Риманова поверхность

Одномерное комплексное многообразие

Риманова поверхность для многозначной комплексной функции f ( z ) = log( z ) в окрестности начала координат. Координаты ( x , y ) являются координатами z в комплексной плоскости; вертикальная координата представляет мнимую часть f ( z ), действительная часть которой представлена ​​оттенком.

В математике , в частности в комплексном анализе , риманова поверхность — это связное одномерное комплексное многообразие . Эти поверхности были впервые изучены и названы в честь Бернхарда Римана . Римановы поверхности можно рассматривать как деформированные версии комплексной плоскости : локально вблизи каждой точки они выглядят как участки комплексной плоскости, но глобальная топология может быть совершенно иной. Например, они могут выглядеть как сфера или тор или несколько склеенных вместе листов.

Примерами римановых поверхностей являются графики многозначных функций, таких как √z или log(z) , например, подмножество пар ( z,w ) ∈ C ² с w = log(z) .

Каждая риманова поверхность является поверхностью : двумерным вещественным многообразием , но оно содержит больше структур (в частности, комплексную структуру ). Наоборот, двумерное вещественное многообразие может быть превращено в риманову поверхность (обычно несколькими неэквивалентными способами) тогда и только тогда, когда оно ориентируемо и метризуемо . Учитывая это, сфера и тор допускают комплексные структуры, но лента Мёбиуса , бутылка Клейна и вещественная проективная плоскость — нет. Каждая компактная риманова поверхность является комплексной алгебраической кривой по теореме Чжоу и теореме Римана–Роха .

Определения

Существует несколько эквивалентных определений римановой поверхности.

1. Риманова поверхность X — это связное комплексное многообразие комплексной размерности один . Это означает, что X — это связное хаусдорфово пространство , снабженное атласом карт открытого единичного круга комплексной плоскости : для каждой точки x ∈ X существует окрестность x , гомеоморфная открытому единичному кругу комплексной плоскости, и требуется, чтобы отображения перехода между двумя перекрывающимися картами были голоморфными . ^[1]
2. Риманова поверхность — это ориентированное многообразие (действительной) размерности два — двусторонняя поверхность — вместе с конформной структурой . Опять же, многообразие означает, что локально в любой точке x из X пространство гомеоморфно подмножеству действительной плоскости. Дополнение «Риман» означает, что X наделено дополнительной структурой, которая позволяет измерять углы на многообразии, а именно классом эквивалентности так называемых римановых метрик . Две такие метрики считаются эквивалентными, если измеряемые ими углы одинаковы. Выбор класса эквивалентности метрик на X является дополнительными данными конформной структуры.

Сложная структура порождает конформную структуру путем выбора стандартной евклидовой метрики, заданной на комплексной плоскости, и переноса ее в X с помощью диаграмм. Показать, что конформная структура определяет сложную структуру, сложнее. ^[2]

Примеры

• Комплексная плоскость C является простейшей римановой поверхностью.
• Каждое непустое открытое подмножество комплексной плоскости U ⊆ C является римановой поверхностью. В более общем случае каждое непустое открытое подмножество римановой поверхности является римановой поверхностью.

  

  Сфера Римана и стереографическая проекция.

• 2-сфера S 2 ^имеет уникальную структуру поверхности Римана, называемую сферой Римана . Она имеет два открытых подмножества, которые мы отождествляем с комплексной плоскостью, стереографически проецируя из Северного или Южного полюсов

  ${\displaystyle \mathbf {C} \ {\stackrel {}{\hookrightarrow }}\ S^{2}\ {\stackrel {}{\hookleftarrow }}\ \mathbf {C} .}$

  На пересечении этих двух открытых множеств, составление одного вложения с обратным к другому дает

  ${\displaystyle \mathbf {C} ^{\times }\ \to \ \mathbf {C} ^{\times }\ \ \ \,\ \ \ z\ \mapsto \ z^{-1}.}$

  Это отображение перехода голоморфно, поэтому эти два вложения определяют структуру римановой поверхности на S ² . Как множества, S ² = C ∪ {∞}. Сфера Римана имеет другое описание, как проективная прямая CP ¹ = ( C ² - {0})/ C ^× .

  

  Тор.

• 2 -тор T ² имеет много различных структур римановой поверхности, все в форме C /( Z  +  τ  Z ), где τ — любое комплексное недействительное число. Они называются эллиптическими кривыми .
• Важные примеры некомпактных римановых поверхностей дает аналитическое продолжение .

Алгебраические кривые

• Если P ( x,y ) — любой комплексный многочлен от двух переменных, то его исчезающее множество

  {( x,y ) : P ( x,y ) = 0} ^⊆ C2

  определяет риманову поверхность при условии, что на этом локусе нет точек с ∂P/∂x, ∂P/∂y = 0 (или мы ограничиваемся открытым подмножеством, не содержащим таких точек). Это пример алгебраической кривой .
• Каждая эллиптическая кривая является алгебраической кривой, заданной (компактизацией) геометрического места

  у ² = х ³ + ах + b

  для некоторых комплексных чисел a и b в зависимости от τ . Точка z ∈ C /( Z  +  τ  Z ) отправляется в ( x,y ) = (℘( z ),℘'( z )), где ℘ — эллиптическая функция Вейерштрасса .
• Аналогично, поверхности рода g имеют структуры римановых поверхностей, как ( компактификации ) гиперэллиптических поверхностей

  у ² = Q ( х ),

  где Q — комплексный многочлен степени 2 g  + 1 такой, что вышеприведенное не имеет особых точек . Когда g > 1, существуют другие структуры римановой поверхности рода g .

• 
  f ( z ) = arcsin z
• 
  f ( z ) = log z
• 
  f ( z ) = z ^1/2
• 
  f ( z ) = z ^1/3
• 
  f ( z ) = z ^1/4

Дополнительные определения и свойства

Как и в случае любого отображения между комплексными многообразиями, функция f : M → N между двумя римановыми поверхностями M и N называется голоморфной ^, если для каждой карты g в атласе M и каждой карты h в атласе N отображение h ∘ f ∘ g −1 голоморфно (как функция из C в C ) везде, где оно определено. Композиция двух голоморфных отображений голоморфна. Две римановы поверхности M и N называются биголоморфными (или конформно эквивалентными , чтобы подчеркнуть конформную точку зрения), если существует биективная голоморфная функция из M в N , обратная которой также голоморфна (оказывается, последнее условие является автоматическим и поэтому может быть опущено). Две конформно эквивалентные римановы поверхности для всех практических целей идентичны.

Ориентируемость

Каждая риманова поверхность, будучи комплексным многообразием, ориентируема как вещественное многообразие. Для комплексных карт f и g с функцией перехода h = f ( g ⁻¹ ( z )), h можно рассматривать как отображение из открытого множества R ² в R ^{2 ,} якобиан которого в точке z является просто вещественным линейным отображением, заданным умножением на комплексное число h '( z ). Однако вещественный определитель умножения на комплексное число α равен | α | ² , поэтому якобиан h имеет положительный определитель. Следовательно, комплексный атлас является ориентированным атласом.

Функции

Каждая некомпактная риманова поверхность допускает непостоянные голоморфные функции (со значениями в C ). Фактически, каждая некомпактная риманова поверхность является многообразием Штейна .

Напротив, на компактной римановой поверхности X каждая голоморфная функция со значениями в C является постоянной в силу принципа максимума . Однако всегда существуют непостоянные мероморфные функции (голоморфные функции со значениями в сфере Римана C ∪ {∞}). Точнее, функциональное поле X является конечным расширением C ( t ), функционального поля от одной переменной, т. е . любые две мероморфные функции алгебраически зависимы. Это утверждение обобщается на более высокие размерности, см. Siegel (1955). Мероморфные функции могут быть заданы довольно явно, в терминах тета-функций Римана и отображения Абеля–Якоби поверхности.

Алгебраичность

Все компактные римановы поверхности являются алгебраическими кривыми, поскольку они могут быть вложены в некоторые . Это следует из теоремы Кодаиры о вложении и того факта, что на любой комплексной кривой существует положительное линейное расслоение. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

Аналитический против алгебраического

Существование непостоянных мероморфных функций можно использовать для того, чтобы показать, что любая компактная риманова поверхность является проективным многообразием , т. е. может быть задана полиномиальными уравнениями внутри проективного пространства . На самом деле, можно показать, что каждая компактная риманова поверхность может быть вложена в комплексное проективное 3-пространство . Это удивительная теорема: римановы поверхности задаются локально заплаточными картами. Если добавить одно глобальное условие, а именно компактность, поверхность обязательно будет алгебраической. Эта особенность римановых поверхностей позволяет изучать их либо средствами аналитической, либо средствами алгебраической геометрии . Соответствующее утверждение для многомерных объектов ложно, т. е. существуют компактные комплексные 2-многообразия, которые не являются алгебраическими. С другой стороны, каждое проективное комплексное многообразие обязательно является алгебраическим, см. теорему Чжоу .

В качестве примера рассмотрим тор T  :=  C /( Z  +  τ Z ). Функция Вейерштрасса , принадлежащая решетке Z  +  τ Z, является мероморфной функцией на T . Эта функция и ее производная порождают функциональное поле T . Имеет место уравнение ${\displaystyle \wp _{\tau }(z)}$ ${\displaystyle \wp _{\tau }'(z)}$

${\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$

где коэффициенты g ₂ и g ₃ зависят от τ, тем самым давая эллиптическую кривую E _τ в смысле алгебраической геометрии. Обратное осуществляется с помощью j-инварианта j ( E ), который может быть использован для определения τ и, следовательно, тора.

Классификация римановых поверхностей

Множество всех римановых поверхностей можно разделить на три подмножества: гиперболические, параболические и эллиптические римановы поверхности. Геометрически они соответствуют поверхностям с отрицательной, исчезающей или положительной постоянной секционной кривизной . То есть, каждая связная риманова поверхность допускает единственную полную 2-мерную действительную риманову метрику с постоянной кривизной, равной или , которая принадлежит конформному классу римановых метрик, определяемому ее структурой как римановой поверхности. Это можно рассматривать как следствие существования изотермических координат . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle -1,0}$ ${\displaystyle 1}$

В терминах комплексной аналитики теорема Пуанкаре–Кёбе об униформизации (обобщение теоремы Римана об отображении ) утверждает, что каждая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна одной из следующих:

• Сфера Римана , изоморфная ; ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }}:=\mathbf {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$
• Комплексная плоскость ; ${\displaystyle \mathbf {C} }$
• Открытый диск , изоморфный верхней полуплоскости . ${\displaystyle \mathbf {D} :=\{z\in \mathbf {C} :|z|<1\}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} :=\{z\in \mathbf {C} :\mathrm {Im} (z)>0\}}$

Риманова поверхность является эллиптической, параболической или гиперболической в ​​зависимости от того, изоморфна ли ее универсальная накрывающая , или . Элементы в каждом классе допускают более точное описание. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$

Эллиптические римановы поверхности

Единственным примером является сфера Римана , поскольку на ней не существует группы, действующей посредством биголоморфных преобразований свободно и собственно разрывно , и поэтому любая риманова поверхность, универсальная накрывающая которой изоморфна , сама должна быть ей изоморфна. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$

Параболические римановы поверхности

Если — риманова поверхность, универсальная накрывающая которой изоморфна комплексной плоскости , то она изоморфна одной из следующих поверхностей: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

• ${\displaystyle \mathbf {C} }$сам по себе;
• Частное ; ${\displaystyle \mathbf {C} /\mathbf {Z} }$
• Частное , где с . ${\displaystyle \mathbf {C} /(\mathbf {Z} +\mathbf {Z} \tau )}$ ${\displaystyle \tau \in \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {Im} (\tau )>0}$

Топологически существует только три типа: плоскость, цилиндр и тор . Но если в первых двух случаях (параболическая) структура римановой поверхности уникальна, то в третьем случае изменение параметра дает неизоморфные римановы поверхности. Описание с помощью параметра дает пространство Тейхмюллера «отмеченных» римановых поверхностей (в дополнение к структуре римановой поверхности добавляются топологические данные «отметки», которые можно рассматривать как фиксированный гомеоморфизм к тору). Чтобы получить аналитическое пространство модулей (забыв о разметке), берется факторпространство Тейхмюллера по группе классов отображений . В этом случае это модулярная кривая . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Гиперболические римановы поверхности

В остальных случаях — гиперболическая риманова поверхность, изоморфная фактору верхней полуплоскости по фуксовой группе (иногда это называют фуксовой моделью поверхности). Топологическим типом может быть любая ориентируемая поверхность, за исключением тора и сферы . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Особый интерес представляет случай, когда компактно. Тогда его топологический тип описывается его родом . Его пространство Тейхмюллера и пространство модулей являются -мерными. Можно дать похожую классификацию римановых поверхностей конечного типа (то есть гомеоморфных замкнутой поверхности за вычетом конечного числа точек). Однако в общем случае пространство модулей римановых поверхностей бесконечного топологического типа слишком велико, чтобы допускать такое описание. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle 6g-6}$

Карты между римановыми поверхностями

Геометрическая классификация отражена в отображениях между римановыми поверхностями, как подробно описано в теореме Лиувилля и теореме Малого Пикара : отображения из гиперболических в параболические и в эллиптические просты, но отображения из эллиптических в параболические или из параболических в гиперболические очень ограничены (действительно, в общем случае постоянны!). Существуют включения диска в плоскости в сферу: но любое голоморфное отображение из сферы в плоскость постоянно, любое голоморфное отображение из плоскости в единичный круг постоянно (теорема Лиувилля), и фактически любое голоморфное отображение из плоскости в плоскость за вычетом двух точек постоянно (теорема Малого Пикара)! ${\displaystyle \Delta \subset \mathbf {C} \subset {\widehat {\mathbf {C} }},}$

Проколотые сферы

Эти утверждения поясняются путем рассмотрения типа сферы Римана с несколькими проколами. Без проколов это сфера Римана, которая является эллиптической. С одним проколом, который может быть помещен в бесконечность, это комплексная плоскость, которая является параболической. С двумя проколами это проколотая плоскость или, альтернативно, кольцо или цилиндр, которые являются параболическими. С тремя или более проколами это гиперболическая — сравните пару брюк . Можно отобразить из одного прокола в два, с помощью экспоненциального отображения (которое является целым и имеет существенную особенность на бесконечности, поэтому не определено на бесконечности и пропускает ноль и бесконечность), но все отображения из нуля проколов в один или более, или из одного или двух проколов в три или более являются постоянными. ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }}}$

Разветвленные перекрывающие пространства

Продолжая в том же духе, компактные римановы поверхности могут отображаться на поверхности более низкого рода, но не более высокого рода, за исключением постоянных отображений. Это происходит потому, что голоморфные и мероморфные отображения ведут себя локально как так непостоянные отображения являются разветвленными накрывающими отображениями , и для компактных римановых поверхностей они ограничены формулой Римана–Гурвица в алгебраической топологии , которая связывает эйлерову характеристику пространства и разветвленного покрытия. ${\displaystyle z\mapsto z^{n},}$

Например, гиперболические римановы поверхности являются разветвленными накрывающими пространствами сферы (они имеют непостоянные мероморфные функции), но сфера не накрывает и иным образом не отображается на поверхности более высокого рода, за исключением константы.

Изометрии римановых поверхностей

Группа изометрий униформизированной римановой поверхности (эквивалентно, группа конформных автоморфизмов ) отражает ее геометрию:

• род 0 – группа изометрий сферы – это группа Мёбиуса проективных преобразований комплексной прямой,
• Группа изометрий плоскости — это подгруппа , фиксирующая бесконечность, а проколотой плоскости — это подгруппа, оставляющая инвариантным множество, содержащее только бесконечность и ноль: либо фиксируя их обе, либо меняя их местами (1/ z ).
• Группа изометрий верхней полуплоскости — это действительная группа Мёбиуса; она сопряжена с группой автоморфизмов круга.
• Род 1 – группа изометрий тора находится в общих чертах в трансляциях (как абелево многообразие ), хотя квадратная решетка и гексагональная решетка имеют дополнительные симметрии от поворота на 90° и 60°.
• Для рода g  ≥ 2 группа изометрий конечна и имеет порядок не более 84( g  − 1) по теореме Гурвица об автоморфизмах ; поверхности, реализующие эту границу, называются поверхностями Гурвица.
• Известно, что каждая конечная группа может быть реализована как полная группа изометрий некоторой римановой поверхности. ^[4]
  • Для рода 2 порядок максимизируется поверхностью Больца с порядком 48.
  • Для рода 3 порядок максимизируется квартикой Клейна с порядком 168; это первая поверхность Гурвица, и ее группа автоморфизмов изоморфна единственной простой группе порядка 168, которая является второй наименьшей неабелевой простой группой. Эта группа изоморфна как PSL(2,7) , так и PSL(3,2) .
  • Для рода 4 поверхность Бринга является высокосимметричной поверхностью.
  • Для рода 7 порядок максимизируется поверхностью Макбита с порядком 504; это вторая поверхность Гурвица, и ее группа автоморфизмов изоморфна PSL(2,8), четвертой по величине неабелевой простой группе.

Теоретико-функциональная классификация

Приведенная выше схема классификации обычно используется геометрами. Существует другая классификация римановых поверхностей, которая обычно используется комплексными аналитиками. Она использует другое определение для «параболического» и «гиперболического». В этой альтернативной схеме классификации риманова поверхность называется параболической, если на поверхности нет непостоянных отрицательных субгармонических функций, и в противном случае называется гиперболической . ^{[5] [6]} Этот класс гиперболических поверхностей далее подразделяется на подклассы в зависимости от того, являются ли функциональные пространства, отличные от отрицательных субгармонических функций, вырожденными, например, римановы поверхности, на которых все ограниченные голоморфные функции постоянны, или на которых все ограниченные гармонические функции постоянны, или на которых все положительные гармонические функции постоянны и т. д.

Чтобы избежать путаницы, назовем классификацию, основанную на метриках постоянной кривизны, геометрической классификацией , а основанную на вырожденности функциональных пространств — функционально-теоретической классификацией . Например, риманова поверхность, состоящая из «всех комплексных чисел, кроме 0 и 1», является параболической в ​​функционально-теоретической классификации, но гиперболической в ​​геометрической классификации.

Смотрите также

• Детский рисунок
• кэлерово многообразие
• поверхность Лоренца
• Группа классов картографирования
• Серр двойственность

Теоремы о римановых поверхностях

• Теорема о ветвлении
• Теорема Гурвица об автоморфизмах
• Теорема тождества для римановых поверхностей
• Теорема Римана–Роха
• Формула Римана–Гурвица

Примечания

1. Фаркас и Кра 1980, Миранда 1995
2. См. (Jost 2006, Ch. 3.11) для построения соответствующей сложной структуры.
3. Ноллет, Скотт. «ТЕОРЕМА КОДАЙРЫ И КОМПАКТИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВА МОДУЛЕЙ МАМФОРДА Mg» (PDF) .
4. Гринберг, Л. (1974). «Максимальные группы и сигнатуры». Discontinuous Groups and Riemann Surfaces: Proceedings of the 1973 Conference at the University of Maryland . Ann. Math. Studies. Vol. 79. pp. 207–226. ISBN 0691081387.
5. Альфорс, Ларс ; Сарио, Лео (1960), Римановы поверхности (1-е изд.), Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , стр. 204
6. Роден, Бертон; Сарио, Лео (1968), Основные функции (1-е изд.), Принстон, Нью-Джерси: D. Von Nostrand Company, Inc., стр. 199, ISBN 9781468480382

Ссылки

• Фаркас, Гершель М.; Кра, Ирвин (1980), Римановы поверхности (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90465-8
• Пабло Арес Гастези, Книга «Римановы поверхности» .
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157, OCLC  13348052, особенно глава IV.
• Йост, Юрген (2006), Компактные римановы поверхности , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 208–219, ISBN 978-3-540-33065-3
• Миранда, Рик (1995), Алгебраические кривые и римановы поверхности , Graduate Studies in Mathematics, т. 5, Американское математическое общество.
• Пападопулос, Атанас, ред. (2007), Справочник по теории Тейхмюллера. Том I (PDF) , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, том 11, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, doi :10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, MR  2284826, S2CID  119593165
• Лоутон, Шон; Петерсон, Элиша (2009), Пападопулос, Атанас (ред.), Справочник по теории Тейхмюллера. Том II , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, том 13, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, arXiv : math/0511271 , doi :10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, MR  2524085, S2CID  16687772
• Пападопулос, Атанас, ред. (2012), Справочник по теории Тейхмюллера. Том III , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, том 19, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, doi :10.4171/103, ISBN 978-3-03719-103-3
• * Реммерт, Рейнхольд (1998). «От римановых поверхностей к комплексным пространствам». Семинары и конгрессы . Збл  1044.01520.
• Сигель, Карл Людвиг (1955), «Meromorphe Funktionen auf kompakten analytischen Mannigfaltigkeiten», Nachrichten der Akademie der Wissenschaften в Геттингене. II. Mathematisch-Physikalische Klasse , 1955 : 71–77, ISSN  0065-5295, MR  0074061.
• Вейль, Герман (2009) [1913], Концепция римановой поверхности (3-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-47004-7, МР  0069903

Внешние ссылки

• «Риманова поверхность», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• МакМаллен, К. "Комплексный анализ на римановых поверхностях Математика 213b" (PDF) . Гарвардская математика . Гарвардский университет.