от R до K. Сумма двух элементов определяется поточечно, это функция, отправляющая в , а произведение — это функция, отправляющая в бесконечную сумму . Эта сумма правильно определена (т. е. конечна), поскольку для каждого m существует только конечное число пар ( p , q ) таких, что pq = m .
Пример
В формальной теории языка , учитывая алфавит A , свободный моноид слов над A можно рассматривать как градуированный моноид, где градация слова равна его длине.
Смотрите также
Примечания
Цитаты
- ^ Сакарович, Жак (2009). «Часть II: Сила алгебры». Элементы теории автоматов . Перевод Томаса, Рубена. Издательство Кембриджского университета. п. 384. ИСБН 978-0-521-84425-3. Збл 1188.68177.
Рекомендации
- Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4, МР 1878556.
- Бурбаки, Н. (1974). «Гл. 1–3, 3 §3». Алгебра I. ISBN 978-3-540-64243-5.
- Стинбринк, Дж. (1977). «Форма пересечения квазиоднородных особенностей» (PDF) . Математическая композиция . 34 (2): 211–223 См. с. 211. ISSN 0010-437X.
- Мацумура, Х. (1989). «5 Теория размерности §S3 Градуированные кольца, функция Гильберта и функция Самуэля». Коммутативная теория колец. Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 8. Перевод Рида М. (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-71712-1.